FACULTEIT TEW Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen Oefenexamens 1ste Bachelor TEW Eerste deel (januari) Academiejaar 2013-2014 Het examen vindt voor iedereen plaats in twee delen : het eerste deel in januari, het tweede deel in juni. Elk deelexamen telt mee voor de helft van de punten, dit eerste deelexamen wordt bijgevolg gekwoteerd op 10. Let op: een eindscore zal enkel worden toegekend indien je beide deelexamens hebt afgelegd. De maximale tijd die je krijgt om elk deelexamen op te lossen is 3 uur. Het gedeelte theorie en het gedeelte oefeningen hebben hetzelfde gewicht in het eindresultaat. Gebruik van een rekenmachine is niet toegelaten; de vragen zijn hieraan aangepast. Veel succes! Prof. dr. A. De Schepper
Eerste Voorbeeld A. Theorie 1. Geef de definitie van (a) de polaire vorm van een complex getal, en leg uit hoe je met behulp van deze vorm en de formule van De Moivre de n-de macht kan berekenen van een complex getal. Illustreer met een eenvoudig voorbeeld (3-de macht).
(b) de absolute waarde functie en de grootste gehele waarde functie. Illustreer met een grafiek van beide functies.
(c) de cyclometrische functies bgcos en Bgcos; vermeld voor beide functies ook het domein en beeldgebied. Illustreer met een grafiek.
2. Middelwaardestelling (a) Formuleer de middelwaardestelling voor een reële functie f : R R. (b) Geef de formule voor een lineaire benadering voor een reële functie f : R R, en geef het verband met de middelwaardestelling.
(c) Formuleer de basisregel van de l Hôpital voor een onbepaaldheid 0/0 of /. (d) Leg uit hoe je gebruik kan maken van de basisregel van de l Hôpital voor het oplossen van een onbepaaldheid 0.
3. Homogene functies. (a) Wanneer is een functie f : R R R homogeen van graad m? Geef de definitie. (b) Wat weet je in dat geval over de beide partiële afgeleiden van eerste orde van f? (c) Geef de identiteit van Euler voor een dergelijke functie.
(d) Toon het resultaat uit (c) aan. Verklaar alle tussenstappen. (e) Geef een voorbeeld van een functie van twee veranderlijken die homogeen is van graad 1/3. Laat zien dat de eigenschappen uit (b) en (c) inderdaad opgaan voor deze functie.
B. Oefeningen 4. Bepaal de oplossing(en) van de logaritmische vergelijking ( ) x 1 3ln(x+2) ln(x 2 +x 2)+ln = 0. 16 (Geef voldoende tussenstappen een eindresultaat alleen volstaat niet!)
5. Bepaal alle asymptoten van de functie met voorschrift x 1 f(x) = 1+ x 2 +2x 3. Wanneer een bepaald soort asymptoot niet aanwezig is bij deze functie, leg dan uit waarom dit het geval is. (Geef voldoende tussenstappen een eindresultaat alleen volstaat niet!)
6. Gegeven is de kromme met impliciete vergelijking e 3x 6y +4y x = 5. (a) Bepaal de afgeleide dy dx. Schrijf het resultaat zo eenvoudig mogelijk. (Geef voldoende tussenstappen een eindresultaat alleen volstaat niet!)
(b) Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt (2,1) aan de grafiek van de kromme. Schrijf het resultaat zo eenvoudig mogelijk. (Geef voldoende tussenstappen een eindresultaat alleen volstaat niet!)
7. In een bedrijf worden twee goederen geproduceerd; x en y staan voor de respectievelijke hoeveelheden (in 100 stuks) die per dag worden geproduceerd voor de twee goederen. Uit berekeningen van de financiële verantwoordelijke kan worden opgemaakt dat de winst per dag berekend kan worden (resultaat in 1000 euro) als W(x,y) = x 2 y +3x x 2 y 2 +4y +1 Bepaal de hoeveelheden x en y waarvoor de winst wordt gemaximaliseerd, als je weet dat de totale productie 500 stuks moet bedragen, of x+y = 5. Gebruik daarvoor de Lagrange-methode, en vergeet niet om zowel eerste als tweede orde voorwaarden na te gaan. Formuleer je resultaat in economische termen. (Geef voldoende tussenstappen een eindresultaat alleen volstaat niet!)
Tweede Voorbeeld A. Theorie 1. Afgeleide in een punt. (a) Geef de definitie voor de afgeleide van een functie f : R R in een punt. (b) Geef de definitie voor de partiële afgeleiden van een functie f : R 2 R in een punt.
(c) Geef de definitie voor de partiële afgeleiden van een functie f : R n R in een punt. (d) Geef de meetkundige betekenis van de afgeleide van een functie f : R R in een punt.
(e) Geef de meetkundige betekenis van de partiële afgeleiden van een functie f : R 2 R in een punt.
2. Geef de definitie en berekeningsformules voor enkelvoudige en samengestelde interest toegepast op een startkapitaal K 0. Denk eraan om te vermelden waarvoor alle gebruikte notaties precies staan (b.v. interestvoet, aantal jaren,...). (a) Situatie 1: indien éénmaal per jaar interest wordt uitgekeerd, en het aantal jaren geheel is. (b) Situatie 2: indien éénmaal per jaar interest wordt uitgekeerd, en het aantal jaren niet geheel is.
(c) Situatie 3: indien meermaals per jaar interest wordt uitgekeerd, en het aantal jaren niet noodzakelijk geheel is. (d) Maak voor situatie 2 en 3 een schets waarop je laat zien hoe het startkapitaal aangroeit in de tijd, en leg uit wat de gelijkenis is en wat het verschil is tussen beide grafieken.
3. Samengestelde functies. (a) Als z = g(x,y) met x = f 1 (t) en y = f 2 (t), hoe bereken je dan dz dt? (b) Als z = g(x,y) met x = f 1 (u,v) en y = f 2 (u,v), hoe bereken je dan z z en u v?
(c) Als z = g(x 1,x 2,...,x n ) met x i = f i (t 1,t 2,...,t m ) voor i = 1,...,n, hoe bereken je dan z t j voor j = 1,...,m? (d) Toon het resultaat uit (b) aan. Verklaar alle tussenstappen.
B. Oefeningen 4. Beschouw de matrices A = 3 1 2 0 0 x en c = ( 2 y ), met x,y R. Bereken indien mogelijk : A.A, det(a.a ), c.c, det(c.c ), c.a, det(c.a). Indien een bewerking niet mogelijk is, vermeld dan de juiste reden. (Geef voldoende tussenstappen een eindresultaat alleen volstaat niet!)
5. Bereken de limiet ( )x 2 +2 lim 1+sinx x. x 0 > (Geef voldoende tussenstappen een eindresultaat alleen volstaat niet!)
6. Beschouw het oppervlak waarvan het voorschrift impliciet gegeven wordt door 2cos(x+2y +z)+ 2x2 z 1+ y = 1. (a) Bepaal de partiële afgeleiden z z en x y. Schrijf het resultaat zo eenvoudig mogelijk. (Geef voldoende tussenstappen een eindresultaat alleen volstaat niet!)
(b) Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak in het punt ( 1,1, 1). Schrijf het resultaat zo eenvoudig mogelijk. (Geef voldoende tussenstappen een eindresultaat alleen volstaat niet!)
7. Beschouw de functie f : R 3 R met voorschrift f(x,y,z) = ye x y 4 4x z 3 +12z. Bepaal alle stationaire punten. Ga voor elk stationair punt na of het zorgt voor een lokaal maximum, voor een lokaal minimum of voor geen van beide. (Geef voldoende tussenstappen een eindresultaat alleen volstaat niet!)