Chapter Higgs-mechanisme: het bestaan van W- en Z-bosonen. De Higgs-Lagrangiaan Beschouwd wordt de volgende Lagrangiaan L : L = 2 µφ µ φ + 2 µφ 2 µ φ 2 + 2 µ2 φ 2 + 2 µ2 φ 2 4 λ φ 2 + φ 2 2 2.. Deze Lagrangiaan beschrijft twee scalarvelden φ, φ 2 tegelijkertijd: de eerste twee termen zijn het kinetische deel van de velden, de twee termen erna de inherente eigenschap µ van de velden, en de laatste term is de interactie tussen φ en φ 2. Een aantal eigenschappen van de twee velden kunnen snel worden geconcludeerd: wanneer we deze Lagrangiaan vergelijken met die van een Klein-Gordon-deeltje, zien we direkt dat de twee velden een spin hebben van nul. Daaruit volgt dat deze deeltjes voldoen aan Bose-Einstein statistiek, oftewel dat het Pauli Principe niet geldt en er dus een willekeurig aantal φ en φ 2 deeltjes tegelijkertijd in dezelfde quantumtoestand kunnen zijn. Tenslotte laat de laatste term in de Lagrangiaan zien dat de twee deeltjes een fysische interactie met elkaar aangaan: deze term zal immers, via de Euler-Lagrange vergelijking, termen opleveren in de bewegingsvergelijking van elk deeltje waarin het andere deeltje een rol speelt. Het is eenvoudig om dit expliciet te maken: volgens de Euler-Lagrangevergelijking zijn de bewegingsvergelijkingen van de twee deeltes de volgende: 2 µ 2 φ = λ φ 2 + φ 2 2 φ,.2 2 µ 2 φ 2 = λ φ 2 + φ 2 2 φ2,.3 Twee verdere conclusies kunnen nog worden getrokken. Ten eerste is duidelijk de massatermen µ 2 φ en µ 2 φ 2 met het verkeerde minteken uitkomen, en ten tweede is te zien dat de rollen van de twee typen deeltjes geheel symmetrisch zijn: het onderling gelijk verwisselen van de velden φ met φ 2 levert precies dezelfde Lagrangiaan en bewegingsvergelijkingen op.
2 CHAPTER. HIGGS-MECHANISME: HET BESTAAN VAN W- EN Z-BOSONEN Deze laatste twee observaties hebben een nauwe verwantschap door middel van het begrip Spontane Symmetriebreking, en zullen cruciaal blijken te zijn voor het Higgs-mechanisme..2 Spontane Symmetriebreking De beschouwde Lagrangiaan heeft een Hamiltoniaandichtheid H die kan worden berekend met de gebruikelijke uitdrukking uit het Noether Theorema H = L 0 φ 0φ + L 0 φ 2 0φ 2 L..4 Uitgewerkt voor de huidige Lagrangiaan levert dit de volgende uitdrukking op: H = 2 0φ 2 + 2 0φ 2 2 2 µ2 φ 2 + φ 2 2 + 4 λ2 φ 2 + φ 2 2 2..5 De ruimteintegraal van deze uitdrukking levert dan de energie op van het fysische systeem, en volgens het Noether Theorema is deze uitdrukking constant in de tijd. Duidelijk is dat de oplossing φ = 0, φ 2 = 0 niet de minimale energie oplevert voor dit systeem: door even te schrijven φ 2 + φ 2 2 = x en de afgeleide te nemen van het potentiele deel van de Hamiltoniaan en die gelijk te stellen aan nul, volgt dat de laagste energietoestand van het systeem voldoet aan µ 2 2 2 λ2 x = 0.6 oftewel wanneer er voor de velden geldt µ 2 φ 2 + φ 2 2 =..7 λ Zoals is te zien is er een continuum aan oplossingen voor deze toestand van laagste energie. Elke keuze is, wat de fysica van het systeem betreft, identiek aan elke andere; immers, de Lagrangiaan is symmetrisch onder elke onderling gelijke verwisseling van de twee velden. We zullen als toestand van laagste energie de volgende kiezen: φ 0 = µ λ, φ 2 0 = 0..8 waarbij het onderschrift 0 aangeeft dat we met de waarde van het veld te maken hebben waarin de energie de laagste waarde heeft. Het wiskundig apparaat van de Quantumvelden Theorie gaat uit van het principe dat de natuur de laagste energietoestand aan probeert te houden; elke afwijking van de laagste energietoestand bijvoorbeeld door deeltjes op elkaar te laten botsen in een versneller moet gezien worden als een verstoring van die laagste energietoestand. Het is daarom handig om de oorspronkelijke Lagrangiaan te herschrijven in een wiskundig identieke! vorm waarin het duidelijk is welke bijdragen de laagste energietoestand beschrijven en welke bijdragen de verstoring van de laagste energietoestand. Hiertoe schrijven we de twee velden als φ = φ 0 + η, φ 2 = φ 2 0 + ξ,.9
.3. HET HIGGS-MECHANISME 3 oftewel als een constante term φ 0 voor φ en φ 2 0 voor φ 2 overeenkomend met de laagste energietoestand en een dynamische verstoring van die laagste energietoestand η voor φ en ξ voor φ 2. Voor onze gemaakte keuze levert dit op: φ = µ λ + η, φ 2 = ξ..0 Door deze herschrijving in te vullen in de Lagrangiaan wordt een wiskundig identieke! uitdrukking gevonden die, deze keer, de dynamica van de fysica beschrijft in termen van de afwijkingen η en ξ van de laagste energietoestand van het systeem. Er wordt dan gevonden dat de Lagrangiaan gegeven wordt door L = + 2 µη µ η µ 2 η 2 + 2 µξ µ ξ µλη 3 + µληξ 2 4 λη4 + ξ 4 + 2η 2 ξ 2 + µ4 2λ 2.. De eerste set haakjes is de Klein-Gordonvergelijking voor een deeltje η met massa µ, en de tweede set haakjes is de Klein-Gordonvergelijking voor een deeltje ξ met massa nul. Daarna volgen een aantal interacties van de twee deeltjes met elkaar, en tenslotte is er een constante term die geen fysische betekenis heeft; hij wordt immers altijd weggedifferentieerd wanneer de Lagrangiaan wordt ingevuld in de Euler-Lagrangevergelijking. Zo is gevolgd dat de Lagrangiaan wel degelijk fysisch acceptabele dit wil zeggen: met reële massa deeltjes beschrijft, mits we maar het systeem beschrijven vanuit de toestand met laagste energie. Een deeltjesinterpretatie blijkt pas mogelijk wanneer we velden identificeren die de afwijkingen zijn van de laagste energietoestand. De werkelijke deeltjes worden dus beschreven door de velden η en ξ, en niet door de velden φ en φ 2. Het herschrijven van de Lagrangiaan in termen van de afwijkingen van de laagste energietoestand is ten koste gegaan van de symmetrie van de Lagrangiaan: waar de oorspronkelijke versie nog invariant was onder een onderling gelijke verwisseling van de twee velden, is de nieuwe versie dat niet. Met zegt dan dat de symmetrie is gebroken. De algemene regel is dit: na het breken van de symmetrie van een Lagrangiaan door over te gaan op velden die de afwijkingen van de laagste energietoestand beschrijven, worden imaginaire massa s reeel en zal een van de velden een scalardeeltje beschrijven dat geen massa heeft. Dit feit staat bekend als het Theorema van Goldstone..3 Het Higgs-mechanisme In wat volgt zullen we ons verder verdiepen in de symmetrie die de oorspronkelijke Lagrangiaan had. Zoals is besproken is de oorspronkelijke Lagrangiaan invariant onder onderlinge verwisseling van de twee oorspronkelijke velden φ en φ 2. Hiermee wordt niet louter bedoeld dat de twee velden door elkaar vervangen mogen worden, maar ook dat er de verwisseling zodanig mag zijn dat er net zoveel φ -heid als φ 2 -heid is voor als na de
4 CHAPTER. HIGGS-MECHANISME: HET BESTAAN VAN W- EN Z-BOSONEN verwisseling. Dit is compleet analoog aan de bespreking uit een eerder hoofdstuk van de verwisseling van de kleuren. Daar was aangetoond dat zo n toegestane kleurverwisseling beschreven kan worden met een unitaire matrix; in het huidige geval van de verwisseling van de velden φ en φ 2 is dat een te strenge eis: deze keer zijn de velden niet complex maar reëel, waardoor een orthogonale matrix volstaat. een orthogonale matrix O is een matrix waarvan de getransponeerde gelijk is aan de inverse, oftewel een matrix waarvoor geldt dat O T O gelijk is aan de eenheidsmatrix. We zouden daarom de verwisselingstransformatie als een orthogonale matrix kunnen schrijven en dan, analoog aan de bespreking in het hoofdstuk over Yang-Mills theorie, kunnen uitzoeken wat de consequentie van de invariantie onder deze verwisseling is. Dit is een wiskundig volkomen correcte aanpak, maar het is iets eenvoudiger om de symmetrie als volgt te onderzoeken: de huidige Lagrangiaan staat toe om de twee reële velden φ en φ 2 te schrijven als een enkel complex veld, Φ. De velden φ en φ 2 spelen dan de rol van de componenten dit complexe veld Φ. We definieren daarom: Hieruit volgt direkt dat we kunnen schrijven: Φ = φ + i φ 2..2 φ 2 + φ 2 2 = Φ Φ,.3 en 2 µφ µ φ + 2 µφ 2 µ φ 2 = 2 µφ µ Φ..4 Hiermee kan de oorspronkelijke Lagrangiaan geschreven worden in de wiskundig equivalente vorm L = 2 µφ µ Φ + 2 µ2 Φ Φ + 4 λφ Φ 2..5 Zoals gezegd is deze omschrijving gedaan om makkelijker de symmetrie van de Lagrangiaan onder verwisseling van de velden φ en φ 2 te kunnen onderzoeken. Immers, aangezien deze velden nu de componenten zijn van het veld Φ en de componenten van elk complex getal in elkaar kunnen worden overgeschreven door middel van een complexe faseverschuiving, is de nieuwe vorm van de Lagrangiaan invariant onder de transformatie Φ e iθ Φ..6 Dit is precies het type transformatie en invariantie dat we al hebben onderzocht in het hoofdstuk over ijkinvariantie, en wat leidde tot het bestaan van fotonen en het Maxwellveld. Precies dezelfde wiskunde kan hier nu direkt worden toegepast om lokale ijkinvariantie te bereiken. In direkte navolging van eerder behandelde stof doen we de stap van de minimale substitutie, µ µ + iqa µ.7 voor een zeker ijkveld A µ, gevolgd door de toevoeging aan de Lagrangiaan van een term F µν F µν die de bijdrage van het vrije A µ -veld beschrijft. De nieuwe Lagrangiaan is dan ook L = µ Φ + ia µ Φ µ Φ iqa µ Φ 2 2 µ2 Φ Φ + 4 λ2 Φ Φ 2 F µν F µν,.8
.3. HET HIGGS-MECHANISME 5 en deze is lokaal invariant onder de complexe verschuiving e iθx, voor elke functie θx. De symmetrie is op dit moment dus nog geheel behouden. Echter, zoals al aangetoond is een goede deeltjesinterpretatie alleen mogelijk wanneer de Lagrangiaan wordt omgeschreven naar de velden die de afwijking zijn van de laagste energietoestand, η en ξ. Hiertoe schrijven we wederom φ = µ λ + η, φ 2 = ξ,.9 en werken we de Lagrangiaan uit. We vinden dan, na triviale maar wat lange algebra de volgende uitdrukking 2 µξ µ ξ L = 2 µη µ η µ 2 η 2 + + F µν F µν + qµ A µ A µ 2 λ 2i qµ µ 2 λ µξa µ + qη µ ξa µ qξ µ ηa µ + ηa µ A µ + λ 2 q2 ξ 2 + η 2 A µ A µ λµη 3 + ηξ 2 µ 4 λ2 η 4 + 2η 2 ξ 2 + ξ 4 2 2 +..20 2λ Hiermee is de symmetrie gebroken: door over te zijn gegaan op de afwijkingen η en ξ van de laagste energietoestand is de symmetrie van de oorspronkelijke Lagrangiaan verloren gegaan. Als gevolg hiervan is, net zoals in het globaal ijkinvariante geval, er een correcte deeltjesinterpretatie van de velden η en ξ voor teruggekomen: in de eerste regel beschrijft de eerste set haakjes een scalardeeltje met reële massa en de tweede set haakjes een massaloos scalardeeltje het Goldstone boson. Uiteraard zijn er vele extra termen bijgekomen die, net als in onze eerdere behandeling van het lokaal ijkinvariant maken van Klein-Gordon velden, de interactie van het Maxwellveld A µ met de velden η en ξ beschrijven. Deze interacties, beschreven door de gehele derde regel, is een stuk ingewikkelder dan voorheen, als direkt gevolg van het feit dat het breken van de symmetrie. Bovendien blijkt dat de twee componenten η en ξ van het veld Φ ook interactie met elkaar hebben, en wel via de gehele vierde regel. Deze zelf-interactie is het direkte gevolg van de aanwezigheid van de term Φ Φ 2 in de Lagrangiaan. In de zo resulterende theorie is het Maxwell-veld dus niet louter het elektromagnetische veld dat de interactie tussen fotonen en Klein-Gordondeeltjes beschrijft, maar tevens het veld dat de interactie beschrijft tussen de twee typen Klein-Gordondeeltjes zelf. De enige regel die we nog niet hebben beschouwd is de tweede, en het is hier dat het beroemde Higgs-mechanisme zich presenteert. In deze regel staat de bijdrage van de Lagrangiaan die het vrije Maxwell-veld beschrijft: F µν F µν ; deze bijdrage is nog in complete overeenkomst met de eerdere behandeling van het lokaal ijkinvariant maken van het Klein-Gordonveld in een eerder Hoofdstuk. Deze keer, echter, heeft de Lagrangiaan van het vrije Maxwell-veld een extra bijdrage, A µ A µ. Deze bijdrage is kwadratisch in het
6 CHAPTER. HIGGS-MECHANISME: HET BESTAAN VAN W- EN Z-BOSONEN Maxwell-veld zelf, en stelt daarom een massa-term voor: wanneer de Lagrangiaan van het vrije Maxwell-veld in de betreffende Euler-Lagrangevergelijking wordt gesubstitueerd om zo de bewegingsvergelijking te vinden voor de fotonen, dan volgt een Klein-Gordon-achtige vergelijking waarin het veld A µ zelf voorkomt. Deze term heeft, net zoals in het geval van een Klein-Gordon vergelijking, de fysische betekenis van een massa. Dit betekent dat in deze theorie fotonen massa hebben gekregen! Het is op dit punt goed om even pas op de plaats te maken: we zijn begonnen met een Lagrangiaan waarin twee deeltjes en hun onderlinge interactie werden beschreven. De Lagrangiaan was van een type dat toeliet dat de twee velden onderling met elkaar worden verwisseld, en we zijn in staat gebleken deze Lagrangiaan te schrijven als die van een enkel, complex veld, waarin de verwisselingssymmetrie zich presenteerde als de vrijheid om het complexe veld een willekeurige globale complexe fase te geven. Door vervolgens op te leggen dat deze symmetrie ook lokaal moet gelden werd minimale substitutie toegepast, en werd een lokaal ijkinvariante versie van de Lagrangiaan gevonden. Deze draagt, zoals we al eerder hadden gezien, een Maxwellveld mee, waarmee de interactie tussen de velden en het Maxwellveld werd vastgelegd. Tenslotte werd er gebruik gemaakt van het feit dat de velden niet de laagste energietoestand beschrijven van het systeem; door tenslotte over te gaan op nieuwe velden als verstoringen van de laagste energietoestand. werd de theorie herschreven in een vorm die een massaloos scalardeeltje ξ beschrijft, een massief scalardeeltje η, en kreeg het Maxwell-veld een massa. Deze procedure heet het Higgs-mechanisme. Tenslotte kan een laatste herschrijving worden gedaan. Door expliciete constructie is de theorie invariant gemaakt onder verschuiving van de complexe fase, wat er fysisch op neerkomt dat de velden φ en φ 2 op elke plejk en op elk tijdstip naar willekeur onderling verwisseld mogen worden. In termen van de velden η en ξ bestaat die vrijheid nog altijd: door een geschikte keuze te maken voor de fasverschuiving θx mag op elke plek en op elk tijdstip de velden η en ξ in elkaar worden overgeschreven zonder dat dat de fysica beschreven door de Lagrangiaan verandert. Het is dan eenvoudig om aan te tonen dat er een keuze voor θx mogelijk is die het Goldstone boson ξ en zijn afgeleiden gelijk maakt aan nul, zodat er volgt ξ = 0, µ ξ = 0..2 Het is officieel geen Klein-Gordonvergelijking, omdat de oplossing geen scalardeeltje is. In plaats daarvan heet de bewegingsvergelijking de Proca-vergelijking, en deze heeft veelal dezelfde eigenschappen als de Klein-Gordonvergelijking. Met name geldt óók in de Proca-vergelijking dat elke term evenredig met de oplossing zelf een massa-term voorstelt.
.3. HET HIGGS-MECHANISME 7 Voor deze specifieke keuze van de ijking reduceert de Lagrangiaan, tenslotte, tot de volgende vorm: L = 2 µη µ η µ 2 η 2 + F µν F µν + qµ A µ A µ 2 λ µ 2 ηa µ A µ + λ 2 q2 η 2 A µ A µ λµη 3 µ 4 λ2 η 4 2 2 +..22 2λ Deze Lagrangiaan, uiteindelijk, beschrijft een enkel massief scalardeeltje η, en zijn interactie met een massief Maxwellveld A µ. Het is op deze manier dat massieve krachtvelden worden gerealiseerd in de natuur: de Z- en W -bosonen van de zwakke interactie.