Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de beschrijving en het begrip van interacties tussen elementaire deeltjes.

Transcriptie

1 Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de beschrijving en het begrip van interacties tussen elementaire deeltjes. Interacties zullen plaats grijpen voor zover ze kinematisch toegelaten zijn en voor zover een aantal behoudswetten gelden, zoals behoud van lading, van energie en impuls, van impulsmoment. Daarboven zijn er nog een aantal behoudswetten die niet noodzakelijk gelden voor alle soorten interacties. Deze behoudswetten zijn het gevolg van de invariantie van de hamiltoniaan van een systeem onder bepaalde (unitaire) transformaties. Met deze behoudswetten kan men kwantumgetallen associëren die al dan niet behouden zijn, en een deeltje karakteriseren. De behoudswetten en bijhorende kwantumgetallen werden in de loop der jaren opgesteld als gevolg van experimentele observaties, zoals het al dan niet plaats grijpen van bepaalde interacties. In dit hoofdstuk wordt eerst besproken wat bedoeld wordt met symmetrie en behoudswetten, en dit aan de hand van twee voorbeelden: symmetrie onder translaties en behoud van impuls, en symmetrie onder rotaties en behoud van impulsmoment. Nadien bespreken we ruimte-inversie (P, pariteit), ladingstoevoeging (C-pariteit), tijdsinversie (T transformatie), en de gezamelijke transformaties CPT en CP. Nadien worden isospin en G-pariteit ingeleid, symmetrieën die enkel betrekking hebben op hadronen en de sterke wisselwerking. Het hoofdstuk wordt afgesloten met een herhaling van baryon en leptongetal en vreemdheid, en met een overzicht van alle gezien behoudswetten. 1

2 2

3 Voorbeelden van continue tranformaties zijn: translaties en rotaties. Voorbeelden van discrete transformaties zijn: ruimte inversie, ladingstoevoeging, tijdsinversie. Voorbeelden van additief behouden kwantumgetallen zijn: leptongetal, baryongetal, vreemdheid en andere flavours (charme ). Voorbeelden van multiplicatief behouden kwantumgetallen zijn: pariteit, C-pariteit. Pariteit en C-pariteit zijn behouden in de sterke en elektromagnetische wisselwerkingen, maar zijn niet behouden in de zwakke wisselwerkingen. Het product CP is echter wel behouden in de zwakke wisselwerkingen, op een klein effect in het neutraal kaon systeem na. Het product CPT is behouden in alle wisselwerkingen (theorema). Isospin symmetrie komt overeen met een invariantie voor rotaties in een abstracte ruimte. De beschrijving van isospin symmetrie is volledig analoog als de beschrijving en het formalisme voor impulsmoment, dat besproken werd in hoofdstuk II. Voor de studie van de behoudswetten zullen we kwantummechanische h operatoren gebruiken. Deze staan beschreven in hoofdstuk II. 3

4 Operatoren en de Schrödinger vergelijking zijn beschreven in hoofdstuk II, en kunnen gevonden worden in elk boek over kwantummechanica. De hamiltoniaan operator stelt de totale energie voor: kinetische + potentiële energie. Voor een vrij (geïsoleerd) deeltje is V(r)=0. Men spreekt van een behouden grootheid indien de hamiltoniaan en de golffunctie invariant blijft onder de geässocieerde symmetrie operatie. 4

5 Een gesloten systeem is een systeem waarop geen externe potentiaal werkt. De metingen en resultaten van een experiment zijn niet afhankelijk van waar men de opstelling plaatst, voor zover het verband tussen de lokaties translaties zijn. 5

6 Op blz 4 hebben we gezien dat een grootheid behouden is indien zijn operator commuteert met de hamiltoniaan. 6

7 Het impulsmoment werd besproken in hoofdstuk II. Men kiest meestal de impulsvector als z-as. 7

8 8

9 O(ε 2 ) wordt verwaarloosd. 9

10 Ruimte-reflectie is een discrete transformatie. Het effect ervan op de golffunctie van een deeltje is dat een linkshandig deeltje transformeert in een rechtshandig deeltje. Het wijzigt het teken van de impuls, maar laat het impulsmoment onveranderd. sommige deeltjes komen voor in eigentoestanden van ruimte-inversie, of pariteitstransformatie. Ze hebben een intrinsieke pariteit. In dit deel wordt het effect van de P operatie op de golffunctie besproken evenals de bepaling van de pariteit van een aantal deeltjes. We zullen zien dat P behouden is in de sterke en elektromagnetische wisselwerkingen. Dit laat ons toe om experimenteel de pariteit van deeltjes te bepalen. P is maximaal geschonden in de zwakke wisselwerkingen. Dit wordt op het einde van deel 2 besproken. 10

11 (x1,x2,x3) vormen een rechtshandig assenstelsel. (x 1,x 2,x 3) vormen een linkshandig assenstelsel. Vermits de impuls van teken verandert en het impulsmoment niet, transformeert men van een rechtshandig (heliciteit +1) naar een linkshandig (heliciteit -1) deeltje. Indien de hamiltoniaan invariant is voor ruimte-inversie, of een pariteitstransformatie, dan commuteert de hamiltoniaan operator met de pariteitsoperator. Beide operatoren hebben een stel gezamelijke eigenfuncties. 11

12 Wanneer men de pariteits operator tweemaal laat opereren bekomt men terug de originele golffunctie. De operator P 2 is bijgevolg de eenheidsoperator I. We hebben gezien in hoofdstuk II dat de bolfuncties Y lm eigenfuncties zijn van orbitaal impulsmoment. Men kan veronderstellen dat een systeem van deeltjes invariant is onder rotaties en bijgevolg sferisch symmetrisch. Bijgevolg kan men het ruimtelijk deel van de golffunctie afzonderen van het hoekafhankelijk deel. De eigenfuncties van orbitaal impulsmoment zijn enkel afhankelijk van de hoeken. 12

13 Het feit dat pariteit behouden is in de sterke en elektromagnetische interacties (of vervallen) betekent dat men de pariteit van deeltjes kan bepalen uit het experiment. Dit wordt met enkele voorbeelden aangetoond verder in dit deel van het hoofdstuk. Zwakke wisselwerkingen kunnen niet gebruikt worden om de experimenteel de pariteit van deeltjes te bepalen. De schending van behoud van pariteit in de zwakke wisselwerkingen was een belangrijke mijlpaal in de deeltjesfysica. Dit wordt later in dit deel besproken. 13

14 14

15 Baryonen zijn fermionen. Historisch gezien werd pariteit ingevoerd in de jaren 1950 vòòr het quark model. De pariteiten van proton, neutron en lambda hyperon werden ad hoc ingevoerd. De waarden komen overeen met wat men bekomt vertrekkend van gebonden quark systemen. 15

16 Het deuteron is een gebonden (p+n) systeem in de grondtoestand ( =0). De pariteit van het deuteron is bijgevolg P d =(+1)(+1)(-1) 0 =+1. De spin van het pion werd besproken in hoofdstuk II, p30 e.v. 16

17 De twee neutronen bevinden zich in posities (r 1,r 2 ), zodat de ruimtelijke golffunctie is f(r 1,r 2 ). Verwisseling van neutron-1 met neutron-2 betekent dat de golffunctie transformeert in f(r 2,r 1 )= f(-r 1,-r 2 ), wat een ruimte-inversie inhoudt. 17

18 De verschillende vormen van de α golffuncties worden bekomen door spins samen te stellen met de Clebsch Gordan tabellen. 18

19 De 3 (nn) toestanden komen overeen met wat toegelaten is wegens behoud van totaal impulsmoment. De samenstelling van het impulsmoment van de (n+n) toestand moet berekend worden met behulp van de tabellen van Clebsch-Gordan coëfficiënten. Dit wordt besproken in appendix VII.A. De symmetrie van de golffunctie Ψ onder verwisseling van de 2 neutronen hangt af van de symmetrie van het ruimtelijk deel f en van het spin deel α. De verschillende mogelijkheden worden in de kader gegeven. 19

20 20

21 21

22 22

23 Bij een pariteitstransformatie zal de linkerfiguur transformeren in de rechterfiguur. De spin van de cobalt kern blijft ongewijzigd (zie begin deel 2) en de impulsvector van het elektron transformeert in zijn spiegelbeeld. Pariteitsbehoud in dit zwak verval betekent dat beide figuren even frequent voorkomen. Aangezien de Co-kernen gepolariseerd zijn kan men de richting van de Co spinvector kiezen als z-as. Bij behoud van pariteit zijn er evenveel elektronen geproduceerd bij een hoek q met de z-as als bij een hoek (p-q). Dat heeft tot gevolg dat de hoekverdeling isotroop moet zijn en men evenveel elektronen verwacht in de voorwaartse als de achterwaartse hemisfeer (ten opzichte van de Co spinvector). Het experiment van Wu toonde echter een asymmetrie in de hoekverdeling, wat wijst op schending van pariteitsbehoud. De elektronen zijn bij voorkeur geproduceerd in de achterwaartse hemisfeer. 23

24 Heliciteit is de projectie van de spinvector op de impulsvector (hoofdstuk II, Dirac theorie). In plaats van het experiment te baseren op elektron detectie kon men proberen om het anti-neutrino te detecteren. Dit is niet haalbaar omwille van de extreem lage werkzame doorsnede voor neutrino interactie. Men zou waargenomen hebben dat het anti-neutrino enkel voorwaarts (0 graden) geproduceerd wordt. 24

25 De ladingstoevoeging operatie, of C operator, transformeert een deeltje in zijn anti-deeltje. Enkel deeltjes die hun eigen anti-deeltje zijn (zoals het neutraal pion) hebben een intrinsieke C-pariteit. De sterke en elektromagnetische wisselwerkingen zijn invariant onder een C-transformatie. De zwakke wisselwerkingen zijn niet invariant onder C-transformatie. De intrinsieke C-pariteit van neutrale hadronen kan bepaald worden in experimenten die verlopen volgens de sterke of elektromagnetische wisselwerkingen. In de zwakke wisselwerkingen is er zowel schending van behoud van pariteit P als van ladingstoevoeging C. Deze wisselwerkingen zijn echter invariant onder gecombineerde CP transformaties. Er is hierop een uitzondering in het neutraal kaon systeem. Daarin is er evidentie voor een klein CP-schendend effect. Schending van CP-symmetrie werd ook waargenomen in het neutrale B-meson systeem (mesonen met B quark, zie hdst VIII). 25

26 De C-operatie transformeert de golffunctie Ψ in de golffunctie Ψ, waarin de deeltjes vervangen worden door anti-deeltjes. De golffunctie is deze van een systeem van deeltjes, of van een individueel deeltje. Niet alle deeltjes kunnen voorkomen in een eigentoestand van de C-operator. De minimum vereiste om een intrinsieke C-pariteit te bezitten is dat het deeltje neutraal is. Het neutraal pion is een C eigentoestand. Het neutron niet omdat het een magnetisch moment heeft dat van teken verandert bij C- transformatie. In de kader links stellen de deeltjes a deeltjes voor die geen intrinsieke C-pariteit bezitten, en de deeltjes α zijn deeltjes met intrinsieke C-pariteit. Het feit dat de sterke en elektromagnetische wisselwerkingen invariant zijn onder C- transformaties betekent dat hun hamiltoniaan invariant is en commuteert met de C- operator. Er dient hier opgemerkt te worden dat de keuze om het elektron een deeltje te noemen louter een conventie is. 26

27 De notatie q,b,s, > = ψ(q,b,s, ), staat voor de golffunctie van het deeltje, en is de Dirac notatie. Deze notatie is eenvoudiger en geeft formules in een meer overzichtelijk wijze weer.in deze Dirac haakjes noteert men enkel de waarneembare grootheden. 27

28 Het kwadraat (η Cγ ) 2 is +1 welke ook de C-pariteit van het foton weze (+1 of -1). γ Onder een C-pariteitsoperatie veranderen alle geladen deeltjes hun lading van teken, en flipt bijgevolg ook de potentiaal van teken. 28

29 Het foton is een vector deeltje met spin 1, en wordt beschreven door de vectorpotentiaal A. 29

30 30

31 Het gedrag van de golffunctie onder pariteits transformatie wordt besproken op p 12. Het (pi+,pi-) systeem is in een eigentoestand met orbitaal impulsmoment l. Mesonen zijn bosonen en deeltje en anti-deeltje hebben dezelfde intrinsieke C- pariteit. Voor systemen met spin kan men de golffunctie schrijven als een product Ψ=Φ(r)α(spin), wat leidt tot de factor (-1) (l +S). 31

32 De symmetrie van een systeem van 2 fermionen (n+n) werd besproken onder de pariteit van het pion, dit hdst p 16 e.v. de symmetrie van de spin golffunctie wordt daar uitvoerig besproken. Voor fermionen geldt dat het deeltje en het antideeltje een tegengestelde C- pariteit hebben. Dit betekent dat het product altijd -1 is. De exponent +2 werd weggelaten omdat een even exponent een factor +1 geeft en geen verschil maakt. 32

33 De heliciteit van een deeltje wordt besproken in H II. De heliciteit van het neutrino werd besproken in deel 2 van dit hoofdstuk (pariteit in zwakke wisselwerkingen). 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 38

39 De T operator heeft een effect op de hamiltoniaan van het systeem en op de golffunctie. Voor de sterke en elektromagnetische wisselwerkingen is de hamiltoniaan invariant onder T-operaties. Voor de zwakke wisselwerkingen is dat meestal ook het geval, behalve in systemen als het neutraal kaon. 39

40 Het matrix element, of transitie amplitude, M wordt besproken in hoofdstuk V (interacties) en VI (werkzame doorsnede). De probabiliteiten voor optreden van de reacties a+b->c+d en c+d->a+b zijn gelijk (zelfde transitieamplitudes) maar de rates zullen verschillend zijn omdat de kinematische factoren (massa s enz) in begin- en eindtoestand verschillend zijn. Invariantie onder T-operatie werd gebruikt om de spin van het pion te bepalen (hdst III). 40

41 De figuur toont 2 curven. De schaal links en onder heeft betrekking op de eerste reactie (punten) en de schaal boven en rechts op de tweede reactie (volle lijn). Statistische methodes, zoals bvb de Kolmogorov test, laten toe beide curven te vergelijken en een bovenlimiet te plaatsen op de afwijking tussen beide, rekening houdend met de fouten op de metingen. 41

42 In de formule voor het magnetisch moment voor een spin ½ puntdeeltje is s de spin van het deeltje en q zijn lading. De massa van het neutron is m n. Het magnetisch dipoolmoment van het neutron wordt verder besproken in hoofdstuk VIII bij de testen van het quark model. We hebben in hoofdstuk II gezien dat nucleonen typisch een grootte hebben van 1fm = m. In de formule voor het elektrisch dipoolmoment staat d voor de lengte van de dipool. 42

43 De enige ruimtelijke voorkeurrichting in het neutron is de spin richting. 43

44 Isospin en G-pariteit zijn nauw met elkaar verwant. Het zijn symmetrieën van de sterke wisselwerkingen wat betekent dat de isospin en G-pariteit kwantumgetallen enkel betekenis hebben voor hadronen. Het formalisme dat isospin beschrijft is volledig analoog aan het formalisme dat spin beschrijft (zie dit hoofdstuk deel 1). Men kan isospin symmetrie, net zoals spin symmetrie, mathematisch beschrijven aan de hand van de groep SU(2). Invariantie van de sterke wisselwerkingen onder isospin transformatie betekent invariantie onder rotaties in een abstracte isospin ruimte. De transformatie matrices vormen een SU(2) groep, de isospin SU I (2) groep. Toen men de vreemde deeltjes ontdekt heeft in 1947 leek het evident om isospin symmetrie uit te breiden naar een driedimensionale symmetrie gebaseerd op isospin en vreemdheid. Deze transformaties vormen de SU(3) groep SU F (3), flavour SU(3). De symmetrie van de sterke wisselwerkingen onder SU F (3) transformaties heeft geleid tot de hypothese van het quark model. Dit wordt in het volgend hoofdstuk (VIII) besproken. 44

45 Indien men de zwakke en elektromagnetische wisselwerkingen zou kunnen afzetten dan stellen het proton en het neutron dezelfde energietoestand voor, en bezitten bijgevolg dezelfde massa. Het isospin kwantumgetal heeft geen betekenis voor de zwakke en elektromagnetische wisselwerkingen. Deze processen zijn niet gevoelig aan isospin. Een deeltje met spin J=½ kan voorkomen in 2 toestanden overeenkomend met J z =+1/2 (spin up) en J z =-1/2 (spin down). De twee toestanden van het deeltje (spin up en spin down) hebben dezelfde massa. Analoog heeft het nucleon isospin I=1/2 en kan het voorkomen in 2 toestanden overeenkomend met I 3 =+1/2(p) en I 3 =-1/2(n). De twee toestanden van het nucleon hebben dezelfde massa (op elektromagnetische effecten na). 45

46 De spiegelkernen hebben hetzelfde aantal nucleonen maar verschillen in zoverre dat een neutron in de ene kern overeenkomt met een proton in de andere kern. 3 H=(pnn) en 3 He=(ppn). Behoud van spin (zie deel 1, dit hoofdstuk) is het gevolg van invariantie van de bewegingsvergelijkingen onder rotaties in de ruimte. Analoog is behoud van isospin het gevolg van invariantie onder rotaties in een abstracte, interne isospin ruimte. Daarom gebruikt men de componenten I 1,I 2,I 3 ipv I x,i y,i z. 46

47 Geassocieerde vreemde deeltjes productie wordt besproken in hoofdstuk III. We zullen in hoofdstuk VIII (quark model) zien dat men hadronen met eenzelfde spin-pariteit kan schikken in SU(3) multipletten van isospin en hyperlading. 47

48 Men kan deeltjes groeperen in isospin multipletten. Dit betekent dat een transformatie (in abstracte isopsin ruimte) van de ene toestand (deeltje) naar een andere toestand (deeltje) de sterke wisselwerking invariant laat (bvb zelfde werkzame doorsnedes). Het Δ(1236) baryon bvb bestaat in 4 toestanden, alle 4 met dezelfde massa, spinpariteit, hyperlading en isospin. Elke toestand komt overeen met een verschillende I 3 waarde gaande van I tot +I. Voor de sterke wisselwerkingen zijn de 4 toestanden volledig gelijk. Enkel de elektromagnetische wisselwerkingen onderscheiden de 4 toestanden die een verschillende lading, en bijgevolg I 3, hebben. De isospin van andere hadronen kan men vinden in de PDG deeltjestabellen. 48

49 We gebruiken hoofdletters I,I 3 voor de operatoren en kleine letters i,i 3 voor de eigenwaarden. Om de notaties te vereenvoudigen gebruiken we Dirac haakjes als voorstelling van de golffunctie. De splitsing van de golffunctie in een product van 3 onafhankelijke delen is enkel toegelaten omdat we de benadering maken dat de deeltjes niet-relativistisch zijn. Een multiplet met gegeven isospin i bevat (2i+1) eigentoestanden met verschillende i 3, gaande van i tot +i. 49

50 De operator I 2 commuteert met elke projectie operator I j. We kiezen hieruit I 3. Bijgevolg 2 hebben de operatoren I 2 en I 3 een gezamelijk stel eigentoestanden die een multiplet vormen: i,i 3 >, met i 3 =-i, +i. 50

51 De afleiding is analoog als deze voor impulsmoment in deel 1 van dit hoofdstuk (zie p9). In elektromagnetische interacties is lading behouden, evenals vreemdheid en baryongetal. Volgens de Gell-Mann-Nishijima relatie (zie p44) moet I 3 dan ook behouden zijn. 51

52 Voor de duidelijkheid gebruiken we hier m ipv i 3. De coëfficiënten C zijn de Clebsch- Gordan coëfficiënten, gegeven op blz 29 van hoofdstuk II. Samenstelling van spin werd besproken in hoofdstuk II. De golffunctie χ beschrijft enkel het isospin gedrag van het deeltje. 52

53 De symmetrie van de ruimte golffunctie f staat beschreven op blz 12 van dit hoofdstuk. De symmetrie van de spin golffunctie α staat beschreven op blz 18 van dit hoofdstuk (pariteit pion). Daar hebben we gezien dat men een neutron met spin up en neutron met spin down, en vice versa, kon combineren tot een spin triplet dat symmetrisch was onder verwisseling van de 2 neutronen, en een singlet dat anti-symmetrisch was. Om een totaal anti-symmetrische golffunctie y te bekomen kan men 2 combinaties maken: 1. Spin 1 (S) en isospin 0(A) 2. Spin 0(A) en isospin 1(S) Vermits het deuteron spin 1 heeft, moet zijn isospin 0 zijn. 53

54 De werkzame doorsnedes verhouden zich als het kwadraat van de transitieamplitudes. We beschouwen hier enkel het isospin afhankelijk deel en veronderstellen dat de reactie plaats grijpt op een bepaalde plaats met bepaalde spin. 54

55 55

56 We hebben gezien in deel 3 (C-operator) dat enkel mesonen die hun eigen antideeltje zijn een intrinsieke C-pariteit hebben. Dit kan enkel indien hun lading, en alle andere additieve kwantumgetallen, nul zijn. G-pariteit geeft de mogelijkheid om C-symmetrie uit te breiden naar deeltjes die niet neutraal zijn. G-pariteit heeft enkel betekenis voor de sterke wisselwerkingen. Behoud van G-pariteit laat toe na te gaan of bepaalde sterke wisselwerkingen toegelaten zijn, en laat tevens toe na te gaan van welk type een interactie is. Dit wordt verder in dit deel besproken. De G-pariteit van de hadronen staat vermeld in de PDG tabellen. 56

57 de G-pariteit van het pion werd als volgt bepaald: de eigenfuncties van isospin zijn de bolfuncties (zie orbitaal impulsmoment in hoofdstuk II). Een onderzoek van het gedrag van deze eigenfuncties onder een G-transformatie toont dat de G-pariteit van het pion -1 is. 57

58 De reactie (1) is elektromagnetisch omdat er in de eindtoestand enkel fotonen optreden. De pariteit van het η meson werd besproken op de vorige blz. 58

59 59

60 60

61 61

62 62

63 63

64 64