1 QUANTUM FYSICA 1 3NB5 donderdag 8 oktober 1 14. 17. uur Dit tentamen omvat opgaven. Bij ieder onderdeel wordt aangegeven wat de maximale score is op een schaal van 1 punten. Het formuleblad voor dit tentamen is bijgevoegd ná de opgaven. Het gebruik van een laptop en rekenmachine is niet toegestaan. Op de laatste pagina is een bijlage gegeven voor opgave 1.8 en voor opgave.; denk eraan deze in te leveren tezamen met de uitwerkingen! De antwoorden en beknopte uitwerkingen worden na afloop van het tentamen op Studyweb geplaatst. n 1
1 Opgave 1. De asymmetrische oneindige diepe quantumput Gegeven een asymmetrische oneindig diepe put waarvan de potentiaal gelijk is aan: voor x a (gebied I, IV) V( x) voor a x (gebied II) V voor xa (gebied III) V en a zijn reële, positieve constanten die de stationaire toestanden bepalen. Voor zekere waarden van V en a zijn in de figuur de laagste acht eigenenergieën aangegeven behorend bij 1 t/m 8. We bekijken nu eerst de situatie waarin de totale energie groter is dan de potentiële energie voor a x a, zodat E V. 1.1. Geef voor E V de algemene oplossing van de Schrödinger vergelijking in de vier aangegeven gebieden, I, II, III en IV. (3 punten) n
1 1.. Geef de randvoorwaarden bij x a, x enx a voor de golffunctie ( x) en de eerste afgeleide van de golffunctie d ( x)/ dx. ( punten) 1.3. Laat zien dat voor E V de eigenenergieën dienen te voldoen aan de volgende vergelijking: kcos( ka)sin( qa) qsin( ka)cos( qa) (1 punten) me met k en q m EV 1.4. Bereken uit de vergelijking van het vorige onderdeel in de limiet van V alle toegestane eigenenergieën. In de volgende drie onderdelen gaan we over op een lagere totale energie: V E. 1.5. Geef nu voor V E de algemene oplossing van de Schrödinger vergelijking in de vier aangegeven gebieden, I, II, III en IV. (3 punten) 1.6. Leid uit de randvoorwaarden af dat voor V E de eigenwaarden dienen te voldoen aan: kcos( ka)sinh( qa ) qsin( ka)cosh( qa ) me met k en q m V E x x x x Gebruik hierbij: x e e x e e (1 punten) cosh /, sinh /. 1.7. Bereken uit de vergelijking van het vorige onderdeel in de limiet van V alle toegestane eigenenergieën. n 3
1 Voor willekeurige k, q en q is het niet mogelijk om analytische uitdrukkingen te vinden voor de eigenenergieën. Zoals eerder gezegd, in de figuur zijn er voor zekere waarde van V en a de eigenenergieën aangegeven behorend bij 1 t/m 8. 1.8. Teken in de bijlage de waarschijnlijkheidsdichtheid en behorend bij 1 4 de situatie dat V E, en teken ook de waarschijnlijkheidsdichtheid en voor E V. Let hierbij speciaal op de aspecten golflengte, 5 7 de plaatsen waar nul is (de 'knopen'), de amplitude, en eventueel de mate van doordringing in klassiek verboden gebieden. (1 punten) n 4
1 Opgave. Het waterstofatoom De driedimensionale tijdonafhankelijke Schrödinger vergelijking wordt gegeven door: m V E met 1 1 1 r sin r r r r sin r sin.1. De potentiaal hangt alleen van r af (niet van of ). Separeer de Schrödinger vergelijking in een hoekafhankelijk deel Y (, ) en een straalafhankelijk deel R( r ), en laat zien dat: 1 d dr mr r V E l( l 1) Rdr dr met ll ( 1) een separatieconstante... Maak een schets van de radiale golffunctie R ( ) die behoort bij de Coulomb- e 1 potentiaal: V() r 4 r. Dit kan kwalitatief, zonder de golffunctie uit te rekenen. Let op de nul-doorgangen ('knopen') en het gedrag bij r = en r. r De oplossingen voor de Coulomb-potentiaal worden gegeven door: l1 r 4 1 Rnl ( r) e v( ), met, a de Bohr-straal, en r an me v( ) c. j j j ( j l1 n) De coëfficiënten c j kunnen berekend worden via: cj1 ( j1)( jl) c. j n 5
1.3. Bereken met behulp van bovenstaande vergelijkingen de genormeerde radiale golffunctie R () r. Hint: Stel eerst c A tenslotte A door normering.. Bereken dan de coëfficiënten c j en v( ). Bereken Dit moet het volgende antwoord opleveren: r 1 3 1 r () 1 a a R r a e. Het polynoom v( ) j cj kan ook worden geschreven als: l v( ) L 1 n l 1 j. p d Lq p( x) 1 Lq( x) dx p Hierin is p het geassocieerde Laguerre polynoom, en is x d x Lq ( x) e e x dx q q het q-de Laguerre polynoom. De genormeerde oplossingen van de radiale Schrödinger vergelijking worden dan gegeven door: 3 1! r nl l 1 nl () na r r R r e L 3 n l 1 na n n l! na na. l.4. Bereken wederom R ( ), maar nu door gebruik te maken van de gegeven r (geassocieerde) Laguerre polynomen. n 6
1.5. Bereken de eigenenergie E door het invullen van R ( ) in de Schrödinger vergelijking. r Dit moet het volgende antwoord opleveren: E m e 1 4 4..6. Bereken de verwachtingswaarde van de potentiële energie V voor de toestand n =, l =..7. Bereken de verwachtingswaarde van de kinetische energie T voor de toestand n =, l =. Hint: De operator voor de kinetische energie T in bolcoördinaten kun je bepalen met behulp van de gegevens helemaal aan het begin van deze opgave!.8. Laat zien dat voor de totale energie van de n toestand, T V, geldt: T V E. n 7
1 QUANTUM FYSICA 1 - formuleblad goniometrie sin( ab) sin acosbcos asin b cos( ab) cos acosb sin asin b cosinusregel c a b abcos standaard integralen 1 x xsin( ax) dx sin( ax) cos( ax) a a 1 x x cos( ax) dx cos( ax) sin( ax) a a n x/ a n1 xe dx na! n x/ a n! a x e dx n! n! x e dx a n1 x / a n b a partiële integratie dg b df f dx fg g dx a dx dx b a n1 natuurconstanten (afgerond) massa elektron m e = 9.11 1-31 kg massa proton m p = 1.67 1-7 kg elementaire lading e = 1.6 1-19 C constante van Planck ħ = 1.5 1-34 J s constante van Boltzmann k B = 1.38 1-3 J K -1 lichtsnelheid c = 3. 1 8 m s -1 permittiviteit vacuüm = 8.85 1-1 C J -1 m -1 n 8
1 Naam:................... Identiteitsnr. :............. n 9