Analyse, Deel III Inhoudsopgave I Lineaire Differentiaalvergelijkingen... 2 I.I Algemene theorie... 2 I.II Lineaire differentiaalvergelijkingen constante coëfficiënten... 3 I.III Lineaire differentiaalvergelijking veranderlijke coëfficiënten... 3 II Fourier- en Fourier-Besselreeksen... 7 II.I Kleinste kwadratencriterium... 7 II.II Fourierreeks... 7 II.III Fourier-Besselreeks... 7 III Sturm-Liouville problemen... 9 III.I Eigenwaardeproblemen... 9 III.II Symrische eigenwaardeproblemen... 9 III.III Symrisch zelftoegevoegde differentiaaloperator... 9 III.IV Sturm-Liouvilleproblemen... 9 III.V Singuliere Sturm-Liouvilleproblemen... 11 IV Tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen... 12 IV.I De driedimensionale golfvergelijking... 12 IV.II De driedimensionale warmtevergelijking... 12 IV.III De tweedimensionale Laplacevergelijking... 12 IV.IV Warmtevergelijking in cilindercoördinaten ( cilindersymrie)... 12 IV.V Oplossingsstrategie... 12 1
I Lineaire Differentiaalvergelijkingen I.I Algemene theorie Algemene oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking van orde n Determinant van Wronski Lineaire afhankelijkheid Lineaire onafhankelijkheid op I op I Orthogonaliteit Definitie 1.1 De functies u(x) en v(x) zijn orthogonaal over het interval [a,b] ten opzichte van de gewichtsfunctie w(x) als Voor trigonorische functies k en l gehele getallen geldt 2
I.II Lineaire differentiaalvergelijkingen constante coëfficiënten karakteristieke veelterm Een fundamenteel stel oplossingen van wordt dan gegeven door Voor een complex nulpunt meervoudigheid I.III Lineaire differentiaalvergelijking veranderlijke coëfficiënten De homogene differentiaalvergelijking van Euler van orde n Voor karakteristieke veelterm Met als oplossing a) en beide reëel en verschillend b) c) 3
We kunnen de oplossingen van homogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen van een meer algemene vorm vinden als somfunctie van een machtreeks. Normaalvorm van Frobenius Elke lineaire homogene tweede orde differentiaalvergelijking kan herschreven worden in de vorm indexvergelijking Indien twee reële oplossingen heeft, en dan is de algemene oplossing en naargelang het geval a) b) c) Deze formules zijn in overeenstemming de resultaten van de Euler differentiaalvergelijking. 4
De differentiaalvergelijking van Bessel van orde p indexvergelijking Een eerste oplossing wordt de Besselfunctie van de eerste soort en orde p genoemd Een tweede oplossing wordt de Besselfunctie van de tweede soort en orde p genoemd Orthogonaliteitseigenschap als a) en verschillende positieve nulpunten zijn van b) en verschillende positieve nulpunten zijn van Belangrijke eigenschappen 5
De gewijzigde differentiaalvergelijking van Bessel Met indexvergelijking Een eerste oplossing wordt de gewijzigde Besselfunctie van de eerste soort en orde p genoemd Een tweede oplossing wordt de gewijzigde Besselfunctie van de tweede soort en orde p genoemd De differentiaalvergelijking van Chebychev zie cursus De differentiaalvergelijking van Legendre zie cursus 6
II Fourier- en Fourier-Besselreeksen II.I Kleinste kwadratencriterium Een functie die benadert op het interval, moet voldoen aan Minimaal. Voor geldt II.II Fourierreeks Reeks van periodieke functies gegeven door II.III Fourier-Besselreeks Van de eerste soort en orde 0 7
Van de tweede soort en orde 0 8
III Sturm-Liouville problemen III.I Eigenwaardeproblemen Lineaire differentiaalvergelijking van orde 2 Met randvoorwaarden III.II Symrische eigenwaardeproblemen Men definieert een symrische differentiaaloperator om via symrische eigenwaardeproblemen eigenfuncties te bekomen die voldoen aan onderstaande eigenschap. Op deze manier kan men wederom reeksen definiëren om functies te benaderen. Eigenschap 3.3 Eigenfuncties en behorende bij verschillende eigenwaarden en van een symrisch eigenwaardeprobleem, zijn orthogonaal over het interval [a,b] ten opzichte van de gewichtsfunctie. III.III Symrisch zelftoegevoegde differentiaaloperator Men bekijkt vanaf dit punt enkel nog de zelftoegevoegde vorm van symrische eigenwaardeproblemen in de cursus. Aangezien deze gemakkelijker te controleren zijn op de symrische eigenschap. Gevolg 3.6 Het eigenwaardeprobleem L in zelftoegevoegde vorm is symrisch in de volgende gevallen a) Niet-gemende randvoorwaarden b) Periodieke randvoorwaarden III.IV Sturm-Liouvilleproblemen Hebben we nu een willekeurig eigenwaardeprobleem Deze kan herschreven worden als 9
Het volstaat te verifiëren dat Eigenschap 3.7 Eigenfuncties behorende bij verschillende eigenwaarden van een Sturm- Liouvilleprobleem zijn orthogonaal over het interval [a,b] ten opzichte van de gewichtsfunctie. Nu kan men ook de gewichtsfunctie voor de orthogonaliteitseigenschap bepalen. Via onderstaande stelling realiseren we de mogelijkheid om functies te benaderen d.m.v. de eigenfuncties van een eigenwaardeprobleem. Stelling 3.8 Zij L een normale zelftoegevoegde tweede orde lineaire differentiaaloperator van naar. Het eigenwaardeprobleem niet-gemengde randvoorwaarden heeft oneindig veel reële eigenwaarden, zodanig dat en. De overeenkomstige eigenfuncties hebben de eigenschap dat de reeks van de functies Puntsgewijze convergeert naar stuksgewijze effen is op dit interval. op [a,b], op voorwaarde dat Opmerkingen: a) De convergentiestelling kan ook uitgebreid worden voor een Sturm-Liouvilleprobleem niet-gemengde randvoorwaarden. Hier ook kunnen we reeksen van functies beschouwen die convergeren naar indien de coëfficiënten nu berekend worden als 10
b) Ook in het geval van periodieke randvoorwaarden kunnen we reeksen van eigenfuncties beschouwen. Het eigenwaardeprobleem geeft aanleiding tot de Fourierreeks van de periodieke uitbreiding van op. III.V Singuliere Sturm-Liouvilleproblemen In de tot nu toe bestudeerde Sturm-Liouvilleproblemen randvoorwaarden in de punten a en b werd expliciet (of impliciet) verondersteld dat p(x) strikt positief is op [a,b]. Indien p(x) een nulpunt heeft op [a,b], is de differentiaaloperator niet langer normaal op [a,b]. Indien p(a) = 0 en/of p(b) = 0 noemen we a en/of b een singulier randpunt. Indien minstens één van de randpunten singulier is, noemen we het sturm-liouvilleprobleem singulier. Het eigenwaardeprobleem heeft mogelijk geen oplossingen omdat de voorwaarden in het singuliere randpunt(en) te beperkend zijn om nog een oplossing te kunnen vinden. Meer algemeen, zal men daarom in een singulier randpunt a meestal een voorwaarde opleggen van de vorm y(x) en y (x) moeten begrensd zijn in de omgeving van x = a 11
IV Tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen IV.I De driedimensionale golfvergelijking IV.II De driedimensionale warmtevergelijking IV.III De tweedimensionale Laplacevergelijking IV.IV Warmtevergelijking in cilindercoördinaten ( cilindersymrie) IV.V Oplossingsstrategie 1. Model opstellen (golf-, warmte-, laplace-vergelijking + randvoorwaarden) 2. Scheiding der veranderlijken (homogene randvoorwaarden ook omvormen) 3. Sturm-Liouvilleprobleem (eigenwaarden en eigenfuncties bepalen) 4. Overig probleem 5. Algemene oplossing + Interpretatie (Maple) 12