Lineaire Optimalisering WI 2608

Transcriptie

1 Lineaire Optiaisering WI 608 De stof voor het tentaen bestaat in grote inen uit de Hoofdstuen tot en et uit het boe van Hiier en Lieberan (8 e editie) en Hoofdstu (op de CD-ROM). Een aanta onderwerpen wordt echter niet behanded en soige onderwerpen oen wat uitvoeriger aan de orde dan in het boe. Hieronder wordt beschreven wat e oet ennen en unnen op het tentaen. Daarbi is de nuering uit de achtste editie gebruit. Voor degenen die dit va heransen van een voorafgaand aar en niet het proect hebben gedaan, en voor Tuo studenten waaree een dergeie afspraa is geaat dat zi naast de beschreven tentaenstof oo hoofdstu (niet-ineaire prograering) uit het boe oeten ennen en een aangepast tentaen zuen rigen. Hoofdstu Introduction Hoofdstu Overview Deze hoofdstuen un e doorezen as e eer wit weten over de geschiedenis van Besisunde (Operations Research, OR) en over het nut en effect van OR in de prati. Zeer aan te beveen voor de ageene ontwieing en de aratervoring. Het va Operations Research (Operationee Anase, Besisunde) vond zin oorsprong in de Tweede Weredoorog, waar de vee iitaire ogistiee operaties (Operations) vroegen o een gestructureerde, wisundige behandeing (Research, Anase). De uitvinding van de coputer en de sipeethode o ineaire optiaiseringsprobeen op te ossen vonden rond deze tid paats en aaten dat Lineair Optiaiseren tot op heden tot de eest gebruite technieen uit de toegepaste wisunde behoort. Er wordt bivoorbeed productie-, voorraad- en routepanningen ee gedaan, het opsteen van wer-/dienstroosters, industriëe engprobeen ee opgeost en aandeenportefeuies ee opgested. Hoofdstu Introduction to Linear Prograing. Prototpe Eape Beschrift het standaardvoorbeed van de Wndor Gass Co, dat door het boe heen teens wordt aangehaad. Het is beangri dat e weet wat een Lineair Optiaiseringsprobee (LO of LP probee) precies is (een ineaire doefunctie et eindig vee ineaire constraints in eindig vee variabeen). Wat zin de criteria, wat is een ineaire functie (Zie Lineaire Agebra)? Je oet voor een probee et twee besisvariabeen de opossing grafisch unnen bepaen. Dit staat uitgeegd in deze paragraaf.. The Linear Prograing Mode

2 Hierin wordt de standaardterinoogie voor Lineair Optiaiseren ingevoerd. Je oet het verschi ennen tussen besisvariabeen (decision variabes, de variabeen in het probee die optiaa geozen oeten worden) en paraeters (constanten in het probee, die per probeeinstantie anders unnen worden geozen), weten wat een doefunctie (obective function) is, wat begrenzingen (constraints, beperingen) zin, wat et een opossing (soution = een euze voor de waarden van de besisvariabeen, hoeft niet optiaa te zin, zefs niet toeaatbaar) wordt bedoed, wat een toeaatbare (feasibe) opossing is (vodoet aan ae beperingen), een optiae opossing (geeft een best ogeie waarde voor de doefunctie), een corner point feasibe (CPF) opossing (hoepunt van het toeaatbare gebied), wat het toeaatbare gebied is, wat bedoed wordt et de standaardvor van een LP probee. Verder oet e weten dat een optiae opossing van een LP probee niet unie hoeft te zin, dat het toeaatbare gebied eeg of onbegrensd an zin, en dat het toeaatbare gebied atid conve is, d.w.z. een opossing op het instu tussen twee toeaatbare opossingen is weer toeaatbaar.. Assuptions of Linear Prograing In deze paragraaf wordt dieper ingegaan op de eisen die aan een Lineair Optiaiseringsprobee worden gested (reëe variabeen divisibiitcertaint en ineariteit, proportionaitadditivit)..4 Additiona Eapes.5 Soe Case Studies Deze twee paragrafen bevatten eer voorbeeden van ineaire probeen. Je unt ze eventuee beien as e behoefte hebt aan eer voorbeeden. Bei bivoorbeed: Design of radiation therap, Regiona panning, Personne scheduing, Distributing goods..6 Foruating and soving inear prograing odes on a spread sheet.7 Foruating ver arge inear prograing odes Hier wordt uitgeegd hoe e et de prograa s van de CDROM LP probeen unt opossen. Niet beangri voor het tentaen. Hoofdstu 4 The Sipe Method 4. The Essence of the Sipe Method Hier wordt de eetundige achtergrond van de sipeethode behanded aan de hand van het Wndor voorbeed. Dit oet e begripen en unnen uiteggen en toepassen. Het nut van de standaardvor van een LP probee is dat de oorsprong (ae besisvariabeen gei aan 0) atid toeaatbaar is, en oo een hoepunt van het toeaatbare gebied (een CPF opossing). De sipeethode an dus starten in dit hoepunt en gaat via de ribbe

3 waarop de doefunctie het sterst stigt naar het vogende hoepunt, totdat angs geen enee ribbe een verbetering eer ogei is. Dan is een optiae opossing gevonden. Langs ribben waarop de doefunctie constant bift un e eventuee equivaent optiae opossingen vinden. 4. Setting up the Sipe Method In deze paragraaf wordt een LP probee van de standaardvor ogeschreven naar een vor et aeen vergeiingen. Dit gebeurt o het agebraïsch anipueren et het probee te vereenvoudigen, odat dat et ongeiheden oeiier gaat. Dit oschriven van een LO probee naar een (augented) vor et aeen geiheidsconstraints door het invoeren van sac-variabeen oet e unnen. Verder oet e weten wat de interpretatie van deze sac-variabeen is, wat een basisopossing is, een toeaatbare basisopossing (BF, toeaatbaar en n sacvariabeen zin gei aan 0)), wat basis- en niet-basisvariabeen zin, wanneer twee CPF opossingen buren zin en hoe e dat agebraïsch unt zien (bede hebben n sacvariabeen gei aan 0, waarvan er precies één verschiend is). 4. The Agebra of the Sipe Method De agebraïsche uitvoering van de sipeethode wordt hier uitgeegd. Dit oet e unnen uitvoeren in een voorbeed, en e oet het verband ennen et de grafische opossing. Verder oet e weten wat bedoed wordt et een intredende (entering) en uittredende (eaving) basisvariabee. 4.4 The Sipe Method in Tabuar For De Sipeethode wordt hier in tabeauvor behanded. Deze vor oet e unnen uitvoeren in een wieeurige situatie en e oet weten waaro het wert, wat het verband is et de agebraïsche variant, waaro en wat er in de afzonderie stappen gebeurt. Wat is een pivotri of oo, wat is de ratiotest, en waaro voer e die uit? Waaro oeten de rechtereden in de ongeiheden niet-negatief zin (anders is de startopossing niet toeaatbaar)? 4.5 Tie breaing in the Sipe Method Hier worden de uitzonderingssituaties behanded die op unnen treden tidens het uitvoeren van de sipeethode. Dit oet e ennen, want e oet onder ae voorwaarden de sipeethode correct unnen uitvoeren. Hoe zie e as er geen optiae opossing is of uist eerdere, en hoe vind e die, wat doe e bi negatieve getaen in het tabeau of bi geie waarden, en wat beteenen die? Je oet weten dat de sipeethode in principe een eindig aanta stappen aat, behave as er ccing optreedt. Hierbi is de engte van de stap die wordt gezet in de grootste stigrichting gei aan 0 (ratio test evert dan 0), zodat er geen verbetering van de doewaarde optreedt. Hierdoor an het agorite in een oneindige oop oen zonder dat de optiae doewaarde wordt bereit. Dit an eenvoudig worden opgeost door een richting te iezen waarin de doewaarde inder dan optiaa stigt.

4 4.6 Adapting to Other Mode Fors Hier wordt beschreven wat e oet doen o een LO probee in de standaardvor te brengen, as dit nog niet het geva is. Je oet de standaardvor ennen en e nietstandaardprobee in de standaardvor unnen oschriven, eventuee door het invoeren van etra variabeen (surpus, auiiar en sac) en het aanpassen van de doefunctie (de Big M Method ). Je oet de Big M Method unnen uitvoeren. Je oet weten wat het verband is tussen de Big M ethode en de tweefasenethode (in fase wordt een toeaatbare opossing gevonden, in fase wordt binnen het toeaatbare gebied een optiae opossing gevonden). 4.7 Postoptia Anasis Het begrip schaduwpris is hier van beang. Je oet weten dat prograa s die ineaire probeen opossen vaa eer inforatie unnen geven over het probee, zonder nieuwe probeen op te ossen. Zo an er inforatie worden gegeven over de cost coefficient ranging: Hoevee un e de coëfficiënten in de ostenfunctie veranderen zonder dat de opossing verandert, of over de right-hand side ranging: Hoevee unnen de grenzen in de ongeiheden veranderd worden, zonder dat er een essentiee andere opossing ot (een opossing die door de sipeethode angs andere ribben wordt gevonden). De schaduwprizen rig e door het duae probee op te ossen. Uit de inforatie van het aatste tabeau in de sipe ethode unnen oo de schaduwprizen worden gevonden, dus het duae probee hoeft niet apart te worden opgeost. De doewaarden van duaa en priaa probee zin gei as ze bestaan. 4.8 Coputer Ipeentation Kun e eventuee doorezen voor het verhogen van het ageene begrip. 4.9 The Interior Point Approach Je oet weten dat inwendige-punt-ethoden een recenter aternatief voren voor de sipeethode. Een verschi is dat de opossing niet na een eindig aanta stappen door het open angs ribben van het toeaatbare gebied wordt gevonden, zoas bi de sipeethode, aar dat de opossing vanuit het inwendige van het toeaatbare gebied steeds beter wordt benaderd. De copeiteit van inwendige-punt-ethoden is ponoiaa in de grootte van het probee, terwi dat bi de sipeethode eponentiee an zin (vee sechter dus). In de prati echter is het oeii o secht werende voorbeeden voor de sipeethode te verzinnen en bit de perforance in het ageeen erg goed te zin. Voor hee grote probeen doen de inwendigepuntethoden het vaa beter. Hoofdstu 5 The Theor of the Sipe Method

5 5. Foundations of the Sipe Method Hier wordt iets preciezer ingegaan op de achtergronden van de sipeethode. Je oet de foree definitie van een CPF opossing ennen (hoepunt van het toeaatbare gebied, bi n van de constraints wordt geiheid aangenoen) en weten hoe e unt bepaen of twee CPF opossingen buren zin (van de n constraints waar geiheid wordt aangenoen zin er n- gei). Verder oet e weten dat de optiae opossing (eesta) een CPF opossing is en waaro, en wat er gebeurt as er eer optiae opossingen zin. Je oet een bovenschatting unnen geven voor het aanta CPF opossingen. 5. en 5. zin niet behanded Hoofdstu 6 Duait theor and Sensitivit Anasis 6. The Essence of Duait Theor 6. Econoic interpretation of duait O het duae probee te otiveren beien we het vogende voorbeed. Een fabrie an van twee verschiende grondstoffen drie soorten producten aen. In de vogende tabe zie e hoevee (ton) grondstof nodig is voor het aen van één (ton) product, hoevee van de grondstoffen er beschibaar is en hoevee winst er (per ton product) wordt geaat. Benodigde grondstof per Beschibaar product Product Product Product Grondstof,5 50 Grondstof Verooppris Er zin drie besisvariabeen: is het aanta ton dat van product wordt geproduceerd. Dit wordt beschreven in het vogende LO ode: Ma Z = z.d.d., en,, 0 De optiae opossing van dit probee is: = 50, = 0, = 400, et Z = 50. Ste nu dat een opoper geïnteresseerd is o de voorraden van de fabrie op te open. Hi wi daarvoor natuuri een zo aag ogeie pris bieden, aar voor het bedrif oet het voordeiger zin o niet te gaan produceren, anders veropen ze hun grondstoffen niet. De veroper wi optiae prizen per ton voor grondstof (=,) bepaen. Hi wi het totae bedrag dat hi oet betaen: iniaiseren. De fabrie an

6 et ton van grondstof en 4 ton van grondstof één ton product aen, en daar een winst van 75 ee aen. De handeaar betaat hiervoor 4. Dit bedrag ag niet onder de winst na productie oen te iggen, anders an er beter geproduceerd worden. Er oet dus geden: Anaoog gedt voor producten en dat,5 0 en 75. Verder zuen de prizen natuuri niet-negatief zin. De handeaar oet dus het vogende probee opossen: Min Z = z.d.d. 4 75, en, 0. Dit probee wordt we het duae probee genoed, en het originee probee heet het priae probee. Het is duidei dat de handeaar instens de winst oet betaen die het bedrif bi norae productie an behaen, aar odat hi zuinig is za hi oo niet eer bieden dan dat. Het duae probee heeft dus een optiae doewaarde die gei is aan de optiae waarde van het priae probee. De optiae opossing van het duae probee is in ons geva: = 85, = 5, Z = 50. De waarden en heten we schaduwprizen. Deze waarden zin niet aeen van beang voor de handeaar, aar oo voor het bedrif. Ze geven naei de arginae waarden van de grondstoffen aan, ofwe: wee bidrage evert een grondstof aan de totae winst? Een schaduwpris is de pris die een handeaar per ton voor de grondstof over heeft, aar dat is dus oo de waarde voor het bedrif, odat productie dezefde winst opevert. In de optiae opossing van ons priae probee wordt de eerste constraint aangenoen. Dat beteent dat grondstof een bepering vort voor verdere winstgroei. De duae waarde geeft aan hoevee etra winst het bedrif an aen et ton etra van grondstof. De opossing van het priae probee evert = 0. Dit beteent dat het niet gunstig is op product te fabriceren. We unnen de econoische waarde van product uitreenen: Voor ton product zin,5 ton grondstof en ton grondstof nodig. De econoische waarde van product is dus,5 =,5. De winst is echter 0 per ton. De winst oet dus instens et,5 euro per ton toeneen wi productie interessant worden. Priaa probee Ma z.d.d., en,, 0 Duaa probee Min z.d.d. 4 75, en, 0.

7 Je oet bi een (priaa) probee in de standaardvor het bibehorende duae probee unnen opschriven: As e een ineair optiaiseringsprobee (het priae probee) duaiseert rig e een nieuw optiaiseringsprobee (het duae probee): Priaa probee: Maiaiseer: Z = c T as functie van R n, zodanig dat: A b en 0 Duaa probee: Miniaiseer: Z = b T as functie van R, zodanig dat: A T c en 0 In het duae probee zitten ae coëfficiënten van het priae probee weer, aar nu op een andere pe. As e het duae probee opnieuw duaiseert rig e weer het oorsproneie probee. O dit te aten zien oeten we eerst het duae probee herschriven. Dat ot odat we het duae probee aeen hebben gedefinieerd voor een priaa probee in de standaardvor. Het duae probee staat niet in die vor, aar nu we: Duaa probee, herschreven: Maiaiseer: Z = (-b) T as functie van R, zodanig dat: (-A) T -c en 0 Nu unnen we het duae probee opschriven door de uiste coëfficiënten op de goede pe neer te zetten: Duaa-duae probee: Miniaiseer: Z = (-c) T z as functie van z R n, zodanig dat: ((-A) T ) T z -b en z 0 Odat ((-A) T ) T = -A unnen we dit weer herschriven as: Duaa-duae probee, herschreven:

8 Maiaiseer: Z = c T z as functie van z R n, zodanig dat: Az b en z 0 Dit is gei aan het priae probee! Verder oet e weten dat de optiae waarde van het duae probee gei is aan de optiae waarde van het priae probee, en dat een toeaatbare opossing van het duae probee een bovengrens geeft voor de optiae waarde in een priaa aiaiseringsprobee zin niet behanded Hoofdstu 7 Other Agoriths for Linear Prograing Dit hoofdstu is niet behanded Hoofdstu 8 The Transportation and Assignent Probes 8. The Transportation Probe In het boe wordt aan de hand van een voorbeed gedefinieerd wat een transportprobee is (Er zin everanciers (suppiers), en afneers. Er wordt precies evenvee geeverd as afgenoen. Voor ee everancier-afneer cobinatie zin de transportosten per eenheid gegeven). Je oet een ingeeed probee unnen herennen en forueren as een transportprobee. Een probee dat niet heeaa vodoet aan de specificaties van een transportprobee (bivoorbeed eer of inder supp dan deand, begrenzingen op supp of deand, of everancier-afneercobinaties die niet unnen vooroen) oet e door het invoeren van dueveranciers of afneers en het toepassen van de Big M Method unnen herforueren as een correct transportprobee. Verder oet e weten dat een transportprobee een geheetaige opossing heeft as de geeverde en gevraagd aantaen gehee zin. Je oet de LO foruering van een transportprobee unnen geven en weten dat het handig is as e een ageeen LO probee eventuee unt herforueren as transportprobee, odat hiervoor sneere agoriten zin, en odat hiervoor de geheetaige eigenschap gedt (As de geeverde en afgenoen hoeveeheden aeaa geheetaig zin en het probee wordt opgeost et de sipeethode, dat is de gevonden optiae opossing oo geheetaig. Dit beteent dat in dit geva een reatief oeii discreet probee opgeost an worden et een snee continue ethode). 8. A Streained Sipe Method for the Transportation Probe Niet behanded.

9 8. The Assignent Probe Een toewizingsprobee (assignent probe) is een speciaa geva van een transportprobee (evenvee afneers as everanciers. Ee everancier evert eenheid, ee afneer heeft eenheid nodig. Een toewizing is een oppeing van ee everancier een precies een afneer). Zo n probee oet e unnen herennen en verder oet e er dezefde dingen ee unnen as et een transportprobee. Je oet weten dat een toewizingsprobee dat as LO probee wordt geforueerd en opgeost et de sipeethode autoatisch een binaire opossing heeft. 8.4 A specia agorith for the assignent probe Hier wordt de zgn. Hongaarse ethode uitgeegd waaree e een toewizingsprobee (assignent probe) unt opossen. Hoofdstu 9 Networ Anasis 9. Prototpe Eape Het Seervada Par probee wordt hier beschreven en dient as iustratie van de diverse soorten transportprobeen. 9. The Terinoog of Networs Je oet de standaardterinoogie van grafen (netweren) ennen: noop (node), zide of ant of ta (edge, arc, in), gerichte/ongerichte zide (directed arc/ undirected arc of in), gerichte/ ongerichte graaf, pad, cce, saenhang (connectedness), boo (tree), binaire boo, opspannende boo (spanning tree), capaciteit van een zide. Het vogende is achtergrondinforatie, die e voor het tentaen net hoeft te ennen. Wanneer is een graaf te teenen in het patte va, zonder dat de ziden eaar doorsniden? Hiervoor is een steing van Kuratowi, die zegt dat een graaf va is, precies dan as deze graaf geen deegraaf heeft die hetzefde is as K, of K 5. Hierbi is K 5 de voedige graaf op vif punten die e rigt door tussen vif punten ee ogeie verbinding te treen. K, rig e door twee verzaeingen van e drie punten te neen en e punt in de ene et e punt in de andere te verbinden (Dit is het beende gas-water-icht probee: Drie huizen oeten e van gas, water en icht worden voorzien door een directe verbinding et e van de fabrieen. Dit is aeen ogei as eidingen ogen ruisen). Niet ee graaf is va, d.w.z. te teenen het va zonder doorsnidingen. We un e ee graaf in een driediensionae ruite teenen, zefs et rechte intes. Dit is as vogt et wat ineaire agebra te bewizen: We nueren de nopen en beeden noop nuer af op het punt (,, ). We hoeven nu aeen aar aan te tonen dat het instue van noop naar noop nooit het instue van noop naar noop an sniden, zoang,, en aar aeaa verschiend zin. As de twee instues eaar we zouden sniden, dan zouden de vier punten (,, ), (,, ). (,, ) en (,, ) in één va oeten iggen. dat zou beteenen dat drie verschivectoren van deze punten ineair afhanei zin, zodat de vogende deterinant nu is:

10 =0. We unnen eerst in ee ri een geeenschappeie factor buiten haaes haen en die vervogens buiten de deterinant brengen: = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = ( )( )( ) = 0 Door et de eerste oo te vegen rigen we: = ( )( ) ( )( ) 0 0 ( )( ) ( )( ) = = ( )( ) = ( )( ) ) ( Er gedt dus dat = ( )( ) ( )( )( ) ) ( =0 We zien dat deze deterinant aeen aar gei aan nu an zin as twee van de indices uit,,, aan eaar gei zin. In zo n geva vaen twee nopen saen, aar dat was niet zo, daar waren we vanuit gegaan. We hebben hieree bewezen dat twee instues tussen vier verschiende nopen eaar nooit unnen sniden. 9. The Shortest-Path Probe Het agorite dat in het boe wordt gebruit o een ortste pad te bepaen staat beend as het agorite van Distra, hoewe het in het boe niet epiciet zo wordt genoed.

11 Edsger Distra is een van de grondeggers van de inforatica in Nederand en is arenang hoogeraar geweest in Eindhoven en in de Verenigde Staten. Het ortste pad agorite oet e unnen uitvoeren. 9.4 The Miniu Spanning Tree Probe Je oet weten wat een iniae opspannende boo is (ee noop is et ee ander verbonden, de totae osten van ae ziden is iniaa), en dit eventuee in een probeesteing unnen herennen. Verder oet e het agorite uit het boe unnen uitvoeren. Dit is een zogenaad greed agorite van Pr. Je bouwt een boo op door bi een wieeurige noop te beginnen en e voegt teens de goedoopste zide aan de boo toe, die e een nieuwe noop opevert. 9.5 The Maiu Fow Probe Je oet weten wat een Ma-Fow probee is en het agorite uit het boe o zo n probee op te ossen unnen uitvoeren. Je oet et behup van een snede een bovengrens voor de fow (stroo) unnen aangeven en de foruering van de a-fow in-cut steing ennen (et de einste snede correspondeert een opossing et aiae stroning). Let erop dat e bi het bepaen van de aiae fow door een snede aeen de capaciteiten in de uiste richting eeteen. 9.6 The Miniu Cost Fow Probe Hier wordt uitgeegd wat een inuu cost fow probee is en wat de LP foruering hiervan is. Je oet weten wat bron- (supp), vraag- (deand) en doorvoernopen (transshipent nodes) zin. Beangri is o de integer soutions propert te ennen (as ae in- en uitvoerwaarden en ae beperingen gehee zin, dan vindt de sipeethode een gehee optiae opossing) en te weten dat transportprobeen, toewizingsprobeen, ortste padprobeen en a-fowprobeen speciae gevaen zin van inuu cost fow probee en te weten waaro. Hoofdstu 9.8 (op CD-ROM) Proect Manageent with PERT/CPM Je oet activiteiten et een vogorde in een gerichte graaf unnen rangschien (activit on node of activit on arc), het ritiee pad unnen bepaen, et een forward en bacward sweep van ee activiteit de Eariest Start en Latest Finish tie unnen bepaen (0.), en weten hoe e een proect unt crashen (0.5) et een LP ode. Je oet oo weten hoe e et LP een ritie pad unt bepaen (sheets). Hoofdstu 0 Dnaic Prograing Bi dnaisch prograeren oet e e reaiseren dat het eer een ageene technie is dan een oposethode speciaa voor ineaire probeen. Het is een technie die geschit is voor probeen die van nature een bepaade geaagde structuur hebben. Een standaardvoorbeed is het ortste pad probee. Daar heb e een natuurie opdeing in

12 fasen die bestaan uit punten die et resp.,,, etc. stappen vanuit het startpunt zin te bereien. Verder is de engte van een ortste pad eenvoudig uit te reenen uit de ortste verbinding tot een punt uit de vorige fase en de afstand van dit punt naar het punt waar e nu zit in dit geva odat het gewoon de so van die twee afstanden is; deze afstand hangt niet op een ingewiedere anier af van de precieze vor van de beste opossing tot dusver. In het ageeen is dat voor ineaire probeen waar, odat e gewoon de so van twee teren rigt, aar oo in het geva van een product (zie het voorbeed et ansen in het boe), een niet-ineair probee dus, an het weren. 0. A Prototpe Eape Het idee van dnaisch prograeren wordt uitgeegd aan de hand van het postoetsprobee. Het is beangri dat e weet dat dnaisch prograeren handig an zin bi probeen waarin e een aanta agen unt onderscheiden en waarbi de doefunctie recursief gedefinieerd is in teren van de agen. 0. Characteristics of Dnaic Prograing Probes Hier wordt uitgeegd we soort probeen zich enen voor de dnaische prograeringsaanpa. 0. Deterinistic Dnaic Prograing Een aanta andere voorbeeden waarin dnaisch prograeren wordt toegepast. Je oet deze technie unnen toepassen op een voorbeed. Voorbeeden 4 en 5 zin op het coege niet behanded. Hoofdstu Integer Prograing. Prototpe Eape Een voorbeed van een BIP probee wordt hier behanded. Je oet het verschi weten tussen LP (ineair prograeren, continue variabeen, ineaire doefunctie en constraints), BIP (Binar Integer Prograing, binaire variabeen, ineaire doefunctie en constraints), IP (Integer Prograing, geheetaige variabeen, ineaire doefunctie (coëfficiënten hoeven niet geheetaig te zin) en constraints), en MIP probeen (Mied Integer Prograing, variabeen ogen zowe reëe, binair as geheetaig zin, doefunctie en constraint zin ineair). Je oet afhaneie besissingen in een binair probee et behup van ineaire ongeiheden unnen forueren. Vb: óf is waar: =. Vb: an aeen as gedt:.. Soe BIP Appications Voorbeeden voor het iezen van besisvariabeen. Kun e doorezen.

13 . Innovative Uses of Binar Variabes in Mode Foruation Hier wordt uitgeegd hoe e een aanta vaa vooroende constructies unt forueren et behup van binaire variabeen. Dit oet e unnen uitvoeren: van de n voorwaarden, n ogeie waarden, vaste osten, en een integer probee unnen ozetten in een binair probee..4 Soe Foruation Eapes Een aanta voorbeeden die aangeven hoe e probeen as BIP, IP en MIP unt forueren. In de voorbeeden worden trucs gebruit die bi het odeeren en in de opgaven van pas oen. Je hoeft ze niet zef te unnen verzinnen, aar e oet ze we unnen verifiëren..5 Soe Perspectives on Soving Integer Prograing Probes Uiteg waaro IP probeen oeii unnen zin. Uiteg van LP reaatie. De probeen die op unnen treden as e de opossing van het gereaeerde probee afrondt op gehee waarden. Je oet weten dat afronden van gereaeerde opossingen vaa goede resutaten evert (zeer as de variabeen zeer vee verschiende waarden unnen aanneen, en het probee daardoor op het continue probee it), aar dat het sos grandioos is an gaan. Bi het afronden oet e erop etten dat afgeronde opossingen ontoeaatbaar unnen zin..6 The Branch-and-Bound Technique and Its Appication to Binar Integer Prograing Uiteg van de Branch-and-Bound ethode voor een BIP probee aan de hand van een voorbeed. Deze ethode oet e unnen uitvoeren. (Het stue over Lagrangian reaation Other Options hoef e niet te ennen)..7 A Branch-and-Bound Agorith for Mied Integer Prograing Uiteg van de Branch-and-Bound ethode voor een MIP probee aan de hand van een voorbeed. Dit oet e unnen uitvoeren..8 Other Deveopents in Soving BIP Probes Je oet weten hoe e uit een constraint in een BIP probee de waarde van een variabee unt afeiden, as deze door de constraints vastigt (Fiing variabes). Er wordt een agorite uitgeegd waaree e een constraint in een BIP probee unt aanscherpen. Dit agorite oet e unnen uitvoeren. Verder wordt uitgeegd hoe e et een iniu cover cutting pane unt vinden. Dit hoef e niet uit e hoofd te ennen, aar we unnen uitvoeren as het gegeven wordt.

14 Appendi : Conveit Je oet weten wat een convee verzaeing is en de conveiteit van eenvoudige verzaeingen unnen bewizen, et behup van de definitie of door steingen van hieronder te gebruien.. Definitie: Voor twee vectoren en en twee reëe getaen λ en μ heet λ μ een ineaire cobinatie van en. De ineaire cobinaties voren de ineaire ruite die wordt opgespannen door deze twee vectoren. Meesta is dat een (tweediensionaa) va, aar as de twee vectoren ineair afhanei zin an het oo een in zin (ééndiensionaa), of zefs een punt (nudiensionaa) as e begint et twee nuvectoren. As λ en μ vodoen aan λ μ =, dan rigen we ae punten op de in door de eindpunten van en, want λ μ = λ (-λ) = λ( ) is de vectorvoorsteing van de in door et as richting. As bovendien gedt dat λ, μ 0, dan rigen we het instu tussen de eindpunten van en. Definitie: λ μ et λ μ = en λ, μ 0 heet een convee cobinatie van en. Ae convee cobinaties van en voren dus het instue tussen en. Net as een ineaire cobinatie un e oo in het ageeen een convee cobinatie van eer vectoren as n λ n λ = vogt opschriven: = et = λ 0 en voor ae. Voor twee vectoren is het een insegent, voor drie vectoren is het een driehoeig gebied, voor vier vectoren een piraide, etc. De convee cobinaties van n vectoren die niet toevaig in een n- diensionae deeruite iggen voren een sipe. Definitie: Een verzaeing K, deeverzaeing van een ineaire ruite, bivoorbeed R n, heet een convee verzaeing as voor ae, K en ae λ [0,] gedt dat λ (-λ) K. In woorden: K is conve, precies dan as de verbindingsin tussen twee punten uit K weer heeaa in K zit, of: as ee convee cobinatie van punten uit K weer in K igt. Een convee verzaeing an dus niet uit osse stuen bestaan, geen gat hebben (fietsband, donut), niet naar binnen gestupt zin (banaan). Triviae voorbeeden van een convee verzaeing zin: de ege verzaeing (hier vat niets te controeren), de hee ruite R n, een singetonverzaeing {}. Minder triviaa zin: Steing: As a R n en b R, dan is de hafruite H a,b = { R n a T b} conve. Bewis: Kies, H a,b en λ R, dan gedt: a T b en a T b. We oeten aantonen dat (λ (-λ) H a,b. De vraag is dus of a T (λ (-λ)) b. In dat geva igt naei de convee cobinatie van en weer in K. Er gedt: a T (λ (-λ)) = a T (λ) a T ( (-λ)) = λa T (-λ)a T λb (-λ)b = b. Deze ongeiheid gedt odat zowe λ as -λ niet-negatief zin. Hieree hebben we het resutaat bewezen. H a,b is de verzaeing van ae punten die aan de ineaire ongeiheid a T b vodoen. Die punten voren een hafruite. De vector a staat oodrecht op het scheidingshperva a T = b n Steing: De n-diensionae ba BBr = { R r} is conve. Bewis: Kies, BBr en λ R, dan gedt: r en r. Nu gedt voor de convee cobinatie: λ(- λ) λ (-λ) = λ (-λ) λr (-λ)r = r. In de eerste stap is gebrui geaat van de

15 driehoesongeiheid: ab a b (aa een paate), de tweede ongeiheid is waar odat 0 r. Hieree is het bewis aar. Verder hebben we nog het vogende handige resutaat: Steing: As A en B conve zin, dan is oo A B conve. Bewis: Kies, A B en λ R. Er gedt nu voor de convee cobinatie: λ (-λ) A en λ (- λ) B, want A en B zin e conve, dus oo: λ (-λ) A B, dus A B is conve. Uit het bovenstaande vogt dat een toeaatpaar gebied in een ineair optiaiseringsprobee atid conve is, want het is de doorsnede van een aanta hafruites, die e door een ineaire ongeiheid worden gedefinieerd. We noeen nog het vogende resutaat dat we niet zuen bewizen: Steing: Ee convee verzaeing in R n is de doorsnede van (ogei oneindig vee) hafruites. Zo is bivoorbeed een ba de doorsnede van ae hafruites die de ba bevatten (of die eraan raen). Hieree un e een ander bewis van de conveiteit van de ba everen. Definitie: Een functie f: R n R heet een convee functie as voor ae, R n en λ R gedt: f(λ (- λ)) λf() (-λ)f(). In woorden: Het instu tussen twee punten op de grafie igt niet onder de grafie. Een convee functie heeft dus een grafie die ho naar boven is. Voorbeeden: Ee ineaire functie is conve, de functie f: R R: is conve, de functie die aan een vector zin engte toevoegt (vanwege de driehoesongeiheid). Definitie: Laat K R n. Een punt K heet een inwendig punt van K as er een ε > 0 is, zodanig dat voor ae R n gedt: - < ε K. In woorden: Een punt is een inwendig punt as er een (ein) boete o dat punt bestaat dat nog heeaa binnen de verzaeing K igt. Het punt igt dus niet op de rand, want bi zo n punt steet e boete een stue buiten de verzaeing. Steing: Laat K R n een inwendig punt van K zin, f: R n R n een ineaire functie, die niet constant is (niet identie gei aan nu dus), dan gedt: a {f() K} f(). In woorden: een niet-constante ineaire functie nee zin aiu nooit in een inwendig punt aan, aar atid op de rand. Bewis: Ste dat f aiaa is in het inwendige punt. f unnen we schriven as f(z) = a T z, voor een bepaade niet-nuvector a 0 (want f is niet-constant). Odat een inwendig punt is, is er een boete et straa r dat heeaa in K igt. Dan igt oo het punt λ a in K (a is de richting waarin f stigt), waarbi λ=r/( a ). In dit punt gedt (f is ineair): f( λ a) = f() λ f(a) = f() λ a T a = f() λ a. Deze waarde is groter dan f(), aar dat an niet, want f was aiaa in. Kaar! Steing (Ongeiheid van Schwarz): T. Bewis: Voor ee λ R gedt: 0 λ = (λ) T (λ) = T λ T λ T λ T = λ T λ. Deze wadratische functie van λ is aeen dan atid niet-negatief as de discriinant niet-positief is: 4( T ) 4 0. hier staat de ongeiheid van Schwarz. Uit de ongeiheid van Schwarz vogt de driehoesongeiheid:

16 Gevog (Driehoesongeiheid):. Bewis: = T = ( ). De driehoesongeiheid zegt eigeni dat de engte van de zide van een driehoe nooit groter an zin de engtes van de andere twee ziden bi eaar. Zie verder de inforatie in de sheets. De inforatie hieronder is aeen reevant voor heransers en TULO studenten Hoofdstu Noninear Prograing. Sape appications. Graphica Iustration of Noninear Prograing Probes Voorbeeden van niet-ineaire optiaiseringsprobeen. Doorezen.. Tpes of Noninear Prograing Probes Handig o door te ezen, aar hoef e niet te ennen..4 One-Variabe Unconstraint Optiization Uiteg van een bisectieethode waaree e het optiu van een ééndiensionae functie unt benaderen as e de afgeeide ent..5 Mutivariate Unconstraint Optiization Uiteg van de gradientethode (steepest descent)..6 Karush-Kuhn-Tucer Condition for Constrained Optiization De KKT voorwaarden zin noodzaeie en vodoende voorwaarden voor een optiae opossing voor een niet-ineair optiaiseringsprobee et nevenvoorwaarden. Met deze voorwaarden un e controeren of een opossing optiaa is, en in principe un e er zefs optiae opossingen ee vinden, hoewe dat in de prati er oeii an bien te zin..7/.8 Niet behanded

17 .9 Conve Prograing Behandet het Sequentia Linear Approiation Agorith van Fran-Wofe voor het benaderend opossen van een niet-ineair probee et ineaire constraints. De nietineair functie wordt et een Taor-ontwieing ineair benaderd. Het resuterende LP probee wordt et de sipe ethode opgeost. Tussen de startopossing en de LP opossing wordt et een ééndiensionae ine search de beste opossing gevonden en dit punt wordt gebruit as het startpunt van een nieuwe iteratie..0/. Niet behanded Aanvuing niet-ineaire optiaisering Convee functies op R Een functie f : R R heet conve, as voor ae, R en ee λ [0,] gedt dat f(λ (-λ)) λf() (-λ)f(). Voor een functie op R beteent dit dat as e twee wieeurige punten op de grafie van de functie et een recht instue verbindt, de grafie daartussen nooit boven dit instue ot. De grafie van een convee functie is ho naar boven, bo naar beneden, bivoorbeed f() =. Conveiteit un e oo definiëren voor functies die op een deeverzaeing van R bestaan, hoewe het dan handig is as die deeverzaeing zef oo conve is en niet uit osse stuen bestaat.

18 Een functie f : R R heet strit conve, as voor ae, R en ee λ ]0,[ gedt dat f(λ (-λ)) < λf() (-λ)f(). Een functie f heet (strit) concaaf as f (strit) conve is. De grafie van een concave functie is bo naar boven, ho naar beneden. Een ineair functie is bivoorbeed zowe conve as concaaf, aar niet strit conve of strit concaaf. Voorbeed: We zuen bewizen dat de functie f() = / conve is as > 0. Hiervoor oeten we aten zien dat voor iedere, > 0 en λ [0,] gedt: λ λ λ ( λ) = λ ( λ). Odat, en λ (-λ) aeaa positief zin unnen we de ongeiheid hieree verenigvudigen en is dit equivaent et aantonen dat ofwe dat: λ λ(-λ)( ) (-λ) -λ ( - ) λ( - ) 0. Maar dit is hetzefde as λ(-λ)( -) 0 en dit is duidei waar. As e een net bewis wit oet e dit arguent achterstevoren opschriven! De grafie van een functie is de verzaeing {(,) R = f()} De epigrafie van een functie is de verzaeing {(,) R f()}. Dat zin ae punten die op of boven de grafie iggen. Het is eenvoudig in te zien dat een functie conve is precies dan as zin epigrafie een convee verzaeing in R is. As f conve is, dan is oo een veevoud af conve, voor e geta a 0 (en af is concaaf voor e geta a 0). As f en g conve zin, dan oo f g (aar f g eesta niet). Een constante functie is conve, dus in het bizonder bift een functie conve as e er een constante bi optet. As f en h conve zin en h bovendien onotoon niet-daend, dan is h o f weer conve. Conveiteit is een behoorie bepering voor een functie. Zo an een convee functie eigeni geen sprongen aen en is zo goed as continu. Aeen op de rand van het doein unnen er sprongen optreden: Steing: As f: C R conve is, dan is f continu op het inwendige van C.

19 Bewis: Kies in het inwendige van C. Dit beteent dat het interva [ - ε, ε] heeaa in C bevat is voor een zeere ε >0. Voor het gea neen we nu even aan dat = 0 en dat f(0) = 0,. Dat is voor het gea van notatie, aar is geen wereie restrictie (dat zie e door wat te schuiven). We beien nu de functies f ( ) = ( ε ) f ε en f ( ) = ( ε ) f ε De functie f igt tussen deze twee functies en dat zien we as vogt. As [0, ε], dan is f () f() f (). Dit vogt uit de conveiteitsongeiheid f(λs (-λ)t) λf(s) (-λ)f(t) as e iest: s = -ε, t =, λ = /(ε), voor de eerste ongeiheid en s = 0, t = ε, - λ = /ε voor de tweede. Op dezefde anier gedt dat f () f() f () as [-ε,0]. De grafie van f igt dus eigeni ingeed tussen de twee rechte inen die de grafieen van de functies f en f voren. Odat f en f continu zin et f (0) = f (0) = 0 gedt dat f() f (0) = f (0) = 0 = f(0) as 0, dus f is continu in 0, waaree we de steing hebben bewezen. Mer op dat conveiteit niet de continuïteit van een functie overa ipiceert, odat het op de rand van een gebied is an gaan. Zo is de functie f waarvoor gedt f(0) = f() = en f() = 0 as 0 < < duidei niet continu (in 0 en ), aar we conve. De conveiteit van een functie aantonen gaat sos goed et behup van de definitie, zoas in het bovenstaande voorbeed. Vaa ut dit echter niet op een eenvoudige anier. Probeer het aar eens voor f() = e. In zo n geva an het handiger zin o een ander criteriu toe te passen. As een differentieerbare functie conve is dan an de afgeeide niet daend zin. Dat beteent dat de tweede afgeeide nooit negatief is. Sos un e van een functie eenvoudig aten zien dat de tweede afgeeide positief is. Je hebt dan op een sipee anier de conveiteit van de functie aangetoond. We zuen nu bewizen dat de conveiteit van een tweeaa differentieerbare functie inderdaad heeaa wordt bepaad door zin tweede afgeeide.

20 Steing: f C (R,R) is conve dan en sechts dan as f () 0 voor ae. Bewis: We oeten aantonen dat de tweede afgeeide van een convee functie overa niet-negatief is. Odat f conve is, gedt er (ies = t - h, = t h, λ = ½) dat : ½ f(h) ½ f(-h) f( ½ (h) ½ (-h)) = f(). Voor de tweede afgeeide gebruien we nu het vogende differentiequotiënt, en zien et de vorige ongeiheid direct dat de tweede afgeeide niet-negatief is: i f ( h) f ( ) f ( h) f ''( ) = 0. h 0 h (dit differentiequotiënt rig e door f uit te druen as iiet van een differentiequotiënt in f, en vervogens f weer as differentiequotiënt in f te schriven. Een andere anier o het te zien is door van de teer een Taorreesontwieing rond te aen) Nu oeten we aten zien dat een functie waarvan de tweede afgeeide overa niet-negatief is autoatisch conve is. Het igt voor de hand o de tweede afgeeide te integreren. We rigen dan: f '( ) f '( ) = f ''( t) dt. As dan is de integraa niet-negatief odat de integrand het is, dus f () f (). We hebben hieree aangetoond dat de afgeeide van f niet-daend is. We haen nu dezefde truc uit en integreren f : As dan is f ( ) f ( ) = f '( t) dt f '( ) dt = f '( )( ). We hebben toegepast dat f niet-daend is, dus dat f (t) f () as t. As dan is f ( ) f ( ) = f '( t) dt = f '( t) dt f '( ) dt = f '( )( ). Gevog is dat f() f() f ()( ). Dit beteent dat de grafie van de functie f nooit onder de raain in het punt igt. Hieree gaan we de conveiteit bewizen. Noe t λ = λ (-λ), dan vogt uit de bovenstaande ongeiheid: f() f(t λ ) f (t λ )( - t λ ), f() f(t λ ) f (t λ )( - t λ ). We verenigvudigen de eerste ongeiheid et - λ, de tweede et λ en teen ze op (dat ag odat deze getaen niet-negatief zin): λf() (-λ)f() f(t λ ) f (t λ )(λ (-λ) - t λ ) = 0, want t λ = λ (-λ). Hier staat nu dat f(λ (-λ)) = f(t λ ) λf() (-λ)f(), dus dat f conve is.