Ruimtemeetkunde deel II. Cursus voor Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde en Economie-Wiskunde

Ruimtemeetkunde deel II Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde en Economie-Wiskunde

2

Hoofdstuk 1 De reële euclidische ruimte 1.1 De euclidische ruimte 1.1.1 Orthogonaliteit 1.1.1.1 Orthogonaliteit van richtingen Axioma s Orthogonaliteit van richtingen is een bijzondere relatie over de verzameling van de richtingen van de rechten van E, genoteerd, waarvoor de volgende axioma s gelden: (ω) De relatie is antireflexief. (ω 2 ) De relatie is symmetrisch. (ω 3 ) Voor elke vlakrichting (α) van E en elke richting (a) parallel met (α) bestaat juist één richting (b) die parallel is met (α) en tevens orthogonaal is met (a). De eerste twee axioma s zijn dezelfde als in de vlakke meetkunde. Omwille van het laatste axioma zijn in elk vlak van E de axioma s van orthogonale richtingen en de daaruit volgende stellingen van de vlakke meetkunde geldig. 1.1.1.2 Orthogonale rechten en loodlijnen Twee rechten van E heten orthogonale rechten als en slechts als hun richtingen orthogonaal zijn. Met symbolen: a b 3

4 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Figuur 1.1: orthogonale rechten 1 STELLING 1.1 Als een eerste rechte orthogonaal is met een tweede dan is de tweede rechte orthogonaal met de eerste rechte. Met symbolen: a b = b a STELLING 1.2 Is een rechte orthogonaal met één van twee parallelle rechten dan is ze ook orthogonaal met de andere rechte. Met symbolen: a b a a } = a b STELLING 1.3 Zijn twee rechten orthogonaal dan zijn ze niet parallel. Met symbolen: a b = a b GEVOLG 1.1 : Orthogonale rechten zijn ofwel kruisend ofwel snijdend. Een rechte is een loodlijn op een andere rechte als en slechts als de rechten orthogonaal snijdende rechten zijn. STELLING 1.4 Is een rechte a parallel met een vlak α dan bestaat er tenminste één rechte b parallel met α en orthogonaal met a.

1.1. DE EUCLIDISCHE RUIMTE 5 Figuur 1.2: orthogonale rechten 2 Met symbolen: a α = b : { b α b a STELLING 1.5 Zijn drie rechten parallel met eenzelfde vlak en zijn twee ervan orthogonaal met de derde rechte dan zijn de eerste twee parallel. Met symbolen: a, b, b α a b a b = b b STELLING 1.6 Door elk punt niet gelegen op een rechte, gaat juist één loodlijn op die rechte. Met symbolen: P b P / a =!b : a b a b φ STELLING 1.7 Door elk punt van een rechte gaan oneindig veel loodlijnen op die rechte, nl. juist één in elk vlak door de rechte. Met symbolen: P a a α }!b : b α P b b a

6 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Figuur 1.3: orthogonale rechten 3 1.1.1.3 Loodrechte projectie op een rechte (orthogonale projectie) De loodrechte projectie van E op een rechte d is de afbeelding van E in d die met elk punt P van E het voetpunt van de loodlijn door P op d laat corresponderen. Opmerkingen: * De vorige axioma s zijn onvoldoende om te bewijzen dat de loodrechte projectie van E op een rechte een parallelprojectie is, m.a.w. uit de axioma s volgt niet noodzakelijk dat alle rechten door een punt loodrecht op een gegeven rechte, in één vlak liggen. * Volgens stelling 1.5 is de loodrechte projectie van het vlak Π op een rechte van Π een parallelprojectie. * Met projectie bedoelen we in t vervolg de loodrechte projectie. 1.1.1.4 Orthogonaliteit van vectoren Twee vectoren zijn orthogonale vectoren als en slechts als hun richtingen orthogonaal zijn. We noteren: v 1 v 2 Afspraak: De nulvector is orthogonaal met elke vector. STELLING 1.8 Zijn drie vectoren verschillend van de nulvector en twee aan twee orthogonaal dan zijn ze lineair onafhankelijk.

1.1. DE EUCLIDISCHE RUIMTE 7 Inderdaad, zijn drie verschillende richtingen twee aan twee orthogonaal dan zijn ze nietparallel met eenzelfde vlak. Onderstel dat de drie richtingen parallel zijn met eenzelfde vlak dan geldt volgens stelling 1.5 van orthogonale rechten dat twee van de richtingen parallel moeten zijn en dit is in strijd met het gegeven dat de drie richtingen twee aan twee orthogonaal zijn. 1.1.2 Afstand en scalair product 1.1.2.1 Afstand van een puntenkoppel norm van een vector Om tot het begrip afstand van een puntenkoppel te komen zijn er in principe axioma s vereist, de zogenaamde axioma s van congruente puntenkoppels. We beschouwen een basisvector e van een vectorrechte en geven die een lengte 1. Elke andere vector v = P Q van die vectorrechte is een veelvoud van e. We definiëren dan de absolute waarde van dat veelvoud als de afstand tussen de punten P en Q. v = r e P d(p, Q) = r met r = Q e Op die manier krijgen alle vectoren parallel met die vectorrechte een lengte. De axioma s van congruente puntenkoppels maken het dan mogelijk het meten van lengtes in die bepaalde richting over te plaatsen naar alle richtingen van rechten in E. De afstand van het puntenkoppel (P, Q) wordt ook de lengte van het lijnstuk [P Q] genoemd of ook nog de norm van de vector P Q. We noteren: d(p, Q) = P Q = P Q. Opmerkingen: * De norm van een vector wordt ook soms lengte van de vector genoemd. * Een vector is de nulvector als en slechts als zijn norm gelijk is aan 0. 1.1.2.2 Genormeerde vector van een vector De genormeerde vector van een vector, verschillend van de nulvector, is gelijk aan de vector gedeeld door zijn norm of lengte. Met symbolen: v o = v v is de genormeerde vector van v

8 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Opmerking: De genormeerde vector van een vector is steeds een eenheidsvector. Praktisch komt de definitie hierop neer dat de genormeerde vector van een vector de eenheidsvector is met dezelfde richting en zin als van de vector zelf. De nulvector kan niet genormeerd worden. 1.1.2.3 Scalair product van een koppel vectoren Het axioma (σ): (σ) We beschouwen twee verschillende vectorrechten a o en b o, georiënteerd volgens resp. de eenheidsvectoren OA = e 1 en OB = e 2. Is het punt A de projectie van A op b o en B de projectie van B op a o dan is de absis van A op de georiënteerde rechte b o gelijk aan de absis van B op de georiënteerde rechte a o. OB OA = OA OB We noemen de absis van die projecties het scalair product van de eenheidsvectoren e 1. e 2 of de cosinus van de georiënteerde hoek (oe 1, oe 2 )= θ. e 1. e 2 = cos θ Het scalair product van twee vectoren v 1, v 2 is het reëel getal dat we bekomen door het product te maken van de normen van de beide vectoren en het scalair product van de genormeerde vectoren van v 1 en v 2. Met symbolen: Eigenschappen v 1. v 2 = v 1 v 2 cos θ 1. v. v = v 2 = v 2 0 en ( v 2 = 0 v = o); v 2 = v 2. v. w = 0 v = o w = o v w 3. v. w = w. v 4. r R : (r. v). w = v.(r. w) = r( v. w) 5. v, w, u : v( w + u) = v. w + v. u

1.1. DE EUCLIDISCHE RUIMTE 9 Figuur 1.4: v 1. v 2 = v 1. v 3 6. ( v ± w) 2 = v 2 ± 2 v. w + w 2 7. v ± w v ± w (Minkowski) 8. ( v. w) 2 w 2 v 2 en ( v. w) 2 = v 2 w 2 v w 9. v. w v w (Cauchy-Schwarz) 10. v, w, u v u : ( v. w). u = v( w. u) Met deze eigenschappen van het scalair product kunnen we gemakkelijk bewijzen dat de afbeelding d die elk puntenkoppel afbeeldt op de afstand van het puntenkoppel een afstandsfunctie is. STELLING 1.9 De ruimte E, d is een metrische ruimte. Een afbeelding d : E E R : (P, Q) d(p, Q) is een afstandsfunctie als en slechts als 1. d(p, Q) 0 (d(p, Q) = 0 P = Q) 2. d(p, Q) = d(q, P ) 3. d(p, Q) d(p, R) + d(r, Q) d(p, Q) = d(p, R) + d(r, Q) R [P Q] De laatste eigenschap wordt de driehoeksongelijkheid genoemd. Ze is een andere schrijfwijze voor de formule van Minkowski.

10 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE 1.1.3 De affiene ruimte als euclidische ruimte Als in de affiene ruimte E een scalair product gedefinieerd is dan is E een euclidische ruimte. De definitie van scalair product komt tot stand door de axioma s voor de orthogonale richtingen, de axioma s van congruente puntenkoppels en het axioma σ. Dank zij deze axioma s zal nu bijvoorbeeld de loodrechte projectie op een rechte wèl een parallelprojectie zijn. Alle stellingen uit de vlakke euclidische meetkunde zijn ook geldig in elk vlak van de euclidische ruimte. OPGAVEN 1 Zijn de vectoren v en u lineair onafhankelijk dan zijn de vectoren v en u v. u v 2. v orthogonale vectoren. Bewijs dit. 2 Gegeven: vier punten A, B, C en D met AB en AC orthogonale rechten (A B en A C). Bewijs dat als AQ AD. = AB AB 2. AB AD. + AC AC 2. AC geldt, dan is Q de projectie van D op het vlak ABC. 3 Gegeven: vier punten A, B, C en D. (i) Toon aan DA. BC + DB. CA + DC. AB = 0 (ii) Steun op (i) om aan te tonen dat de hoogtelijnen van een willekeurige driehoek concurrent zijn. (iii) Als D ligt op de loodlijn in A op het vlak ABC dan geldt AB. DC = AC. DB 4 Gegeven: het viervlak ABCD; de middens M en N van resp. de ribben [AB] en [CD]; de punten P en Q op resp. de ribbe [AD] en [BC] zodanig dat [MN] en [P Q] elkaar snijden. Stel AP AD = λ Bereken in functie van λ QC BC 5 Een willekeurig punt P wordt verbonden met de hoekpunten van een parallellepipedum en met het snijpunt S van de diagonalen. Toon aan dat de som van de kwadraten van de afstanden van P tot de hoekpunten, gelijk is aan het achtvoud van het kwadraat van de afstand van P tot S vermeerderd met de halve som van de kwadraten van de lengten van de diagonalen.

1.2. ORTHOGONALITEIT VAN RECHTE EN VLAK 11 1.2 Orthogonaliteit van rechte en vlak STELLING 1.10 Is een rechte orthogonaal met tenminste twee snijdende rechten van het vlak, dan is die rechte orthogonaal met elke rechte van dat vlak. Met symbolen: l a l b a b = {S} x vl(a, b) Deze stelling maakt de volgende definitie mogelijk: = l x Een rechte is orthogonaal met een vlak als en slechts als de rechte orthogonaal is met elke rechte van het vlak of met twee snijdende rechten van dat vlak. We kunnen nu zeggen: Als een rechte loodrecht staat op een vlak dan staat ze loodrecht op elke rechte van dat vlak. Met symbolen: l α a α } = l a Een rechte staat loodrecht op een vlak als ze loodrecht staat op twee snijdende rechten van dat vlak. Met symbolen: l a l b a b = {S} = l vl(a, b) l wordt een loodlijn genoemd op het vlak α en α wordt een loodvlak op de rechte l genoemd. Het snijpunt van l en α is het voetpunt van de loodlijn l op α. STELLING 1.11 Als één van twee parallelle rechten orthogonaal is met een vlak dan is de andere rechte ook orthogonaal met dat vlak. Met symbolen: l l l α } = l α

12 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Figuur 1.5: orthogonaliteit van rechte en vlak 1 STELLING 1.12 Twee loodlijnen op eenzelfde vlak zijn parallel. Met symbolen: l α l α } = l l STELLING 1.13 Als één van twee parallelle vlakken orthogonaal is met een rechte dan is het andere vlak ook orthogonaal met deze rechte. Met symbolen: l α α α } = l α STELLING 1.14 Twee loodvlakken op eenzelfde rechte zijn parallel. Met symbolen: l α l α } = α α STELLING 1.15 Door elk punt gaat juist één loodvlak op een gegeven rechte. Dat loodvlak bevat elke rechte die door dat punt gaat en orthogonaal is met de rechte. STELLING 1.16 Door elk punt gaat juist één loodlijn op een gegeven vlak

1.2. ORTHOGONALITEIT VAN RECHTE EN VLAK 13 Figuur 1.6: orthogonaliteit van rechte en vlak 2 Figuur 1.7: orthogonaliteit van rechte en vlak 3

14 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE STELLING 1.17 De loodrechte projectie van E op een rechte van E is een parallelprojectie. STELLING 1.18 De loodrechte projectie van E op een vlak van E is een parallelprojectie. STELLING 1.19 Is een rechte orthogonaal met een loodlijn van een vlak dan is de rechte parallel met dat vlak. Met symbolen: l α a l } = a α STELLING 1.20 (De Stelling van de drie loodlijnen) Laat men uit een willekeurig punt P van E de loodlijn l neer op een vlak α van E en laat men uit het voetpunt L van l de loodlijn m neer op een willekeurige rechte a van α, dan staat de rechte n die het punt P met het voetpunt M van m verbindt, loodrecht op de rechte a. Met symbolen: l α P l a α LM a M a = P M a Figuur 1.8: stelling van de drie loodlijnen

1.2. ORTHOGONALITEIT VAN RECHTE EN VLAK 15 STELLING 1.21 (Omgekeerde stelling van de Stelling van de drie loodlijnen) Laat men uit een willekeurig punt P de loodlijnen l en n (l n) neer op resp. een willekeurig vlak α en op een willekeurige rechte a van α, dan staat de rechte m die de respectieve voetpunten L en M verbindt, loodrecht op a. OPGAVEN 6 Uit een willekeurig punt A laat men de loodlijnen neer op een vlak α (A / α) en op de rechten b en c van α. De voetpunten zijn drie verschillende punten A, B en C. Bewijs dat b evenwijdig is met c als en slechts als A, B en C collineair zijn (Toelatingsex. Ir). 7 Gegeven een rechte c, een vlak α en twee kruisende rechten a en b. Construeer een rechte x steunend op a en b en orthogonaal met c en parallel met α. 8 In een vlak α construeert men een cirkel (O, r). In een punt A van deze cirkel construeert men in het vlak α de raaklijn, waarop men een lijnstuk [AB] afpast. Op de loodlijn in O op α past men een lijnstuk [OC] af. Bereken BC. 9 In het vlak α beschouwen we een driehoek ABC die rechthoekig is in A. Op de loodlijn a in A op α neemt men een variabel punt P. We noemen Q het voetpunt van de loodlijn uit C op de rechte BP. Bepaal de meetkundige plaats van de punten Q als P de rechte a doorloopt (Toelatingsex. Ir). 10 Twee rechten a en b zijn loodrecht kruisend. Uit een willekeurig punt A van a laat men de loodlijn neer op b, voetpunt B op b. Men verbindt B met een willekeurig punt C van a (C A). Bewijs dat b loodrecht staat op de rechte BC (Toelatingsex. Ir). 11 In een viervlak ABCD zijn de drie ribben die samenkomen in D twee aan twee orthogonaal. In een willekeurig punt van ]AC[ beschouwen we het loodvlak α op AC. Dit vlak α snijdt het viervlak ABCD volgens een.... Vul aan en bewijs (Toelatingsex. Ir.) RM II HUISTAAK 1 1. Gegeven twee kruisende rechten a en b en een punt P. Construeer door P een rechte die a snijdt en orthogonaal is met b. 2. Gegeven een vlak α, een punt P van α en een rechte a. Construeer in het vlak α een rechte x die door P gaat en orthogonaal is met a. 3. Gegeven vier niet-coplanaire punten A, B, C en D. Construeer de rechte x door D zodanig dat de voetpunten van de loodlijnen uit A, B en C op x samenvallen. 4. Als we uit een punt twee loodlijnen op twee elkaar snijdende vlakken neerlaten, dan snijden de loodlijnen op de snijlijn door de voetpunten van de eerste loodlijnen getrokken, elkaar in een punt. Bewijs. 5. Aan de zoldering van een kamer, die 4m hoog is, bevestigt men een touw dat 5m lang is. Men spant het touw en met het uiteinde ervan beschrijft men een cirkel op de vloer van de kamer. Bereken de omtrek van de cirkel.

16 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Figuur 1.9: orthogonaliteit van twee vlakken 1 1.3 Orthogonaliteit van twee vlakken Twee verschillende niet-parallelle vlakken van E hebben een rechte gemeen. Het is bijgevolg onmogelijk dat elke rechte van het ene vlak orthogonaal is met elke rechte van het andere vlak, want de gemeenschappelijke rechte zou dan orthogonaal zijn met zichzelf. Hiermee moeten we rekening houden bij het definiëren van de loodrechte stand van twee vlakken. 1.3.1 Definitie en eerste eigenschappen We definiëren de loodrechte stand van twee vlakken als volgt: Een vlak β is een loodvlak op een vlak α als en slechts als β parallel is met tenminste één loodlijn l op α. Omdat alle loodlijnen op eenzelfde vlak onderling parallel zijn, is elk loodvlak β op α parallel met elke loodlijn op α. Met symbolen: β α l : { l α l β Gevolgen van de definitie: 1. Is β een loodvlak op α dan zijn α en β snijdende vlakken. 2. Is β een loodvlak op α dan is α een loodvlak op β.

1.3. ORTHOGONALITEIT VAN TWEE VLAKKEN 17 Besluit: * De loodrechte stand van twee vlakken is een relatie over de verzameling van de vlakken van E die antireflexief is en symmetrisch. * Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als een loodlijn op het ene vlak parallel is met het andere vlak. * Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als een loodlijn op het ene vlak en een loodlijn op het ander vlak orthogonale rechten zijn (orthogonale normaalvectoren). Stellingen STELLING 1.22 Zijn α en β loodrechte vlakken en trekken we door een willekeurig punt van β de loodlijn l op α, dan ligt l in β. Met symbolen: α β l α P l β = l β Nu kunnen we ook zeggen dat twee vlakken loodrecht op elkaar staan als en slechts als het ene vlak een rechte bevat die loodrecht staat op het andere vlak. STELLING 1.23 Zijn α en β twee loodrechte vlakken, dan is elke rechte die in α loodrecht op de snijlijn s van α en β getrokken wordt, een loodlijn op β. Met symbolen: α β α β = s m α m s = m β STELLING 1.24 Staat een vlak loodrecht op twee snijdende vlakken dan staat ze loodrecht op de snijlijn van die twee vlakken. Met symbolen: α β = s γ α γ β = γ s

18 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Figuur 1.10: orthogonaliteit van twee vlakken 2 STELLING 1.25 Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als ze elkaar snijden en tenminste één loodvlak (en dan alle loodvlakken) op hun snijlijn de beide vlakken volgens loodlijnen snijdt. Met symbolen: α β = s γ s γ α = a γ β = b a b = α β α β γ s γ α = a γ β = b = a b STELLING 1.26 Staat een rechte b niet loodrecht op een vlak α, dan gaat door b juist één loodvlak β op α; de snijlijn van α en β is de projectie b van b op α. Met symbolen: b α = β : { β α b β OPGAVEN 12 Breng door een punt P een vlak aan, dat parallel is met een rechte l en orthogonaal is met een vlak α. 13 Gegeven een viervlak waarvan twee paren overstaande ribben orthogonaal zijn. Bewijs dat het derde paar overstaande ribben tevens orthogonaal zijn. Het viervlak wordt een orthogonaal viervlak genoemd. 14 Is een rechte parallel met een vlak dan staat elk loodvlak op de rechte loodrecht op het vlak. Bewijs dat.

1.3. ORTHOGONALITEIT VAN TWEE VLAKKEN 19 Figuur 1.11: projectie van een rechte hoek 15 Als men door een gegeven punt twee vlakken α en β aanbrengt, resp. loodrecht op twee snijdende rechten van een vlak γ, dan staat de snijlijn van α en β loodrecht op γ. Bewijs dat. De volgende twee paragrafen zijn theoretische toepassingen van de stellingen over de orthogonaliteit van rechten en vlakken. 1.3.2 Projectie van een paar orthogonale rechten STELLING 1.27 Orthogonale rechten a en b, waarvan geen enkele loodrecht staat op een vlak α, worden volgens orthogonale rechten a en b op het vlak α geprojecteerd als en slechts als tenminste één van de rechten a, b parallel is met het vlak α. OPGAVEN 16 Wanneer is de projectie van een rechthoek en een vierkant op een vlak een rechthoek resp. een vierkant? 17 Gegeven zijn twee orthogonale rechten en een rechte l. Hoeveel vlakken gaan door l, waarop de twee orthogonale rechten zich als loodlijnen projecteren? 18 Onder welke voorwaarde is de projectie van het hoogtepunt van een driehoek ook hoogtepunt van de projectie van de driehoek? 19 Gegeven is een viervlak ABCD, waarvoor geldt dat de drie ribben in het hoekpunt D twee aan twee orthogonaal zijn. Bewijs dat de projectie van D op het overstaande zijvlak ABC het hoogtepunt is van driehoek ABC.

20 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE 20 Twee rechten a en b zijn loodrecht kruisend. Men brengt door a een vlak α aan dat niet loodrecht op b staat. We noemen b de projectie van b op α. Bewijs dat a loodrecht staat op b (Toelatingsex. Ir). RM II HUISTAAK 2 1. Wanneer is de projectie van een ruit op een vlak een ruit? 2. Gegeven een kubus ; de lengte van de zijde is z. Noem α het vlak bepaald door de zijvlaksdiagonaal AD en het midden M van de ribbe [BB ]. Dit vlak α snijdt de kubus volgens een figuur F. Bereken de oppervlakte van dit gebied F als functie van z. (Antw: 9 8 z2 ) 3. Staat een rechte loodrecht op een vlak, dan staat haar projectie op een ander nietevenwijdig vlak loodrecht op de snijlijn van de twee vlakken. Bewijs dat. 1.3.3 Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten Een rechte c die t.z.t. orthogonaal is met a en met b is een rechte die orthogonaal met een vlak γ die parallel is met zowel de rechte a als met de rechte b. Er is maar één richting van rechten orthogonaal met een vlak (twee loodlijnen op eenzelfde vlak zijn parallel). Alle rechten orthogonaal met a en met b zijn dus onderling evenwijdig. c a en a γ c b en b γ } = c γ = c γ Omdat c γ bestaat er altijd juist één steunrechte l op a en b parallel met c (zie het vraagstuk: bepalen van een steunrechte van twee kruisende rechten parallel met een derde rechte). De rechte l noemen we de gemeenschappelijke loodlijn van de kruisende rechten a en b. 1. Constructie 1 Omdat c a en c b bestaat er juist één vlak α door a en evenwijdig met c en juist één vlak β door b en evenwijdig met c. De vlakken α en β zijn niet parallel, anders zou c evenwijdig zijn met een vlak γ dat evenwijdig is met a en b. c α c β α β = l = l c l α a α a l l = a snijdt l β b β b l Hieruit volgt dat l de gemeenschappelijke loodlijn is van a en b. = b snijdt l

1.3. ORTHOGONALITEIT VAN TWEE VLAKKEN 21 2. Constructie 2 We bepalen eerst het vlak γ door b parallel met a. Het vlak γ is een vlak van de richting van vlakken bepaald door a en b. Vervolgens bepalen we de loodrechte projectie van a op γ. Het projecterend vlak α door a is het loodvlak door a op γ. Omdat a evenwijdig is met het projectievlak is a evenwijdig met haar projectie. a kruist b a a a = a snijdt b = a b = {B} γ b γ We construeren de loodlijn l in B op γ. l is een orthogonale rechte van a en van b. α γ B l α l α l γ a α a snijdt l a l = {A} a l b l = {B} l is de gemeenschappelijke a l loodlijn van a en b. b l OPGAVEN 21 Gegeven zijn twee orthogonaal kruisende rechten a en b. We noemen α het loodvlak door a op b en β het loodvlak door b op a. Bewijs dat de snijlijn van α en β de gemeenschappelijke loodlijn is van a en b.

22 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE 1.3.4 De afstand tussen punt en rechte De afstand tussen een punt en een rechte is de afstand van dat punt tot zijn loodrechte projectie op die rechte. Zij P een punt en a een rechte dan is de loodrechte projectie P van P op a het snijpunt van het loodvlak door P op a. 1.3.5 De afstand tussen punt en vlak De afstand tussen een punt en een vlak is de afstand tussen dat punt en zijn loodrechte projectie op dat vlak. Zij P een punt en α een vlak dan is de loodrechte projectie P van P op α het snijpunt van de loodlijn door P op α. 1.3.6 De afstand tussen twee strikt parallelle vlakken De afstand tussen twee strikt parallelle vlakken is de afstand tussen een willekeurig punt, van het ene vlak, en het andere vlak. 1.3.7 De afstand tussen twee rechten STELLING 1.28 De afstand tussen de twee steunpunten op de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten is kleiner dan de afstand tussen twee willekeurige punten van resp. a en b. Het bewijs steunt hier op het feit dat in een rechthoekige driehoek een rechthoekszijde steeds kleiner is dan de schuine zijde (zie figuur bij de gemeenschappelijke loodlijn). We kunnen nu de afstand tussen twee kruisende definiëren: De afstand tussen twee kruisende rechten is de afstand op de gemeenschappelijke loodlijn tussen de twee steunpunten. De afstand tussen twee snijdende rechten is gelijk aan nul. De afstand tussen twee strikt parallelle rechten is de afstand tussen de snijpunten van die rechten met een loodvlak op die rechten. (alle loodvlakken zijn parallel). Belangrijke opmerking: De afstand tussen twee kruisende rechten a en b is ook gelijk aan de afstand tussen een punt van a en het vlak γ door b parallel met a. De afstand tussen twee kruisende rechten a en b is ook nog gelijk aan de afstand tussen het vlak door a parallel met b en het vlak door b parallel met a.

1.3. ORTHOGONALITEIT VAN TWEE VLAKKEN 23 OPGAVEN 22 Is een rechte a parallel met een vlak α, dan is de afstand tussen a en alle rechten van α die niet parallel zijn met a, dezelfde. Bewijs dit. 23 Gegeven zijn twee orthogonaal kruisende rechten a en b. De rechte AB (A a en B b) is de gemeenschappelijke loodlijn van a en b. Op a nemen we de punten C en C zo, dat AC = AC. Bewijs dat voor elk punt D van b geldt dat DC = DC. 24 Van een viervlak hebben alle ribben dezelfde lengte λ. (i) Bewijs dat de rechte die de middens van twee overstaande ribben verbindt, de gemeenschappelijke loodlijn is van deze ribben. (ii) Bereken de afstand van twee overstaande ribben (Toelatingsex. Ir.). (Antw: 2 2 λ) 25 * Beschouw een orthogonaal viervlak (ABCD), d.w.z. een viervlak waarin elk paar overstaande ribben op orthogonale rechten liggen. (i) Bewijs dat elke hoogtelijn het overstaande zijvlak in het hoogtepunt van deze driehoek snijdt. (ii) Bewijs dat de vier hoogtelijnen concurrent zijn. hoogtepunt van het viervlak. Het gemeenschappelijk snijpunt noemen we het (iii) Bewijs dat de gemeenschappelijke loodlijn van twee overstaande ribben door dit hoogtepunt gaat. (iv) Bewijs dat AB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2. (Toelatingsex. Ir.). 26 * Is AB de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten a en b met A a en B b. Kies de punten M en N op resp. a en b en stel AB = d, MN = z, AM = x en BN = y. (i) Teken een kubus en zoek rechten en punten die aan de bovenstaande uitspraken voldoen. (ii) Druk z uit in functie van x, y en d. (iii) Als z < 1, bepaal dan de lijnstukken [MN] die aan de betrekking voldoen. 1.3.8 De hoek tussen twee rechten In het vlak is de hoek tussen twee rechten steeds een scherpe hoek of een rechte hoek. De hoek tussen twee niet-parallelle rechten is de niet-stompe hoek van de projecties van die rechten op een vlak van de richting van vlakken bepaald door die rechten. Deze definitie is dus herleid tot de definitie van een hoek van twee snijdende rechten in een vlak. 1.3.9 De hoek tussen een rechte en een vlak Staat de rechte b niet loodrecht op een vlak α dan is de hoek tussen de rechte b en het vlak α gelijk aan de hoek tussen de rechte b en haar projectie b op het vlak α. Staat de rechte b wel loodrecht op het vlak α, dan is de hoek tussen b en α vanzelfsprekend een rechte hoek. De hoek tussen een rechte en een vlak is ook het complement van de hoek tussen de rechte en een loodlijn (normaalvector) op het vlak.

24 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Figuur 1.12: hoeken 1.3.10 De hoek tussen twee vlakken De hoek tussen twee snijdende vlakken α en β is de hoek tussen de snijlijnen van α en β met een vlak γ dat orthogonaal is met de snijlijn S van α en β. De hoek tussen twee vlakken is ook de hoek tussen twee loodlijnen (normaalvectoren) op resp. de twee vlakken. ( ) A D E OPGAVEN 27 Een zadeldak heeft de vorm van een driezijdig prisma. Aan beide B C F zijden van de nok [EF ] neemt men 2 meter weg ( F H = 2 meter). Zo ontstaat een schilddak. Bepaal de hoek tussen de vlakken BCH en ABCD, als je weet dat BC = 6 meter en driehoek BCF gelijkzijdig is. 28 Twee gelijke lijnstukken worden dan en slechts dan als gelijke lijnstukken geprojecteerd op een vlak, als hun dragers gelijke hoeken maken met het vlak. Bewijs dat. 29 Bewijs dat de hoek tussen een rechte a en een vlak α gelijk is aan het complement van de hoek tussen de rechte a en elke rechte b loodrecht op α. 30 Bewijs dat de hoek tussen twee vlakken gelijk is aan de hoek tussen twee respectieve willekeurige loodlijnen op die vlakken. Oplossingen: 27.

1.4. MEETKUNDIGE PLAATSEN 25 1.4 Meetkundige plaatsen Figuur 1.13: meetkundige plaatsen Een meetkundige plaats in E is een verzameling van de punten van E die aan een bepaalde meetkundige voorwaarde voldoen. De sfeer met middelpunt M en straal r is de meetkundige plaats van de punten die op een afstand r van het punt M gelegen zijn. Het omwentelingscilinderoppervlak met as a en straal r is de meetkundige plaats van de punten die op een afstand r van de rechte a gelegen zijn. Het middenloodvlak van een lijnstuk [AB] is de verzameling van de punten die even ver liggen van A en B. Het middenparallelvlak van twee parallelle vlakken α en β is de verzameling van de punten die even ver van α en β gelegen zijn. Het middenparallelloodvlak van twee parallelle rechten is de verzameling van de punten die even ver liggen van de twee parallelle rechten. De unie van de bissectorvlakken van twee snijdende vlakken is de verzameling van de punten die even ver liggen van de twee snijdende vlakken. De unie van de bissectriceloodvlakken van twee snijdende rechten is de verzameling van de punten die even ver liggen van die twee rechten. OPGAVEN 31 Zijn a en b twee kruisende rechten met gemeenschappelijke loodlijn l = AB, met A en B punten van resp. a en b. Bewijs dat het middenloodvlak van [AB] ook alle lijnstukken die een punt van a verbinden met een punt van b, middendoor deelt (Toelatingsex. Ir.).

26 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE 32 * Gegeven vier niet-coplanaire punten A, B, C en D, derwijze dat A op gelijke afstand ligt van C en D alsook B op gelijke afstand van C en D. Zij verder M het midden van [AB] en N het midden van [CD]. Geef en bewijs een nodige en voldoende voorwaarde (in termen van afstanden tussen A, B, C en D) opdat M N de gemeenschappelijke loodlijn van de rechten AB en CD zou zijn (Toelatingsex. Ir.). 33 * Construeer een rechte die twee gegeven kruisende rechten snijdt, evenwijdig is met een gegeven vlak, en op een gegeven afstand van dit vlak ligt. 34 De punten A en B zijn twee punten van resp. twee kruisende rechten a en b. Teken een kubus en zoek rechten die aan de opgave voldoen. Bepaal de meetkundige plaats van de middens van de lijnstukken [AB]. 35 * De rechten a en b staan loodrecht op een vlak α in de punten A en B. Op a kiezen we een punt A en op b een punt B. Bepaal de meetkundige plaats van de punten van α van waaruit [AA ] en [BB ] onder gelijke hoek waargenomen worden. 36 We beschouwen een rechthoekige driehoek ABC die rechthoekig is in A. Op de loodlijn a in A op het vlak ABC nemen we een punt P. We noemen Q het voetpunt van de loodlijn uit C op de rechte BP. Bepaal de meetkundige plaats van de punten Q als P de rechte a doorloopt. 37 Wordt een lijnstuk door een vlak middendoor gedeeld, dan liggen zijn uiteinden even ver van dit vlak. Bewijs dat. Is het omgekeerde waar? 38 * Construeer door een gegeven rechte een vlak dat even ver ligt van twee punten. 39 * Construeer door een punt A een vlak dat even ver ligt van drie punten B, C en D, als A niet in het vlak (BCD) ligt. 40 * Construeer een rechte, die twee gegeven kruisende rechten snijdt, evenwijdig is met een gegeven vlak, en op een gegeven afstand van dit vlak ligt. 41 * Construeer een vlak, dat parallel is met een gegeven rechte en op gelijke afstand ligt van drie gegeven punten. 42 Toon aan dat elk vlak dat door een diagonaal van een parallellogram wordt aangebracht op dezelfde afstand ligt van de uiteinden van de andere diagonaal (Toelatingsex. Ir.). 1.5 Lichamen 1.5.1 Veelvlakken In de affiene ruimte E hebben we reeds de definitie van een veelvlak gegeven. Een prisma, een afgeknot prisma, een piramide en een afgeknotte piramide werden hierbij gedefinieerd als speciale veelvlakken. In de euclidische ruimte beschikken we over de begrippen van loodrechte stand en afstand. Hier zijn we in de mogelijkheid de hoogte van een prisma en van een piramide te definiëren, alsook nog bijzondere prisma s, regelmatige veelvlakken, cilinders en kegels.

1.5. LICHAMEN 27 1.5.1.1 Prisma s Figuur 1.14: prisma recht parallellepipedum balk De hoogte van een prisma is de afstand tussen grondvlak en bovenvlak. Soorten prisma s in de euclidische ruimte: Een recht parallellepipedum is een parallellepipedum waarvan de opstaande ribben loodrecht staan op grondvlak en bovenvlak. De opstaande zijvlakken zijn rechthoeken en grondvlak en bovenvlak zijn parallellogrammen. Een balk of rechthoekig parallellepipedum is een recht parallellepipedum waarvan grondvlak en bovenvlak rechthoeken zijn. Alle zijvlakken zijn rechthoeken. De zijdelingse oppervlakte van een prisma is gelijk aan het product van een opstaande ribbe en de omtrek van een vlakke doorsnede loodrecht op de opstaande ribben. De inhoud van een prisma is gelijk aan het product van de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte. OPGAVEN 43 Bewijs dat de diagonalen van een balk en van een kubus even lang zijn. 44 * De hoogte van een driezijdig prisma is het dubbele van de middellijn van de omgeschreven cirkel van het grondvlak. Bewijs dat de inhoud van dat prisma gelijk is aan de inhoud van het rechthoekig parallellepipedum dat de zijden van het grondvlak tot afmetingen heeft. 45 De inhoud van een driezijdig prisma is gelijk aan het product van een opstaand zijvlak en de helft van de afstand van de overstaande ribbe tot dat zijvlak.

28 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Figuur 1.15: inhoud piramide 1.5.1.2 Piramides De hoogte van een piramide is de afstand van de top tot het grondvlak van de piramide. Soort piramide in de euclidische ruimte: Een regelmatige n-zijdige piramide is een piramide waarvan het grondvlak een regelmatige n-zijdige veelhoek is en waarvan de loodlijn uit de top op het grondvlak in het middelpunt van de regelmatige veelhoek valt. Het middelpunt van een regelmatige veelhoek is het middelpunt van de cirkel beschreven om deze regelmatige veelhoek. Het apothema van een regelmatige piramide is de hoogte van een opstaand zijvlak vanuit de top. De zijdelingse oppervlakte van een regelmatige piramide is gelijk aan de helft van het product van het apothema en de omtrek van het grondvlak. De inhoud van een piramide is gelijk aan een derde deel van het product van de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte. 1.5.1.3 Afgeknotte piramide De zijdelingse oppervlakte van een afgeknotte regelmatige piramide is gelijk aan het product van het apothema en het rekenkundig gemiddelde van de omtrekken van grond- en bovenvlak.

1.5. LICHAMEN 29 De inhoud van een afgeknotte piramide is gelijk aan het derde deel van het product van de hoogte en de som van de oppervlakte van het grondvlak, de oppervlakte van het bovenvlak en het meetkundig gemiddelde van deze twee oppervlakten. OPGAVEN 46 Een piramide met top T wordt gesneden door twee evenwijdige vlakken die 1,5 meter van elkaar liggen, zodanig dat de opstaande ribben gesneden worden in de punten op 10 meter resp. 7,5 meter van T. (i) Bepaal de verhouding van de oppervlakten van de doorsneden. (ii) Hoever is de top van elk van de snijvlakken verwijderd? Oplossingen: 46 (i) 1, 777...; (ii) 4,5 en 6. ( ) D E F RM II HUISTAAK 3 1. In een recht prisma, met AB = 8, BC = A B C 10 en AC = 6 en hoogte gelijk aan 6, brengen we door de ribbe DF een vlak aan dat de ribbe BE in G snijdt zodanig dat GE = 3. ( ) D G F (i) Bepaal het volume van het lichaam (Antw: 120); A B C (ii) Bepaal de hoek tussen de vlakken DEF en DGF (Antw: 20 o, 56). 2. De oppervlakten van grond- en bovenvlak van een afgeknotte piramide verhouden zich als 9 en 4. (i) Bepaal de hoogte van de afgeknotte piramide als de bovenpiramide 8 meter hoog is (Antw: 4). (ii) Als de opstaande ribbe van de afgeknotte piramide 5 meter is, hoe lang is dan de opstaande ribbe van de hele piramide? (Antw: 15) 1.5.1.4 Regelmatige veelvlakken Een regelmatig veelvlak is een veelvlak waarvan de zijvlakken congruente veelhoeken zijn en door alle hoekpunten evenveel zijvlakken gaan. De hoekpunten van een regelmatig veelvlak liggen op eenzelfde sfeer. 1. Een regelmatig viervlak (tetraëder) is een driezijdige piramide waarvan de zijvlakken gelijkzijdige driehoeken zijn. In elk hoekpunt komen drie driehoeken samen. Een regelmatig viervlak heeft 4 hoekpunten en 6 ribben.

30 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Figuur 1.16: Kubus ingeschreven in een twaalfvlak

1.5. LICHAMEN 31 Figuur 1.17: dodecaëder icosaëder 2. Een regelmatig zesvlak (hexaëder) is een kubus. De zijvlakken zijn vierkanten. In elk hoekpunt komen drie vierkanten samen. Een kubus heeft 8 hoekpunten en 12 ribben. 3. Een regelmatig achtvlak (octaëder) is een regelmatig veelvlak waarbij in elk hoekpunt vier gelijkzijdige driehoeken samenkomen (twee vierzijdige piramides met gelijkzijdige zijvlakken en vierkantig grondvlak tegen elkaar geplaatst met gemeenschappelijk grondvlak). Een regelmatig achtvlak heeft 6 hoekpunten en 12 ribben. 4. Een regelmatig twaalfvlak (dodecaëder) is een regelmatig veelvlak waar in elk hoekpunt drie regelmatige vijfhoeken samenkomen. Een regelmatig twaalfvlak heeft 20 hoekpunten en 30 ribben. Vervaardigen van een dodecaëder a. Construeer nauwkeurig een regelmatige vijfhoek met zijde a en pas dan de diagonaal x af. Het verband tussen a en x is Maak een kubus met zijde x. b. Maak de dodecaëder met ribbe a x = ( 1 + 5 )a 2 (i) Maak de bekleding van de kubus met 5 plooinaden met zijde x. (ii) Maak de zes tenten waarvan het grondvlak een vierkant is met zijde x, de opstaande ribbe a en de nokribbe eveneens a.

32 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Figuur 1.18: icosaëder beschreven in een dodecaëder

1.5. LICHAMEN 33 5. Een regelmatig twintigvlak (icosaëder) is een regelmatig veelvlak waarbij in elk hoekpunt vijf driehoeken samenkomen. Een regelmatig twintigvlak heeft 12 hoekpunten en 30 ribben. Opmerking: Nemen we een willekeurig viervlak, dan is een hoogtelijn de rechte die uit een hoekpunt loodrecht op het overstaande zijvlak kan getrokken worden. De hoogtelijnen van een viervlak gaan niet alle door eenzelfde punt. Dit is wel het geval bij een regelmatig viervlak of tetraëder. 1.5.1.5 Halfregelmatige veelvlakken 1. Vervaardigen van de afgeknotte octaëder a. Maak een volledige tetraëder met zijde 3a, waarop men de lijnen trekt langswaar men zou knippen om de tetraëder af te knotten (op 1/3 van de ribbe). Deze lijnen vormen vier vierkanten. b. De afgeknotte tetraëder: (i) Maak een balk met als grondvlak een vierkant met zijde 2a, de zijvlakken zijn rechthoeken met zijden 2a en 2a. (ii) Maak de bekleding van de balk met 5 plooinaden licht gekerfd:. ((iii) De twee poolkappen met vierkant grondvlak met zijde 2a, opstaande ribbe a en vierkant bovenvlak met zijde a. De twee poolkappen moeten op de bekleding gekleefd worden. (iv) De vier tenten met rechthoekig grondvlak met afmetingen 2a en 2a, de opstaande ribbe is a en de nokribbe is a. De vier tenten moeten op de bekleding gekleefd worden. 2. Vervaardigen van het ruitentwaalfvlak a. Maak een kubus met zijde a b. Het ruitentwaalfvlak: (i) Maak de bekleding van de kubus met zijde a. (ii) Maak de zes piramiden waarvan het grondvlak een vierkant is met zijde a, de opstaande zijden is 3a. Om deze grootheid nauwkeurig te construeren, 2 tekent men een cirkel met diameter 2a. In een eindpunt van de middellijn trekt men een boog met lengte a en neemt men het snijpunt met de cirkel. De afstand van dat snijpunt tot het andere eindpunt van de middellijn is 3a.

34 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Figuur 1.19: Een voetbal en het ruitentwaalfvlak

1.5. LICHAMEN 35 ( E F G H OPGAVEN 47 In een kubus A B C D D, E en G, zodat een viervlak ontstaat. ) met ribbelengte r verbindt men de hoekpunten B, (i) Bereken het volume van het viervlak BDEG door het verschil te beschouwen van de inhoud van de kubus en de inhoud van de piramiden die ontstaan zijn. (ii) Bepaal de oppervlakte van het viervlak. 48 Gegeven een tent in de vorm van een schilddak (zie oef. nr. 27 op p. 24) waarvan vijf ribben eenzelfde lengte a hebben, het grondvlak is een vierkant met zijde z en de afstand van het grondvlak tot de nokrib is a 2. Gevraagd: (i) de zijde b van het grondvlak in functie van a; (ii) de oppervlakte van de vier tentvlakken. 49 De ribben van een kubus worden met 25% verlengd. Met hoeveel % wordt de inhoud vergroot? (VWO.87-88) 50 De zes ribben van een viervlak abcd hebben lengte 7, 13, 18. 27, 36 en 41. Als je weet dat de lengte van de ribbe [AB] 41 is, wat is dan de lengte van de ribbe [CD]? (VWO.87-88) Oplossingen: 47 (i) r 3 /3; (ii) 2 3r 2 ; 48 (i) b = a.φ (φ = 1+ 5 2 ); (ii) 2a 2 8 ((1 + 5) 5 5 + (3 + 5) 5 + 5); 49 95,3%; 50 13; RM II HUISTAAK 4 1. Op de zijvlakken van een kubus met ribbelengte r bouwt men rechte piramiden waarvan de zijvlakken de helft van de zijvlakken van de kubus zijn. Zo ontstaat een nieuw lichaam V. (i) Bepaal de oppervlakte van V (Antw: 12r 2 ). (ii) Bepaal de inhoud van V (Antw: (1 + 3)r 3 ). (iii) Bepaal de hoek tussen een zijvlak en het grondvlak van zo n piramide. (Antw: 60 o ). ( ) E F G H 2. In de kubus met ribbelengte r beschouwt men de A B C D piramiden (E, ABCD) en (H, ABCD). Bepaal de inhoud van het lichaam dat de doorsnede is van deze twee piramiden. 5 (Antw: 24 r3 ). 3. Een octaëder en een tetraëder hebben dezelfde oppervlakte. Bepaal de verhouding van hun inhouden (Antw: 2).

36 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE 1.5.2 Omwentelingslichamen 1.5.2.1 Omwentelingsoppervlakken Figuur 1.20: cilinder kegel Een omwentelingsoppervlak is een oppervlak dat ontstaat door het wentelen van een vlakke kromme om een rechte die met de kromme in eenzelfde vlak gelegen is. De rechte wordt de as van het omwentelingsoppervlak genoemd. Elk punt van de kromme beschrijft bij wenteling een cirkel, die gelegen is in een vlak loodrecht op de as. Bijgevolg is elke vlakke doorsnede van het omwentelingsoppervlak loodrecht op de as van het omwentelingsoppervlak een cirkel. Bijzondere omwentelingsoppervlakken: Een cilinderoppervlak is een omwentelingsoppervlak dat onstaat door het wentelen van een rechte parallel met de as. Alle vlakke doorsneden van een cilinderoppervlak loodrecht op de as zijn cirkels met dezelfde straal nl. de afstand van de beschrijvende tot de as. Deze straal wordt de straal van het cilinderoppervlak genoemd. Een kegeloppervlak is een omwentelingsoppervlak dat onstaat door het wentelen van een rechte die de as snijdt. Het snijpunt wordt de top van het kegeloppervlak genoemd. 1.5.2.2 Omwentelingslichamen Een omwentelingslichaam is een lichaam dat begrensd is door een omwentelingsoppervlak en twee verschillende parallelle vlakken die de as van het omwentelingsoppervlak loodrecht snijden. Deze vlakke doorsneden worden grond- en bovenvlak van het omwentelingslichaam genoemd.

1.5. LICHAMEN 37 Figuur 1.21: kegeloppervlak Bijzondere omwentelingslichamen Een rechte omwentelingscilinder of een cilinder met straal r en hoogte h is een omwentelingslichaam dat begrensd is door een cilinderoppervlak met straal r en twee parallelle vlakken loodrecht op de as op een afstand h van elkaar. Het grond- en bovenvlak zijn twee congruente cirkels. We kunnen ook zeggen dat de cilinder ontstaat door het wentelen van een rechthoek om één van zijn zijden. De zijdelingse oppervlakte van een cilinder is gelijk aan het product van de omtrek van het grondvlak en de hoogte. Z.O.cil. = 2πrh De inhoud van een cilinder is gelijk aan het product van de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte. Inh.cil. = πr 2 h OPGAVEN 51 Wat is de verhouding van de inhoud van een cilinder en de inhoud van het regelmatig zeszijdig prisma in die cilinder beschreven? 52 Bewijs dat de inhoud van een cilinder gelijk is aan de zijdelingse oppervlakte vermenigvuldigd met de helft van de straal.

38 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Oplossingen: 51. 2 3π 9 = 1, 21 Een rechte omwentelingskegel of een kegel is een omwentelingslichaam dat begrensd is door een kegeloppervlak en twee parallelle vlakken loodrecht op de as, waarbij één van de vlakken door de top van het kegeloppervlak gaat. De vlakke doorsnede niet door de top wordt het grondvlak van de kegel genoemd. De straal van het grondvlak wordt de straal r van de kegel genoemd. De hoogte van een kegel is de afstand van de top tot het grondvlak. We kunnen ook zeggen dat een kegel ontstaat door het wentelen van een rechthoekige driehoek om een rechthoekszijde. De lengte van de andere rechthoekszijde is de straal r van de kegel en de lengte van de schuine zijde wordt het apothema a van de kegel genoemd. De zijdelingse oppervlakte van een kegel is gelijk aan het halve product van de omtrek van het grondvlak en het apothema. Z.O.keg. = 1 2πra = πra 2 (d.i. de oppervlakte van een cirkelsector met straal a) De inhoud van een kegel is gelijk aan het derde deel van het product van de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte. Inh.keg. = 1 3 πr2 h OPGAVEN 53 In een kegel, waarvan de hoogte 3m bedraagt, wordt, evenwijdig met het grondvlak, een doorsnede aangebracht waarvan de oppervlakte gelijk is aan het vierde deel van de oppervlakte van het grondvlak. Op welke afstand van de top werd die doorsnede aangebracht? 54 Van een kegel is de tophoek gelijk aan 60 o. Bereken de middelpuntshoek van de sector die ontstaat door de kegel te ontwikkelen. 55 Bereken de zijdelingse oppervlakte van een kegel met tophoek θ en hoogte h. 56 Bepaal de meetkundige plaats van de snijpunten van de rechten die door een punt P gaan en een vlak α snijden onder een vaste hoek. Bewijs dit. Oplossingen: 53. 1,5 m; 54. α = π rad of 180 o ; 55. π.h 2 sin θ 2 (tan2 θ 2 + 1).

1.5. LICHAMEN 39 Figuur 1.22: afgeknotte kegel sfeer RM II HUISTAAK 5 1. Bereken de zijdelingse oppervlakte van een cilinder, waarvan de hoogte gelijk is aan de middellijn van het grondvlak, en die ingeschreven is in een kegel met hoogte 6 en met straal van het grondvlak 2 (Antw: 5, 76π = 18, 1). 2. Druk de inhoud van een omwentelingskegel met manteloppervlakte gelijk aan πk 2 uit in functie van de straal x van de omwentelingskegel (Antw: 1 3 πx k 4 x 4 ). Een afgeknotte kegel is een omwentelingslichaam dat begrensd is door een kegeloppervlak en twee verschillende parallelle vlakken niet door de top, aan dezelfde kant van de top en loodrecht op de as. We kunnen ook zeggen dat een afgeknotte kegel ontstaat door het wentelen van een rechthoekig trapezium om zijn rechthoekszijde. De lengte van de schuine zijde van het trapezium is het apothema a van de afgeknotte kegel, de lengte van de kleine basis is r en de lengte van de grote basis is R. Dus r en R zijn de stralen van resp. boven- en grondvlak. De zijdelingse oppervlakte van een afgeknotte kegel is gelijk aan het product van het apothema en het rekenkundig gemiddelde van de omtrekken van grond- en bovenvlak. Z.O.afg.keg. = π(r + r)a De inhoud van een afgeknotte kegel is gelijk aan het derde deel van het product van de hoogte en de som van oppervlakte van grond- en bovenvlak en het meetkundig

40 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE gemiddelde van beide. Inh.afg.keg. = 1 3 πh(r2 + r 2 + rr) OPGAVEN 57 Om ijzeren palen met een diameter van 8 cm stevig in de grond te verankeren, worden ze gevat in betonnen sokkels, die de vorm hebben van een afgeknotte kegel met een cilindervormige uitsparing. De hoogte van de cilindervormige uitsparing is 12 centimeter, de hoogte van de afgeknotte kegel is 16 centimeter, de diameter van het bovenvlak is 8 centimeter en van het grondvlak 24 centimeter. Hoeveel dm 3 is er nodig voor één sokkel? Oplossingen: 57. 2752 3 π cm3 = 2,88 dm 3. RM II HUISTAAK 6 1. Een afgeknotte kegel en een cilinder hebben dezelfde hoogte en hetzelfde grondvlak. Bereken de verhouding van de stralen grond- en bovenvlak van de afgeknotte kegel als zijn inhoud de helft is van die van de cilinder. (Antw: R = 1 + 3). r 2. Op welke afstand van de top moet men een omwentelingskegel doorsnijden met een vlak parallel met het grondvlak om twee lichamen te bekomen met dezelfde inhoud? (Antw: op afstand van de top die 20,6% is van de hoogte.) 1.5.3 De sfeer en de bol 1.5.3.1 Definitie Een sfeer is een omwentelingslichaam dat onstaat door het wentelen van een cirkel om een middellijn. De straal van de cirkel is de straal r van de sfeer. De oppervlakte van een sfeer is gelijk aan vier keer de oppervlakte van de beschrijvende cirkel. Opp.sfeer = 4πr 2 De inhoud van een sfeer is gelijk aan het product van de oppervlakte van de beschrijvende cirkel en vier derden van de straal van de sfeer. Inh.sfeer = 4 3 πr3

1.5. LICHAMEN 41 1.5.3.2 Het bepalen van een sfeer door vier niet-coplanaire punten Herhaling: In de vlakke meetkunde gaat er door drie niet-collineaire punten A, B en C juist één cirkel. Het middelpunt van de cirkel ligt op gelijke afstand van de punten A, B en C. De verzameling van de punten op gelijke afstand van twee van de drie punten bvb. A en B is de middelloodlijn van het lijnstuk [AB]. De punten op gelijk afstand van B en C zijn de punten van de middlloodlijn van het lijnstuk [BC]. Het punt op gelijke afstand van de drie punten is het snijpunt M van deze twee middelloodlijnen. De middelloodlijn van het lijnstuk [AC] gaat bijgevolg door dit punt M. De drie punten vormen een driehoek. De cirkel wordt de omgeschreven cirkel van de driehoek genoemd. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek. STELLING 1.29 Door vier niet-coplanaire punten gaat juist één sfeer. Bewijs: We bepalen de verzameling van de punten, evenver gelegen van drie van de vier punten, bvb. van de punten A, B en C. Daartoe beschouwen we de driehoek ABC. In het vlak α van de driehoek ABC ligt het punt N dat het middelpunt is van de omgeschreven cirkel van ABC evenver van A, B en C. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek. Alle punten van de loodlijn l door N op het vlak α is dan de verzameling van alle punten van E die evenver liggen van de punten A, B en C. We zien gemakkelijk in dat de rechte l de snijlijn is van de drie middenloodvlakken van resp. de zijden [AB], [BC] en [CA]. De verzameling van alle punten van E die even ver gelegen zijn van de punten D en A is het middenloodvlak β van het lijnstuk [DA]. Het punt op gelijke afstand van A, B, C en D ligt op gelijke afstand van A, B en C en op gelijke afstand van D en A. Het gevraagde punt ligt dus zowel op de middelloodlijn l als in het middenloodvlak β. Het gevraagde punt is dus het gemeenschappelijk punt van l en β. Opdat l en β snijdend zouden zijn mag D niet gelegen zijn in α. Vier niet-coplanaire punten A, B, C en D vormen een viervlak ABCD. De sfeer gaande door A, B, C en D noemen we de sfeer omgeschreven aan het viervlak ABCD. We kunnen het middelpunt van de omgeschreven sfeer van een viervlak nog als volgt construeren. We bepalen het snijpunt M van drie middenloodvlakken van drie niet-coplanaire ribben van het viervlak. De overblijvende drie middenloodvlakken (want een viervlak heeft 6 zijden) bevatten allen het punt M. 1.5.3.3 Onderlinge ligging van een sfeer en een punt We beschouwen een sfeer met middelpunt M en straal r. We stellen de afstand van een punt P tot M gelijk aan d. We definiëren de uitspraken omtrent ligging van een punt t.o.v. een sfeer:

42 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Figuur 1.23: onderlinge ligging van een sfeer en een vlak 1. Een punt P ligt op de sfeer als en slechts als d = r (definitie van sfeer). 2. Een punt P ligt buiten de sfeer als en slechts als d > r. 3. Een punt P ligt binnen de sfeer als en slechts als d < r. 1.5.3.4 Onderlinge ligging van een sfeer en een vlak STELLING 1.30 Een vlak en een sfeer hebben geen, één punt of een cirkel van punten gemeen al naargelang de afstand van het middelpunt van de sfeer tot het vlak groter dan, gelijk aan of kleiner dan de straal is. Bewijs: 1. De afstand d van het middelpunt M van de sfeer tot het vlak α is groter dan de straal r van de sfeer. d > r Het voetpunt L van de loodlijn uit M op α ligt op een afstand d van het middelpunt M. Elk ander punt van het vlak α ligt op een afstand van M groter dan d (in een rechthoekige driehoek is de schuine zijde groter dan een rechthoekszijde). Elk punt van het vlak α ligt dus buiten de sfeer. De sfeer heeft geen punten gemeen met het vlak. 2. De afstand d van het middelpunt M van de sfeer tot het vlak α is gelijk aan straal r van de sfeer. d = r

1.5. LICHAMEN 43 Het voetpunt L van de loodlijn uit M op het vlak α ligt op de sfeer want de afstand van L tot het middelpunt M is d en d is gelijk aan r. Elk ander punt van het vlak α ligt op een afstand van M groter dan d (in een rechthoekige driehoek is de schuine zijde groter dan een rechthoekszijde). Elk punt van het vlak α uitgezonderd het punt L ligt dus buiten de sfeer. De sfeer heeft enkel het punt L gemeen met het vlak. Het punt L wordt het raakpunt van de sfeer en het vlak genoemd. Het vlak zelf is dan het raakvlak in het punt aan de sfeer. Uit het voorgaande volgt de stelling: STELLING 1.31 De straal naar het raakpunt van een raakvlak met de sfeer staat loodrecht op dat raakvlak. 3. De afstand d van het middelpunt M van de sfeer tot het vlak α is kleiner dan de straal r van de sfeer. d < r Het voetpunt L van de loodlijn uit M op het vlak α ligt binnen de sfeer want de afstand van L tot het middelpunt is d en d is kleiner dan r. Nu kunnen er zowel punten van het vlak α gelegen zijn binnen de sfeer, op de sfeer als buiten de sfeer. Onderstel dat P een punt van α dat t.z.t. op de sfeer gelegen is, dan geldt volgens de stelling van Pythagoras in de rechthoekige driehoek P LM dat r 2 = s 2 + d 2 ( met s = P L ) s 2 = r 2 d 2 > 0 Voor elk punt P van de doorsnede van de sfeer met het vlak α geldt dat de afstand van P tot L gelijk is aan een positieve constante. Dit betekent dat P gelegen is op een cirkel met middelpunt L en straal s. De doorsnede van de sfeer en het vlak α is een cirkel. De cirkel wordt groter naarmate de afstand van het middelpunt van de sfeer tot het vlak kleiner wordt. De grootste cirkel verkrijgen we als de afstand van het middelpunt tot het vlak gelijk is aan nul, m.a.w. als het vlak door het middelpunt van de sfeer gaat. De straal van de cirkel is dan gelijk aan de straal van de sfeer. Zo een cirkel wordt een grote cirkel genoemd (evenaar en meridianen). Gaat een vlak niet door het middelpunt van de sfeer en heeft ze met de sfeer een cirkel als doorsnede dan wordt de cirkel een kleine cirkel genoemd (keerkringen: steenboks- en kreeftskeerkring en poolcirkels). Is de doorsnede een punt, dan kunnen we dit opvatten als limietgeval van het derde geval. Het punt is dan een nulcirkel.

44 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE Figuur 1.24: onderlinge ligging van een sfeer en een rechte 1.5.3.5 Onderlinge ligging van een sfeer en een rechte De rechte en het middelpunt van de sfeer bepalen een vlak dat de sfeer snijdt volgens een grote cirkel. De onderlinge ligging van een sfeer en een rechte is zo herleid tot de onderlinge ligging van een cirkel en een rechte. We besluiten: STELLING 1.32 Een rechte en een sfeer hebben geen, één punt of twee punten gemeen naargelang de afstand van het middelpunt van de sfeer tot de rechte groter dan, gelijk aan of kleiner dan de straal is. Is de doorsnede een punt dan wordt de rechte een raaklijn in dat punt aan de sfeer genoemd, het punt wordt het raakpunt genoemd. STELLING 1.33 De raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. STELLING 1.34 In elk punt P van de sfeer zijn er oneindig veel raaklijnen die een stralenbundel vormen gelegen in het raakvlak in P aan de sfeer. In de toepassingen kunnen we de afstand van het middelpunt van de sfeer tot de rechte bepalen door de afstand van het middelpunt tot zijn loodrechte projectie op de rechte te bepalen. Deze loodrechte projectie bekomen we door het snijpunt te nemen van het loodvlak door het middelpunt op de rechte. Gaat de rechte door het middelpunt van de sfeer dan snijdt ze de sfeer in twee tegenpunten van de sfeer.

1.5. LICHAMEN 45 Figuur 1.25: onderlinge ligging van twee sferen STELLING 1.35 Twee grote cirkels snijden elkaar in twee tegenpunten. STELLING 1.36 Door twee punten die geen tegenpunten van een sfeer zijn gaat juist één grote cirkel van de sfeer. 1.5.3.6 Onderlinge ligging van twee sferen De centraal van twee sferen is de verbindingslijn van de middelpunten. Een vlak α door de centraal snijdt beide sferen volgens twee grote cirkels. Laten we het vlak α wentelen om de centraal dan beschrijven de twee grote cirkels de twee sferen. De onderlinge ligging van de twee sferen herleidt zich tot de onderlinge ligging van twee cirkels. Om de verzameling van de gemeenschappelijke punten te kennen laten we de gemeenschappelijke punten van de twee grote cirkels in het vlak α wentelen om de centraal. We noemen d de afstand van de twee middelpunten en r 1 en r 2 de stralen van de twee sferen. 1. De cirkels hebben geen punten gemeen: In dit geval hebben de sferen geen punten gemeenschappelijk: a. De sferen liggen buiten elkaar als en slechts als de afstand van de middelpunten groter is dan de som van de stralen. d > r 1 + r 2

46 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE b. De sferen liggen binnen elkaar als en slechts als de afstand van de middelpunten kleiner is dan de absolute waarde van het verschil van de stralen. d < r 1 r 2 2. De cirkels hebben één punt gemeenschappelijk, ze raken elkaar in dat punt en hebben in dat punt een gemeenschappelijke raaklijn. De sferen hebben een punt gemeenschappelijk en bij wentelen om de centraal beschrijft de raaklijn een vlak dat raakt aan beide sferen in het gemeenschappelijk punt. a. De sferen raken elkaar uitwendig als en slechts als de afstand van de middelpunten gelijk is aan de som van de stralen. d = r 1 + r 2 b. De sferen raken elkaar inwendig als en slechts als de afstand van de middelpunten gelijk is aan de absolute waarde van het verschil van de stralen. d = r 1 r 2 3. De cirkels snijden elkaar in twee punten. Laten we de snijpunten wentelen om de centraal dan beschrijven ze een cirkel. Het vlak van de cirkel staat loodrecht op de centraal. De sferen snijden elkaar volgens een cirkel als en slechts als de afstand van de middelpunten groter is dan de absolute waarde van het verschil van de stralen en kleiner dan de som van de stralen. r 1 r 2 < d < r 1 + r 2 OPGAVEN 58 Bepaal de zijde van een kubus in functie van de straal van de omgeschreven sfeer. 59 Gegeven een regelmatige piramide met als grondvlak een vierkant en waarvan de hoogte van de opstaande zijvlakken gelijk is aan de zijde van het grondvlak. Binnen de piramide wordt een halve sfeer ingeschreven, waarvan het middelpunt in het grondvlak van de piramide gelegen is. Bepaal de straal van deze sfeer in functie van de zijde van het grondvlak van de piramide. 60 Bepaal de zijde van een kubus in functie van de straal van de omgeschreven halve sfeer, waarvan het grondvlak samenvalt met een zijvlak van de kubus. 61 De afstand van het middelpunt van een sfeer met straal 10 tot een vlak is 8. Bereken de oppervlakte van de snijcirkel. 62 Een sfeer is ingeschreven in een regelmatige vierzijdige piramide, waarvan de opstaande zijvlakken gelijkzijdige driehoeken zijn. Druk de straal van de sfeer uit in functie van de zijde z van de piramide.

1.5. LICHAMEN 47 63 In een regelmatige vierzijdige piramide is een halve sfeer ingeschreven, waarvan het middelpunt gelegen is in het grondvlak van de piramide. De hoogte van de piramide is gelijk aan de zijde z van het grondvlak. Bereken de verhouding van het volume van de halve sfeer en het volume van de piramide. 64 In een regelmatige zeszijdige piramide is een halve sfeer ingeschreven, waarvan het middelpunt gelegen is in het grondvlak van de piramide. De lengte van de opstaande ribbe van de piramide is gelijk aan 2 de zijde z van het grondvlak. Bereken de verhouding van het volume van de halve sfeer en het volume van de piramide. 65 In een kubus met ribbe van 4 decimeter passen precies 8 bollen met straal 1 decimeter. Om die 8 bollen te schilderen heeft men 1 liter verf nodig. In de tweede kubus met ribbe 8 decimeter passen ook precies 8 bollen maar zij hebben dan ook een straal van 2 decimeter. Een derde kubus heeft ook een ribbe van 8 decimeter maar nu liggen er zowel in de breedte, als in de hoogte, als in de diepte 4 bollen (i.v.p. 2) naast elkaar. Hoeveel liter verf heeft men nodig om de bollen van de tweede en derde kubus te schilderen? 66 Negen congruente sferen zitten opeengepakt in een kubus met zijde van lengte 1. Deze bollen zijn zo gestapeld dat één ervan zijn middelpunt heeft in het middelpunt van de kubus en dat de andere raken aan deze middelste en aan telkens drie zijvlakken van de kubus. Geef de straal van deze bollen. 67 Een rechte omwentelingskegel is beschreven om een sfeer met straal r. Druk de inhoud van de kegel uit in functie van de straal x van de kegel. 68 Een rechte omwentelingskegel is beschreven om een sfeer met straal r. Druk de inhoud van de kegel uit in functie van de halve tophoek α van de kegel. Oplossingen: 58. 2 3r 3 ; 59. 3z 4 ; 60. 6r 3 ; 61. 36π; 62. ( 3 1)z 2 2π ; 63. 5 2 25 ; 64. 4π 15 2 75 ; 65. 12 liter; 66. 3 3 2.

48 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE RM II HUISTAAK 7 1. Toen het meer dichtvroor dreef er een bal op het water. Men haalde later de bal uit het ijs (zonder ijs te breken). De opening die in het ijs bleef had een doorsnede van 24 centimeter bovenaan en was 8 centimeter diep. Vind de straal van deze bal (in centimeter) (Antw: 13). 2. Een rechte omwentelingscilinder is beschreven in een sfeer met straal r. Druk de inhoud van de cilinder uit in functie van de hoogte h van de cilinder (Antw: πh 4 (4r2 h 2 )). 3. Een regelmatig achtvlak is ingeschreven in een sfeer met straal r. Bereken de verhouding van het volume van de sfeer en het volume van het achtvlak (Antw: π). ( ) A B C D 4. Gegeven een balk met zijden AB = 6, BC = 3 en AE = 4. E F G H Gevraagd de hoek tussen enerzijds de diagonaal AG en anderzijds resp. het vlak ABC, het vlak ABF en het vlak BCG (Antw: 30 o, 8, 22 o, 6, 50 o, 2). 5. Een driehoekige plaat ABC staat in de hoek van een rechthoekige kamer met hoek O (vloab is vl vd vloer), waarbij AO = 2, BO = 3 en CO = 4. Bereken: (i) de lengte van de zijden van de plaat (Antw. 13, 2 5, 5); (ii) de hoeken van de driehoek (Antw: 75 o, 6, 60 o, 1, 44 o, 3); (iii) De hoek die het vlak van de plaat maakt met vloer van de kamer (Antw: 67 o, 4) 6. In een piramide brengt men een vlak aan evenwijdig met het grondvlak en zodanig dat dit vlak de inhoud in twee gelijke delen verdeelt. (i) Op hoeveel van de top wordt dit vlak aangebracht? (Antw: op 79, 4% van hoogte van de piramide); (ii) In welke verhouding wordt de hoogte verdeeld? (Antw: bij benadering verhouding 4 op 1) 7. Als men de middens van de zijvlakken van een kubus K onderling twee aan twee verbindt, verkrijgt men de ribben en de ruimtediagonalen van een lichaam V. (i) Wat is V? (Antw: achtvlak) (ii) Welke is de verhouding van het volume van V tot het volume van K? (Antw: 1 6 ) 8. Gegeven een regelmatig viervlak met ribbe r. a. Bereken de hoogte, de oppervlakte en de inhoud van het viervlak in functie van 2 r (Antw. H = r). 3 b. Bereken de straal van de omgeschreven sfeer (Antw: 6 4 r). c. Bereken de straal van de ingeschreven sfeer (Antw: 6 12 r).

1.5. LICHAMEN 49 RM II groepswerk 1 1. Waarom is orthogonaliteit van richtingen in de ruimte niet in strijd met orthogonaliteit van richtingen in het vlak? 2. Wanneer zijn twee rechten orthogonaal? (def) 3. Wat betekent loodlijn voor rechten in de ruimte? 4. Is de relatie een rechte is orthogonaal met een andere rechte een equivalentierelatie in de verzameling van de rechten? Ga de 3 voorwaarden na. Voor de transitiviteit maak je een tekening van 3 rechten op een kubus. Wat kan je besluiten in geval de 3 rechten evenwijdig zijn met eenzelfde vlak. 5. Hoeveel rechten kan men trekken door een punt orthogonaal met een gegeven rechte en hoeveel loodlijnen? Beschouw het geval waarbij het punt op de rechte ligt en waarbij het punt niet op de rechte ligt. 6. Hoe wordt de loodrechte projectie op een rechte gedefinieerd? 7. Wanneer zijn twee vectoren orthogonaal?

50 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE RM II groepswerk 2 1. Hoe wordt de loodrechte stand van een rechte en een vlak gedefinieerd? Door welke stelling is de definitie mogelijk? 2. De loodrechte stand van een rechte en een vlak steunt op de loodrechte stand van 3. Vergelijk de 2 stellingen over wanneer een rechte evenwijdig is met een vlak en wanneer een rechte orthogonaal is met een vlak. Formuleer die 2 stellingen. 4. Als een rechte orthogonaal is met een vlak dan noemen we de rechte op het vlak en het vlak noemen we op de rechte. 5. Onderzoek welke stellingen voor loodrechte stand het equivalent zijn van de stellingen voor evenwijdigheid waarin sprake is van twee rechten evenwijdig met een vlak en twee vlakken evenwijdig met een rechte? Formuleer al deze stellingen. 6. Twee loodlijnen op eenzelfde vlak zijn evenwijdig. Zijn twee rechte evenwijdig met eenzelfde vlak orthogonale rechten? 7. Waarom is de loodrechte projectie op een rechte een parallelprojectie? Op welke stelling steunt dat? 8. Waarom is de loodrechte projectie op een vlak een parallelprojectie? Op welke stelling steunt dat?

1.5. LICHAMEN 51 9. Bestudeer de stelling van de drie loodlijnen en maak een tekening in een kubus. RM II groepswerk 3 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen dat de twee diagonaalvlakken van een kubus orthogonale vlakken zijn. 2. Welke stelling voor loodrechte stand van rechte en vlak is de equivalent van de stelling: als een rechte evenwijdig is met elk van twee snijdende vlakken dan is ze evenwijdig met de snijlijn? 3. In welke stelling wordt de loodrechte stand van twee vlakken herleid tot de loodrechte stand van twee rechten? Formuleer die stelling. 4. Wanneer is de loodrechte projectie op een vlak van twee orthogonale rechten weer twee orthogonale rechten?

52 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE 5. Wat is de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten? Toon aan dat de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten een steunrechte is van de kruisende rechten evenwijdig met een gegeven rechte.

Hoofdstuk 2 Analytische euclidische meetkunde 2.1 Orthonormale basis Twee vectoren zijn orthogonaal als en slechts als hun scalair product gelijk is aan nul. We hebben gezien dat drie vectoren die twee aan twee orthogonaal zijn, lineair onafhankelijk zijn. We kiezen in de euclidische ruimte E O een basis waarvan de basisvectoren twee aan twee orthogonaal zijn. Bovendien zorgen we ervoor dat de normen van de basisvectoren gelijk zijn aan 1. Een orthonormale basis is een basis ( e 1, e 2, e 3 ) waarvan de basisvectoren eenheidsvectoren zijn die twee aan twee orthogonaal zijn. Met symbolen: ( e 1, e 2, e 3 ) is een orthonormale basis { e1 = e 2 = e 3 = 1 e 1. e 2 = 0 e 2. e 3 = 0 e 3. e 1 = 0 of kortweg: ( e 1, e 2, e 3 ) is een orthonormale basis { ei. e j = 1 i = j e i. e j = 0 i j met i, j {1, 2, 3}. 53

54 HOOFDSTUK 2. ANALYTISCHE EUCLIDISCHE MEETKUNDE 2.2 Scalair product norm afstand 2.2.1 Analytische uitdrukking voor het scalair product van twee vectoren We beschouwen twee vectoren v 1 en v 2 met resp. coördinaten (l 1, m 1, n 1 ) en (l 2, m 2, n 2 ) t.o.v. een orthonormale basis ( e 1, e 2, e 3 ). v 1. v 2 = (l 1. e 1 + m 1. e 2 + n 1. e 3 ).(l 2. e 1 + m 2. e 2 + n 2. e 3 ) = l 1 l 2 ( e 1. e 1 ) + m 1 m 2 ( e 2. e 2 ) + n 1 n 2 ( e 3. e 3 ) + l 1 m 2 ( e 1. e 2 )+ l 1 n 2 ( e 1. e 3 ) + m 1 l 2 ( e 2. e 1 ) + m 1 n 2 ( e 2. e 3 ) + n 1 l 2 ( e 3. e 1 ) + n 1 m 2 ( e 3. e 2 ) Het product van twee basisvectoren met verschillende index is gelijk aan 0; het product van twee basisvectoren met gelijke index is gelijk aan 1. De uitdrukking v 1. v 2 = l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 is de analytische uitdrukking van het scalair product van twee vectoren. 2.2.2 Analytische uitdrukking voor de norm van een vector Is (l, m, n) de coördinaat van de vector v, dan is de norm van de vector v: v = v. v = l 2 + m 2 + n 2. 2.2.3 Analytische uitdrukking voor de afstand tussen twee punten We beschouwen twee punten A en B met resp. coördinaten (x 1, y 1, z 1 ) en (x 2, y 2, z 2 ) t.o.v. een orthonormale basis (e 1, e 2, e 3 ). De afstand tussen punten A en B is gelijk aan de norm van de vector AB. De vector AB heeft coördinaat (x2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). d(a, B) = AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. OPGAVEN 69 Gegeven de punten A en B. Bepaal de afstand tussen de punten A en B. a. A(1, 1, 0) en B(0, 0, 0) b. A(2, 2, 2) en B(0, 0, 0) c. A(0, 1, 2) en B( 1, 1, 2)

2.2. SCALAIR PRODUCT NORM AFSTAND 55 Figuur 2.1: afstand tussen twee punten 70 Gegeven de punten A(1, 1, 2) en B(0, 1, 0). Bepaal het middenloodvlak van [AB]. 71 Bereken de lengte van de ribben van het viervlak ABCD met A(1, 1, 0), B(3, 1, 1), C(0, 3, 1) en D( 1, 2, 6). { x 2y + z + 4 = 0 72 Gegeven de punten A(5, 3, 6) en B( 3, 1, 2) en de rechte a : 2x + y 3z + 13 = 0. Bereken de coördinaat van het punt, dat tot a behoort en op gelijke afstand van de punten A en B ligt. Oplossingen: 69 a. 2; b. 2 3; c. 5; 70 2x 4y + 4z = 5; 72 ( 2, 3, 4). 2.2.4 Analytische uitdrukking voor de orthogonaliteit van twee vectoren Twee vectoren v 1 en v 2 met resp. coördinaten (l 1, m 1, n 1 ) en (l 2, m 2, n 3 ) t.o.v. een orthonormale basis zijn orthogonaal als en slechts als de som van de producten van hun overeenkomstige coördinaatgetallen gelijk is aan 0. Met symbolen: v 1 v 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 2.2.5 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee vectoren Om de hoek θ te bepalen tussen twee vectoren v 1 ( o) en v 2 ( o) kunnen we gebruik maken van het scalair product van de vectoren. We steunen op de definitie van scalair product

56 HOOFDSTUK 2. ANALYTISCHE EUCLIDISCHE MEETKUNDE van twee vectoren, nl. v 1. v 2 = v 1 v 2 cos θ ( v 1 o v 2 o) cos θ = v 1. v 2 v 1. v 2 De cosinus van de hoek tussen de vectoren v 1 en v 2 met resp. coördinaten (l 1, m 1, n 1 ) en (l 2, m 2, n 3 ) t.o.v. een orthonormale ( e 1, e 2, e 3 ) is: cos θ = l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 l 2 1 + m 2 1 + n 2 1 l 2 2 + m 2 2 + n 2 2 OPGAVEN 73 Gegeven: De coördinaten van vectoren: a. v 1 (3, 1, 3) en v 2 (1, 9, 2); b. v 1 (2, 2, 3) en v 2 ( 2, 1, 3 2 ); c. v 1 (0, 1, 2) en v 2 (2, 1, 0); Gevraagd: (i) Bereken v 1, v 2, v 1 + v 2, v 1 + v 2, v 1. v 2 en v 1. v 2. Wat besluit je uit deze berekeningen, rekening houdend met de eigenschappen van het scalair product? (ii) Bereken de genormeerde vector van elke vector. (iii) Bereken de hoek tussen de vectorenparen. 74 Gegeven de coördinaten van vectoren: a. v 1 (2, 2, 1), v 2 (2, 1, 2) en v 3 (1, 2, 2); b. v 1 (2, 2, 1), v 2 (2, 1, 2) en v 3 (2, 1, 2); c. v 1 (0, 1, 2) en v 2 (2, 1, 0); Gevraagd: bereken v 1.( v 2 + v 3 ), v 1. v 2 + v 1. v 3, ( v 1. v 2 ). v 3 en v 1.( v 2. v 3 ). Wat besluit je uit deze berekeningen, rekening houdend met de eigenschappen van het scalair product? 75 Gegeven een driehoek ABC met A(1, 1, 1), B(1, 1, 1) en C(0, 2, 1). Bereken de binnenhoeken van de driehoek ABC.

2.2. SCALAIR PRODUCT NORM AFSTAND 57 Oplossingen: 73 (i) a. 19, 86; b. 3, 3/2 2; c. 5, 5. (ii) a. (3, 1, 3)/ 19, (1, 2, 9)/ 86; (iii) a. 90 o ; b. 0 o ; c. 78 o, 46. 74 a. 4, 4, (4, 8, 8), (16, 16, 8); b. 4, 4, (8, 4, 8), (2, 2, 1). 75 A = 90 o, B = 35 o 15 51, 8, C = 54 o 44 8, 2. SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN 76 Gegeven de coördinaten van vectoren: a. v 1 ( 1, 0, 3) en v 2 (4, 8, 4 3 ); b. v 1 (1 + 2, 1, 2) en v 2 (1, 1 2, 2 2); c. v 1 (1, 2, 1) en v 2 (0, 2, 3); Gevraagd: (i) Bereken v 1, v 2, v 1 + v 1, v 1 + v 1, v 1. v 1 en v 1. v 1. Wat besluit je uit deze berekeningen, rekening houdend met de eigenschappen van het scalair product. (ii) Bereken de genormeerde vector van elke vector. (iii) Bereken de hoek tussen de vectorenparen. 77 Gegeven de coördinaten van vectoren: a. v 1 (1, 2, 2), v 2 ( 2, 1, 2) en v 3 (2, 2, 1); b. v 1 (2, 3, 4), v 2 (4, 6, 8) en v 3 (9, 0, 10); Gevraagd: bereken v 1.( v 2 + v 3 ), v 1. v 2 + v 1. v 3, ( v 1. v 2 ). v 3 en v 1.( v 2. v 3 ). Wat besluit je uit deze berekeningen, rekening houdend met de eigenschappen van het scalair product? 78 Gegeven een driehoek ABC met A( 1, 0, 2), B(2, 1, 2) en C( 1, 1, 1). Bereken de binnenhoeken van de driehoek ABC. 79 Bepaal de verzameling van alle vectoren orthogonaal met twee lineair onafhankelijke vectoren. 80 Bepaal de verzameling van alle vectoren orthogonaal met een gegeven vector. 81 Toon aan dat een translatie het scalair product en de norm invariant laat. 82 Toon aan dat een homothetie met factor r de norm van een vector met de absolute waarde van de factor r vermenigvuldigt.

58 HOOFDSTUK 2. ANALYTISCHE EUCLIDISCHE MEETKUNDE 2.3 Hoek tussen twee rechten 2.3.1 Analytische uitdrukking van de loodrechte stand van twee rechten De orthogonaliteit van rechten kunnen we analytisch uitdrukken d.m.v. het scalair product van vectoren. Twee rechten zijn orthogonaal als en slechts als hun richtingen orthogonaal zijn. Twee richtingen van rechten zijn orthogonaal als en slechts als een richtingsvector van de ene richting orthogonaal is met een richtingsvector van de andere richting (zie definitie van orthogonaliteit van twee vectoren). We beschouwen twee rechten a en b. De rechte a is bepaald door het punt P 1 (x 1, y 1, z 1 ) en een richtingsvector u(l 1, m 1, n 1 ) en de rechte b door het punt P 2 (x 2, y 2, z 2 ) en een richtingsvector v(l 2, m 2, n 2 ). a : x x 1 l 1 = y y 1 m 1 = z z 1 n 1 en b : x x 2 l 2 = y y 2 m 2 = z z 2 n 2. De rechte a is orthogonaal met de rechte b als en slechts als u en v orthogonale vectoren zijn. a b l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 Zijn de rechten a en b gegeven door een stelsel vergelijkingen dan bepalen we eerst van beide rechten een richtingsvector. De coördinaat van een richtingsvector bekomen we door een oplossing te nemen van het corresponderend homogene stelsel. a : Een oplossing van het homogene stelsel: { u1 x + v 1 y + w 1 z + t 1 = 0 u 2 x + v 2 y + w 2 z + t 2 = 0 a o : { u1 x + v 1 y + w 1 z = 0 u 2 x + v 2 y + w 2 z = 0 is ( v 1 w 1 v 2 w 2, w 1 u 1 w 2 u 2, u 1 v 1 u 2 v 2 ). b : { u3 x + v 3 y + w 3 z + t 3 = 0 u 4 x + v 4 y + w 4 z + t 4 = 0

2.3. HOEK TUSSEN TWEE RECHTEN 59 Een oplossing van het homogene stelsel: { u3 x + v bo : 3 y + w 3 z = 0 u 4 x + v 4 y + w 4 z = 0 is a b v 1 w 1 v 2 w 2 ( v 3 w 3 v 4 w 4, w 3 u 3 w 4 u 4, u 3 v 3 u 4 v 4 ).. v 3 w 3 v 4 w 4 + w 1 u 1 w 2 u 2. w 3 u 3 w 4 u 4 + u 1 v 1 u 2 v 2. u 3 v 3 u 4 v 4 = 0 2.3.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee rechten Gegeven zijn twee rechten a en b. Op de zelfde wijze als in voorgaande paragraaf bepalen we een richtingsvector voor elk van deze rechten, bvb. (l 1, m 1, n 1 ) voor a en (l 2, m 2, n 2 ) voor b. De hoek θ tussen a en b is dan ofwel dezelfde hoek als tussen hun respectieve richtingsvectoren (als die hoek niet stomp is), ofwel zijn supplement (als deze hoek wel stomp is). In elk geval krijgen we de formule cos θ = l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 l 2 1 + m 2 1 + n 2 1 l 2 2 + m 2 2 + n 2 2 OPGAVEN 83 Ga na of de volgende rechten orthogonaal zijn: a. a : x 3 b. a : 6 = y 4 3 = z+1 4 { x 9y + z 8 = 0 x + 5y z + 2 = 0 en b : x+1 4 en b : = y 2 4 = 1 z 3 ; { x + 3y + z 5 = 0 2x + 7y + z 7 = 0 ; c. a : 5x 10 = 2y 2 = 2z 4 en b : x 5 = 5y + 10 = 5z 1. ( A B 84 De lengte van de ribbe van een kubus C D A B C D ) is gelijk aan 5. De punten P en Q behoren resp. tot de ribben [AB] en [CD], zodat AP = CQ = 1. Bepaal R en S van de diagonaal [A C ] zodanig dat [A C ] en [RS] hetzelfde midden hebben en dat bovendien de rechten P R en QS orthogonaal zijn. { hx + y 2 = 0 85 Gegeven de rechten a : z = 0 Gevraagd: en b : { kx + y = 0 x + z 1 = 0 (i) Bepaal h en k zodanig dat a en b loodlijnen zijn. (ii) Bepaal voor deze waarden van k en h het snijpunt S van a en b, het vlak α bepaald door a en b en de loodlijn in S op het vlak α (later: na normaalvectoren).

60 HOOFDSTUK 2. ANALYTISCHE EUCLIDISCHE MEETKUNDE 86 Bereken de hoek tussen de rechten a : x 2 = y 3 = z en b : x 1 3 = y 1 = z+3 2. SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN 87 Ga na of de volgende rechten orthogonaal zijn: a. a : x 2 = y 3 = z x 1 4 en b : { x = y b. a : x = y = z en b : y + z = 0 ; { 2x + 2y + z 1 = 0 c. a : en b : 4x + y 4z + 10 = 0 5 = y 2 6 = z 4 2 ; { 3x + y 3z + 2 = 0 3x y z + 12 = 0. 88 Gegeven de punten A(2, 4, 2) en B(1, 4, 0) de rechte a : Bepaal een punt P van a waarvoor AP orthogonaal is met BP. { x + y = 4 z = 3 89 Gegeven de punten A(2k, 0, 0), B(2, 4, 0), C( 2, 4, 0) en D(0, 0, 2) en de middens P, Q, R en S van resp. [AB], [BC], [CD] en [DA]. Gevraagd: a. Bewijs dat P R en QS elkaar snijden d.m.v. de theorie van de oplosbaarheid van stelsels. Bereken de coördinaat van het snijpunt en de vergelijking van het vlak dat ze omvat. b. Voor welke waarde van k zijn de rechten P R en QS orthogonaal? c. Welke soort vierhoek is P QRS in respektieve gevallen a. en b.? 90 Bereken de hoek tussen de rechten a : x 8 4 = y 3 = 1 z 4 en b : { 4x 44y + 37z 69 = 0 4x + 10y 17z + 39 = 0 Oplossingen: 86 85 o 54 14 ; 87 b. a b; c. a b; 88 P (5, 1, 3) en P (1/2, 7/2, 3); 2.4 Normaalvector van een vlak Een normaalvector van een vlak is een richtingsvector van de richting van rechten orthogonaal met het vlak. Er is maar één richting van rechten orthogonaal met een vlak. De richting van een vlak is volkomen bepaald door twee lineair onafhankelijke richtingsvectoren. De richting van een vlak is nu ook volkomen bepaald door een normaalvector.

2.4. NORMAALVECTOR VAN EEN VLAK 61 Figuur 2.2: normaalvector van een vlak In de algemene vergelijking van een vlak zijn de coëfficiënten u, v en w van resp. x, y en z verantwoordelijk voor de richting van het vlak. Het ligt voor de hand dat de coördinaat van een normaalvector afhankelijk zal zijn van u, v en w uit de algemene vergelijking van het vlak. Is een vlak α gegeven door de algemene vergelijking ux + vy + wz + t = 0 dan kunnen we uit deze vergelijking een normaalvector bepalen. Daartoe beschouwen we het vectorvlak α o parallel met α. α o : ux + vy + wz = 0. Elke oplossing (x, y, z) van deze homogene vergelijking is de coördinaat van een vector die orthogonaal is met de vector met coördinaat (u, v, w). Hun scalair product is immers gelijk aan 0. De vector (u, v, w) is dus orthogonaal met elke vector van het vlak α o. De vector (u, v, w) is een normaalvector van α o en dus ook van elk vlak α parallel met α o. STELLING 2.1 Een vlak is volledig bepaald door een punt en een normaalvector. De vergelijking van het vlak bepaald door het punt (x 1, y 1, z 1 ) en met normaalvector (u, v, w) is u(x x 1 ) + v(y y 1 ) + w(z z 1 ) = 0.

62 HOOFDSTUK 2. ANALYTISCHE EUCLIDISCHE MEETKUNDE Figuur 2.3: Loodlijn op een vlak 2.5 Hoek tussen een rechte en een vlak 2.5.1 Analytische uitdrukking voor de loodrechte stand van een rechte en een vlak Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als de rechte loodrecht staat op twee snijdende rechten van het vlak. Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als een richtingsvector van de rechte orthogonaal is met twee lineair onafhankelijke richtingsvectoren van het vlak. Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als een normaalvector van het vlak richtingsvector is van de rechte. De rechte a is bepaald door een punt en een richtingsvector: a : x x 1 = y y 1 = z z 1 en het vlak α door de algemene vergelijking α : ux+vy +wz +t = 0. l m n De normaalvector (u, v, w) van het vlak α is een richtingsvector van a als en slechts als hij een veelvoud is van een richtingsvector van de rechte. a α u l = v m = w n Zijn één of twee van de getallen l, m of n gelijk aan nul dan moeten de corresponderende tellers ook nul zijn. Is de rechte gegeven door een stelsel vergelijkingen dan zoeken we eerst een richtingsvector van de rechte uit het corresponderend homogene stelsel.

2.5. HOEK TUSSEN EEN RECHTE EN EEN VLAK 63 2.5.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen een rechte en een vlak Gegeven een rechte a en een vlak α. We bepalen eerst een richtingsvector van a, bvb. (l, m, n), en een normaalvector van α, bvb. (u, v, w). Volgens het resultaat van opgave 29 is de hoek θ tussen a en α gelijk aan het complement van de hoek tussen de rechte a en een rechte b met richtingsvector (u, v, w). Aldus is sin θ = ul + vm + wn u2 + v 2 + w 2 l 2 + m 2 + n 2. OPGAVEN 91 Ga de loodrechte stand na van de rechte a en het vlak α: a. a : x 3 = y 2 = z 6 en α : x 2 + y 3 z = 1. b. a : { x + 4y + z 4 = 0 2x + 3y 2 = 0 en α : 3x 2y + 5z + 11 = 0 92 Gegeven het punt P (1, 3, 2) en het vlak α : x 2y + 3z + 32 = 0. Bereken de coördinaat van de projectie van P op α. 93 Gegeven het punt P (3, 1, 5) en de rechte a : x 4 Gevraagd: (i) De coördinaat van de projectie van P op a. (ii) De afstand van P tot a. 3 = y 9 4 = z+2 2. 94 Bepaal een vector orthogonaal met de vectoren v 1 (1, 2, 3) en v 2 (1, 0, 1). 95 Bepaal de gemeenschappelijke loodlijn van de rechten a en b. { y = x 3 a. a : z = x + 1 b. a : { x 2y z 10 = 0 2x y + z + 1 = 0 en b : x+4 5 = y 1 = 2 z. en b : { x + y + 2z 7 = 0 x + 4y z 7 = 0. 96 Bepaal het middenparallelloodvlak van de parallelle rechten a : x = y = z 1 en b : x 2 = 1 y = z 97 Bepaal het vlak a. door A(3, 0, 0) en orthogonaal met de x-as; b. door A(1, 1, 1) en orthogonaal met OA.

64 HOOFDSTUK 2. ANALYTISCHE EUCLIDISCHE MEETKUNDE 98 Gegeven het punt A(0, 0, 1) en de rechte a : Gevraagd: { x + y = 1 z = 0. (i) de vergelijking van het vlak door a en A; (ii) de vergelijking van het vlak door A orthogonaal met a; (iii) de vergelijkingen van de rechte door O, die a orthogonaal snijdt; het voetpunt en de afstand van O tot a; (iv) analoge vraag als (iii) voor A en a. 99 Gegeven het punt A(0, 2, 0) en de rechten a : Gevraagd: { y + z = 1 x = 0 en b : { x + y = 0 x 2y + 6z = 0. (i) de vergelijkingen van de rechte c door A, orthogonaal met a en zo dat c de rechte b snijdt; (ii) de vergelijking van het vlak α door A en parallel met b; (iii) de coördinaat van de projectie van A op α. 100 Bepaal de hoek tussen de rechte a : x 4 = y 3 = z 1 2 en het vlak α : x 2y + z 1 = 0. 101 Gegeven de rechte a : Gevraagd: { x + y = 2 2y z = 1 (i) de vergelijking van het vlak dat door de oorsprong gaat en loodrecht staat op a; (ii) de afstand van de oorsprong tot a; (iii) de vergelijking van het vlak dat door het punt P (1, 0, 0) gaat en parallel is met de x-as en met a. 102 Gegeven het punt P (1, 1, 1), de rechte a : x = y = z en het vlak α : x = y. Gevraagd: de vergelijkingen van de rechte p die door het punt P gaat, parallel is met α en orthogonaal met a. 103 Gegeven: A(1, 1, 2), B( 1, 0, 0), C(0, 1, 1), D(1, 2, 1) en A is een punt van de rechte a die parallel is met BC en D is een punt van de rechte b die orthogonaal is met α : x + 2y 2z = 0. Bewijs dat a en b snijdende rechten zijn. Bepaal de coördinaat van het snijpunt van a en b en de vergelijking van het vlak bepaald door a en b. Oplossingen: 91 a. a α; b. a b; 93 P ( 1 13 2, 6, 2 ); 93 (1, 5, 4), 11; 95 a. l : 6(x 1) = 2(2 y) = 3(z 1); b. 2x = 2(y + 3) = z + 7; 96 2x + y z = 2; 97 a. x = 3; b. x + y + z = 3; 98 (i) x + y + z = 1, (ii) x = y, (iii) 2x = 2y = z, 2/2, (iv) 2x = 2y = 1 z, 3/2; { y z = 2 99 (i) c : x + 2z = 0 102 2x = 2y = 3 z;. (ii) 3x + 2y + 2z = 0; (iii) ( 12/17, 30/17, 4/17)

2.5. HOEK TUSSEN EEN RECHTE EN EEN VLAK 65 SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN 104 Ga de loodrechte stand na van de rechte a en het vlak α: a. a : x 2 = y 1 { x = 0 b. a : 2y 3z = 0 2 = z 4 4 en α : 2x 4y + 8z 7 = 0. en α : x + 4y 6z + 1 = 0. 105 Gegeven de punten A(p, 0, 0), B(0, q, 0) en C(0, 0, r) met pqr 0. Bewijs dat de projectie D van de oorsprong op vl(abc) het hoogtepunt is van driehoek ABC. Druk de coördinaat van D uit in termen van p, q en r. 106 Gegeven de punten A(3, 2, 5), B(0, 1, 7) en C(8, 5, 1). Gevraagd: De vergelijkingen van de drie hoogtelijnen van driehoek ABC. 107 Bepaal de gemeenschappelijke loodlijn van de rechten a en b. a : { x = 3 y + z = 3 en b : x 5 4 = y 4 = 3 z 108 Gegeven het punt P (1, 0, 5) en de rechte a : (x, y, z) = r.(3, 0, 4). Bepaal het loodvlak uit P op a. 109 Gegeven het punt A(1, 1, 1) en de rechten a : (x, y, z) = r.(2, 1, 1) + (1, 0, 0) en b : (x, y, z) = r(1, 2, 1) + (0, 0, 1). Bepaal de rechte door A orthogonaal met a en b. 110 Gegeven het punt C(0, 3, 0) en de rechten a : Gevraagd: { x + y = 1 z = 0 (i) de vergelijking van het vlak α door C parallel met a en b; (ii) de vergelijking van de loodlijn uit O op α; (iii) de coördinaat van de projectie van O op α. en b : { z x = 1 y = 0. 111 Bepaal de hoek tussen de rechte a : { x = 0 y + 2z 3 = 0 en het (x, y)-vlak. 112 Gegeven het punt P (4, 0, 5) en het vlak α : 2x 3y + 4z 57 = 0. Gevraagd: bepaal de projectie P van P op α, alsook het punt Q dat symmetrisch ligt met P t.o.v. α. 113 Gegeven de rechten a : Gevraagd: { 2x y = 1 y z = 0 en b : { x + mz = 0 y nz = 1 en het vlak α : x y + z = 0 (i) bepaal m en n zodat a parallel is met b;

66 HOOFDSTUK 2. ANALYTISCHE EUCLIDISCHE MEETKUNDE (ii) bepaal m en n zodat b orthogonaal is met α en bepaal de coördinaat van het voetpunt van de loodlijn b op α. 114 Gegeven de rechte a : x = 2y = kz en de vlakken α : x + y + z h = 0 en β : x + hy + z h = 0. Gevraagd: (i) bepaal k en h zodat a parallel is met α; (ii) bepaal k en h zodat a orthogonaal is met β en bepaal de coördinaat van het voetpunt van de loodlijn a op β. 115 Gegeven de punten P (2, 0, 0) en Q(0, 2, 0) en de rechte a : Gevraagd: { 2x + z 2 = 0 2x ky = 0 (i) bespreek de doorsnede van de rechte a = P Q en de rechte b naargelang de waarde van k en bereken de coördinaat van het eventuele snijpunt van a en b; (ii) voor welke waarde van k is b een rechte van een loodvlak β op a? Stel de vergelijking op van dit loodvlak β en bereken de coördinaat van het snijpunt van S a en b. Oplossingen: 104 a. a α; b. a α; 107 2x = y + 5 = z + 4; 110 (i) x + y z + 3 = 0, (ii) x = y = z, (iii) ( 1, 1, 1); 113 (i) m = 1/2, n = 1; (ii) m = n = 1, (1/3, 2/3, 1/3); 114 (i) k = 2/3; (ii) k = 1, h = 1/2 en (2/9, 1/9, 2/9); 115 (i) a b = {s} met s(1, 1, 0) voor k = 2; voor alle andere waarden van k zijn a en b kruisend; (ii) k = 2, x = y, S(1, 1, 0).

2.6. HOEK TUSSEN TWEE VLAKKEN 67 Figuur 2.4: Loodvlakken 2.6 Hoek tussen twee vlakken 2.6.1 Analytische uitdrukking voor de loodrechte stand van twee vlakken Twee vlakken zijn orthogonaal als en slechts als het ene vlak parallel is met een loodlijn op het andere vlak. Twee vlakken zijn dus orthogonaal als en slechts als een normaalvector van het ene vlak een richtingsvector is van het andere vlak. De vlakken α en β zijn gegeven door hun algemene vergelijking. α : u 1 x + v 1 y + w 1 z + t 1 = 0 β : u 2 x + v 2 y + w 2 z + t 2 = 0 Opdat α orthogonaal zou zijn met β moet een normaalvector van α een richtingsvector zijn van β of m.a.w. een vector van het vectorvlak β o. De normaalvector (u 1, v 1, w 1 ) van α moet oplossing zijn van de vergelijking van β o : u 2 x + v 2 y + w 2 z = 0: u 1 u 2 + v 1 v 2 + w 1 w 2 = 0 α β u 1 u 2 + v 1 v 2 + w 1 w 2 = 0 Dit is ook de voorwaarde opdat de normaalvectoren van beide vlakken orthogonaal zouden zijn. Dit is rechtstreeks af te leiden uit de stelling van vroeger: twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als ze snijdend zijn en een loodvlak op hun snijlijn de beide vlakken volgens orthogonale rechten snijdt. De snijlijn van het loodvlak met het ene vlak is een loodlijn op het andere vlak. Een richtingsvector van die snijlijn is dus normaalvector van het andere vlak.