Blok 4 - Vaardigheden

lok - Vaardigheden Extra oefening - asis -a Het hellingsgetal is 60 = = 0,065. -a De hellingshoek is tan (0,065),6. c De hellingshoek van Raymond is tan ( 60 c 960 tan = geeft tan 6 = 600 = 600 tan 6 9 meter De hoogte van de toren is ongeveer 9 meter. tan D = geeft tan = 9 D D D = 9 meter tan 6 Diana staat ongeveer meter van het kasteel af. tan = 9 geeft tan = 800 = tan ( 9 dus 0 d 6 = 5 800 ) tan D = geeft tan 5 = 9 D D D = 9 9 meter tan 5 90 Moderne Wiskunde Uitwerkingen ij lok a vwo - Vaardigheden Hoofdstuk 5 ),7, dus groter. Diana staat ongeveer 9 meter van het kasteel af, dat is niet precies in het midden tussen Myrthe en het kasteel. - sin GFH = GH 5 geeft sin GFH = 65 HF GFH = sin ( 5 ) dus GFH -a 65 cos FHE = EH 5 geeft cos FHE = 65 FH FHE = cos ( 5 ) dus FHE 6 65 cos FHG = GH 5 geeft cos FHG = 65 FH FHG = cos ( 5 ) dus FHG 67 65 Of: FHG = 80 90 = 67 sin = D geeft sin 6 = D 0 D = 0 sin 6 dus D 6,0 6 600 m D?? 800 m D? 5? 9 m 9 m 9 m

c -5a lok - Vaardigheden sin = D 6 geeft sin 5 =, 0 6, 0 = dus 50,9 sin 5 cos = D geeft cos 6 = D 0 D = 0 cos 6 dus D 7,5 tan = D 6 geeft tan 5 =, 0 D D D = 6,0 tan 5 dus D 6,0 = D + D 7,5 + 6,0 dus 5,5 ij parallelprojectie zijn lijnstukken die in werkelijkheid even lang zijn ook in de tekening even lang. Lijnen die in werkelijkheid evenwijdig zijn, zijn dat in de tekening ook. -6a De oppervlakte is (,0 0,90 +,0 0,80 + 0,90 0,80) = 5,5 m. De inhoud is,0 0,90 0,80 = 0,86 m. De factor is 5. De oppervlakte van de tweede kist is 5 5,5 = 8 m. De inhoud is van de tweede kist is 5 0,86 = 08 m. c Stel de factor is k. Dan is 5,5 k = 0,5, dus is k = 0,5 : 5,5 = 0,065 k = 0, 065 = 0,5 De derde kist is,0 0,5 = 0, m lang, 0,90 0,5 = 0,5 m reed en 0,80 0,5 = 0,0 m hoog. -7 De inhoud van figuur is 6 5 = 90 cm. Het grondvlak van figuur heeft straal en oppervlakte π = 6π cm. De inhoud van figuur is 6π 0 = 60 50,7 cm. Het grondvlak van figuur is een gelijkzijdige driehoek. De hoogte van die driehoek ereken je met de stelling van Pythagoras. zijde 8 kwadraat 6 8 + 6 De hoogte is 8 en de oppervlakte is 8 8 : = 8 cm. De inhoud is 8 = 8 8, cm.

-8 De figuur estaat uit twee kegels. Het grondvlak van de linkerkegel heeft straal,5 cm, die van de rechterkegel cm. Inhoud linkerkegel = π 5, = π cm Inhoud rechterkegel = π 8 = πcm De totale inhoud is π + π = 7π 8,8 cm. -9 De pil estaat uit twee halve ollen die samen een ol vormen met straal,5 mm, en een cilinder met straal,5 mm en lengte 0,5 = 5 mm. De inhoud van de ol is π 5, 65,5 mm. De inhoud van de cilinder is π 5, 5 9,5 mm. De inhoud van de pil is 65,5 + 9,5 60,0 mm. G-a c Extra oefening - Gemengd Zie de tekening hiernaast. cos = D geeft cos 5 = D 65, D = 6,5 cos 5 5, meter sin = D geeft sin 5 = D 65, D = 6,5 sin 5,7 meter zijde D = 5, D = 0 kwadraat 8,0 7,70 + 00 D = 7, 70 8,7 meter = D + D =,7 + 8,7, meter In D is cos D = D 5, dus cos D = = 0,5 0 D = cos (0,5) 58 De hoek tussen de twee vlaggenlijnen is 5 + 58 = 9. G-a KMN = 60 90 90 0 = 0 NLK = 0 : = 0 c d cos NLK = KL NL geeft cos 0 = 85 NL NL = 85 cos 0 90,5 cm tan NLM = NM geeft tan 0 = NM ML 85 NM = 85 tan 0 0,9 cm De diagonalen van de vlieger verdelen de vlieger in vier driehoeken die samen een rechthoek vormen met lengte NL en hoogte SM. sin SLM = SM geeft sin 0 = SM LM 85 SM = 85 sin 0 9, cm De oppervlakte is 90,5 9, 6,6 cm. 5 6,5 m 0 m lok - Vaardigheden D

lok - Vaardigheden G-a Zie de schets hiernaast. = 80 8 60 = 8 c G-a Teken de hulplijn D loodrecht op. sin = D geeft sin 60 = D 5 D = 5 sin 60, sin = D geeft sin 8 =, =, sin 8 7,0 cm cos = D geeft cos 60 = D 5 D = 5 cos 60 =,5 cos = D geeft cos 8 = D 70, D = 7,0 cos 8 5,5 = D + D =,5 + 5,5 = 8,0 cm d De oppervlakte van is D : dus 8,0, : 7, cm. c d G-5a De maximale lengte is + 8 = meter. De hoogte is dan + 8 = 0 meter. cos P = PQ PR geeft cos = PQ 8 PQ = 8 cos dus PQ 7, De lengte is dan + 7, = 0, meter. sin P = QR QR geeft sin 69 = PR 8 QR = 8 sin 69 dus QR 7,7 De hoogte is dan + 7,7 = 9,7 meter. e RQ =, =, 5 cm sin P = QR PR =, dus P = sin (, ) dus P 6 8 8 60 8 D 5 cm 8 cm cm 8

G-6a G-7a - De ruimtefiguur is een alk met daar twee prisma s van af gesneden. De inhoud van de alk is 8 5 = 0 cm. De twee prisma s vormen samen een alk met rien 8 cm, cm en cm. De inhoud van de twee prisma s samen is 8 = 8 cm. De inhoud van de ruimtefiguur is 0 8 = 7 cm. De drinkak is een halve cilinder waarvan het grondvlak een straal heeft van 0,5 m en waarvan de hoogte m is. De inhoud van de cilinder is π 05, 0, 96 m dus ongeveer 96 liter. In de drinkak gaat dus ongeveer 96 : = 98 liter water. De inhoud van de drinkak voor de kalveren is, : 98 0,6 keer zo groot. ls de afmetingen k keer zo groot zijn, geldt k = 0,6. Dan is k = 0,6 want 0,6 = 0,6. De drinkak voor de kalveren is 0,6 = 0,6 m lang en 0,6 50 = 0 cm reed. zijde kwadraat 7 9 7 + 96 De lengte van P is 7 cm. c Voor het driehoekig prisma is de oppervlakte van één driehoek : = 8 cm. De totale oppervlakte is 5 + 8 = 8 cm. Voor het vierhoekig prisma is de totale oppervlakte 5 8 + 8 8 = 98 cm. Voor het vierhoekig prisma is het minste materiaal nodig. d De inhoud van het driehoekig prisma is 8 5 = 00 cm. De inhoud van het vierhoekig prisma is 5 8 8 = 600 cm. G-8 De straal van de ol en de cilinder is 0 : = 5 cm. De inhoud van de ol is π 5 5, 6 cm. De inhoud van de cilinder is ook 5,6 cm. De oppervlakte van het grondvlak van de cilinder is π 5 = 5π. De hoogte van de cilinder is 5,6 : 5π 6,7 cm. G-9 De plantenak is een piramide waarvan een piramide afgehaald is. Per 5 cm hoogte wordt de piramide 0 cm smaller. De hoogte van de hele piramide is dus 5 = 60 cm. De hoogte van de piramide die eraf gehaald is, is 60 5 = 5 cm. De inhoud van de hele piramide is 0 0 60 = 000 cm. De inhoud van de eraf gehaalde piramide is 0 0 5 = 500 cm. De inhoud van de plantenak is 000 500 = 8 500 cm = 8,5 dm = 8,5 liter. lok - Vaardigheden 5

6 lok - Vaardigheden omplexe opdrachten - tan7 = WV 0 WV = 0 tan 7 9, 5 tan8 = MV 0 MV = 0 tan 8 80, 6 WV = 80, 6 9, 5 =, De afstand is ongeveer meter. - tan6 = 5 geeft a = 5 a tan 6 a,7 - Vanaf de rots komt Jim ongeveer,7 meter ver, dus hij maakt geen droge landing. 50 km sin = D geeft sin 5 = D 5 D = 5 sin 5 0,6 cos = D geeft cos 5 = D 5 D = 5 cos 5 0,6 zijde D = 0,6 D = = 50 kwadraat,57 87, + 500 D = 87, 8,86 = 8,86 + 0,6 59,5 km Hij heeft (50 + 5) 59,5 = 5,5 km omgevaren. D 5 5 km

- + = 80 80 = 00 = 0, 00 = 0 = 0,6 00 = 60 Zie de driehoek hiernaast. -5 sin = D geeft sin 80 = D 8 D = 8 sin 80 7,878 cos = D geeft cos 80 = D 8 D = 8 cos 80,89 sin = D 7 geeft sin 0 =, 878 = 7, 878 sin 0,56 tan = D 7 geeft tan 0 =, 878 D D 7, 878 D = 9,89 tan 0 =,89 + 9,89 =0,778 De omtrek is 0,778 +,56 + 8,0 cm. -6 De afmetingen van de ovenste kegel zijn 0 : 0 = deel van de totale kegel. De inhoud van de ovenste kegel is dan de helft van de inhoud van de totale kegel. Lois heeft gelijk, het onderste stuk is het grootst. ( ) 0, deel van de totale kegel, dus minder -7 ls de afmetingen met de factor k worden vergroot, dan wordt de oppervlakte k keer zo groot. De oppervlakte is 6 keer zo groot, dus de diameter is 6, 5 keer zo groot. De inhoud van de grijze al is ( 6) 7, keer zo groot als de inhoud van de rode al. De inhoud van de rode al past dus ongeveer,7 keer in die van de grijze al. -8 Van de kuus worden vier gelijke piramides afgehaald. De inhoud van zo n piramide, ijvooreeld F. is gelijk aan 5 5 5 = 56, 5 cm. De inhoud van FH is gelijk aan 5 5 5 56, 5 = 5 cm. 8 cm 80 D lok - Vaardigheden 60 0 7

lok - Vaardigheden Technische vaardigheden T-a Het is een dalparaool met top (0, ). Het is een ergparaool met top (0, ). c Het is een dalparaool. x + x = 0 x( + x) = 0 x = 0 of x + = 0 x = 0 of x = De symmetrieas ligt ij x =, dus ook de top. y = + ( ) = De top is (, ). T-a De totale frequentie is 6 + + 5 + + 5 + 7 + = 0 6 + + 5 + + 5 + 5 7 + 6 = 0 Het gemiddelde is 0 : =. De modus is 5, want dat getal komt het meeste voor. c Het 7 e getal is, het 8 e getal ook, dus de mediaan is. Het 9 e getal is, dus het e kwartiel is. Het 6 e getal is 5, dus het e kwartiel is 5. d 0 5 6 T-a x = 8 e x = 7 x = 9 of x = 9 x = x = f x = 6 geen oplossing x = 8 c x = 8 x = x = 6 g x + 8 = 57 x = of x = x = 9 d x = 6 x = 7 of x = 7 x = h x = 80 x = 9 x = 6 x = 8 of x = 8 T-a y = x(x ) 7x e y = x(x ) + 6x y = 6x x 7x y = x + 6x + 6x y = 6x 0x y = x + x y = (6 x) f y = x + x( x) y = 6 + x y = x + 8x x y = + x y = x x c y = x( x) g y = x (x ) y = x + x y = x x + d y = 5x + (x ) y = x + y = 5x + x h y = 6(x ) 9x y = 9x y = x 8 9x 8 y = x 8 d Het is een dalparaool. x + x = 0 (x + 7)(x ) = 0 x + 7 = 0 of x = 0 x = 7 of x = De symmetrieas ligt ij x =, dus de top ook. y = ( ) + = 5 De top is (, 5).

T-5a 5 = 8 d 7 5 7 7 5 = 7 7 7 7 = 7 7 e 9 = c 8 = f 0 0 = 000 000 T-6a domein is [ 0,, ereik is [, 5 x 0 geeft x 5 domein is,5], ereik is [ 0, c x + 8 0 geeft x domein is [,, ereik is [ 0, d 5 x 0 geeft 5 x 5 domein is [ 55, ], ereik is [ 0, e (x ) 0 ij elke waarde van x domein is,, ereik is [ 0, f x 0 voor elke waarde van x, dus x + voor elke waarde van x domein is,, ereik is,] T-7a 5 7 = 5 d 5 = 5 6 7 = 8 6 e 7 5 6 = 0 c 5 6 6 = 0 6 = 60 f = 6 = 8 T-8a a = x + 7x + 0 f w = x 5 x a = (x + )(x + 5) w = x x 5 r = f + 8f w = (x 5)(x + ) r = (f + )(f ) g g = t 6t + 5 c u = v + v g = (t )(t 5) u = (v + )(v ) h c = t 5t 6 d = s s c = (t 6)(t + ) = s(s ) i d = t t 6 e k = p + p + d = (t )(t + ) k = p + p + k = (p + )(p + ) T-9a a = (x )(x + 7) f f = (x )(x ) a = x + 7x x f = x x x + a = x + 5x f = x x + = (t )(t + 5) g g = (s + 5)(s + 5) = t + 0t 6t 5 g = 9s + 5s + 5s + 5 = t + t 5 g = 9s + 0s + 5 c c = (p )(p + ) h h = ( 6 5)( 6 5) c = p + p p 9 h = 6 + 0 + 0 + 5 c = p 9 h = 6 + 60 + 5 d d = ( x)(x + ) i k = (r )(r + r + ) d = 6x + 9x 6x k = r + r + r r r d = 9x + k = r e e = ( + 6)( 7 ) e = + 6 e = 6 + 9 lok - Vaardigheden 9

lok - Vaardigheden T-0a 6x + 7 = x f 7(x 6) = (x ) 9x + 7 = x = x + 9x = 9 8x = x = 8x = 5 9 = + 6x x = 5 : 8 dus x = = 6x g (x ) = x x = x + 6 = x c x + = x 7 x = x x + = 7 = 0x x = 6 geen oplossing x = h (x ) = + (x ) d (x + ) = (x 7) x = + x 6 x + = x x = x x + = 0x = 0 x = 6 elke waarde van x is een oplossing e (x + 6) = (x + 5) i 6 ( x + 7) = (x ) 6x = x + 5 6 + x 7 = x = 9x + 5 x = x 7 = 9x = x x = x = T-a ij tael is 5 =, en, 5 =, en 0 0 5 5 5 =. De factor is constant,5., 75 5,, 5 ij tael is 0 =, en 56 =, en 0, 8 =,. De factor is constant 0,8. 00 08 0 08 56 08 ij tael is = en 8 = en 8 = 5 en 08 =. De factor is constant. 8 5 t tael : N = 0 5, t tael : = 00 08, t tael : de eginwaarde is 8 : =, de formule is K = c N = 0 5, 0 geeft N 576,7 = 00 08, 0 geeft,9 K = 0 geeft K 097 5 T- : x > 5 of 5, T-a : < x 5 of, 5] : x 0 of,0] : 7 x of [ 7, ] tan = geeft tan 0 = = dus 6,9 tan 0 sin = geeft sin 0 = = sin 0 dus = 6,5 0?? 0

c d Omdat = is = Omdat verder = 90 is = = 5. cos = geeft cos 5 = 6 = 6 cos 5 dus, cos = geeft cos 0 = 6 = 6 cos 0 dus,60 T-a hellingsgetal = 9 5 0 = startgetal = 5 formule: y = x + 5 hellingsgetal = 0 = y = x+ x = en y = geeft = formule: y = x c hellingsgetal = 5 = y = 5x + + dus = x = en y = geeft = 5 + dus = 7 formule: y = 5x + 7 d hellingsgetal = 0 6 = y= x+ x = en y = geeft = + dus = formule: y = x + lok - Vaardigheden 6 0 6??

lok - Vaardigheden Door elkaar D-a (x )( + x) = x + x 8 x of korter x + x 8 f(x) = (x + x 8) + 0 geeft f(x) = x + x 6 + 0 dus f(x) = x + x 6 De grafiek van f is een dalparaool. x + x 6 = 0 x + x = 0 (x + )(x ) = 0 x + = 0 of x = 0 x = of x = De snijpunten zijn (, 0) en (, 0). c De symmetrieas ligt midden tussen de snijpunten met de x-as en is dus de lijn x =. y = f( ) = 8 dus de top is (, 8). D-a De tekening hiernaast is op schaal :. c d zijde = 0 = 0 = kwadraat 00 00 + 00 = 00, S = 00 7,07 tan TS = S 7, 07 geeft tan TS = 0,589 ST TS = tan (0,589) dus TS 0,5 T = TS = 0,5 dus T 6 inhoud = 0 0 = 00 cm Noem M het midden van. zijde ST = MS = 5 MT = kwadraat 5 + 69 MT = 69 = oppervlakte van T = 0 : = 65 cm oppervlakte grondvlak = 0 0 = 00 cm totale oppervlakte is 65 + 00 = 60 cm D-a x = ( + 6) : dus x = x = en y = 6 geeft 6 = a( )( 6) 6 = a 6 = a a = T cm D 0 cm S 0 cm

c x = invullen geeft y = ( )( 6) dus y = = 8 De top is (, 8). d ij een dalparaool met top (, 8) is y minstens 8. Dus kan y waarden aannemen uit het interval [ 8,. D-a De inkomsten edragen 500 000,5 = 750 000 euro. Het prijzengeld edraagt daarvan de helft dus 875 000 euro. 000 000 : 875 000 00% 5,% gaat naar de eerste prijs. 0% van 500 000 = 50 000 50 000 troostprijzen van,50 kost 50 000,50 = 75 000 euro 75 000 : 875 000 = 0, dus deel wordt esteed aan de troostprijzen. 5 c Er gaat 875 000 000 000 50 000 75 000 = 50 000 euro naar de derde prijzen van elk 000 euro. Er zijn dus 50 derde prijzen. De kans op een derde prijs is 50 : 500 000 00% 0,067%. D-5a O 5 6 7 8 9 0 zijde kwadraat 5 = 6 5 5 + 69 zijde = kwadraat = 69 = = 5 = 5 c Om de driehoek past een rechthoek van ij 9 roostervierkantjes. De oppervlakte van de rechthoek is 9 = 08 roostervierkantjes. De oppervlakte van de driehoek linksonder is 5 : = 0 roostervierkantjes. De oppervlakte van de driehoek linksoven is 5 : = 0 roostervierkantjes. De oppervlakte van de driehoek rechtsoven is 9 9 : = 0,5 roostervierkantjes. De oppervlakte van is 08 0 0 0,5 = 7,5 roostervierkantjes. d Noem P het punt (, ) en Q het punt (, ). tan P = P 5 geeft tan P = P P = tan ( 5 ),6 tan Q = Q Q geeft tan Q = 9 = 9 Q = tan () = 5 = 5,6 =, 9 6 + 5 lok - Vaardigheden

lok - Vaardigheden D-6a 0,5x + x + 6 = 0 x + 8x + = 0 (x + )(x + 6) = 0 x + = 0 of x + 6 = 0 x = of x = 6 D-7a Grafiek snijdt de x-as ij x = en x = 6 dus ij c = 6 hoort grafiek. Of: De grafiek van f snijdt de y-as in (0, c). Grafiek snijdt de y-as in (0, 6) dus c = 6. c Grafiek snijdt de y-as in (0, ) dus ij c = hoort grafiek. Grafiek ligt 6 hokjes hoger dan grafiek en snijdt dus de y-as in (0, 0). ij c = 0 hoort dus grafiek. d De grafiek die precies tussen de grafieken en ligt zal de x-as alleen snijden in het punt (, 0). ij grafiek hoort c = 6, ij grafiek hoort c = 0, dus ij de gevraagde grafiek hoort c = 8. e Voor c < 8 zijn er twee snijpunten. In intervalnotatie:,8 De omtrek van het rad is π 7 6,8 yards, dat is 6,8 9, 7 cm ofwel ongeveer meter = 0, km. Een rondgang duurt dus 0, uur, dat is 0, 60 5, minuten. De periode is 5, minuten en de amplitude is 7 : = 7,5 yards ofwel 67, meter. D-8 Noem de punten loodrecht onder en respectievelijk en. D-9 Dan geldt tan = ' en tan 57 = ' ' ' Hieruit volgt dat ' = tan ' en ' = tan 57 ' ' = ' en ' + ' =0 dus tan + tan 57 = 0 ' (tan + tan 57 ) = 0 ' ( 0, 95 +, 599) = 0 7, ' = 0 ', Hij steekt op ongeveer, m hoogte het plein over. Uit het vooraanzicht lijkt dat de piramide even hoog is als vier kuussen, dus cm. De zijde van het grondvlak is gelijk aan vier maal de rie van één kuus, dus ook cm. De inhoud is gelijk aan = 608 cm.