4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1

Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/ 2

Studiemateriaal Dictaat Complexe getallen (zie blackboard.leidenuniv.nl) Calculus, Early Transcendentals, 7 de editie (Edwards & Penney) 3

Werkvormen 8 uren colstructie per week 8 uren werkcollege per week 4

Toetsen 5

Programma Vanochtend Partieel differentiëren (12.4) Complexe getallen (C.1) Vanmiddag Complexe getallen (C.1 & C.2) 6

Differentiëren 7

Differentiëren Notatie afgeleide f x, df, f dx x 8

Differentiëren Als f x = ax n, dan f x = 9

Differentiëren Als f x = ax n, dan f x = n axn 1. Als f x = a x, dan f x = 10

Differentiëren Als f x = ax n, dan f x = n axn 1. Als f x = a x, dan f x = ax ln (a). Als f x = log a x, dan f x = 1 x ln a. 11

Differentiëren Als f x = ax n, dan f x = n axn 1. Als f x = a x, dan f x = ax ln (a). Als f x = log a x, dan f x = 1 x ln a. Als f x = sin (x), dan f x = cos (x). Als f x = cos (x), dan f x = sin (x). 12

Regels differentiëren Somregel Als f x = g x + h x, dan f x = g x + h x. Productregel Als f x = g x h x, dan f = g x x h x + h x g x. 13

Regels differentiëren Kettingregel Als f x = g h(x), dan f x = Quotiëntregel g h. h(x) x Als f x = g(x) g f, dan = h x h x x g(x). h(x) x h x 2 14

Partieel differentiëren Definitie De partiële afgeleiden (naar x en y) van de functie f x, y zijn de volgende twee functies: f x x, y = f x f y x, y = f y 15

Afgeleide bepalen Bereken f x x, y = f door y als een constante te zien en de x afgeleide naar x te nemen. Bereken f y x, y = f y afgeleide naar y te nemen. door x als een constante te zien en de 16

Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 17

Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y 18

Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f y x, y = 4x + 6y 21

Partieel differentiëren Oefening Gegeven: f x, y = x 2 e y2. Bepaal f x x, y en f y x, y. 24

Partieel differentiëren Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 25

Partieel differentiëren Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 26

Partieel differentiëren Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 27

Partieel differentiëren Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 28

Meer dan twee variabelen De partiële afgeleiden van de functie f x 1,, x n zijn de volgende functies: f x1 x 1,, x n = f x 1 f x2 x 1,, x n = f x 2 f xn x 1,, x n = f x n 29

Hogere partiële afgeleiden Tweede orde partiële afgeleiden f x x = f xx = f x x = x f x = 2 f x 2 30

Hogere partiële afgeleiden Tweede orde partiële afgeleiden f x x = f xx = f x x = x f xy = 2 f y x f yx = 2 f x y f yy = 2 f y 2 f x = 2 f x 2 31

Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f y x, y = 4x + 6y 32

Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y 33

Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y 34

Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y f yx x, y = 4 35

Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y f yx x, y = 4 36

Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f x x, y = 2x 4y f xx x, y = 2 f y x, y = 4x + 6y f yx x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y f yy x, y = 6 37

Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f x x, y = 2x 4y f xx x, y = 2 f y x, y = 4x + 6y f yx x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y f yy x, y = 6 38

Tweede orde partiële afgeleiden Oefening Gegeven: f x, y = x 2 e y2. Bepaal f xy x, y, f xx (x, y), f yx (x, y) en f yy (x, y). 39

Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 40

Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 41

Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 42

Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 f yx x, y = 4xye y2 43

Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 f yx x, y = 4xye y2 44

Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f x x, y = 2xe y2 f xx x, y = 2e y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 f yx x, y = 4xye y2 45

Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f x x, y = 2xe y2 f xx x, y = 2e y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 f yx x, y = 4xye y2 f yy x, y = 2x 2 e y2 + 4x 2 y 2 e y2 46

Opgaven maken Hoofdstuk 12.4 Opgaven: 1, 2, 3, 8, 9, 12, 15 47

Complexe getallen Wie weet waar N, Z, Q en R voor staan? 48

Complexe getallen N: verzameling natuurlijke getallen (0, 1, 2, 3, ) Z: verzameling gehele getallen (, -2, -1, 0, 1, 2, ) Q: verzameling rationele getallen a b : a, b Z, b 0 R: verzameling reële getallen (bijv. π, 2) 49

Complexe getallen Definitie Complexe getallen zijn getallen van de vorm z = a + bi waarbij a en b reële getallen zijn en i een nieuw (niet reëel) getal met i 2 = 1. 50

Complexe getallen Definitie Complexe getallen zijn getallen van de vorm z = a + bi a is het reële deel van het complexe getal z: a = Re z b is het imaginaire deel van het complexe getal z: b = Im z 51

Complexe getallen Definitie Complexe getallen zijn getallen van de vorm z = a + bi a is het reële deel van het complexe getal z: a = Re z b is het imaginaire deel van het complexe getal z: b = Im z C is de verzameling complexe getallen. 52

Complexe getallen Voorbeeld z = 8 4i 53

Complexe getallen Voorbeeld z = 8 4i Re z = 8 Im z = 4 54

Optellen complexe getallen a + bi + c + di 58

Optellen complexe getallen a + bi + c + di = a + bi + c + di 59

Optellen complexe getallen a + bi + c + di a + bi + c + di = a + bi + c + di = a + c + bi + di 60

Optellen complexe getallen a + bi + c + di a + bi + c + di a + bi + c + di = a + bi + c + di = a + c + bi + di = a + c + b + d i 61

Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di 62

Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di = ac + adi + bic + bidi 63

Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di = ac + adi + bic + bidi a + bi c + di = ac + ad + bc i + bdi 2 64

Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di = ac + adi + bic + bidi a + bi c + di = ac + ad + bc i + bdi 2 a + bi c + di = ac + ad + bc i bd 65

Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di = ac + adi + bic + bidi a + bi c + di = ac + ad + bc i + bdi 2 a + bi c + di = ac + ad + bc i bd a + bi c + di = (ac bd) + ad + bc i 66

Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i 67

Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = 1 + 9 = 10 68

Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = 1 + 9 = 10 In het algemeen geldt: a + bi a bi = a 2 + b 2 76

Delen complexe getallen Voorbeeld 7 + 24i 4 + 3i 77

Delen complexe getallen Voorbeeld 7 + 24i 4 + 3i = 7 + 24i 4 + 3i 4 3i 4 3i = 7 + 24i 4 3i 16 + 9 = 28 21i + 96i 72i2 25 = 100 + 75i 25 = 4 + 3i 78

Delen complexe getallen Oefening 2 + 6i 4 + 2i 83

Delen complexe getallen Oefening 2 + 6i 4 + 2i = 2 + 6i 4 + 2i 4 2i 4 2i = 2 + 6i 4 2i 16 + 4 = 8 4i + 24i 12i2 20 = 20 + 20i 20 = 1 + i 84

Geometrische weergave Complexe vlak 5 4 3 2 1 0-3 -2-1 -1 0 1 2 3 4 2 3i -2-3 -4 3 + 4i 89

Modulus complex getal Definitie De modulus van een complex getal is de afstand van dat getal tot de oorsprong. z = a 2 + b 2 6 4 2 0-4 -2-2 0 2 4-4 90

Modulus complex getal Stelling Als z en w complexe getallen zijn, dan geldt zw = z w. 91

Modulus complex getal Stelling Als z en w complexe getallen zijn, dan geldt zw = z w. Voorbeeld 4 + 3i = 4 2 + 3 2 = 25 = 5 4 + 3i 2 = 25 92

Geometrische weergave Complexe vlak bi = i z sin φ z = a + bi φ a = z cos φ 96

Argument Definitie Laat z = a + bi een complex getal ongelijk aan 0 zijn met modulus r. De hoofdwaarde van het argument Arg z van z is de unieke hoek φ die voldoet aan π φ π en waarvoor z = r cos φ + i sin φ. 97

Argument Definitie Laat z = a + bi een complex getal ongelijk aan 0 zijn met modulus r. De hoofdwaarde van het argument Arg z van z is de unieke hoek φ die voldoet aan π φ π en waarvoor z = r cos φ + i sin φ. Voorbeeld 0-3 -2-1 -1 0 1 2 2 3i 3 2 1-2 -3-4 98

Argument Definitie Laat z = a + bi een complex getal ongelijk aan 0 zijn met modulus r. De hoofdwaarde van het argument Arg z van z is de unieke hoek φ die voldoet aan π φ π en waarvoor z = r cos φ + i sin φ. Voorbeeld 0-3 -2-1 -1 0 1 2 2 3i 13 3 2 1-2 -3-4 99

Argument Definitie Laat z = a + bi een complex getal ongelijk aan 0 zijn met modulus r. De hoofdwaarde van het argument Arg z van z is de unieke hoek φ die voldoet aan π φ π en waarvoor z = r cos φ + i sin φ. Voorbeeld 0-3 -2-1 -1 0 1 2 13-2 5π 2 3i 3 2 1-3 -4 7π 6 6 100

Modulus en argument Opmerking De getallen r en φ worden ook de poolcoördinaten van het punt a, b genoemd. Een punt is hierbij volledig vastgelegd door zijn afstand r tot de oorsprong en de hoek φ die zijn plaatsvector met de positieve x-as maakt. 101

Opgaven maken Hoofdstuk C.1 Opgaven: 1, 2, 3, 4, 5 102