Elektromagnetische golven Wetten van Maxwell in differentiële vorm De wetten van Maxwell in integraalvorm hebben als voordeel dat ze gemakkelijk interpreteerbaar zijn, ze zijn in praktijk echter enkel bruikbaar in gevallen met voldoende symmetrie. De wetten van Maxwell in integraalvorm kunnen echter eenvoudig omgevormd worden tot differentiaalvergelijkingen die een verband leggen tussen het elektrische en magnetische veld en de ladingsdichtheid en stroomdichtheid lokaal in een punt. De Maxwellvergelijkingen zijn: q E ds = wet van Gauss voor het ev ε B ds = wet van Gauss voor het mv d (1.1 E d l = B ds wet van Faraday-Lenz dt d B d l = µ I + ε E ds wet van Ampère-Maxwell dt Hierbij moet erop gelet worden dat in aanwezigheid van materialen (diëlectrica en/of magnetische materialen, de invloed van geïnduceerde ladingen en geïnduceerde magnetisatiestromen in rekening wordt gebracht door de permittiviteit en permeabilliteit van vacuüm te vermenigvuldigen met de relatieve permittiviteit en permeabiliteit van het materiaal. Als we de divergentiestelling van Gauss (zie hoofdstuk 1 uit de cursus Analyse toepassen op het elektrische veld bekomen we: E ds = E dτ (1. S τ Hierbij is τ een willekeurig volume en S het oppervlak dat τ omsluit. De wet van Gauss voor het elektrische veld kan herschreven worden als: ρdτ E ds = τ (1.3 ε S waarbij ρ de ladingsdichtheid is binnen het Gaussoppervlak (kan van punt tot punt variëren. Door (1. en (1.3 te combineren bekomen we een relatie tussen de volume-integralen van de divergentie van het elektrische veld en de ladingsdichtheid. Vermits deze relatie geldig is voor een willekeurig oppervlak, moeten de integranda gelijk zijn. Bijgevolg is: E = ρ (1.4 ε Dit is de wet van Gauss voor het elektrische veld in differentiaalvorm. Hierin zien we meteen een fysische betekenis van het begrip divergentie: de divergentie van het elektrische veld is verschillend van nul op die plaatsen waar zich lading bevindt. De divergentie duidt dus de bronnen (of putten van dat vectorveld aan.
Opgave: Probeer dit te veralgemenen voor een ander vectorveld, bijvoorbeeld de stroming van een vloeistof met bronnen (open kraan en putten. Op analoge wijze bekomt men de wet van Gauss voor het magnetische veld in differentiaalvorm: B = (1.5 Vermits de divergentie van B altijd en overal nul is, wil dit zeggen dat er geen puntbronnen van het magnetische veld bestaan. Passen we nu de stelling van Stokes toe op het magnetische veld: B dl = B ds (1.6 L S Hierbij is L de lijn die het oppervlak S omsluit. De wet van Ampère-Maxwell kan herschreven worden als: d B d l = µ J ds + ε E ds dt (1.7 L S S met J de stroomdichtheid. Door (1.6 en (1.7 aan mekaar gelijk te stellen en uit te drukken dat dit geldt voor een willekeurig oppervlak, bekomen we tenslotte: E B = µ J + ε (1.8 t Op analoge manier bekomen we de wet van Faraday in differentiële vorm: B E = (1.9 t De golfvergelijking De vier wetten van Maxwell in differentiële vorm (vgl. (1.4(1.5(1.8 en (1.9 geven het verband tussen E, B en de ladings- en stroomdichtheid lokaal in een punt. Ook in vacuüm (in afwezigheid van ladingen en stromen moeten de velden aan deze vergelijkingen voldoen. We gaan nu zien welke oplossingen er mogelijk zijn (buiten de triviale oplossing E = B = De golfvergelijking in vacuüm De wetten van Maxwell in de vrije ruimte worden nu: E = B = B E = (1.1 t E B = ε t We gaan uit deze gekoppelde differentiaalvergelijkingen E of B elimineren om een enkele differentiaalvergelijking in E of B te bekomen, maar eerst proberen we de formules te interpreteren. Het is duidelijk dat als B en E onafhankelijk zijn van de tijd, een mogelijke oplossing E=B= kan zijn: de rechterleden van de derde en
vierde vergelijking zijn immers nul. Stel dat het elektrische veld lineair verandert met de tijd. Ten gevolge van de wet van Ampère zal dit een magnetisch veld induceren dat tijdsonafhankelijk is (de tweede afgeleide van B is immers nul. Dit magnetische veld zal dus op zijn beurt geen elektrisch veld meer kunnen induceren via de wet van Faraday. Pas als de tweede afgeleide van het elektrische veld verschillend is van nul, zal het geïnduceerde magnetische veld op zijn beurt een elektrisch veld kunnen induceren. Deze koppeling geeft uiteindelijk aanleiding tot een elektromagnetische golf. Dit impliceert dat elektromagnetische golven niet kunnen opgewekt worden door stilstaande ladingen of ladingen die een constante snelheid hebben. Enkel versnellende ladingen zullen elektromagnetische golven opwekken. Als we de rotor nemen van de wet van Ampère bekomen we: E B B = ε = ε ( E = ε µ (1.11 t t t Men kan heel eenvoudig aantonen dat voor elk vectorveld B = B B (1.1 ( waarbij de Laplaceoperator is: = + + (1.13 x y z Vermits de divergentie van B steeds nul is, geven (1.11 en (1.1: B B = ε (1.14 t Deze tweede orde differentiaalvergelijking noemen we de golfvergelijking. Het is eenvoudig aan te tonen dat de elektrische veldvector aan dezelfde vergelijking moet voldoen: E E = ε (1.15 t Vlakke lopende golven Het is duidelijk dat er heel wat oplossingen zijn van de golfvergelijking met de drie componenten (E x,e y,e zdie van de drie coördinaten en de tijd afhangen. We gaan op zoek naar een eenvoudige oplossing, waarbij we de x-as oriënteren volgens E en bovendien veronderstellen dat het veld niet verandert in de x en de y richting. Vlakke lopende golven bestaan strikt genomen niet omdat er een oneindig grote bron (het xy vlak nodig is om ze te genereren, maar in praktijk kunnen heel wat golfvormen benaderd worden als een vlakke golf als de bron maar ver genoeg verwijderd is van de waarnemer. Bovendien zijn vlakke golven een van de mathematische bouwstenen waarmee meer ingewikkelde golfvormen kunnen samengesteld worden. Twee punten in de ruimte noemt men in fase als de elektrische veldvector simultaan in die twee punten oscilleert. Een oppervlak waarvan alle punten in fase trillen, noemt men een golffront. Vlakke golven hebben bijgevolg vlakke golffronten (in ons voorbeeld evenwijdig met het xy vlak. Vergelijking (1.15 vereenvoudigt dan tot:
Ex Ex = ε µ (1.16 z t Om de oplossing van deze vergelijking te vinden, voeren we best een substitutie uit ξ = z ε zodat: Ex Ex = E + x = ξ t ξ t ξ t Dit wil zeggen dat: Ex Ex = ± ξ t We zoeken dus een functie E x( ξ,t waarvan de afgeleide naar ξ gelijk is of tegengesteld aan de afgeleide naar t. De meest eenvoudige functie die hieraan voldoet is (t ± ξ, maar in feit voldoet elke willekeurige functie f van (t ± ξ hieraan want f ( t ± ξ = f '( t ± ξ ( t ± ξ = f '( t ± ξ t t en f ( t ± ξ = f '( t ± ξ ( t ± ξ = ± f '( t ± ξ ξ ξ waarbij het accent de afgeleide van de functie naar (t ± ξ betekent. Met de substitutie voor ξ wordt dit: E x(z,t = f(t ± z ε (1.17 We zien dus dat een tekening van de functie f(z bij t = ε een exacte replica is van de tekening van de functie f(z bij t=, maar met een eenheid opgeschoven in de positieve z richting (voor f(t z ε of een eenheid in de negatieve z richting (voor f(t + z ε. Door de afstand waarover de functie zich verplaats te delen door de tijd die ze erover doet, bekomt men de snelheid waarmee de elektromagnetische golf zich verplaatst. Uit de Maxwellvergelijkingen volgt dus dat alle elektromagnetische golven in vacuüm zich voortplanten met dezelfde snelheid: 1 8 c = 3x1 m/ s (1.18 ε µ Tot voor 1983, toen de nieuwe standaard voor lengte en tijd werd ingevoerd, werden er heel veel metingen van deze snelheid verricht voor een uiteenlopend aantal frequenties (van laagfrequente radiogolven tot en met x-stralen en gammastralen. Het feit dat al deze metingen een snelheid aangaven die overeenkomt met (1.18 word gezien als een van de sterkste bewijzen van de wetten van Maxwell. Harmonische vlakke golven In wat volgt beperken we ons tot harmonische (monochromatische of sinusvormige vlakke golven. Net zoals vlakke golven mathematische bouwstenen zijn voor meer complexe golffronten, zo zal een harmonische golf een bouwsteen zijn om golven met een complexer tijdsverloop te beschrijven. Een harmonische golf ontstaat wanneer de bron (antenne aangedreven wordt door een oscillerende stroom met
een constante hoekfrequentie ω. Een harmonische vlakke golf kan dus (complex geschreven worden als: E = E exp j( ωt kz xˆ (1.19 E is de amplitude van de golf (eenheid: V/m. De elektrische veldvector oscilleert met een cirkelfrequentie ω (eenheid s -1. Vergelijking (1.19 is een oplossing van de golfvergelijking (1.15 als ω c = (1. k k noemt met het golfgetal (eenheid m -1. De afstand tussen twee punten langs de z as met dezelfde waarde van de elektrische veldvector noemt men de golflengte en is gegeven door: π λ = (1.1 k Bijgevolg kan (1. herschreven worden als functie van de golflengte λ en de frequente ν=ω/π: λν = c (1. Polarisatie van een elektromagnetische golf Tot hiertoe hebben we enkel naar de elektrische veldvector gekeken. Uit (1.14 volgt al direct dat we (1.19 kunnen herschrijven voor de magnetische veldvector, maar we zullen de wetten van Maxwell gebruiken om enkele fundamentele eigenschappen van E en B in een elektromagnetische golf aan te tonen. Veronderstel een lineair gepolariseerde harmonische vlakke golf, oplossing van de golfvergelijking (1.15 waarbij het polarisatierichting gegeven wordt door een willekeurige, constante vectore : E = E exp j( ωt kz met ω/k=c (1.3 We zullen nu aantonen dat E altijd loodrecht moet staan op de voortplantingsrichting (hier de z as. Vergelijking (1.3 voldoet wel aan de golfvergelijking, maar dient eveneens op elk moment en op elke plaats te voldoen aan alle wetten van Maxwell. De wet van Gauss eist: E E x y Ez + + = (1.4 x y z Voor de vlakke golf uit vergelijking (1.3 is er geen afhankelijkheid van x en y. Bijgevolg is: E x E = y = x y Vergelijking (1.4 herleidt zich tot: E z = z Dit wil zeggen dat de z component van het elektrische veld onafhankelijk moet zijn van de z coördinaat. De enige manier waarop dat dit in overeenstemming gebracht kan worden met (1.3 is dat E z overal nul is. Bijgevolg moet de polarisatierichting
van de golf loodrecht staan op de voortplantingsrichting. Vermits willekeurige golf altijd kan beschouwd worden als een samenstelling van vlakke golven, is deze uitspaak algemeen geldig. Laat ons nu terugkeren naar het probleem om het magnetische veld te bepalen in functie van het elektrische veld. Voor de eenvoud kiezen we een lineair gepolariseerde harmonische golf met de polarisatierichting volgens de x as: E = E exp j( ωt kz xˆ Uit de wet van Faraday volgt: B = { E exp j( ωt kz xˆ } t = jke exp j( ωt kz yˆ Door deze vergelijking te integreren over de tijd bekomen we: k B = E exp j( ωt kz yˆ ω E = exp j( ωt kz yˆ c waarbij de integratieconstante nul is als er geen statisch veld aanwezig is. We zien dus dat de magnetische veldvector eveneens loodrecht staat op de voortplantingsrichting en altijd loodrecht op de elektrische veldvector. In het algemeen geval wordt een lineair gepolariseerde golf voorgesteld door: E E exp = j( ωt k r (1.5 waarbij k de voortplantingsvector is met als richting de voortplantingsrichting van de golf en als grootte het golfgetal k. Door de wet van Gauss hierop toe te passen zien we: E = jk E = De vector E moet dus altijd loodrecht staan op de voortplantingsvector k. De algemene uitdrukking voor het magnetische veld in een vlakke lineair gepolariseerde golf is B B exp = j( ωt k r Uit de wet van Faraday volgt dan: B = jω B = E t En bijgevolg: 1 B = ( k E (1.6 c E,B en k vormen dus steeds een rechtsdraaiend assenstelsel. Opgave: Het elektrische veld van een radiozender bedraagt typisch,1 V/m op enkele kilometers van de zender. Bereken de amplitude van het er bijhorende magnetische veld.
Spectrum Vlakke golven in een homogeen isotroop diëlectricum De afleiding van de golfvergelijking in een diëlectricum met relatieve permittiviteit ε r en relatieve permeabiliteit µ r verloopt op een analoge manier: E E = εrε µ rµ t (1.7 B B = εrε µ rµ t Oplossingen van deze vergelijkingen zij golven die zich voortplanten met een snelheid 1 v = (1.8 ε ε µ µ r r Vermits ε r > 1 en µ r 1, is dit steeds kleiner dan de snelheid in vacuüm. Lineair gepolariseerde harmonische golven in de z richting kunnen geschreven worden als: E = E exp j( ωt kz B = B exp j( ωt kz met ω k = en λν = v (1.9 v De golflengte van een golf met vaste frequentie is dus altijd kleiner dan wanneer die golf in vacuüm zou reizen. Op analoge wijze vinden we: 1 k B = E (1.3 v k De verhouding van de lichtsnelheid in vacuüm tot de snelheid van het licht in het medium, noemt men de brekingsindex van het medium: c n = = ε rµ r (1.31 v Energie in een elektromagnetische golf We hebben gezien dat de energiedichtheid per volume-eenheid in een elektromagnetisch veld gelijk is aan: 1 1 u = ε E + B (1.3 µ Zonder bewijs zullen we aannemen dat dit ook geldig is voor tijdsafhankelijke velden en dus voor elektromagnetische golven. Voor een harmonische vlakke golf is: E B = = ε E (1.33 c Bijgevolg zijn de bijdragen tot de energiedichtheid van E en B gelijk! De elektromagnetische golf transporteert een hoeveelheid energie terwijl ze propageert. Veronderstel een vlakke harmonische golf die zich voortplant in de richting van de
positieve z as. De energiestroom door een eenheidsoppervlak loodrecht op de z as in een tijd t is dan: u c t zˆ. Bijgevolg kan de energiestroom geschreven worden als: 1 S = ( E B (1.34 µ Dit is de Pointing vector. Vermits zowel het elektrisch als het magnetisch veld oscillerende functie zijn van de tijd, zal de Pointingvector dat ook zijn: S = cε E cos kz ωt z ( ˆ (1.35 In de meeste gevallen is de periode van een elektromagnetische golf erg kort (voor licht bijvoorbeeld 1-15 s en kan een detector onmogelijk de ogenblikkelijke energiestroom waarnemen, maar enkel een tijdsgemiddelde. We zijn dus meestal slechts geïnteresseerd in een (over verschillende periodes gemiddelde energiestroom: T 1 1 I u = u(tdt c E T = ε (1.36 Men noemt dit de intensiteit van de elektromagnetische golf. Opgave 1: Stel dat de amplitude van het elektrische veld van een vlakke golf gelijk is aan.1 V/m (een typische waarde op een paar kilometer van een radiozender, bereken dan de energie per tijdseenheid die door een eenheidsoppervlak stroomt. Veronderstel dat je op 1 km van de zender staat, wat is dan het totale vermogen dat de zender moet uitstralen? Opgave : Als de radiozender zich onder water bevond (ε r = 8, wat is dan de energiestroom? Wat is dan het vermogen van de bron? Naast energie transporteert een elektromagnetische golf ook impuls. Men kan aantonen dat het transport van impuls gegeven wordt door: S P = (1.37 c Het gemiddelde impulstransport is bijgevolg: 1 P = ε ˆ Ez (1.38 c Als een elektromagnetische golf invalt op een oppervlak zal dit impulstransport aanleiding geven tot een kracht op het oppervlak die we de stralingsdruk noemen. Voor een perfect absorberend oppervlak met grootte A is de impulsoverdracht in een tijd t gelijk aan: p = P Ac t. De stralingsdruk wordt dan: 1 p I P = = (1.39 A t c Voor een perfecte reflector is de stralingsdruk twee keer zo groot, omdat het impuls van teken omkeert (cfr. elastische botsing van een massa tegen een zware wand. Opgave: De intensiteit van zonlicht op het aardoppervlak is gemiddeld 13 W/m. Als het zonlicht invalt op een perfect absorberend oppervlak, wat is dan de stralingsdruk? Stel dat we het zonlicht laten invallen op het trommelvlies van ons oor, zouden we dan die druk kunnen horen?
Randvoorwaarden aan de grens tussen twee diëlectrica We gaan nu stilaan de reflectie van een elektromagnetische golf aan een diëlectricum bekijken (reflectie en transmissie van radiogolven, Gsm signalen, licht..aan materialen. We zullen zien dat de klassieke formules uit de geometrische optica (brekingswetten van Snell uiteindelijk het gevolg blijken te zijn van de wetten van Maxwell. Maar eerst moeten we bekijken hoe elektrische en magnetische veldlijnen beïnvloed worden aan de rand van een diëlectricum. Randvoorwaarden voor het elektrische veld. Laat ons de wet van Faraday toepassen op een klein rechthoekje zoals aangegeven in de figuur. Het oppervlak waarover geïntegreerd wordt staat loodrecht op het oppervlak van het diëlectricum, terwijl de bovenste zijde zich in vacuüm bevindt en de onderste zijde in het diëlectricum. d E d l = B ds dt (1.4 Als we de zijde t naar nul laten gaan, dan zal in de limiet het rechterlid van (1.4 naar nul gaan. De lijnintegraal in het linkerlid behoud nog twee termen: die over de bovenzijde (in vacuüm en die over de onderzijde (in het diëlectricum. Bijgevolg is: E l E l = 1 Vermits l een vector evenwijdig met het oppervlak is en E 1 de elektrische veldvector net boven het oppervlak en E de elektrische veldvector net onder het oppervlak, kunnen we besluiten: Aan de grenslaag met een diëlectricum is de horizontale component van E continu. Merk op dat er zich op het oppervlak van het diëlectricum geen vrije lading bevindt (het is een passieve, ongeladen isolator, maar dat er zich wel een geïnduceerde, gebonden lading zal bevinden. Dit heeft voor gevolg dat de verticale component van het elektrische veld een discontinuïteit zal vertonen aan de grenslaag. Als we de wet van Gauss toepassen op een cilinder waarvan de as loodrecht staat op het oppervlak, dan is: inds E ds = σ (1.41 ε S waarbij σ ind de geïnduceerde lading is op het oppervlak van het diëlectricum. Als we de hoogte van de cilinder naar nul laten gaan, dan is de flux door de mantel nul en wordt de wet van Gauss: σinds χees E1 S E S = =. (1.4 ε ε S met χ e de susceptibiliteit van het diëlectricum en S een vector loodrecht op het oppervlak. Vermits 1+ χ e = ε r, volgt hieruit dat: De loodrechte component van het elektrische veld, vermenigvuldigd met de permittiviteit is continue aan de grenslaag.
Randvoorwaarden voor het magnetische veld. Beschouwen we een kleine cilinder met de as loodrecht op het oppervlak, het deksel in vacuüm en de bodem in het diëlectricum. Vanwege de wet van Gauss is: B ds = (1.43 Als we de lengte van de cilinder naar nul laten gaan (terwijl het deksel in vacuüm blijft en de bodem in het diëlectricum, dan wordt de flux door de mantel nul. De wet van Gauss wordt dan: B S = B S 1 waarbij S een vector is loodrecht op het oppervlak. Bijgevolg is aan de grenslaag met een diëlectricum is de verticale component van B continu. Randvoorwaarden voor de magnetische intensiteit Passen we de wet van Ampère toe op hetzelfde oppervlak als voor de continuïteit van de elektrische veldvectoren: d H d l = µ I + ε E ds dt (1.44 B waarbij H = en I de vrije stroom door het oppervlak. Laten we de hoogte van µ µ r de rechthoek naar nul gaan, dan is in de limiet het rechterlid van (1.44 weer nul (de vrije stroom in een diëlectricum is nul en het oppervlak van de integraal wordt nul. Bijgevolg is aan de grenslaag met een diëlectricum is de horizontale component van H continu. In wat volgt gaan we deze relaties gebruiken om de reflectie en transmissie van elektromagnetische golven aan een diëlectricum te berekenen. Vergelijkingen van Fresnel Voor de eenvoud beperken we ons tot een halfoneindig diëlectricum (interferenties in een eindige laag komen dus niet aan bod. Het is duidelijk dat we voor de reflectie van een elektromagnetische golf rekening moeten houden mat de polarisatierichting ten opzichte van het reflecterende oppervlak. Om de berekening overzichtelijk te houden, zullen we eerste de reflectie bij loodrechte inval bekijken: vermits de elektrische veldvector hier altijd evenwijdig is met het oppervlak, zal de reflectiefactor onafhankelijk zijn van de aard van polarisatie van de golf. Nadien behandelen we de reflectie bij schuine invalshoek. Veronderstel dat een vlakke, in de x richting gepolariseerde golf loodrecht invalt op het scheidingsvlak (xy vlak tussen vacuüm en een diëlectricum met relatieve permittiviteit ε r en relatieve permeabiliteit µ r. De invallende golf krijgt een index I, de gereflecteerd golf een index R en de doorgelaten golf een index T. De uitdrukkingen voor deze golfcomponenten zijn:
met EI = EI exp j( ωt k1x x, ˆ BI = BI exp j( ωt k1x y, ˆ ER = ER exp j( ω t + k1x x, ˆ BR = BR exp j( ω t + k1x y, ˆ ET = ET exp j( ωt kx x, ˆ BT = BT exp j( ωt kx y. ˆ k = ω ε µ, k 1 = ω ε ε µ µ r r (1.45 Opgave: Verklaar de min tekens in (1.45 Hierin zijn E I, B I,...de amplitudo van de verschillende golven die uit de randvoorwaarden moeten bepaald worden en werd reeds expliciet (1.3 in rekening gebracht. Laten we het oppervlak samenvallen met z=, dan eist de continuïteit van de horizontale component van E aan de grenslaag: E (z = + E (z = = E (z = of I R T E + E = E I R T (1.46 De verticale component van B is nul aan beide zijden van het scheidingsvlak in deze configuratie, dus deze uitdrukking levert ons geen nieuwe informatie op. De continuïteit van de horizontale component van de magnetische veldsterkte vereist: H + H = H of I R T BI BR B T =. µ µ µ µ r Met (1.8 en (1.3 kan dit herschreven worden als: ε ε εrε E E = E µ µ µ µ I R T r (1.47 (1.48 Vermits voor diëlectrica µ r 1 (diëlectrica zijn immers altijd paramagnetisch of diamagnetisch kunnen we met (1.31 in een goede benadering schrijven: E E = ne. (1.49 I R T Vergelijkingen (1.46 en (1.49 zijn twee vergelijkingen waaruit we de amplitudo van de gereflecteerde en de doorgelaten golf kunnen halen in functie van de amplitude van de invallende golf: ER 1 n =, EI 1 + n (1.5 ET =. E 1 + n I
Merk op dat voor de reflectie aan een medium met een brekingsindex groter dan 1, de verhouding van de gereflecteerde amplitude tot de invallende negatief is. Dit correspondeert met een fasedraaiing van 18 bij reflectie. De reflectiefactor wordt gedefinieerd als de verhouding van de gereflecteerd op de invallende energie. De transmissiefactor wordt gedefinieerd als de verhouding van de doorgelaten op de invallende energie. Bijgevolg is: E R 1 n R =, = E I 1+ n Merk op dat R+T=1. εrε ET µ rµ 4n T = =. ε ( 1+ n E I µ Opgave: De brekingsindex van glas in het zichtbare gebied van het elektromagnetische spectrum is ongeveer 1.5. Bereken de reflectie- en de transmissiefactor. De brekingsindex van water bij radiofrequenties is ongeveer 9. Bereken de reflectie en transmissiefactor. (1.51 Opgave: Zoek een verklaring (op microscopisch niveau van de materie waarom een hogere brekingsindex aanleiding geeft tot een grotere reflectie en een kleinere transmissiefactor. Reflectie bij schuine inval Bij schuine inval zal de reflectiefactor afhankelijk van de polarisatierichting blijken te zijn. Vermits een golf met een willekeurige polarisatie altijd kan beschouwd warden als de superpositie van twee loodrecht op elkaar lineair gepolariseerde golven, volstaat het om de reflectiefactor van lineair gepolariseerde golven voor de polarisatierichting in het invalsvlak en de polarisatierichting loodrecht op het invalsvlak te berekenen. Omdat deze twee polarisatierichtingen een verschillende reflectiefactor hebben, kan de polarisatie van een invallende golf veranderen na reflectie aan een oppervlak. De elektrische veldvectoren kunnen geschreven worden als: EI EI exp = j( ωt ki r ER ER exp = j( ωt kr r ET = ET exp j( ωt kt r (1.5 Waarbij k I dezelfde grootte heeft als k R maar een andere richting en de grootte van k T gegeven wordt door (1.9: kic = krc = ktv (1.53 We moeten nu de continuïteit van de componenten van E en B uitdrukken aan beide zijden van de grenslaag voor elk punt van de grenslaag en op elk tijdstip. Dit
impliceert dat de termen uit (1.5 dezelfde ruimtelijke periodiciteit op het vlak z= moeten hebben of dat: k r = k r = k r op het vlak z=, I R T ofwel (k x + (k y = (k x + (k y = (k x + (k y I x I y R x R y T x T y Dit laatste schrijven we een keer neer voor x= en voor y=: (k = (k = (k voor x= en I y R y T y (k = (k = (k I x R x T x voor y= voor alle x en y. Als we ons assenstelsel zodanig kiezen dat (k I y =, dan volgt uit de eerste vergelijking van (1.55: De invallende, gereflecteerde en doorgelaten straal liggen in hetzelfde vlak (het invalsvlak, dat ook de normaal op het oppervlak bevat (hier, de z as. (1.54 (1.55 De tweede vergelijking uit (1.55 impliceert: k sinθ = k sinθ = k sin φ, (1.56 I I R R T met θ I de invalshoek (t.o. de normaal, θ R de reflectiehoek en φ de brekingshoek. De eerste gelijkheid uit (1.54 geeft: De invalshoek is gelijk aan de reflectiehoek De tweede gelijkheid uit (1.54 geeft: sinφ k n = = sinθ k n I 1 I T (1.57 Dit is de brekingswet van Snell. We zien dus dat deze klassieke wetten uit de geometrische optica rechtstreeks uit de wetten van Maxwell volgen. Vermits de wetten van Snell er nu voor zorgen dat de ruimtelijke periodiciteit van de veldvectoren aan beide zijden van de grenslaag dezelfde is, blijft nog over van de continuïteitsvoorwaarden: ε ( EI + ER = εrε ( ET z z ( BI + BR = ( BT z z (1.58 E + E = E ( I R ( T x,y x,y 1 1 ( BI + BR = ( BT µ µ µ x,y r x,y
Polarisatierichting in het invalsvlak. Als de elektrische veldvector van de invallende golf in het invalsvlak ligt, dan zullen de refeflecteerde in de doorgelaten golven ook in dit vlak gepolariseerd zijn. Vergelijkingen (1.58 worden nu: ε E sinθ + E sinθ = ε ε E sinθ ( ( I I R R r T T E cosθ + E cosθ = E cosθ I I R R T T 1 1 ( E E = E µ µ µ I R T c r v (de tweede vergelijking uit (1.58 is identiek nul Uit de eerste twee vergelijkingen halen we: ER ncosθi cosθt v = met n = = ε E ncosθ + cosθ c I I T De reflectiefactor wordt bijgevolg: ncosθi cosθ T R = ncosθ I + cosθt Op dezelfde manier vinden we een uitdrukking voor de transmissiefactor: ET = E I α + β cosθt α cosθ 1 c β µ v r I r (1.59 (1.6 (1.61 (1.6 Opgave: Maak een plot van E T /E I en E R /E I als functie van de invalshoek voor het geval µ r =1, n=1.5. De transmissie wordt nul en de reflectie wordt gelijk aan 1 bij scherende inval (θ I =π/. We zien dat er een hoek bestaat waarbij de reflectiefactor nul wordt: tanθ = n (1.63 Dit is de Brewster hoek. Bij een willekeurig gepolariseerde golf zal de component die in het invalsvlak gepolariseerd is, volledig doorgelaten worden. De gereflecteerde golf is bijgevolg gepolariseerd in een richting loodrecht op het invalsvlak. Opgave: Als een golf invalt onder de Brewsterhoek, dan is de gereflecteerde golf lineair gepolariseerd. Is de doorgelaten golf dan ook lineair gepolariseerd? B
Polarisatierichting loodrecht op het invalsvlak. Op een volledig analoge wijze bekomen we de reflectie- en transmissiecoëfficiënten voor elektromagnetische golven die loodrecht op het invalsvlak gepolariseerd zijn. Merk op dat voor deze polarisatierichting er geen enkele hoek bestaat waarvoor R=.