Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ 8 PU QV 8 c AU + AV 8 + 80 UV AV AU 80 CV + 0 QV V-a AQ ; tangens Met de rekenmachine: BAC tan ladzijde 9 V-a sin A BC AC c BC sin 0 BC sin 0, 7 cos0 AB AC AB cos 0, 0 tan AB BC BC 7 9, tan AB AC sin AC 7, 9 sin tan0 AB AB 0, 07 tan 0 sin0 AC AC, sin 0 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 9
0 V-a cos C BC AC BC cos 8 BC cos 8, 78 CD + BC, tan D BC BD, 78 tan D D, c sin8 AB AB sin 8, 9 9, ppervlakte, 78, V-a AB BC dus geldt AB + AB AB AB AB sin sin A BC AC cos cos A AB AC tan tan A BC AB c PS PQ d RS PR PS sin0 RS PR cos0 PS PR tan0 SR PS e sin0 PS PR cos0 RS PR tan0 PS RS f graden sin cos tan 0 0 0 0 0 90 0 estaat niet Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
a c a 7. Periodieke eweging ladzijde 9 seconden per zijde dus is de periode 8 seconden De snelheid van de stip is constant en de zijden zijn rechte lijnstukken 0 c 80 a 7 8 9 0 0, 0, De omtrek is dus is de periode seconden 80 ; 80 0 seconden ladzijde 9 90 80, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, 0 00 0 00 0 00 0 Neem X van 0 tot 70 en Y van tot c Neem X van 0 tot en Y van tot graden 0 0 80 7, 0 90 80 radialen eact radialen enaderd 0 0 0, 0,78,00,0,7, Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
a,, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,, 7 8 9 0 cos is op tijdstip de afstand van de stip tot de verticale as. 7. Eigenschappen van sinusoïden ladzijde 9.0 uur +.0 uur.0 uur de volgende dag Steeds kwartier voor en na de hoogste stand. Dus om. uur. 7a Dalend tot het laagste punt (, ) en daarna stijgend tot het punt (, ). 0 ; ± ; ± ;... enz c ( ±, 0);( ±, 0);( ±, 0);... 8a ladzijde 97 0, 0, 0 8 8 0 8 0 0 snijpunten Naast (, ) zijn de snijpunten (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) (, ) en (, ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
9 0a 0, 0, 0, 7 7 8 9 0 0, 0, 0, Nulpunten: ; ; ; ; en Toppen: (, ) ; (, 0 ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) 7 8 9 0 (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) c,0,,, 0 9 8 7 7 8 9 0 8 0 Teken eerst de lijn op [ 0, 0] Zet stippen op het egin, midden en einde van een periode, hier gaat de grafiek door de evenwichtsstand. p een kwart van een periode is de grafiek maimaal ( + ). p driekwart van een periode is de grafiek minimaal 7 ( ). Q(, ) en R(, ) a Nee, je weet de periode niet. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
Vanwege het amplitude is (8, ) een top, maar dan nóg zijn er meerdere mogelijkheden. 7 8 9 0 De grafiek is puntsmmetrisch in (, 0) dus ligt ook (7, ) op de grafiek. Met smmetrie in de lijn 9 volgt dat ook (, ) op de grafiek ligt. Dus vormen 7 en de oplossing van g () a 7. Vergelijkingen oplossen ladzijde 98,, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,, 7 8 9 0 7 8 9 perioden Met calc-intersect: 0, 97 en, c keer d 0, 97 en, 0, 97+ 7, 0 en, + 8, 97 0, 97+, 9 en, +, 780 a Plot Y sin en Y 09. op [, 0 ] plossingen:, ;, ; 0, ;, ;, 87 ; 7, 79 Plot Y sin en Y op [ 0, ] plossingen:, 7 ; 7, 8 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
c Plot Y sin en Y 0. op [, ] plossingen: 0, ;, 98 d Y cos en Y 0. op [, 7] plossingen:, 8 ; 7, 8 ; 0, e Plot Y sin en Y 0. op [ 8, 9] plossingen: 8, ; 8 7, 7 7a ( 8, 0); (, 0); (, 0); ( 8, 0); ( 0, 0); (, 0) Puntsmmetrie in P(, 0) mdat (, ) en (0, ) puntsmmetrisch zijn in P is f( 0) f() c Met smmetrie in en f( 0) vind je: ( 0, ),(, ),(, ),( 8, ),(, ) en ( 0, ) 8a ladzijde 99 0, 0, 0, 0 9 8 7 7 8 9 0, 0, 0, De rekenmachine erekent een snijpunt door een epaald rekenproces steeds te herhalen. Dit proces stopt als een epaalde nauwkeurigheid (ijvooreeld decimalen) is ereikt. c sin : ; ; sin : ; ; 9a sin0 sin BAD BD AB 0 rad Met smmetrie en periode krijg je de eacte oplossingen: ; ; ; Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
0a 0, 0, 0, 7 8 9 0 0, 0, 0, - c ; ; ; ; ; d cos cos 0 cos ABD a 0, ;, 0 [; 0 0, ] en [, 0; ] a Plot Y sin en Y 09. en ereken met calc-intersect de snijpunten. Aflezen geeft dan, ;, en, ;, 0 Plot Y cos en Y 0. en ereken met calc-intersect de snijpunten. Aflezen geeft dan, ;, 88 en 88, ;, c Plot Y sin en Y. en ereken met calc-intersect de snijpunten. Aflezen geeft dan [ ;, en 79, ; 0, en 0, ; ] d Geen oplossingen want altijd geldt: sin a 7. Verschuiven en vervormen ladzijde 00 7 8 9 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
a De grafiek van f ligt hoger en de grafiek van g ligt lager dan de grafiek van sin Bijvooreeld + sin 7 8 9 0 Amplitude Spiegelen in de horizontale as. a Bijvooreeld f () + sin Evenwichtsstand en amplitude. a 7 8 9 eenheden naar rechts verschoven (, ) want naar links c 7 8 9 c < 0 : grafiek c eenheden naar links c > 0 : grafiek c eenheden naar rechts d (, c 0) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 7
8 ladzijde 0 7a De periode verandert 0 < < : de periode wordt groter dan > : de periode wordt kleiner dan c 8a periode d c periode 0 7 8 9 Verschuif de grafiek van cos drie eenheden omhoog. 7 8 9 Vermenigvuldig de grafiek van cos met en spiegel in de -as. Daarna moet het resultaat nog twee eenheden omhoog worden verschoven. 7 8 9 Uitgaande van de grafiek van sin deel je alle afstanden tot de -as door, zodat de periode wordt, vervolgens verschuif je het resultaat drie, eenheden naar rechts, en tenslotte moet het nog, eenheden omhoog worden verschoven. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
d e f Uitgaande van de grafiek van sin deel je alle afstanden tot de -as door waardoor de periode wordt. Verschuif de grafiek van sin twee eenheden naar rechts en daarna eenheden omhoog. Uitgaande van de grafiek van sin deel je alle afstanden tot de -as door zodat de periode wordt, vervolgens vermenigvuldig je de afstanden tot de -as met en tenslotte schuif je het resultaat omhoog. 9 naar links; naar links; naar rechts; naar rechts 0a 7. Algemene vorm van een sinusoïde ladzijde 0 7 Amplitude ; evenwichtsstand ; periode en eginpunt (, ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 9
0 Amplitude ; evenwichtsstand ; periode en eginpunt (, ) ladzijde 0 a Periode a a De nulpunten zijn : ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0 c Plot ook Y en ereken met calc-intersect de snijpunten op [, ] Aflezen van de ongelijkheid geeft dat de oplossing estaat uit de intervallen: 88, ;, en 88, ;, en 088, ; 0, en 0, ; 0, 8 en, ;, 8 en, ;, 8 k k Amplitude ; de toppen vind je ij en periode vanaf een eginpunt. Dus: (, ) ; (, ) ; ( 7, ) en ( 0, ), dus uur en 0, 0 minuten 0, H 00, +, 8 sin 0, t c Plot Y 0. +. 8 sin 0. X en Y 0. op [ 0, ] Calc-intersect geeft X 89. en X. 9 Dus gedurende 9,, 89 0, uur. Dat is uur en 0 minuten. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 0
a c d calc-intersect en aflezen geeft dat de oplossing estaat uit de intervallen: 0, ; 0, 78 en, ;, en 78, ;, 0 calc-intersect en aflezen geeft dat de oplossing estaat uit de intervallen: [ ; 090, en 0, 90; 9, calc-intersect en aflezen geeft dat de oplossing estaat uit de intervallen: [ ; 89, en, ; 089, en 0, ;, en, 89;, en 89, ;, en 89, ; ] 7 calc-intersect en aflezen geeft dat de oplossing estaat uit de intervallen: [ ; 8, en, 0; ] Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
a a cos is een oplossing van cos Met periode en smmetrie vind je de snijpunten met : (, );(, ); (, );(, ) mdat cos is een oplossing van cos Met periode en smmetrie vind je de snijpunten met : (, );(, ); (, );(, ) seconden,, 07, 0, liter c d h t 7 8 9 0 Snijpunten ij X, 7 en X, 79 Dus Y< Y gedurende, 79, 7, 0 sec. De maimale inhoud is, liter geworden en de minimale inhoud zal nog steeds 0, liter zijn. Dus is de evenwichtsstand, en is het functievoorschrift voor het volume van de vorm H, + 0, 9 sin t mdat de frequentie, keer zo groot is geworden geldt,,, 87 en H, + 0, 9 sin, 87t Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
7 7. Gemengde opdrachten ladzijde 0 0, 0, Snijpunten ij en dus is A [, ] met lengte Voor B lijven er twee intervallen over met totale lengte. Dus zijn A en B even lang. 8a sin cos 0 sin 0 of cos 0 0 + k of + k ( k geheel) (sin ) sin of sin + k ( k geheel) 9a Periode: 0, ms Frequentie: trillingen per seconde ( Hz) 0, 00 Amplitude: V 0 0, ms dat is periode c 0, ms d,e V 0, f g,, t Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
0a De periode is 0,0 Maimale waarde,97. c,d Periode g: 00 00, seconde en dan is de frequentie 00 Hz 00, 0,0 0,0 0,08 0, 0 008 0, seconde Periode f : 0,0 seconde Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (KGV) hiervan is 0,0 seconde, de periode van h. e Periode sin0 t is en de periode van 0 sin0 t is 0 0 Het KGV van eide is seconde. 0 7 ladzijde 0 a t ; t 88; t (halve, hele en anderhalve periode) Negatief op vier halve perioden. Dus op 7 dagen, dan staat Mercurius links van de zon. c Vt () 07, sin t d 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 g f 00 0 00 0 00 Calc-intersect geeft: t 0; t 99; t ; t e Dan moeten eide functies positief of eide moeten negatief zijn. Bepaal daartoe eerst de nulpunten van M en V en lees de oplossing af. [, 0]; [ 88, ]; [, 7]; [ 0, ]; [, 08]; [ 7, ] Totaal gaat het om + + + + + 7 dagen. f M( 0) 0, 9 Mercurius is dan zover mogelijk rechts van de zon. 0 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 7
ICT - Verschuiven en vervormen ladzijde 0 I-a d 0 + sin I-a De amplitude Spiegeling in de -as. I-a + sin Amplitude en evenwichtsstand ladzijde 07 I-a Horizontale verschuiving c < 0:naar links over afstand c c > 0: naar rechts over afstand c c (, c 0) d c ± veelvoud van e c ± veelvoud van I-a Tweekeer ; drie keer ; keer 0 < < : periode wordt groter, de grafiek wordt horizontaal uitgerekt > : de periode wordt kleiner, de grafiek wordt horizontaal samengedrukt c I-a c periode 7 8 9 7 8 9 7 8 9 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
d I-7 : sin : cos + : cos : cos+ : sin : sin + 7: sin ( ) 8: cos ( + ) + 9: cos 0: sin + Test jezelf ladzijde 0 T- graden 80 0 0 0 70, radialen T-a ; ; 7; ; 7; c T-a, 0, 0, f g Plot Y 0. 8+ sin X en Y 0. sin X op [ 0, ] Calc-intersect geeft X 9, en X, Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel h, 0, 07
T-a T-a c Plot Y cos( X ) en Y 0. op [ 0, ] Calc-intersect en aflezen geeft: [ 0;, 07] en [, 97; ],,, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,, f h g 7 8 9 0 0 c + naar links of naar rechts d naar links, spiegelen in -as en tenslotte omhoog e In horizontale richting samendrukken met factor, naar links, vermenigvuldig vanuit -as met en ten slotte omlaag.,,, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,, Calc-intersect: 7, ; 0, ; 0, ;, 7;, ;, 8 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 7
c d e 8 7 Calc-intersect:, ; 0, 7;, ;, Calc-intersect en aflezen: 7, ; 0, en 7, ; ] 0, 0, 0, 0, 0, 0, Calc-intersect en aflezen: [ ; 09, ;, 0 ; 0, ;, 09; 9, ;, ; ],, 0, 0, Calc-intersect en aflezen: [ ; 7, ;, 7; 07, ; 0, 7;, ;, ;, ;, ; 7, ;, 7; Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
f 8 7 Calc-intersect en aflezen 09, ;, 09 ladzijde T-a f heeft amplitude en periode g heeft amplitude en periode h heeft amplitude en periode f () sin g () sin h () cos T-7a asin( ) a, 7 sin T-8a c Bijvooreeld h () sin +,8,,, 0, 0, 0, 0 0, 0, 7 8 9 0 7 8 9 0 Maimale waterhoogte is 07, + 0, 7, meter Snijpunten ij X, en X 9,, dus om.0 uur en 9. uur. Dus geen proleem van ca..0 uur tot 9. uur. Bij vertrek om.00 uur en duur uur mag er slechts minuten vertraging zijn. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 9
, c Los op: 07, + cos 0, t 0 Met plotten vind je de nulpunten t 9, (ca.. uur) en t 787, (ca. 7. uur) Hiertussen valt de plaat gedurende uur en minuten voor de eerste keer droog. De tweede keer is van 7. uur tot 0. uur. d 0,8,,, 0, 0, 0, 7 8 9 0 7 8 9 0 T-9 Plot voor verschillende waarden van de grafieken en tel op [ 0, ] de aantallen assen en nulpunten. aantal assen aantal nulpunten 7...... + Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel