Bewerkingen met krachten

21 Bewerkingen met krachten Opgeloste Vraagstukken 2.1. Bepaal het moment van de kracht van 2N uir Fig. 2-3 rond het punt O. Laat de loodrechte OD neer vanuit O op de rechte waarlangs de kracht van 2N ageert. Volgens de gegeven schaal is de lengte ervan 4,33 m. Het moment van de kracht rond O (en in feite is dit rond een as door O loodrecht op het xy-vlak) is daarom (2 4,33) = - 86,6 Nm.

22 Fig. 2-3 Fig. 2-4 Het minteken werd gebruikt om de richting van de draaiing de wijzerzin is. 2.2. Los Vraagstuk 2.1 op met behulp van de stelling van Varignon. Zie Fig. 2-4. De toepassing van deze stelling bestaat erin de kracht van 2N te verschuiven langsheen de rechte waarlangs ze ageert zodat de x- of y-component eenvoudig wordt. Als het punt B gekozen wordt op de x-as, dan is het duidelijk dat de x-component geen moment veroorzaakt rond O. Het moment van de kracht van 2N rond O is dan gelijk aan het moment van de y- component rond O, of (17,32 5) = -86,6 Nm. Als het punt A gekozen wordt op de y-as, dan veroorzaakt de y-component geen moment rond O. Het moment van de kracht van 2N rond O is dan gelijk aan het moment van de x-component rond O, of (1 8,66) = -86,6 Nm. 2.3. Een kracht van 1N is gericht langs een rechte vanaf het punt waarvan de (x, y, z)-coördinaten (2,, 4)m zijn tot het punt met coördinaten (5, 1, 1)m. Wat zijn de momenten van deze kracht rondom de x, y, en z- as? In Fig. 2-5 veronderstellen we dat de schaal zo is dat de 1N-kracht gegeven wordt door de diagonaal van het parallellepipedum waarvan de zijden evenwijdig zijn met de coördinaatassen. De zijden stellen hierbij in dezelfde schaal de componenten van de kracht voor. Fig. 2-5

23 De x zijde is 5 2 = 3m lang; de y zijde is 1 = 1m lang en de z zijde is 1 4 = -3m lang. Dit betekent dat de component F z gericht is naar achteren of langs de negatieve richting van de z-as. lengte van de x zijde 3 3 F x = 1N = 1N = 1N = 68,7N. lengte van de diagonaal 2 2 2 3 + 1 + 3 19 1 3 Op dezelfde wijze, is F y = 1N = 22,9N, Fz = 1N = 68,7N. 19 19 Om het moment van de 1N-kracht te vinden om de x-as, bepalen we de momenten van de componenten rondom de x-as. Een aanblik toont dat de enige component die zulk een moment heeft F y is. Daarom is F y voor de 1N-kracht het moment van F y rond de x-as en is die gelijk aan -22,9 4 = -91,6Nm. Het minteken toont dat de draaiing van F y in wijzerzin gaat rond de x-as. Om het moment om de y-as te bepalen, moet worden opgemerkt F y evenwijdig is aan de y-as en dus geen moment heeft rondom die as. Nu moeten zowel F z en F y worden beschouwd. Het is eenvoudiger om het teken te bepalen door directe aanschouwing dan door het schrijven van tekens voor de componenten en de arm. Op deze wijze komt er: M y = + (68,7 2) + (68,7 4) = 412Nm. Op dezelfde wijze volgt door alleen F y te gebruiken (vermits F z evenwijdig is aan de z-as en F x die snijdt): M z = + (22,9 2) = 45,8Nm. Let er op om tekens toe te kennen aan de momenten en de betekenis ervan te verstaan. 2.4. Herhaal Vraagstuk 2.3 door gebruik te maken van de vectorproductdefinitie van een moment. In Vraagstuk 2.3 is F = 68,7i + 22,9j - 68,7k. Stel dat de vector r de positievector voorstelt van een willekeurig punt langsheen de rechte waarlangs F ageert met respect tot de oorsprong. Als we het punt (2,, 4) gebruiken, dan is r = 2i + j + 4k. Dan is M = r F = r i 2 68,7 r j 22,9 r k 4 68,7 = [ 4(22,9)]i - [2(-68,7) 4(68,7)]j + [2(22,9) - ]k = 91,6i + 412j + 45,8k Nm. Vervolgens gebruiken we het punt (5, 1, 1) op de rechte waarlangs F ageert: r = 5i + j + k. Dus M = 5 68,7 1 22,9 1 68,7 = [-1(68,7) 1(22,9)]i - [5(-68,7) 1(68,7)]j + [5(22,9) 68,7(1)]k = 91,6i + 412j + 45,8k Nm. De momenten om de x-, y-, en z-as zijn de coëfficiënten van de eenheidsvectoren, i, j en k. 2.5. Bepaal het moment van de kracht F = 2i + 3j k N agerend op het punt (3, 1, 1) omheen de lijn door (2, 5, -2) en (3, -1, 1). De coördinaten zijn gegeven in m. De momentenarm r kan gevonden worden door een vector naar gelijk welk punt te gebruiken op de lijn van de kracht. Met (2, 5, -2) wordt dit de vector r = i - 4j + 3k. Het moment M rond het gekozen punt is M = r F = 1 2 4 3 3 = 5i + 7j + 11k 1

24 (3 2) i + ( 1 5) j + (1 + 2) k Nu is e L = = 2 2 2 (1) + ( 6) + (3) i 6 j + 3k 46 En dus is het moment van F rondom de rechte: M L = M. e L = ( 5i + 7j + 11k). i 6 j + 3k 5 42 + 33 14 = = = 2,6 Nm. 46 46 46 Als de arm voor het moment gekozen wordt vanuit het punt (3, -1, 1), is de arm r = 2j. Het moment M is: M = r F = 2 = 2i - 4k 2 3 1 Dus is het moment van M langs de rechte M. e L = ( 2i + j - 4k). i 6 j + 3k = 46 2 12 = 46 14 46 = 2,6 Nm. 2.6. Bepaal het moment van een kracht P waarvan de componenten zijn P x =22 N, P y =23 N, P z =7 N, en agerend op het punt (1, -1, -2). Neem het moment om de rechte vanuit de oorsprong door het punt (3, -1, ). De coördinaten zijn gegeven in m. P = 22i + 23j + 7k N De momentenarm is = (1 - )i + (-1 - )j + (-2 - )k m. M = r F = 1 1 2 = 39i - 51j - 45k N. m. 22 23 7 2.7. Een momentenkoppel van +6Nm ageert in een vlak. Duidt dit koppel aan met (a) krachten van 1N en (b) krachten van 3N. In het geval van (a) moet de momentenarm 6m zijn, terwijl het in het geval (b) 2m moet zijn. De richting van de draaiing moet tegenwijzerzin zijn. De evenwijdige krachten mogen onder gelijk welke hoek getekend worden, zoals getoond in Fig. 2-6. Fig. 2-6 Fig. 2-7 2.8. Combineer het koppel C 1 = +2 N. m met het koppel C 2 = -5 N. m, beide in het zelfde vlak. Zie Fig. 2-7.

25 Om beide grafisch te combineren, kan men beide koppels uitdrukken met krachten van een zelfde grootte, bijvoorbeeld 1N, en een zodanige tekening maken dat twee van de krachten, waaronder één van elk koppel, collineair zijn maar in tegenovergestelde zin. Het spreekt vanzelf dat collineaire krachten elkaar opheffen, zodat twee krachten van 1N met een arm van 3m overblijven. Het resulterende koppel is -3N. m, en dit resultaat kan ook verkregen worden door een algebraïsche optelling. 2.9. Vervang een met een moment van -1 N. m en een verticale kracht van 5 N, agerend in de oorsprong, door één enkele kracht. Waar oefent deze enkele kracht zich dan uit? In Fig. 2-8 wordt het koppel voorgesteld door twee gelijke maar tegengestelde krachten van 5N op een afstand van 2m. Een kracht van het koppel is gericht volgens de gegeven 5N-kracht in de oorsprong. Deze twee krachten annuleren elkaar en laten een enkele naar boven gerichte kracht van 5N over, die zich op 2m links van de oorsprong uitoefent. Fig. 2-8 2.1. Combineer een kracht van 3 N, 6 met een +5N. m koppel in het zelfde vlak. Zie Fig. 2-9. Zo n koppel kan niet tot een eenvoudiger stelsel worden herleid, maar het kan worden gecombineerd met een andere kracht. Teken het gegeven koppel met 3-N-krachten en op zulke wijze dat een van de krachten collineair is met de gegeven enkele kracht van 3N maar in tegengestelde zin. Het blijkt dat de collineaire krachten elkaar opheffen, en dit laat een enkele kracht van 3N over evenwijdig aan en in de zelfde richting als de oorspronkelijke kracht maar op een afstand van 1,67m. Fig. 2-9 Fig. 2-1

26 2.11. Zoals getoond in Fig. 2-1, ageert een koppel C 1 van 2N. m in het xy-vlak, een koppel C 2 van 4N. m in het yz-vlak, en een koppel C 3 van -55N. m in het xz-vlak. Bepaal het resulterende koppel. Het koppel C 1 is positief en ageert in het xy-vlak. Gezien vanuit de positieve zin van de z-as, geeft het de indruk een draaiing te weeg te brengen in tegenwijzerzin rond de z-as. Door de regel van de rechterhand, wordt het voorgesteld door een vector langs de z-as in de positieve richting. Op deze wijze worden alle drie koppels in de figuur getekend. Door de vectoren op te tellen komt er dan: C = 2 2 2 C 1 + C2 + C3 = 2 2 2 ( 2) + (4) + ( 55) = 7,9 N. m. cos φ x = C 2 /C = +,564 cos φ y = C 3 /C = +,777 cos φ z = C 1 /C = +,282 Dit zijn de cosinusrichtingen van het koppel C. Het koppel ageert in een vlak loodrecht op deze vector. Het koppel C wordt als volgt geschreven in vectornotatie: C = + 4i - 55j + 2k N. m. waaruit ook de waarde van C volgt zoals hierboven. 2.12. Een pijp van 2cm diameter wordt onderworpen aan een kracht van 25N, die verticaal toegepast wordt op een horizontale staaf met een arm van 14cm. Vervang de 25N door (1) een kracht op het einde van de pijp om die de buiging te veroorzaken en (2) een koppel die de pijp doet draaien en het een torsie te geven. Wat zijn de momenten van de kracht en het koppel? Zie Fig. 2-11(a). Fig. 2-11 Plaats twee verticale krachten van 25N in tegenovergestelde richting door het centrum van de pijp zoals getoond in Fig. 2-11(b). De drie krachten zijn equivalent aan de originele kracht. De naar boven gerichte kracht combineert met de originele kracht tot een koppel C = 25 14 = 35Ncm. Dit koppel neigt om de pijp te doen draaien in tegenwijzerzin wanneer het gezien wordt van rechts. De andere 25N-kracht veroorzaakt een buigingsmoment M = - 25 2 = -5Ncm rondom de z- as.

27 2.13. Los Vraagstuk 2.12 op door het moment van de 25N-kracht rond O te bepalen. De positievector van het punt waar de 25n-kracht wordt toegepast is, vanuit de oorsprong, r = 2i + 14k. De kracht is F = - 25j. Dus is het moment van de 25N-kracht met respect tot de oorsprong: M = r F = 2 25 Dit komt overeen met de resultaten van Vraagstuk 2.12. 14 = [ 14(-25)]i - [ ]j + [2(-25) - ]k = 35i 5k N. m. 2.14. De kraan in Fig. 2-12 staat op grondniveau. De x-as gaat door de punten waar de achterste wielen de grond raken, de y-as is evenwijdig aan de dwarse middellijn van de kraan van achter naar voor, en de z-as loopt volgens de verticale. Het platform van de kraan staat 9cm boven de grond. Om praktische redenen kan verondersteld worden dat het draaiende steunpunt van de onderkant van de arm in het vlak van de kraan ligt en op 18cm van het middelpunt van het voertuig. Het middelpunt van het voertuig ligt op de middellijn 45cm naar voren (naar links) van de achterste wielaslijn. De 15cm lange arm maakt een hoek van 6 met het vlak van de kraan in een verticaal vlak, en het voertuig en de arm zijn horizontaal gedraaid over 45 tegenover de voorkant en middellijn van het vlak van het voertuig. De afstand tussen de contactpunten tussen de achterste wielen is 24cm. Bepaal het draaimoment van de 4N zware lading over de x-as. Fig. 2-12 Met betrekking tot de oorsprong O op de as, zijn de coördinaten van het middelpunt van het voertuig (-12, -45, 9). De coördinaten van de onderkant van de arm zijn (-12 + 18 sin 45, -45 + 18 cos 45, 9) of (7,2 ; -324; 9). De coördinaten van de bovenkant van de arm zijn (7,2 + 15 cos 6 sin 45 ; -324 + 15 cos 6 cos 45 ; 9 + 15 sin 6 ) of (537 ; 27,3 ; 1389).

28 Het moment van de 4N kracht rond O is dan: M = r F = 537 27,3 1389 4 De scalaire coëfficiënt van de i term is het moment rond de x-as. Dus is M x = - 8292N. m. Het moment gaat dus in wijzerzin rond de x-as wanneer gezien vanaf de voorzijde. Aanvullende vraagstukken 2.15. Bepaal in elk van de volgende gevallen het moment van de kracht F rond de oorsprong. Gebruik de stelling van Varignon. Grootte van F Hoek van F met de horizontale Coördinaten van het punt van toepassing van F. Antwoord 2N 3 (5, -4) m 119 Nm 64N 14 (-3, 4) m 72,9 Nm 15N 337 (8, -2) m -19,3Nm 8N 45 (6, 1) m 28,3Nm 4N 9 (, -2) m 96N 6 (4, 2) m 236Nm 2.16. Gebruik in Vraagstuk 2.15 het vectorproduct van het moment (M = r F) om het moment te bepalen. Elk antwoord zal een eenheidsvector k dragen. 2.17. Een kracht van 5N is gericht langs de rechte doorheen een punt met x-, y-, z-coördinaten (8, 2, 3)m naar een punt met coördinaten (2, -6, 5)m. Wat zijn de scalaire momenten van de kracht om de x-, y-, z-assen? Ant. M x = 137N. m, M y = -167N. m, M z = -255N. m. 2.18. Gegeven de kracht P = 32,4i 29,3j + 9,9k N die uitgeoefend wordt op de oorsprong. Bepaal het moment rond een rechte door de punten (, -1, 3) en (3, 1, 1). De coördinaten worden gegeven in meter. Ant. M = -88,2N. m. 2.19. Een kracht wordt uitgeoefend op de oorsprong. De coördinaten van de kracht zijn P x = 68,7 N, P y = 22,9 N, P z = 68,7 N. Bepaal het moment van de kracht P rond een rechte door de punten (1,, -1) en (4, 4, -1). De coördinaten worden gegeven in meter. Ant. M = -13,7N. m. 2.2. Combineer C 1 = +2,7 N. m, C 2 = -8 N. m en C 3 = -18 N. m, die zich alle uitoefenen in het zelfde vlak. Ant. C = -78N. m, die zich uitoefent in het zelfde vlak of in evenwijdig vlak. 2.21. Vervang een verticale kracht van 27N die zich neerwaarts uitoefent in de oorsprong door een verticale kracht van 27N agerend in x = -5 en een koppel. Ant. C = -135N. m.

29 2.22. Bepaal de resultante vector van de drie koppels +16N. m, -45N. m, +12N. m, die zich respectievelijk uitoefenen in de xy, yz, en xz vlakken. Ant. C = +129N. m, cos θ x = -,349; cos θ y =,931; cos θ z =,124. 2.23. Voeg het koppel C = 3i 2j + 35k N. m toe aan het resultante koppel uit Vraagstuk 2.22. Ant. C = -15i + 1j + 51k N. m. 2.24. De 24-N krachten toegepast op de hoeken A en B van het parallellepipedum getoond in Fig. 2-13 ageren lang AE en BF, respectievelijk. Toon dat het gegeven koppel kan vervangen worden door een verzameling verticale krachten bestaande uit een naar boven wijzende 16N kracht in het punt C en een 16N naar beneden wijzende kracht in D. Fig. 2-13 Fig. 2-14 2.25. Vervang de verzameling van drie evenwijdige krachten, getoond in Fig. 2-14 door een enkele kracht. Wat is de grootte, de richting en zin en de plaats van de enkele kracht? Ant. 8N, verticaal naar boven,,75m links van A. 2.26. Op een horizontale staaf van 8m wordt een neerwaartse verticale kracht uitgeoefend van 12N aan het rechtse einde zoals getoond in Fig. 2-15. Toon dat deze equivalent is aan een verticale 12N kracht naar beneden uitgeoefend aan het linkse einde en een koppel in wijzerzin van 96N. m. Fig. 2-13 Fig. 2-14 2.27. Een moersleutel in horizontale positie is vastgezet rond een pijp aan het linkse einde. Een verticale kracht van 2N zal worden toegepast aan het rechtse einde met een effectieve arm van 3mm. Toon dat dit equivalent zal zijn aan een kracht van 2N die verticaal naar beneden is gericht en zich uitoefent door het centrum van de pijp en een wijzerzin koppel van 6N. m. Verwijs naar Fig. 2-16.

3 2.28. Reduceer het systeem van krachten in de riemen getoond in Fig. 2-17 naar een enkele kracht in O en een koppel. De krachten zijn ofwel verticaal of horizontaal. Ant. 78,3N, θ x = 296,5, C =. Fig. 2-17 Fig. 2-18 2.29. Reduceer het systeem van krachten zich oefenend op de balk getoond in Fig. 2-18 naar een kracht in A en een koppel. Ant. R = 1N naar boven in A, C = 6N. m. 2.3. Verwijzend naar Fig. 2-19, reduceer het systeem van krachten en koppels naar het eenvoudigste systeem gebruik makend van punt A. Ant. R x = 48,1N, R y = -3,9N, C = +36,2N. m. Fig. 2-19 Fig. 2-2 2.31. Bepaal de momenten van de twee krachten rondom de x, y en z- as getoond in Fig. 2-2. Ant. M = 488i + 732k N. m of M x = 488 N. m, M x =, M x = 732 N. m.