Wiskunde voor informatici Oefeningen Reinout Stevens resteven@vub.ac.be Prof: Ann Dooms Assistent: Arnout Van Messem 5 Juni 8
Gedachtenstroom In dit document staan de meeste oplossingen van de cursus Wiskunde voor Informatici II. Het is echter geen garantie dat deze en juist en volledig zijn. Gedurende het jaar komen er ook taken, welke hier niet in staan. Kortom, ga braaf naar de oefeningsessies en bekijk dit als een handig studiemiddel wanneer eigen notities niet meer duidelijk zijn of nooit duidelijk waren. Indien er nog fouten instaan mogen deze gerust doorgegeven worden, misschien heb ik geen rotslecht humeur en zal ik ze wel aanpassen. Ook de ontbrekende oefeningen zijn welkom. Geef Arnout ook spontaan een knuffel of een bak bier, wat waarschijnlijk in betere aarde zal vallen voor het meermaals nakijken van deze cursus. Oefeningen. Oefening Zij V een Vectorruimte, dan zijn de nulvector en inversie uniek: Stel er zijn nulvectoren o en o { o + o o o + o o o o Stel dat er inversen zijn -x en -x { x + x o x + x o x x. Oefening a Te Bewijzen R n is een vectorruimte b Bewijs i. x + y y + x p i e i + φ e i i i p i + φ i e i i φ i + p i e i i φ i e i + i i p i e i ii. x + y + z z + x + y
x + y + z n p i e i + φ i e i + v i e i i i i n p i e i + φ i + v i e i i i p i + φ i + v i e i i v i + p i + φ i e i i v i e i + i p i + φ i e i i n z + p i e i + i z + x + y φ i e i i iii. V : x + + x x x + x p i e i + e i i p i e i i iv. x V, x x + x x + x p i e i + p i e i i i p i p i e i i v. k x + y kx + ky
k x + y n k p i e i + φ i e i i i k p i e i + φ i e i i kx + ky vi. k, l R, x R n : k + l x kx + lx k k + l x k + l p i e i k i p i e i + l i i kx + lx p i e i vii. k lx klx k lx k l p i e i kl klx i p i e i i viii. x x. Oefening a Bewijzen vectorruimte A x x p i e i i p i e i i a... a m.. M nm R a n... anm
i. ii. A + B b... b m B.. M nm R b n... b nm a... a m b... b m.. +.. a n... anm b n... b nm a + b... a m + b m.. M nm R a n + b n... a nm + b nm a... a m ka k.. a n... a nm ka... a m.. M nm R ka n... ka nm iii. Nu moeten de 8 eigenschappen uitgeschreven worden. b Geven van een basis E a a M a a E etc. Voortbrengend a b a, b, c, d : ae c d + be + ce + de Lineair onafhankelijk αe + βe + γe + δe α β γ δ α β γ δ. Oefening 5
x p i e i i x b p p n x T b Voldoende om na te gaan dat x + y en kx zelfde is voor beide notaties p. p n a x + y x T b + yt b n i p ie i + n i φ ie i p i + φ i e i i p i + φ i. p n + φ n b 5. Oefening 5 k p. p n kx n i p iφ i Er moet toch nog wat uitdaging zijn 6. Oefening 6 Dit is oefening 6 rly 7. Oefening 7 kp i e i kp. kp n + + totaal + + 8 6
8. Oefening 8 a r r+r r r r r r r r r r r r + r r r r r r + r r r r Dit is een strijdig stelsel 6 6 6 6 6 6 6 7
b r r r r +r 6 r r+r [ ] [ ] r r r [ ] r r + r c r r +r r r + r r r r r r r r r + r r r + r { t V, t }, t t R V,, 8
9. Oefening 9 e,,, e,,, e,, + 8 + De determinant is verschillend van : de vectoren zijn lineair onafhankelijk en er zijn er precies, het moet dus een basis zijn. De inverse van de transitiematrix: P 6 6 6 9 We kunnen nu adhv de inverse matrix de nieuwe cordinaten zoeken:. Oefening dx, y x y Te bewijzen dat: P 7 5 a dx, y als en slechts als x y b dx, y dy, x en P 5 8 8 c dx, z dx, y + dy, z de driehoeksongelijkheid a x y x y x y b d x, y x y y x d y, x 9
c d x, y x y x z + z y x z + z y dx, z + dz, y. Oefening Er zijn geen andere metrieken op R d x, y x y + x y d x, y x y + x y a We bewijzen dat d een metriek is: d x, y { x y x y x y x y d x, y x y + x y y x + y x d y, x dx, z x z + x z x y + y z + x y + y z x y + y z + x y + y z d x, y + d y, z b We bewijzen dat d een metriek is: d x, y x y + x y y x + y x d y, x d x, y Pythagoras: { x y x y x y x y x y dx, a dx, z dz, a dx, a dx, z dx, a dx, z Nu kunnen we hetzelfde doen voor da, y, waaruit we kunnen concluderen dx, y dx, a + da, y dx, z + dz, y
. Oefening lim n ɛ N > : n N n d, < ɛ n n < ɛ n > ɛ. Oefening n, n n in X R \, ɛ >, N > m, n > N : d x m, x n < ɛ d x m, x n < ɛ m, m xm n, n xn d x m, x n + m n m n m n Dus neem m > m < ɛ ɛ. Oefening Zij < s < bewijs dan dat lim n s n en lim n n i si s. lim n x n x ɛ, N >, n N : d x n, x < ɛ d s n, < ɛ s n < ɛ s n < ɛ log s n < log ɛ n > log ɛ log s Te bewijzen: lim n i s i s
Bewijs: s s i i i n+ s i s s n+ s n+ i s i 5. Oefening 5 Het is een contractie indien: lim s n s i lim n n sn+ i dfx, fy sdx, y met < s < dfx, fy x + y + x y dx, y Het is dus een contractie Bepalen van het fixpunt: a via de definitie b via limieten 6. Oefening 6 fx x x + x x x lim f n x lim n n n + n n + dfx, fy.9cosx.9cosy.9 cosx cosy.9 sinc x y met c ]x, y[.9 x y Laatste stap gebeurt adhv de middelwaardestelling: c ]a, b[: fb fa b af c Het berekenen van het fixpunt kan men grafisch doen... voor de geïnteresseerde lezer? :
7. Oefening 7 dfx, fy x +. y. x y x + y x y x + y dx, y x + y kan zijn 8. Oefening 8 a Dit is geen contractie, maar wel een affiene transformatie b f f f f 8 8 Dit is geen contractie, maar wel een affiene transformatie f f f f 5 7 x c f y cos π sin π cos π sin π sin π cos π sin π cos π x y + 6 + 6 + Dit is een contractie en een affiene transformatie
f f f f d Geen affiene transformatie f f f f 5 9. Oefening 9 Taak. Oefening straal, nulpunt, En verder: 7 9 9 9 9 9 5 x + y x [ Dus y, [ ] x, y x y ± x dit weten we via de straal ] x Het berekenen van de volledige oppervlakte is keer de oppervlakte van kwart x x x y dydx We [ gaan over naar poolcoördinaten: r, ], θ [ ], π x x y dydx
x r cos θ, y r sin θ Het berekenen van de Jacobiaan J: cos θ r sin θ sin θ r cos θ r cos θ + r sin θ r Het geheel wordt dan:. Oefening π π π π r cos θ r sin θ Jdθdr r rdθdr r r [θ] π dr r r dr π [ ln r ] π ln π ln Oppervlakte voor de transformatie: r d r + dvdu [v] [u] Oppervlakte na de transformatie: ϕx, ydxdy fg G ϕgu, v, hu, v Ju, v dudv gu, v u v + hu, v u + v +. Oefening Definities: J dudv [u] [v] 5
a X, d is een metrische ruimte b Afsluitingspunt x is een afsluitingspunt van A als rij x n in A\{x} : lim n x n x c Gesloten A is gesloten als A al zijn afsluitingspunten bevat d Begrensd A is begrensd als x x : R R +. Oefening a ha, B A B h A, B max {d A, B, d B, A} d A, B d B, A : x A : d x, x < R x A : d x, B en x Bd x, A x A : y < B : d x, y en x B y A : d x, y A B ha, B max {d x, A x A} min d x, y y A } b ha, B hb, A max {d A, B, d B, A} c ha, B ha, C + hc, B ha, B d a, b voor een a A, b B Begrensd: d a, b zal nooit worden want elke afstand tussen punten van A en B zal meetbaar zijn. Deze A en B bestaan want: Gesloten: rand A en rand B erbij en we hebben de randen nodig voor ha, B, wat steeds de afstand is tussen de randen. Dus ha, B <. Voor A B is dit triviaal. Voor A B: a A, a B ha, B da, B > Te Bewijzen: da, B da, C + dc, B.... Oefening 6
d A, B d B, A h A, B d A, C d c,, + R + + 5 + d C, A d c,, R 5 ha, C 5 db, C d c,, + R + dc, B d c,, R hb, C + 5. Oefening 5 a Contracties < dus beide zijn contracties b Contracties toegepast w,, w,, w,, w,, w,, w,, w,, w,, 7
c Hausdorff afstanden d w g, w g d,,, 6. Oefening 6 d w g, w g a + b + e e c + d + f f a + b + e a c + d + f c a + b + e b c + d + e d w,, w,, w,, x w y a b c d x y w,, w,, w,, x w y x y e + f + w,, w,, w,, x w x + y y 7. Oefening 7 8
a Sierpinski N N N 9 N n n b Flakes ln N ln n D lim n n lim n ln n n ln ln ln Zie Sierpinski c Boxes N N N 9 Geen formule voor te vinden. d Binary N N N N 9 8 N 9 6 N N N 9 9
Zie Sierpinski e Koch Curve N N N 9 N 8 7 N n n 8. Oefening 8 Taak : 9. Oefening 9 ln n ln + n ln D lim lim ln n n ln n n ln ln Niet gedaan in de les. Oefening a b d x, y x y x y x y d x, y x y y x y x d y, x c d x, y x y x z + z y x z + z y d x, z + d z, y
. Oefening x x + x x x, x a x x + x x x x b kx k x + k x k x c Analytisch x + y < x + y, x + y > < x, x > + < x, y > + < y, y > x + y + < x, y > x + y + < x, y > x + y + x y x + y. Oefening Oefening voor ne mens met een teveel aan tijd aka Wiscundus Vulgaris. Oefening Taak bonuspunten indien ge het in brainfuck doet. Oefening a i. Eigenwaarden λ λ λ λ λ λ + De eigenwaarden zijn en ii. Eigenvectoren A. λ x + y x y E λ { s } s R
B. λ { } E λ s s R iii. P b iv. P AP 5 5 i. Eigenwaarden 5 5 5 5 5 5 5 λ λ λ + λ + 6 λ λ + 8 c Geen oplossingen i. Eigenwaarden λ λ λ λ λ λ λ λ + λ + λ λ λ + De eigenwaarden zijn, en. ii. Eigenvectoren A. λ E λ t t R t B. λ
E λ t t R t C. λ t E λ t t R t iii. P iv. P AP d i. Eigenwaarden A. δ ɛ De eigenwaarde is δ. B. δ ɛ δ λ δ λ δ λ δ λ δ λ δ λ ɛ λ δ λ ɛ λ De eigenwaarden zijn δ en ɛ ii. Eigenvectoren
A. λ ɛ δ ɛ δ ɛ E ɛ s + t s, t R B. λ δ ɛ δ E δ s s R 5. Oefening 5 { h k+ h k + m k m k+ 5 h k + 5 m k hk+ m k+ 5 5 hk m k V is reeds gegeven in de opgave. V k AV k... A k V A QDQ A k QD k Q a Het berekenen van de eigenwaarden. λ 5 5 λ 5 λ λ + 5 5 8 λ 5λ + λ + 8 λ 7λ + λ λ
b λ 5 } E i {t t R 5 5 5 5 c λ E i d Samenvatting 5 { } t t R 5 e Berekenen Q D en Q 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 f Totaal 5 k k k k k 5 k k k 5 6 lim k V k 5 7 k k k k 6 k k 6 k k 6. Oefening 6 g k+ z k+ g k z k s k s k+ 5
a Eigenwaarden b Eigenvectoren i. λ λ λ λ E t ii. λ t R λ λ λ E t t R iii. λ E t c Samenvatting d Q t R D en Q 6
e Totaal A k QD k Q k k k k k + k k k + k + k V k A k V lim V k lim k k Ak V n n 7. Oefening 7 < x, y > x y +... + x n y n a < x, x > x x +... + x n x,..., x n x b < x, y >< y, x > x y +...+x n y n y x +...+y n x n geldig adhv commutativiteit in R c < x + y, z >< x, z > + < y, z > x + y z +... + x n + y n z n x z + y z +... + x n z n + y n z n d < kx, z > kx z +... + kx n z n k < x, z > 8. Oefening 8 a x < x, x > b d x, y x y Zie oefening voor b 7
a b x < x, x > x < kx, kx > k < x, x > c x + y < x + y, x + y > < x, x + y > + < y, x + y > < x, x > + < x, y > + < y, y > x + < x, y > + y x + x y + y x + y 9. Oefening 9 a < x, y > x y +... + x n y n x < x, x > Dit is de Euklidische norm. d x, y x y x +... + x n x y +... + x n y n b Dit is de Euklidische norm. < f, g > De norm uit..: b a b fxgxdx Nu:. Oefening f a f < f, f > Gegeven zijn volgende basissen in R : fx dx b B e, ; e, 6 B c ; ; c a f x dx, B is een orthogonale en B een orthonormale basis. 8
a Nakijken op loodrechtheid B : 6 6 B : + b Normailiteit van B c + c + c Uitschrijven van vector v tov B < v, e > e + < v, e > e e 6e controle:, 5, 56 Dit komt omdat B geen orthonormale basis is. d Uitschrijven van vector v tov B v. Oefening < v, c > c + < v, c > c 7 c + c 7 controle:, 7 +,, 5 B,, ;,, ; 6,, 9
b b,, b b < b, b > < b, b >b,, 6 b,, b b < b, b > < b, b > b < b, b > < b, b > b 6,, b 5 6,,,, 6, 6, 6 b 5, 5,. Oefening Gegeven: Te Bewijzen: x,..., x n paarsgewijs orthogonaal x,..., x n zijn lineair onafhankelijk, dus αx + βx +... + ωx n α β... ω Bewijs: < αx + βx +... + ωx n, x > α < x, x > <, x > α want < x, x > Dit kan men doen voor alle andere waarden. Oefening a V { y < y, > } R v, v + v
Berekenen van v: v V v, v V v, b V { y < y, x > x V } < y, x > < y, k, > k R ky + ky y y Berekenen van v: V {k, k R} v proj v v < v,, >, <,,, > 8, 5 v proj v v < v,, >, <,,, >, 5 c V {x, y, z x + y + z x + y + z } x + y + z < x, y, z,,, > Berekenen van v: V {k,, k R} v proj v v v v v proj v v <,,,, >,, <,,,,, >,,
. Oefening Te bewijzen: W W {o} Bewijs: W is een deelruimte o W W { x < x, y > y W } W Dus W W. Stel: z W W, z < z, z > z Dit is een contradictie, de doorsnede bestaat dus enkel uit de nulvector. 5. Oefening 5 a Nakijken op basis: i. Inproducten kolommen + + + + ii. Inproduction rijen overbodig + + b Nakijken op genormaliseerd i i i 9 + 9 + 9 9 + 9 + 9 9 + 9 + 9 6. Oefening 6 De inverse matrix is de getransponeerde matrix: A A T B,,,,,,,, B,,, 6, 6, 6,,,
a Nakijken orthonormaliteit i + + i 6 + 6 + 6 i + < i, i > < i, i > < i, i > b Opstellen transitiematrix i B e + e + e P 6 6 6 V Bi P V B P P T I P orthonormaal P P T c Berekenen nieuwe coördinaten P B T 6 6 6 6 7. Oefening 7 onvolledig
fx [, ] fx [, ] fx [ gx [, 8] gx [ 8, 8] gx [ 8, 5 8] gx [ 5 8, 8] 6 gx [ 6 8 8. Oefening 8 Φ jx Φ j x + Φ j+x j 7 6 [ j 6, j+ 6 [ x + 6 [ j+ 6, j+ 6 [ x 8 [ j 6, j+ 6 [ x 8 [ j 8, j+ 8 [ x 9. Oefening 9 fx [ 8, 8[ x + [ 8, 8[ x+ [ 8, 8[ x + [ 8, 8[ x+ [ 8, 5 8[ x + [ 5 8, 8[ x+ 6 [ 6 8, 7 8[ x + [ 7 8, 8[ x 8 k proj v k g k j gj + g j+ Φ k j k+ k+
proj v f j fj + f j+ + Φ + [, [ Φ i + Φ + + Φ + Φ +... + [,[ [, [ + 5 [, [ + [, [ + [,[ proj v k f j fj f j+ Φ k k+ k+ j Φ k j+ Φ Φ + Φ Φ +... +... 8 [, 8[ [ 8, + 8 8[ [ 8, 8[ [ 8, + 8[ [, 8[ [ 8, + 8[ [ 8, 8[ [ 8, 8[ 5