Opfriscursus wiskunde 1 B HW avond en schakelprogramma avond

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Opfriscursus wiskunde 1 B HW avond en schakelprogramma avond 2015-2016"

Transcriptie

1 KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN Opfriscursus wiskunde B HW avond en schakelprogramma avond C. Biront J. Deprez T. Moons

2 DAG : Eerstegraadsfuncties

3 Eerstegraadsfuncties Kostprijs van een taxirit bij taxibedrijf A? () Vertrekgeld: 5 euro Kmprijs: euro Kostprijs rit van 7 km? Kostprijs van een taxirit bij taxibedrijf A? () Vertrekgeld: 5 euro Kmprijs: euro Kostprijs y van een rit van x km?

4 Benamingen x (lengte rit) en y (prijs rit): y hangt af van x: formule y = 5 + x: Vorm van de vergelijking y = 5 + x Kostprijs taxirit taxibedrijven B,C,..? y = x; y = x; enz. Algemeen: y = vast vertrekgeld + kmprijs x y = q + m x y = m x + q EERSTEGRAADSFUNCTIE! (toepassingen: lineaire functie genoemd) Let op: m en q VAST (per bedrijf): parameters! x en y: VERANDERLIJKEN!

5 ANDERE SITUATIES waarbij ook nog eerstegraadsfuncties ontstaan? Kostprijs y om auto van euro aan te kopen en daarmee x km rijden als de kosten 0.8 euro per km bedragen? Totale productiekosten TK om q eenheden te produceren als FK = 3 en de productiekost per eenheid 0. is? Situaties waarbij functie GEEN EERSTEGRAADSFUNCTIE is? Crashen met de taxi aan 00 km/h is VEEL dodelijker dan bij 50 km/h omdat de energie E evenredig is met het KWADRAAT van de snelheid v. Voor taxi van 980 kg: E = 490v² d.i. NIET van de vorm y = mx + q en dus GEEN eerstegraadsfunctie! Betekenis van de parameter q in de vergelijking Taxibedrijf A: y = x + 5. Hier is q = 5: de vertrekprijs. 3

6 Betekenis m in de vergelijking Taxibedrijf A: y = x + 5, m = : de kmprijs. Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven () Eerste manier: Meest geconcentreerde vorm! Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven () Tweede manier: Meest concrete vorm! 4

7 Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (3) Derde manier: Meest visuele vorm! Eerstegraadsfuncties: nauwkeuriger, wiskundiger, () Bij de prijsberekening voor taxibedrijf A ontstond een eerstegraadsfunctie, nl. y = x + 5. Maar wat is nu PRECIES die eerstegraadsfunctie? Eerstegraadsfuncties: nauwkeuriger, wiskundiger, () 5

8 Algemeen Eerstegraadsfunctie f: regel die een getal x omzet in het getal f(x) (dikwijls als y genoteerd) zo dat f(x) = mx + q (en dus ook y = mx + q) waarbij m 0 (!!) De grafiek is altijd een schuine (!!) rechte. Betekenis parameter q: q = f(0) Betekenis parameter m: f ( x) y m x x Grafische betekenis parameter q q in het voorbeeld van taxibedrijf A Algemeen: Grafische betekenis parameter m () m in het voorbeeld van taxibedrijf A als x met eenheid toeneemt, neemt y met m eenheden toe 6

9 Grafische betekenis parameter m () y y y x - m < 0 x - m = 0 x - m > Grafische betekenis parameter m (3) als x met x eenheden toeneemt, neemt y met mx eenheden toe Grafische betekenis van de parameters m en q We zien deze betekenis duidelijk hier lijn/rechtelijn.html 7

10 Oefeningen oefening oefening (alleen aangeduide punten mogen gebruikt worden!) Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie () Kapitaal van euro volledig beleggen in bepaald aandeel en bepaalde obligatie aandeel: 80 euro per stuk obligatie: 50 euro per coupure Hoeveel van elk zijn mogelijk met het gegeven kapitaal? Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie () Er geldt: 80q A + 50q O =

11 Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (3) Er geldt: 80q A + 50q O = We kunnen het verband, DE RELATIE, tussen q A en q O duidelijker, EXPLICIETER, uitdrukken: Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (4) Er geldt: 80q A + 50q O = We kunnen het verband, DE RELATIE, tussen q A en q O duidelijker, EXPLICIETER, ook als volgt uitdrukken: Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (5) Verband, RELATIE, tussen q A en q O : 80q A + 50q O = 0 000: IMPLICIETE vergelijking beide veranderlijken in één lid, vorm ax + by + c = 0 q O = q A : EXPLICIETE vergelijking afhankelijke geïsoleerd in linkerlid, rechterlid alleen onafhankelijke veranderlijke, vorm y = mx + q q A = 5 3.5q O : EXPLICIETE vergelijking afhankelijke geïsoleerd in linkerlid, rechterlid alleen onafhankelijke veranderlijke, vorm y = mx + q 9

12 Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (6) DE RELATIE tussen q A en q O komt in dit geval overeen met een EERSTEGRAADSFUNCTIE (twee keuzen!) en kan dus (op twee manieren!) grafisch voorgesteld worden door EEN DEEL VAN EEN RECHTE (LIJNSTUK): 50 qo 4 0 qa 0 qa 0 qo Vergelijkingen van rechten () De grafiek van een eerstegraadsfunctie f met vergelijking y = mx + q is EEN RECHTE. Een vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 met b 0 bepaalt een eerstegraadsfunctie en is dus ook de vergelijking van een rechte. (Om y te kunnen isoleren moet GEDEELD worden door b, daarom moet b 0!) Elke vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 WAARBIJ a EN b NIET TEZAMEN NUL ZIJN bepaalt een rechte! Zie oefening 5. Vergelijkingen van rechten () Richtingscoëfficiënt van een rechte met twee gegeven punten: 0

13 Vergelijkingen van rechten (3) rechte door een gegeven punt met een gegeven richtingscoëfficiënt: rechte door punt (x 0, y 0 ) met rico m heeft vergelijking oefeningen 3 en 4 oefening 7 werkwijze: Oefeningen () oefening 8 (a) werkwijze: Oefeningen () oefening 9 (a), (b), (c), (i), (e), (d) oefening 4 enz. WISKUNDE LEREN = ZELF VEEL OEFENINGEN MAKEN, FOUTEN BEGRIJPEN EN DE OEFENINGEN CORRECT OPNIEUW MAKEN

14 Functie en relatie () Functie en relatie () grootheid, veranderlijke = eigenschap van een (groep) object(en) die d.m.v. een getal kan weergegeven worden, verschillende exemplaren van het object geven verschillende getallen in de zuivere wiskunde: bv. x, y, z, in toepassingen: toepasselijke symbolen, bv. TK voor totale kosten, q voor hoeveelheid, Een functie beschrijft hoe een grootheid afhangt van één (of meerdere) andere groothede(n). standaardnotatie voor een functie van één (onafhankelijke) veranderlijke: y(x); y is de afhankelijke veranderlijke, x is de onafhankelijke veranderlijke (standaardnotatie voor functie van twee (onafhankelijke) veranderlijken: z(x,y); z is de afhankelijke veranderlijke, x en y (!) zijn de onafhankelijke veranderlijken) Vaak wordt aan de functie zelf een symbool toegekend: f, g, Een relatie beschrijft een verband tussen twee (of meer) grootheden. Voorlopig beschouwen we de termen functie en relatie als synoniemen. Functies en relaties worden beschreven d.m.v. een vergelijking (formule), een grafiek of een verzameling koppels (tabel). expliciete vergelijking: drukt expliciet uit hoe y afhangt van x van de vorm y f (x) (y zelf in linkerlid, uitdrukking met x alleen in rechterlid) impliciete vergelijking drukt een verband uit tussen x en y van de vorm g ( x, y) 0 (x en y in hetzelfde lid) stijgende functie van één veranderlijke: als x toe/afneemt, neemt ook y toe/af; grafiek loopt omhoog dalende functie van één veranderlijke: als x toe/afneemt, neemt y af/toe; grafiek loopt omlaag Eerstegraadsfuncties expliciete vergelijking: y = mx + q, met m en q getallen (en m 0 (?)) impliciete vergelijking: ax + by + c = 0 met b 0 grafiek: rechte m = richtingscoëfficiënt = helling; q = Y-intercept meetkundige betekenis: teken van m bepaalt of rechte naar boven/onder/horizontaal loopt (of eerstegraadsfunctie stijgend/dalend/constant is) grootte van m bepaalt hoe steil de rechte is als x met eenheid toeneemt, neemt y met m eenheden toe m hoogteverschil horizontal e afstand y x y x y x q bepaalt hoogte van snijpunt rechte en verticale as rechte door x, ) met rico m heeft vergelijking y y ( 0 y 0 0 m( x x0 ) evenwijdige rechten: gelijke rico s onderling loodrechte rechten: product van de rico s is toenameformule: y m x y is evenredig met x als en slechts als y = c x voor een vast getal c

15

16 Opfriscursus wiskunde dag. a. Stel de rechte met vergelijking y x voor op een figuur. Maak hiervoor gebruik van de betekenis van y-intercept en richtingscoëfficiënt. b. Welke y-waarde hoort er bij x? (Controleer je resultaat op de figuur.) c. Welke x-waarde hoort er bij y? (Controleer je resultaat op de figuur.). Bepaal de vergelijking van de vorm y mx q voor elk van de rechten A, B, C, D, E en F uit de onderstaande figuur door gebruik te maken van de betekenis van m en q. y B F (3,9) (0,7) (6,6) A (0,3) C (,0) x D E 3. Bereken de vergelijking van de rechte die door het punt (, 3) gaat en die evenwijdig loopt met de rechte door de punten ( 4,) en (,). 4. Bereken de vergelijking van de rechte die door het punt (,3) gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x 3y Welke figuur wordt voorgesteld door de vergelijking a. x 3y 0? b. ( 0x ) 3y 0? c. x ( 0y) 0? d. ( 0x 0y) 0? 6. De hoeveelheid q die van een zeker product verkocht kan worden, hangt af van de prijs p die ervoor gevraagd wordt. Veronderstel dat het verband tussen beide grootheden gegeven wordt door q p. Deze functie wordt de vraagfunctie genoemd. a. Maak een grafiek van deze vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af. Deze vraagfunctie is in eerste instantie bruikbaar om de waarde van q te bepalen als er een waarde voor p gegeven is. We kunnen deze formule echter ook gebruiken 'in de omgekeerde zin'. b. Veronderstel dat we willen dat er 6 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen? c. Veronderstel dat we willen dat er 0 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen? d. Als we de waarde van p moeten bepalen voor heel veel verschillende waarden van q, dan kunnen we de bovenstaande vergelijking beter in een andere vorm schrijven, namelijk de vorm waarbij p uigedrukt wordt in functie van q. Doe dit.

17 e. Controleer het antwoord op de vragen b. en c. met behulp van deze formule. De formule uit oefening d. kunnen we opvatten als de vergelijking van een functie die p uitdrukt in functie van q. Deze nieuwe functie wordt de inverse vraagfunctie genoemd. f. Maak een grafiek van deze inverse vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af. g. Welk verband bestaat er tussen de richtingscoëfficiënt van de grafieken van de vraagfunctie en de inverse vraagfunctie? 7. Ga door berekening na of de grafieken van de functies f : y x 3, g : y x en h : y 3x door één punt gaan. 8x y 5 8. a. Bepaal x en y zó dat x 9 4y b. Bepaal p en q zó dat 5 p 9q 8 3q 3p 4a 5b c. Bepaal a en b zó dat 3a 8b 9. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: a. 3x x 9 ; 5 b. 3x 7 ( x 9) ( x 30) ; c. x 4 d. e. x ; ( x ) ( x ) x ; x 3x 4 4x 7 ; 6 5 3x 7 x x f. 5 ; g. ( x )( x ) ( x ) ; x x 3 4 x h. 3 x ; 6 5 i. x 3 3x Hoeveel kg koffie van 4. EUR per kg moet men mengen met 45 kg koffie van 3.0 EUR per kg om een mengsel te verkrijgen van 3.79 EUR per kg?. Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve-dag-reis 00 EUR vast recht aan en daarbij.5 EUR per km. Een tweede autocaruitbater rekent 300 EUR vast recht aan en daarbij 0.95 EUR per km. Hoeveel km moet een halve-dag-reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper zou zijn dan de eerste?. De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exemplaren van een tijdschrift wordt gegeven door TO. 5q. De vaste productiekosten bedragen 485 EUR. De variabele productiekosten (in EUR) zijn evenredig met q met evenredigheidsfactor 0.5. Zoek het break-even-point (d.w.z. de waarde van q waarbij er noch winst noch verlies gemaakt wordt). 3. Bij een electriciteitsmaatschappij hebben de klanten de keuze tussen twee mogelijkheden: het normaal en het tweevoudig tarief. Bij het normaal tarief betaalt men een vaste jaarlijkse vergoeding van EUR en bovendien 0.3 EUR per verbruikte kwh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere prijs voor het gebruik tijdens de 9 'nachturen'. Bij dit tarief wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van EUR aangerekend en betaalt men 0.3 EUR per verbruikte kwh overdag en 0.06 EUR per verbruikte kwh 's nachts. Bepaal vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper wordt. 4. Aloyslavië heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het gedeelte van het inkomen tot ALF (ALF = Aloysische frank) betaalt men 0 % belastingen en op het gedeelte boven ALF betaalt men 60% belastingen. Het inkomen, uitgedrukt in eenheden van ALF, stellen we

18 voor door x. De belasting die betaald moet worden, eveneens in ALF, stellen we voor door b. a. Geef een vergelijking voor de functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkomen en maak een grafiek van deze functie. (Aanwijzing: maak een onderscheid naargelang het inkomen onder of boven ALF ligt). b. Men overweegt een hervorming. Het voorstel bepaalt dat men 0% belastingen zou moeten betalen op het gedeelte van het inkomen tot ALF en 40% op het gedeelte boven ALF. Geef weer een vergelijking voor de functie die (in dit geval) het verband geeft tussen de belasting en het inkomen. Maak een grafiek van deze functie op de figuur uit vraag a. c. Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door berekeningen te maken, voor welke inkomens het voorstel minder voordelig zou zijn. Oplossingen. a. Omdat het y-intercept is, weten we dat de rechte door het punt, 0 gaat. Omdat de richtingscoëfficiënt bedraagt, weten we dat met een toename van één eenheid in de x-richting een toename van eenheden in de y-richting correspondeert. Omdat het punt 0, tot de rechte behoort, ligt dus ook het punt, 3 erop. De gevraagde rechte is dus de rechte door de punten 0, en, 3. b. 5 c A : y x 3, B : y x 3, C : y 3, D : y x 3, E : y x 7, F : y x y x y x a. (schuine) rechte door de punten 0, en, 0 ; 3 b. horizontale rechte door het punt 0, ; 3 c. verticale rechte door het punt, 0 ; d. lege verzameling. 6. a. rechte door de punten 0,4 en,0 b. 0 c. 5 d. p.5q 30 e. OK f. rechte door de punten 0,30 en,0 30 ; richtingscoëfficiënt is ; richtingscoëfficiënt is.5. g. de richtingscoëfficiënten zijn elkaars omgekeerde (d.w.z. richtingscoëfficiënt van de grafiek van de vraagfunctie 3

19 of nog: = richtingscoëfficiëntvan de grafiek van de inversevraagfunctie richtingscoëfficiënt van de grafiek van de inverse vraagfunctie = richtingscoëfficiëntvan de grafiek van de.) vraagfunctie 7. Neen. De grafieken van de functies f en g snijden elkaar in het punt met coördinaten, 4 grafiek van de functie h gaat niet door dit punt. 8. a. x 3 en y b. c. 9. a. p 4 en q a en b 7 7 x 8 3 b. 3 x 3 c. x d. x is een willekeurig reëel getal e. f. g. 47 x 39 x x 4 h. 6 x 3 i. x kg. meer dan 500 km Om het resultaat grafisch te controleren tekenen we in dezelfde figuur de grafiek van de kostprijs K in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de eerste uitbater en de grafiek van de kostprijs K in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de tweede uitbater. De vergelijkingen van deze functies zijn K 00. 5x respectievelijk K x.. De 000 K uitbater uitbater x. 660 exemplaren 4

20 3. Noem x het verbruik in kwh overdag en y het verbruik in kwh 's nachts. De kostprijs in EUR volgens het normale tarief is dan K n ( x y). De kostprijs in EUR volgens het tweevoudig tarief is dan K t x 0. 06y. We zoeken de waarden van y waarvoor Kn Kt. We vinden dat aan deze ongelijkheid voldaan is als en slechts als y We besluiten dat het tweevoudig tarief voordeliger is vanaf kwh nachtverbruik. 0.x als 0 x a. b 0.6x 0.3 als 0.75 x 0,6 b 0,4 0, 0 0 0,5,5 x b. 0.x b 0.4x 0.09 als 0 x 0.3 als 0.3 x 0,6 b 0,4 0, 0 0 0,5,5 x c. De grafieken snijden elkaar in twee punten. Het inkomen dat overeenkomt met het meest linkse snijpunt noemen we a en het inkomen dat overeenkomt met het meest rechtse snijpunt noemen we c. Voor de inkomens die gelegen zijn tussen a en c is de huidige berekening van de belasting voordeliger dan het voorstel. Het meest linkse snijpunt onstaat door het linkse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om a te vinden moeten we dus de vergelijking 0.x 0.4x oplossen. Zo vinden we dat a Het meest rechtse snijpunt onstaat door het rechtse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om c te vinden moeten we dus de vergelijking 0.6x x oplossen. Zo vinden we dat c. 05. We bsluiten dat het voorstel minder voordelig is dan het huidige systeem voor de inkomens gelegen (strikt) tussen ALF en ALF. 5

21 DAG : Tweedegraadsfuncties

22 Tweedegraadsfuncties Groepsuitstap () Minimum 0 deelnemers Kosten gids: euro Bij 0 deelnemers: 80 euro pp Voor elke extra persoon: voor iedereen (ook eerste 0) vermindering van telkens euro per persoon extra Totale ontvangsten agentschap bij 6 personen extra? Groepsuitstap () Minimum 0 deelnemers Kosten gids: euro Bij 0 deelnemers: 80 euro pp Voor elke extra persoon: voor iedereen (ook eerste 0) vermindering van telkens euro per persoon extra Totale ontvangsten y agentschap bij x personen extra?

23 Drie manieren om die tweedegraadsfunctie weer te geven Tabel: Vergelijking: Grafiek: Maximale ontvangsten? In dit geval kan het b.v. via een tabel: Kan BEREKEND worden: algemene studie tweedegraadsfuncties! Ontvangsten gelijk aan 87? OPLOSSINGEN of WORTELS zoeken van een vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0 TWEEDEGRAADSVERGELIJKING.

24 Tweedegraadsfuncties: definities Functie f ( MACHINE!) met een voorschrift van de vorm f(x) = ax² + bx + c waarbij a 0. Of: functie met expliciete vergelijking van de vorm y = ax² + bx + c waarbij a 0. Discriminant: d = b² 4ac Vergelijkingen van de tweede graad Vergelijkingen die herleidbaar zijn tot de vorm ax² + bx + c = 0 met a 0. Oplossingen: Tweedegraadsfuncties: grafiek is PARABOOL teken van de discriminant bepaalt het aantal snijpunten met de horizontale as teken van de coëfficiënt van x bepaalt de oriëntatie van de holle zijde 3

25 Tweedegraadsfuncties: TOP van de parabool Oefeningen Oefening (f en f 5 ) Oefening (a) en (b) Oefening (c): ONGELIJKHEID! Ongelijkheden van de tweede graad ongelijkheden die te herleiden zijn tot de vorm ax bx c 0 4

26 Oefeningen Oefening (e), (f) Oefening 4 Oefening 6 De stelling van PYTHAGORAS In een RECHTHOEKIGE DRIEHOEK geldt: Afstand tussen twee punten 5

27 Vergelijking van een cirkel () Alle punten liggen op afstand 5 van m(3, ) dus Vergelijking van een cirkel () Bijzonder geval: middelpunt is het punt (0, 0): Vergelijking cirkel C met middelpunt (0, 0) en straal r: Vergelijking van een cirkel (3) Stelt de vergelijking x y 4x 6y 0 4 een cirkel voor? 5 6

28 Relatie versus functie () x² + y² = 5 stelt een cirkel voor met middelpunt (0, 0) en straal 5. 6 y x Relatie versus functie () x² + y² = 5 stelt een cirkel voor met middelpunt (0, 0) en straal 5. EXPLICIETE vergelijking: y 6 x Relatie versus functie (3) De woorden functie en relatie zijn geen synoniemen. Een functie is een speciale relatie, namelijk: een functie is een relatie waarbij de afhankelijke veranderlijke op een eenduidige manier van de onafhankelijke veranderlijke afhangt, d.w.z. dat met één waarde van de onafhankelijke nooit meer dan één waarde van de afhankelijke veranderlijke overeenstemt. 7

29 Oefeningen oefening 9 enz. WISKUNDE LEREN = ZELF VEEL OEFENINGEN MAKEN, FOUTEN BEGRIJPEN EN DE OEFENINGEN CORRECT OPNIEUW MAKEN 8

30 Tweedegraadsfuncties van één veranderlijke (expliciete) vergelijking: y = ax + bx + met a, b en c getallen (a niet 0) c, discriminant: d = b 4 a c Vergelijkingen van de tweede graad vergelijkingen die te herleiden zijn tot de vorm ax + bx + c = 0 als discriminant d > 0: twee oplossingen als discriminant d = 0: één oplossing als discriminant d < 0: geen oplossingen x = x b a = b ± a Cirkel cirkel met de oorsprong o als middelpunt straal r heeft vergelijking x + y = r cirkel met het punt m met coördinaten ( x 0, y 0 ) als middelpunt en het getal r als straal heeft vergelijking: ( x x = r 0 ) + ( y y 0 ) d Grafiek: parabool, 6 gevallen teken van de discriminant bepaalt het aantal snijpunten met de horizontale as teken van de coëfficiënt van x bepaalt de oriëntatie van de holle zijde Ongelijkheden van de tweede graad ongelijkheden die te herleiden zijn tot de vorm ax + bx + c < > 0... en bepaal de gemeenschappelijke punten met de X-as door de VERGELIJKING op te lossen Relatie versus functie De woorden functie en relatie zijn geen synoniemen. Een functie is een speciale relatie, namelijk: een functie is een relatie waarbij de afhankelijke veranderlijke op een eenduidige manier van de onafhankelijke veranderlijke afhangt, d.w.z. dat met één waarde van de onafhankelijke nooit meer dan één waarde van de afhankelijke veranderlijke overeenstemt. top van de parabool: x-coördinaat is b a de top geeft de minimale/maximale functiewaarde aan Afstand afstand van het punt p met coördinaten ( x, y ) tot de oorsprong o : d ( p, o ) = x + y afstand van het punt met coördinaten p tot het punt p met coördinaten x, y ) : ( ( x, y ) d ( p, o ) = ( x x y y ) + ( ),

31 Opfriscursus wiskunde dag.. Hieronder vind je zes tweedegraadsfuncties van één veranderlijke. Schets de grafiek van elk van deze functies. 3 f : y x 5x 6 ; f : y x 4x 4 f : y x 4x f : y x 5x 6 ; f : y x 4x 4; f : y x 4x 6.. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: a. x (9x ) 0 ; b. 7 x x ; 6 c. 4x 3x 7x x 3; d. ( 6 3x )( 9x) 0 ; e. 00 x ; f. 3x ( x 3) 5( x 3). 3. Gegeven zijn de functies f : y x 4 en g : y x 4x 5. a. Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies. b. Teken de grafiek van beide functies in één figuur en controleer hiermee het resultaat van je berekeningen. 4. Bepaal de getallen b en c in de vergelijking van de functie f : y x bx c zo dat f haar minimale waarde 3 bereikt in De functie f : y x x p heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p. 6. Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 EUR per liter. Om grote bestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om een reductie toe te kennen voor bestellingen van meer dan 00 liter. Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voor de hele bestelling (dus niet alleen voor de extra liters) met 0.0 EUR verlaagd. a. Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TO (in EUR) van de handelaar bij een bestelling van x liter wijn. b. Maak een grafiek van de functie TO(x). c. Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale inkomsten TO van de wijnhandelaar maximaal? d. Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van een bestelling opdat zijn totale ontvangsten positief zouden blijven? 7. Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen een prijs van 300 EUR per persoon. Om meer mensen te trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt voor elke deelnemer (dus niet alleen voor de nieuwe deelnemers) verlaagd met 5 EUR telkens als zich één persoon extra aanmeldt (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn). a. Bij welk aantal deelnemers zijn de totale onvangsten van het reisbureau maximaal? b. Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? 8. Een firma van elektronische onderdelen verkoopt maandelijks 5000 stuks van een bepaald onderdeel tegen 5 EUR per stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met EUR verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen om een maximale omzet te realiseren? 9. Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt van de cirkel met vergelijking x y x y 0 gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x y 0.

32 Oplossingen. 3 y f y f4 x x y f y f5 x x y f3 f6 y x x a. 6 x 4, x ; b. x, x 3; 6 c. geen oplossingen; d. x, ; 9 e. x 0,0;

33 5 f. x, a., b. y 8 g x f b 8, c p 7.5x als 0x00 6. a. TO 0.0x 8.5x als x 00 b. 000 TO x -000 c. x 45, de totale ontvangsten van de handelaar zijn maximaal bij een bestelling van 45 liter. d. x 850, bestellingen van 850 liter of meer zijn dus niet toegelaten. 7. a. De totale ontvangsten van het reisbureau zijn maximaal bij 50 deelnemers. b. Het aantal deelnemers moet kleiner zijn dan EUR 9. y x 3

34 Opfriscursus Wiskunde ( tweede week ) docent : Theo Moons bureel : T Serclaes gebouw, lokaal A Skype : Theo.Moons@kuleuven.be theomoonshub y Opfriscursus Wiskunde Afgeleiden y = f (x) Hoe steil verloopt de grafiek van een functie? x

35 Helling bij een eerste - graadsfunctie Hoe steil verloopt de grafiek van de functie f(x) = x? Y y helling = x = X Helling bij een eerste - graadsfunctie Hoe steil verloopt de grafiek van de functie f(x) = x? Y helling = y x 6 5 alsook y x = X Besluit : een maat voor helling is de van de rechte

36 Herhaling : vergelijking: terminologie : de rechte y = m x + q m = de richtingscoëfficient ( kortweg rico ) q = de intercept te onthouden : m > 0 m = 0 m < 0 rechte rechte rechte 3

37 Helling bij een tweede - graadsfunctie Hoe steil verloopt de grafiek van de functie f(x) = x 6 x + 8? -de graadsfunctie de grafiek van f is een a = een de top ligt in x top = en y top = de nulpunten liggen in x = en x = Helling bij een tweede - graadsfunctie Hoe steil verloopt de grafiek van de functie f(x) = x 6 x + 8? de nulpunten liggen in x = en x = de top ligt in 4 Y X Besluit : de helling verschilt van punt tot punt de rico van de raaklijn in een punt = een maatgetal voor de helling in dat punt 4

38 Helling bij een willekeurige functie Definitie de helling van de grafiek van een functie f in het punt met eerste coördinaatgetal a = = = de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt met eerste coördinaatgetal a de afgeleide van de functie f f (a) in het punt met eerste coördinaatgetal a Voorbeeld beschouw de derde-graadsfunctie f(x) = 0.5 x x 3 x 4 Y X programma : 5

39 Oefening Bepaal f ( ), f (3) en f (5) voor de functie f waarvan de grafiek in onderstaande figuren is weergegeven. (a) oplossing f ( ) = f (3) = f (5) = Oefening Bepaal f ( ), f (3) en f (5) voor de functie f waarvan de grafiek in onderstaande figuren is weergegeven. (b) oplossing f ( ) = f (3) = f (5) = 6

40 Oefening Bepaal f ( ), f (3) en f (5) voor de functie f waarvan de grafiek in onderstaande figuren is weergegeven. (c) oplossing f ( ) = f (3) = f (5) = Belangrijke opmerking de raaklijn aan de grafiek verschilt van punt tot punt de helling van de raaklijn verschil van punt tot punt de afgeleide van een functie verschilt van punt tot punt de afgeleiden f (x) vormen ook zelf een functie Terminologie : de afgeleide functie 7

41 Berekenen van afgeleiden Stap : de afgeleide functie (a) Als a een getal is, dan (a ) = (b) Als f(x) = m x + q, dan f (x) = Merk op: ( m x + q ) = (c) Als f(x) = x r, dan f (x) = voor elke r IR (d) Algemeen : (a x r + b x s + c ) = a (x r ) + b ( x s ) + c (x 0 ) ( oefening ) Berekenen van afgeleiden Stap : de afgeleide in een punt voorbeeld de helling van de grafiek van de functie f(x) = 5 x 3 + x + 8 in het punt met eerste coördinaatgetal 8

42 Oefening 3 Bereken telkens de afgeleide van de functie f in het punt a. (a) f(x) = x 4 in het punt a = (b) f(x) = x 4 + x 5 in het punt a = Oefening 4 Beschouw de functie f(x) = x 3. (a) Bepaal de helling van de grafiek in, 0 en 0 door berekening. (b) Controleer het resultaat van de eerste twee berekeningen grafisch. (c) Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt van de grafiek met eerste coördinaat. Oefening 6 Beschouw de functie f(x) = x 3.5 x x. (a) Lees op de grafiek af voor welke waarden van x de helling gelijk is aan 0, positief is, negatief is. (b) Controleer je antwoorden door berekening. (c) Teken de grafiek van de afgeleide functie. (d) In welke x-waarden is de afgeleide functie 0? Hoe kan je dit zien op de grafiek (i) van de afgeleide functie? (ii) van de oorspronkelijke functie? 9

43 Oefening 6 Beschouw de functie f(x) = x 3.5 x x. De grafiek van deze functie is Y X - 5 Oefening 6 ( vervolg ) Beschouw de functie f(x) = x 3.5 x x. (e) In welke x- waarden is de afgeleide functie positief? Hoe kan je dit zien op de grafiek (i) van de afgeleide functie? (ii) van de oorspronkelijke functie? (f) Probeer op de grafiek af te lezen in welk punt de helling het grootst is. (g) Bepaal dit punt door berekening. 0

44 Oefening 7 Beschouw de functie f (x) = ( x + 3 ) 4. (a) Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt van de grafiek met eerste coördinaat. (b) In een ander punt van de grafiek staat de raaklijn loodrecht op de raaklijn uit vraag (a). Bepaal dit punt door berekening. (c) Bepaal het snijpunt van de raaklijnen uit vragen (a) en (b). Oefening 7 bis Beschouw de functie f (x) = ( x + 3 ) 4. 6 (a) Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt van de grafiek met eerste coördinaat. 4. x (b) In een ander punt van de grafiek staat de raaklijn loodrecht op de raaklijn uit vraag (a). Bepaal dit punt door berekening. (c) Bepaal het snijpunt van de raaklijnen uit vragen (a) en (b).

45 Notaties voor afgeleiden Voorbeeld: f(x) = x 5 of y = x 5 dan wordt de afgeleide functie genoteerd als f (x) = (x 5 ) = alsook f (x) = d y d x d x 5 = = d x d d x ( x 5 ) = D ( x 5 ) lees: de afgeleide van y naar x d Merk op: is het symbool voor afleiden naar x d x Oefening 9 Bereken d x 6 d x d t 5 d t d q d q d x d x d q d p d d t als q = p 3 t 5 t +

46 Kostenfuncties Afgeleiden in de economie Taxibedrijf : vertrekprijs 5 kilometerprijs Als er x km gereden worden, dan zijn de totale kosten TK (x) = Te onthouden Merk op: TK (x) = = marginale kost Als de totale kosten TK = f (q), dan zijn de marginale kosten Formeel: MK = TK (q) = d TK d q MK = TK (q) vaste kost marginale kost Oefening 5 In een bepaalde firma wordt bier geproduceerd. We stellen de dagelijks geproduceerde hoeveelheid ( in eenheden van 000 liter ) voor door q. De totale dagelijkse productiekosten (in eenheden van 00 EUR) stellen we voor door TK. Ze worden gegeven door de functie TK = q 3 4 q + 0 q + 00 (a) Geef de vergelijking van de marginale kostenfunctie. (b) Maak de grafiek van de marginale kostenfunctie. (c) Op dit ogenblik bedraagt de productie 3500 liter per dag. Bereken de marginale kosten bij dit productieniveau. (d) Bij welke productie zijn de marginale kosten het laagst? 3

47 Afgeleiden in de economie Economische groei winkel heeft momenteel 500 klanten via reclame maandelijks 30 nieuwe klanten aantrekken Na t maanden zal de winkel dan N(t) = klanten hebben Merk op: N (t) = = groeisnelheid Te onthouden Als N = f (t) de evolutie van een populatie in de tijd voorstelt, dan is de snelheid waarmee de populatie verandert N (t) Formeel: groeisnelheid = N (t) = d N d t Oefening 8 Het aantal inwoners van een zekere stad stellen we voor door N. De tijd (gemeten in jaar, vanaf januari 000) stellen we voor door t. Veronderstel dat de evolutie van het aantal inwoners van deze stad beschreven wordt door de functie N(t) = t (a) Maak een nauwkeurige tekening van de grafiek van deze functie. (b) Gebruik de figuur uit vraag (a) om een schatting te maken van de groeisnelheid op januari 007. (c) Bereken de exacte waarde van de groeisnelheid op januari 007. (d) Teken de grafiek van de functie die de groeisnelheid weergeeft. (e) Geef een andere notatie voor de groeisnelheid. 4

48 Opfriscursus Wiskunde exponentiële functies en logaritmische functies 5

49 Machten van getallen Voorbeeld 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3 % per jaar over jaar zal men beschikken over ( 3 % van 000 ) = Merk op: + 3 % wordt wiskundig Machten van getallen Voorbeeld 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3 % per jaar over jaar zal men beschikken over euro over jaar zal men beschikken over ( 3 % van 030 ) = Merk op: + 3 % wordt wiskundig 6

50 Machten van getallen Voorbeeld 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3 % per jaar over jaar zal men beschikken over euro over jaar zal men beschikken over over 3 jaar zal men beschikken over ( 3 % van ) = Merk op: + 3 % wordt wiskundig Machten van getallen Voorbeeld 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3 % per jaar over jaar zal men beschikken over 000 (.03 ) euro over jaar zal men beschikken over 000 (.03 ) euro over 3 jaar zal men beschikken over 000 (.03 ) 3 euro over 0 jaar zal men beschikken over 000 (.03 ) (.03 ) (.03 )... (.03 ) Merk op: + 3 % wordt wiskundig maal.03 7

51 Definitie Machten van getallen Als a een positief reëel getal en n en een m natuurlijke getal getallen is, dan zijn, an = a a a... a en a 0 = n keer a n = a n a n n = a en m n n m a n = a m = a Terminologie a r leest men als de r-de macht van a a heet het grondtal r heet de exponent Oefening Schrijf zonder exponenten

52 Rekenregels voor machten Voor alle grondtallen a > 0 en b > 0 en voor alle exponenten r en s geldt: a r a s = a r + s a r a s = a r s a r s = a r s r a b = a r b r en a b r = a r b r MAAR... (a + b ) r a r + b r!!!!! en (a b ) r a r b r!!!!! Oefening 5 Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x x x 3 x x x 3 x 4 x 3 Oefening 6 Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen x y 3 4 x 3 y 4 x y 3 3 x y z y x z z x y x y 9

53 Logaritmen Voorbeeld Een persoon zet bij de roulette euro in op zijn geluksnummer 3. Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet. Op een bepaald ogenblik zien wij hem 04 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen? Antwoord de eerste inzet bedraagt euro keer niet uitgekomen de inzet wordt keer niet uitgekomen de inzet wordt 3 keer niet uitgekomen de inzet wordt. m keer niet uitgekomen de inzet wordt euro euro euro euro Logaritmen Voorbeeld Een persoon zet bij de roulette euro in op zijn geluksnummer 3. Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet. Op een bepaald ogenblik zien wij hem 04 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen? Antwoord er wordt dus gevraagd: bepaal m zodat m = 04 welnu, 04 = m = Besluit : nummer 3 is reeds keer niet uitgekomen! nieuwe bewerking : de exponent plukken bij grondtal 0

54 Logaritmen Definitie Als g en x positieve getallen zijn en g, dan de logaritme van het getal x bij grondtal g = de macht waartoe men g moet verheffen om x te vinden Formeel : g log x = m g m = x lees : de logaritme van x bij grondtal g is m of kortweg : de g logaritme van x is m Voorbeeld: log 04 = want Definitie Logaritmen Als g en x positieve getallen zijn en g, dan de logaritme van het getal x bij grondtal g = de macht waartoe men g moet verheffen om x te vinden Formeel : g log x = m g m = x gevraagd: g log x =?? praktisch : schrijf x = g?? zeg dan x = g m g log x = m Te onthouden!!!!!

55 Oefening Bereken ( indien mogelijk ) uit het hoofd log 8 log 3 log 8 5 log log ( ) log 0 log 3 log 9 3 log 4 log 5 3 log 0

56 grondtal g = 0 Bijzondere grondtallen dan spreekt men van de decimale Notatie: 0 log = log Voorbeeld: log 0000 = 0 log 0000 of de Briggse logaritme = want 0000 = grondtal g = e = het getal van Euler dan spreekt men van de natuurlijke of de Neperiaanse log. Notatie: e log = ln Voorbeeld: ln e 3 e = log = want = e 3 e 3 Oefening 3 Bereken met behulp van een rekenmachine log 000 ln 3 ln e log ln 0.5 log e Oefening 4 Bereken uit het hoofd log 0.00 log 0 ln e log ln ln e 3

57 Rekenregels voor logaritmen Voor elk grondtal g > 0 en g en voor alle positieve getallen a en b en voor elke exponent r geldt : g log (a b ) = g log a + g log b g log a b = g log a g log b g log (a r ) = r ( g log a ) MAAR... er is geen formule voor g log ( x + y ) of voor g log ( x y )!!!!! Eigenschap Voor elk grondtal g IR 0 + en g geldt dat g log x = ln x ln g Bewijs noem d.w.z. x = g log x = m en dus ln x = ln( ) of nog ln x = ln x zodat = ln g of m.a.w. g log x = 4

58 Voorbeeld Exponentiële vergelijkingen Een kapitaal van euro staat uit aan een samengestelde interest van 0 % per jaar. Hoe lang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is? Antwoord over jaar zal men beschikken over ( 0 % van 0000 ) = (0.0) 0000 = () (0.0) = ( ) = (.0 ) = 000 euro Herinner u: + 0% wordt wiskundig maal.0 Voorbeeld Exponentiële vergelijkingen Een kapitaal van euro staat uit aan een samengestelde interest van 0 % per jaar. Hoe lang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is? Antwoord over jaar zal men beschikken over (.0 ) euro over jaar zal men beschikken over 0000 (.0 ) over 3 jaar zal men beschikken over 0000 (.0 ) 3 over m jaar zal men beschikken over 0000 (.0 ) m gevraagd : bepaal m zodat 0000 (.0 ) m = euro euro euro 5

59 Oefening 7 Los de volgende vergelijkingen op. Welke vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? 0 (.03 ) t = 30 (0.97 ) x 8 (.0) x = 0 0 g 7 = 50 5 (.005) t 6 = 3 (.07 ) t + 5 e 3 t = 47 6

60 Oefening 8 (a) Hoe lang moet een bedrag van euro belegd worden aan 5 % per jaar opdat het zou aangroeien tot euro? (b) Welk bedrag moet men beleggen aan 5 % per jaar opdat het na 0 jaar aangegroeid zou zijn tot euro? (c) Aan welke rentevoet moet men een bedrag van euro beleggen opdat het na 0 jaar aangegroeid zou zijn tot euro? (d) Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? Oefening 9 Radium is een radioactieve stof. Dit betekent dat deze stof spontaan verandert in een andere stof en dat daarbij radioactieve straling vrijkomt. De hoeveelheid radium vermindert dus en deze afname kan goed gemodelleerd worden door de vergelijking waarbij A 0 de hoeveelheid radium voorstelt bij het begin, t de tijd die sindsdien verlopen is en A de hoeveelheid radium op dat tijdstip. (a) Na hoeveel tijd is er nog 0% over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? (b) Na hoeveel tijd is er nog de helft over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? A = A 0 t 60 7

61 Opfriscursus Wiskunde rekenkundige en meetkundige rijen 8

62 Voorbeeld bij storting heeft beschikt men men K 0 = over 0000 K 0 ( = ) 0 = euro 0000 over jaar. Besluit: Kapitaal op samengestelde interest Een kapitaal van euro staat uit aan een samengestelde interest van % per jaar. geeft dit. over n jaar geeft dit K n = 0000 (.0 ) n dit genereert een rij getallen K = 0000 (.0 ) = 000 over jaar geeft dit K = 0000 (.0 ) = 0404 over 3 jaar geeft dit K 3 = 0000 (.0 ) 3 = , 0 00, 0 404, ,..., (.0) n,... rij Definitie Een meetkundige rij met reden q is een rij getallen waarbij t 0, t, t, t 3,..., t n, t n +,... t 0 t t t 3 Terminologie t n = t 0 q n t 0 = t 0 q = t q = t q. t n = t n q Meetkundige rij noemt men de algemene term van de rij noemt men de beginterm 9

63 Oefening Een wagen kost bij aankoop EUR. Elk jaar verliest de wagen 0 % van zijn waarde. Dit betekent dat de waarde van de wagen elk jaar met een factor 0.80 vermenigvuldigd wordt. De waarde van de wagen na n jaar stellen we voor door W n. (a) Druk W n uit in functie van n. (b) Welk soort rij vormen de getallen W, W, W 3,...? Oefening 4 Een blad papier heeft een dikte van 0. mm. We vouwen het blad achtereenvolgens verschillende keren dubbel. De dikte van het blad na n keer vouwen stellen we voor door d n. (a) Druk d n uit in functie van n. (b) Welk soort rij vormen de getallen d, d, d 3,...? Oefening 5 De rij t 0, t, t,... is een meetkundige rij met reden 3. Wat kan je dan zeggen over de rij t 0, t, t 4,...? 30

64 Oefening 3 Het BBP ( Bruto Binnenland Product ) van een land neemt elk jaar met.5 % toe. Dit wil zeggen dat het BBP elk jaar vermenigvuldigd wordt met een factor.05. In jaar bedraagt het BBP 600 miljard EUR. Het BBP ( in eenheden van miljard EUR ) in jaar n stellen we voor door B n. (a) Druk B n uit in functie van n. (b) Welk soort rij vormen de getallen B, B, B 3,...? 3

65 Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van euro staat open aan een enkelvoudige interest van % per jaar. bij afsluiting is men de bank 0000 euro verschuldigd over jaar is men de bank K = ( % van 0000 ) = verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft. Voorbeeld Kapitaal op enkelvoudige interest Een lening van euro staat open aan een enkelvoudige interest van % per jaar. bij afsluiting over jaar geeft dit over jaar is men de bank 0000 euro verschuldigd is men de bank K = = 0 00 K = ( % van ) enkelvoudige interest verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft. 3

66 Voorbeeld bij afsluiting is men de bank 0000 euro verschuldigd over jaar geeft dit K = = 000 over jaar Kapitaal op enkelvoudige interest Een lening van euro staat open aan een enkelvoudige interest van % per jaar. over 3 jaar geeft dit K = (00) = 0400 is men de bank K 3 = ( % van 0000 ) verschuldigd. Voorbeeld Kapitaal op enkelvoudige interest Een lening van euro staat open aan een enkelvoudige interest van % per jaar. bij afsluiting heeft is men men de bank K 0 = 0000 euro + 0 (00 verschuldigd ) = 0000 over jaar geeft dit K = (00) = 000 = 000 over jaar geeft dit K = (00 ) = 0400 over 3 jaar. geeft dit K 3 = (00) = 0600 over n jaar geeft dit K n = n (00 ) Besluit:. dit genereert een rij getallen 0000, 0 00, 0 400, 0 600,..., n (00 ),... rij 33

67 Definitie Een rekenkundige rij met verschil v is een rij getallen waarbij t 0, t, t, t 3,..., t n, t n +,... t 0 t t t 3 Terminologie t n = t 0 + n v t 0 = t 0 + v = t + v = t + v. t n = t n + v Rekenkundige rij noemt men de algemene term van de rij noemt men de beginterm 34

68 Oefening Een machine in een firma kost bij aankoop EUR. Ze wordt afgeschreven over een periode van 40 jaar. Elk jaar wordt hetzelfde bedrag afgeschreven. De waarde van de machine na n jaar stellen we voor door W n. (a) Druk W n uit in functie van n. (b) Welk soort rij vormen de getallen W, W, W 3,...? Oefening 7 Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald. Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een (dalende) rekenkundige rij vormen. Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 40 maanden. De eerste maand betaalt men 855 EUR. Elke maand daalt het te betalen bedrag met EUR. (a) Bereken hoeveel men in de 6ste maand moet betalen. (b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen. 35

69 Partieelsom van een rekenkundige rij Voorbeeld Om een lening af te betalen moet iemand aan het eind van elke maand een bedrag aan de bank storten. Deze maand is dit bedrag 000 en voor elke volgende maand wordt het bedrag verminderd met 0. Wat is het totaal bedrag dat die persoon na jaar zal betaald hebben? Antwoord deze maand is het bedrag t 0 = 000 volgende maand is het bedrag t = 000 ( 0) = 980 over maanden is het bedrag t = 000 ( 0) = 960 over 3 maanden is het bedrag t 3 = ( 0) = 940 over 3 maanden is het bedrag t 3 = ( 0) = 540. Te onthouden de som van n opeenvolgende termen in een rekenkundige rij wordt gegeven door de formule S n = t + t + t t n + t n = ( t + t n ) n d.i. de som van de eerste en de laatste term maal het aantal termen gedeeld door Voorbeeld = 36

70 Oefening 7 Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald. Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een (dalende) rekenkundige rij vormen. Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 40 maanden. De eerste maand betaalt men 855 EUR. Elke maand daalt het te betalen bedrag bedrag met EUR. (a) Bereken hoeveel men in de 6 ste maand moet betalen. (b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen. 37

71 Voorbeeld Partieelsom van een meetkundige rij Een persoon beslist op zijn 0 ste verjaardag om aan pensioensparen te doen. Van zijn 0 ste tot en met zijn 65 ste verjaardag zal hij 000 storten op een rekening die 0 % samengestelde interest opbrengt. Welk bedrag zal er net na zijn 65 ste verjaardag op die rekening staan? Antwoord de storting op 0 ste verjaardag brengt 000 (.0 ) 45 op de storting op ste verjaardag brengt 000 (.0 ) 44 op de storting op ste verjaardag brengt 000 (.0 ) 43 op de storting op 64 ste verjaardag brengt 000 (.0 ) de storting op 65 ste verjaardag brengt 000. op op Algemeen Als q, dan + q + q + q q n + q n = q n + q Bewijs + q + q + q q n + q n = + q + q + q q n + q n 38

72 Te onthouden de som van de n+ eerste termen van de meetkundige rij, q, q, q 3, q 4,..., q n, q n wordt gegeven door de formule S n = + q + q + q q n + q n = q n + q Voorbeeld 000 ( ) Oefening 6 Welke van de onderstaande sommen kan je berekenen m.b.v. de formule voor de partieelsommen van een rekenkundige of een meetkundige rij? Bereken deze sommen m.b.v. de gepaste formule. (a) (b) de som van de eerste 0 termen van de rij 3, 9, 5,,... (c) de som van de eerste 0 termen van de rij 5,.5,.5,... (d) (e) (f) (g) (h)

73 Opfriscursus wiskunde dag 3. Bepaal f ( ), f (3) en f (5) voor de functie f waarvan de grafiek in onderstaande figuren is weergegeven. (In figuur 3 vind je eveneens twee raaklijnen aan de grafiek van f.) Figuur Figuur Figuur 3. Bereken de afgeleide functie 5 a. x c. x d. b. x 4 3 3x x e. f. x x 5 g. 3. Bereken telkens de afgeleide van de functie f in het punt a. a. f ( x) 4 x, a b. 4. Gegeven is de functie f met vergelijking 3 y x. ax bx c (met a, b, c getallen) 4 f ( x) x x 5, a a. Bepaal de helling van de grafiek in, 0 en 0 door berekening. b. Controleer het resultaat van de eerste twee berekeningen grafisch (zie de grafiek hiernaast). c. Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt van de grafiek met eerste coördinaat. Y 4 3 X 3 4

74 5. In een bepaalde firma wordt bier geproduceerd. We stellen de dagelijks geproduceerde hoeveelheid (in eenheden van 000 liter) voor door q. De totale dagelijkse productiekosten (in eenheden van 00 EUR stellen we voor door TK. De totale-kostenfunctie is de functie die de productiekosten uitdrukt in functie van de geproduceerde hoeveelheid en wordt gegeven door 3 f : TK q 4q 0q 00. Vaak wordt de marginale-kostenfunctie gedefinieerd als de afgeleide functie van de totalekostenfunctie. a. Geef de vergelijking van de marginale kostenfunctie. b. Maak de grafiek van de marginale kostenfunctie. c. Op dit ogenblik bedraagt de productie 3500 liter per dag. Bereken de marginale kosten bij dit productieniveau. d. Bij welke productie zijn de marginale kosten het laagst? 6. Gegeven is de functie f met vergelijking vind je hieronder. 3 y x.5x 0.5x. De grafiek van deze functie Y 5 3 X 5 a. Lees op de grafiek af voor welke waarden van x de helling gelijk is aan 0, positief is, negatief is. b. Controleer je antwoorden door berekening. c. Teken de grafiek van de afgeleide functie. d. In welke x - waarden is de afgeleide functie 0? Hoe kun je dit zien op de grafiek i. van de afgeleide functie? ii. van de oorspronkelijke functie e. In welke x - waarden is de afgeleide functie positief? Hoe kun je dit zien op de grafiek i. van de afgeleide functie? ii. van de oorspronkelijke functie f. *Probeer op de grafiek af te lezen in welk punt de helling het grootste is. g. *Bepaal dit punt door berekening. 7. Gegeven is de functie f met vergelijking y ( x 3) 4. a. Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt van de grafiek met eerste coördinaat. b. In een ander punt van de grafiek staat de raaklijn loodrecht op de raaklijn uit vraag a.. Bepaal dat punt door berekening. c. Bepaal het snijpunt van de raaklijnen uit vraag a. en b..

75 8. Het aantal inwoners van een zekere stad stellen we voor door N. De tijd (gemeten in jaar, vanaf januari 000) stellen we voor door t. Veronderstel dat de evolutie van het aantal inwoners van deze stad beschreven wordt door de functie f : N t. a. Maak een nauwkeurige tekening van de grafiek van deze functie. In deze context krijgt de afgeleide functie f de volgende betekenis: f (t) is de snelheid waarmee het aantal inwoners van deze stad aangroeit op het tijdstip t. Daarom noemen we f (t) de groeisnelheid op tijdstip t. b. Gebruik de figuur uit vraag a. om een schatting te maken van de groeisnelheid op tijdstip 7. c. Bereken de exacte waarde van de groeisnelheid op tijdstip 7. d. Teken de grafiek van de functie die de groeisnelheid weergeeft. e. Geef een andere notatie voor de groeisnelheid. 9. Bereken a. 6 dx dx c. dq dq 5 dt dx b. d. dt dx 0. Gegeven is de vraagfunctie q p. a. Teken 'de grafiek' van deze vraagfunctie. dq b. Bereken dp oefening a.. e. dq dp als q p d f. 3t 5t en leg uit hoe we deze waarde kunnen aflezen uit 'de grafiek' uit dt Oplossingen. In figuur, zijn alle raaklijnen horizontale rechten, de richtingscoëfficiënt van deze raaklijnen is dus 0. Bijgevolg geldt voor deze functie f dat f ( ) f ( 3) f ( 5) 0. In figuur vallen alle raaklijnen samen met de rechte y x, de richtingscoëfficiënt van deze raaklijnen is dus. Bijgevolg geldt voor deze functie f dat f ( ) f ( 3) f ( 5). In figuur 3 gaat de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt, ook door het punt, 3. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt, is dus. Bijgevolg geldt dat f ( ). De raaklijn in het punt 3, 3 is horizontaal, De richtingscoëfficiënt van deze raaklijn is dus 0. Bijgevolg geldt voor deze functie f dat f ( 3) 0. De raaklijn in het punt 5,. 5 bevat (onder andere) de punten 0, 5 and, 4. De richtingscoëfficiënt van deze raaklijn is dus Bijgevolg geldt voor deze functie f dat f ( 5 ) a. 4 5x b. x c. d. 0 e. 3 x 6x f. x 3. a. 3 b. 8 3 g. ax b

76 4. a. 3, 0, 300 b. PM c. y3x 5. a. f : MK 6q 48q 0 b. De grafiek is (het gedeelte van) een parabool (rechts van de verticale as) met opening naar boven die de horizontale as niet snijdt. De top is het punt met coördinaten ( 4, 6). c. f ( 3.5) 7. 5, d.w.z. 7.5 geldeenheden per eenheid productie of 750 EUR per 000 liter d. De marginale kosten zijn het laagst bij een productie die overeenstemt met de top van de parabool. Dit betekent bij q 4, d.w.z. bij een productie van 4000 liter. 6. a. helling gelijk aan 0: voor x ongeveer gelijk aan 0 en aan helling positief: voor x - waarden tussen deze twee x - waarden helling negatief: voor de andere x - waarden 3 3 b. helling gelijk aan 0: x x , x x c. PM helling positief: voor x - waarden tussen x en x helling negatief: voor de andere x - waarden 3 3 d. x x , x x i. x - coördinaat van de snijpunten van de grafiek met de X - as ii. x - coördinaat van de punten van de grafiek met een horizontale raaklijn e. voor x - waarden tussen x en x i. gebied waar de grafiek boven de X - as ligt ii. gebied waar de raaklijnen aan de grafiek naar boven wijzen f. in het punt van de grafiek met eerste coördinaat ongeveer 0.5 g. ( 0.5, 0.375) 7. a. yx b. ( 3.5, ) c. (.65, 4.5) 8. a. De grafiek is (het gedeelte van) een parabool (rechts van de verticale as) met opening naar boven die de horizontale as niet snijdt. De top heeft coördinaten ( 0, 40000). Om een nauwkeurige tekening te krijgen, moet je nog een aantal punten van de grafiek berekenen en uitzetten. b. Teken de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat 7 en bepaal grafisch de helling (let op de schaalverdeling op de verticale as!). Je resultaat moet bij benadering (inwoners per jaar) bedragen. c. De groeisnelheid op tijdstip 7 is f ( 7) 4000 (inwoners per jaar). d. De grafiek is een rechte door de oorsprong met helling 000. e. 9. a. b. dn dt 5 6x 4 5t c. q d. e. 0.6p f. 6t 5 4

exponentiële en logaritmische functies

exponentiële en logaritmische functies CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde exponentiële en logaritmische functies Exponentiële en logaritmische functies Machten van getallen 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van % per jaar

Nadere informatie

Rekenkundige en meetkundige rijen

Rekenkundige en meetkundige rijen CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Rekenkundige en meetkundige rijen Rekenkundige en meetkundige rijen 1 Kapitaal op samengestelde interest Een kapitaal van 10 000 euro staat uit aan een samengestelde

Nadere informatie

Tweede graadsfuncties

Tweede graadsfuncties CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1 Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 20 deelnemers

Nadere informatie

Tweede graadsfuncties

Tweede graadsfuncties CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1 Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 20

Nadere informatie

Opfriscursus Wiskunde

Opfriscursus Wiskunde FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN FEB Campus Brussel Opfriscursus Wiskunde voor het Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs Chris BIRONT Johan DEPREZ Theo MOONS september 08 CAMPUS

Nadere informatie

Opfriscursus Wiskunde

Opfriscursus Wiskunde FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN FEB Campus Brussel Opfriscursus Wiskunde voor het Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs Chris BIRONT Johan DEPREZ Theo MOONS september 016

Nadere informatie

Eerste graadsfuncties

Eerste graadsfuncties CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Eerste graadsfuncties 1 Eerste graadsfuncties: een voorbeeld Een taxibedrijf rekent de volgende kosten aan haar klanten: Dan een vaste vertrekprijs van 5 een kiloeterprijs

Nadere informatie

Eerste graadsfuncties

Eerste graadsfuncties CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Eerste graadsfuncties Eerste-graadsfuncties 1 Eerste graadsfuncties: een voorbeeld Een taxibedrijf rekent de volgende kosten aan haar klanten: Dan een vaste vertrekprijs

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Oplossingen van de Zelftest Opfriscursus Wiskunde Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs

Oplossingen van de Zelftest Opfriscursus Wiskunde Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs Oplossingen van de Zelftest Opfriscursus Wiskunde Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs. (a) Als 0 x 200, dan is TO(x) een eerste-graadsfunctie. De grafiek is een rechte (lijnstuk) met

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a

(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Paragraaf 11.0 : Voorkennis

Paragraaf 11.0 : Voorkennis Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B

5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de

Nadere informatie

Hierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden.

Hierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden. WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG Onder dit motto nodigde de VVWL alle wiskundeleraren uit Vlaanderen en Nederland uit om deel te nemen aan een wiskundewedstrijd. De tien vragen van de eerste editie, waarbij

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost.

Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost. SBC AMDG Ma 13/12/04 klas : 5WEWI8 5GRWI8 Van Hijfte D. toegelaten : grafisch rekentoestel Examen Wiskunde deel I (90p) Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op.

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op. 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op. Stap 1: Bepaal de richtingscoëfficiënt van l:y = ax + b : y yb ya 123 9 a 3 x x x 8 5 3 Hieruit

Nadere informatie

2.1 Lineaire formules [1]

2.1 Lineaire formules [1] 2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Verbanden en functies

Verbanden en functies Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE

INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE Deze begeleidende tekst is een handleiding bij de inleidende cursus wiskunde in de opleiding Handelswetenschappen. Het gebruikte handboek [WBT] is: Verheyen, P. & Janssens, D.,

Nadere informatie

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis Wiskunde voor economie drs. H.J.Ots Hellevoetsluis 15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nl Wiskunde voor economie Drs. H.J. Ots ISBN 90-70619-05-9 Webecon, Hellevoetsluis,

Nadere informatie

Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048

Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048 Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen

Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen FACULTEIT TEW Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen Oefenexamens 1ste Bachelor TEW Eerste deel (januari) Academiejaar 2013-2014 Het examen vindt voor iedereen plaats in twee delen : het eerste

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1 IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag

Nadere informatie

3 Bijzondere functies

3 Bijzondere functies 3 Bijzondere functies Verkennen grafieken Bijzondere functies Inleiding Verkennen Probeer de drie vragen te beantwoorden. Uitleg grafieken Bijzondere functies Uitleg Opgave 1 Bekijk de eerste pagina van

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ² 1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

Eindexamen havo wiskunde B pilot 2013-I

Eindexamen havo wiskunde B pilot 2013-I Beoordelingsmodel Tornadoschalen maximumscore 80 km/u komt overeen met 77,8 m/s v = 77,8 invullen in de formule geeft F, Dus de intensiteit op de Fujita-schaal is maximumscore 4 De waarde van F is dan

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2 IJkingstoets 30 juni 04 - reeks - p. /5 Oefening Een functie f : A B : 7 f () van verzameling A naar verzameling B is injectief als voor alle, A geldt: als 6=, dan is f () 6= f (). Welke van de volgende

Nadere informatie

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 - Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

Nadere informatie

Antwoorden Veranderingen van functies vwo5a

Antwoorden Veranderingen van functies vwo5a Antwoorden Veranderingen van functies vwo5a Hoofdstuk 0: Veranderingenn Opgave 1 a. b. c. Opgave 2 a. rechte lijn b. x 0 1 2 3 4 5 6 toename 909 1276 1792 2516 3532 4959 c. (17,5 5) / 15 = 0,83 miljoen

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie. 1) Met een positief exponent in de term(en) ( )

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie. 1) Met een positief exponent in de term(en) ( ) Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen ).

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2004-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2004-I KoersSprint In deze opgave gebruiken we enkele Excelbestanden. Het kan zijn dat de uitkomsten van de berekeningen in de bestanden iets verschillen van de exacte waarden door afrondingen. Verder kunnen

Nadere informatie

opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF

opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal

Nadere informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie Informatie over Colloquium doctum Wiskunde niveau 2 voor Bedrijfskunde, Economie, Fiscale Economie en Mr.-Drs. Programma Economie en Recht ERASMUS UNIVERSITEIT ROTTERDAM Algemene informatie Tijdsduur:

Nadere informatie

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste

Nadere informatie

Praktische opdracht Wiskunde A Formules

Praktische opdracht Wiskunde A Formules Praktische opdracht Wiskunde A Formules Praktische-opdracht door een scholier 2482 woorden 15 juni 2006 5,5 40 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Inleiding Formules komen veel voor in de economie, wiskunde,

Nadere informatie

6 Ongelijkheden. Verkennen. Uitleg. Theorie en voorbeelden. Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op.

6 Ongelijkheden. Verkennen. Uitleg. Theorie en voorbeelden. Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op. 6 Ongelijkheden Verkennen Ongelijkheden Inleiding Verkennen Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op. Uitleg Ongelijkheden Theorie Opgave 1 In de Uitleg zie je hoe de ongelijkheid 0,05v

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2016-II

wiskunde B pilot vwo 2016-II wiskunde B pilot vwo 06-II De derde macht maximumscore Er moet dan gelden f( gx ( )) x( g( f( x)) f gx ( x ) ( x ) x) ( ( )) + + + f( gx ( )) x+ x(dus g is de inverse functie van f ) Spiegeling van het

Nadere informatie

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2002-II

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2002-II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie

Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.

6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. 6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt

Nadere informatie

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast

Nadere informatie

Eerste deel van de cursus Algebra

Eerste deel van de cursus Algebra Eerste deel van de cursus Algebra Procentrekenen Toename met p%: groeifactor = 1 + p% Afname met p% : groeifactor = 1 p% Toename in procenten = Afname in procenten = toename beginwaarde afname beginwaarde

Nadere informatie

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren. Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie