Meetkunde 4 ongruentie M0 ongruente figuren 6 M ongruente driehoeken 68 M ewijzen met ongruente driehoeken 76 M3 igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk 85 M4 igenshp en onstrutie vn de issetrie vn een hoek 93 M5 ewijs: de eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk 98 M6 ewijs: de eigenshp vn de issetrie vn een hoek 300 6
M0 Titel ongruente figuren 774 Welke figuren zijn ongruent? 4 3 5 6 7 8 9 iguur iguur iguur 6 iguur 3 iguur 4 iguur 7 iguur 9............ 775 Welke figuren zijn ongruent? Geruik de juiste nottie. 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 iguur iguur 7 iguur 9 iguur iguur 4 iguur 5 figuur 7 iguur 8......... iguur iguur 8 iguur 0 iguur 6 iguur 5 iguur 6 iguur iguur 3...... 6 M0 ongruente figuren
776 uid telkens de overeenkomstige zijden en de overeenkomstige hoeken vn de ongruente driehoeken met eenzelfde merkteken n. Noteer volgens de fsprk. U L M T S K ΔSTU Δ =... ΔKLM Δ =... 777 Welke driehoeken zijn ongruent? Noteer vn de ongruente driehoeken lle overeenkomstige zijden en hoeken. Geruik de juiste nottie. Δ ΔIHG = IH...... = HG... = IG en = I = H = G... G I H...... 778 Zijn de figuren ongruent? Verklr. fig. fig. fig. fig. J, de figuren kunnen door een vershuiving t _ op elkr fgeeeld/ de figuren heen dezelfde vorm en grootte. XY... fig. 0 d Neen, de omen heen niet dezelfde grootte, ze... kunnen niet op elkr worden fgeeeld door een spiegeling, vershuiving of driing. fig. fig. fig.... J, de driehoeken kunnen door een driing r (0,0 ) op elkr worden fgeeeld. J, de irkels kunnen door een vershuiving of spiegeling s op elkr worden fgeeeld.... ongruente figuren M0 63
779 Zijn de figuren ongruent? Verklr. 90 o J,... de figuren kunnen door een driing r (O, 90 ) op elkr worden fgeeeld. J,... de figuren kunnen door een puntspiegeling s O op elkr worden fgeeeld. Neen, ij één vn de honden ontreekt de tong, de honden kunnen niet op elkr worden fgeeeld.... 780 Gegeven en GH. Verind de overeenkomstige hoeken en de overeenkomstige zijden in de ongruente vierhoeken. H [] [] [] [G] [] [GH] [] [H] G G H 78 Δ ZOT is ongruent met Δ GK. Shrijf dit in symolen: ΔZOT Vul n. ΔGK G T TO ZO =... K =... K =... O =... 64 M0 ongruente figuren
78 iguur SMK figuur ZON. Noteer de overeenkomstige hoekpunten ij de figuur ZON. Z N S M K O 783 Vierhoek HON vierhoek MUIS. Noteer de overeenkomstige punten ij vierhoek MUIS. Vul in. M H =... S =... HO =... MU O =... U UI =... ON N =... IS SM =... H H O N I S U M 784 Vierhoek GL is ongruent met vierhoek SH. S Noteer de overeenkomstige punten ij vierhoek SH. Shrijf dit in symolen: vierknt SH vierhoek GL... Vul in. G =... G =... L =... SH S =... L S =... L =... H H =... G =... G L H 785 Verdeel de figuren in twee ongruente figuren. Wt teken je telkens? en symmetries of symmetriemiddelpunt... ongruente figuren M0 65
786 Verdeel de figuren in vier ongruente figuren. d 787 V* Verdeel de figuren in ongruente figuren. Verdeel de figuur in vier ongruente figuren. Verdeel de figuur in drie ongruente figuren. Verdeel de figuur in twee ongruente figuren. d Verdeel de figuur in twee ongruente figuren. 788 Teken een figuur ongruent met de gegeven figuur. e lngste zijde is l gegeven. 66 M0 ongruente figuren
789 V* Is figuur ongruent met figuur? Wordt figuur fgeeeld op figuur door een vershuiving en/of een spiegeling en/of een driing? Zo j, welke? e... twee figuren zijn niet en... puntspiegeling s O. iguur... vershuif je nr figuur 3 ongruent, wel gelijkvormig. volgens t _ XY. rn spiegel je de 790 V* Verdeel de figuur in twee ongruente figuren. iguur 3 rond de rehte. Zo ekom je figuur. r zijn nog vershillende ndere mogelijkheden. X Y 3 79 V* Mrkeer in de tekeningen vn de Nederlndse kunstenr M.. sher, de sisfiguur n die telkens herhld wordt. Noteer telkens de spiegeling en/of de vershuiving en/of de driing. uid de nodige gegevens op de tekening n. v v v vershuiving en spiegeling vershuiving en spiegeling d e f vershuiving v driing driing en vershuiving Lt je oplossing ontroleren door je leerkrht. Niet lle eelden kunnen op elkr fgeeeld worden. ongruente figuren M0 67
M ongruente driehoeken 79 Welke driehoeken zijn onderling ongruent? Noteer de gelijkheden. Geruik de juiste nottie. H I J K N M G P Q S V L O R T U W X Δ ΔJLK ΔPRQ wnt = JK = PQ = J = P...... = KL = QR en = K = Q... = JL = PR = L = R...... Δ ΔOMN = OM = O...... = MN en = M... = ON = N ΔGHI ΔSTU wnt GH = ST G = S HI = TU en H = T IG = US I = U of Δ ΔMON = MO = M = ON en = O = MN = N...... 793 Vul n. Noteer de gelijkheden. Δ... ΔPRQ... P Q R =...... =...... = = = =............ = PR...... = PQ...... = RQ = P = R = Q............ 68 M ongruente driehoeken
794 Δ Δ = 0 m en = 30 Welke zijde heeft dezelfde lengte ls []? Verklr. = = 0 m wnt het zijn overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken. Welke hoek heeft dezelfde grootte ls? Verklr. = = 30 wnt het zijn overeenkomstige hoeken in ongruente driehoeken. 795 Welke driehoeken zijn ongruent? Noteer de gelijkheden. 60 60 60,06 H 4,03 3 G J,55 38,68 K 0,3 3,9,5 39,8 L P,06 R Z 4,03 3 Q Y 60 60 60 X... Δ ΔXYZ (ΔXYZ is gelijkzijdig, je kunt de hoekpunten ook in een ndere volgorde noemen)... wnt: = XY = X = YZ en = Y... = XZ = Z...... ΔGH ΔPQR wnt: G = PQ G = Q...... GH = QR en H = R... H = PR = P... 796 Δ Δ Mrkeer in elke driehoek een zijde of hoek zodt je een ongruentiekenmerk ekomt. Noteer het ongruentiekenmerk. Z e zijden en of de zijden en Z 90 e zijden en HH...... ZZ...... e hoeken en ZZ...... ongruente driehoeken M 69
ZH... Z de... zijden en HH... Z e... zijden en of de zijden en ZH... H de... hoeken en of  en of de zijden en... 797 Mg je esluiten n de hnd vn de gegevens in de tekening dt de driehoeken ongruent zijn? Indien j, noteer het ongruentiekenmerk. e driehoeken zijn ongruent: ZZ90. Neen, de driehoeken heen dezelfde vorm mr ze zijn niet ongruent. HHH is geen ongruentiekenmerk. d G I e driehoeken zijn ongruent: HHZ of HZH. H Neen, je mg niet esluiten dt de driehoeken ongruent zijn, omdt ZZH geen ongruentiekenmerk is. 798 Mg je esluiten n de hnd vn de gegevens in de tekening dt de driehoeken ongruent zijn? Indien j, noteer het ongruentiekenmerk en noteer de ongruente driehoeken. Neen, de twee driehoeken heen mr hoek (overeenkomstig) even groot. e overeenkomstige zijden zijn e driehoeken zijn ongruent: ZHZ. Δ Δ niet even lng. it is onvoldoende om te kunnen esluiten dt de twee driehoeken ongruent zijn. 70 M ongruente driehoeken
d e driehoeken zijn ongruent: ZZZ of ZHZ (de overstnde hoeken zijn even groot). Δ Δ 799 Gegeven: ΔPQR is gelijkenig. S is het snijpunt vn PS en RQ. Is ΔPSR ongruent met ΔPSQ? Zo j, wt is het ongruentiekenmerk? Zo neen, welke gelijkheid moet je dn nog toevoegen? P Neen, de zijden die even lng zijn, zijn geen overeenkomstige zijden. e hoek tussen deze twee zijden is vershillend. R S Q... Neen, er zijn mr twee pr overeenkomstige zijden even lng, nl. PR = PQ en PS = PS [PS] is een gemeenshppelijke zijde. Over de zijde PS weet je lleen mr met zekerheid dt deze gemeenshppelijk is. Je weet... niet of PS RQ. e hoeken in S moeten reht zijn om het ongruentiekenmerk ZZ90 te kunnen geruiken.... of de hoeken in P moeten even groot zijn om het ongruentiekenmerk ZHZ te ekomen.... of S moet het midden zijn vn RQ om het ongruentiekenmerk ZZZ te ekomen.... 800 V* Gegeven: Δ ΔPQR + = 0 Gevrgd: Q + + = 80 (In Δ: eigenshp vn de som vn de hoeken in een driehoek) Oplossing:...... = 80 ( + )... + = 0 = 80 0 = 60...... en Q zijn overeenkomstige hoeken in ongruente driehoeken. us = Q = 60 ongruente driehoeken M 7
80 Gegeven Δ. Teken Δ ls je weet dt Δ Δ. =, =, = =, = = 90, = =, =, = 80 V* riehoek is ongruent met driehoek. Vervolledig driehoek. 803 V* onstrueer het punt Z zodnig dt Δ ΔXYZ Hoeveel oplossingen kun je tekenen? Twee...... X Z Y 7 M ongruente driehoeken Z
804 Verdeel de figuur in twee ongruente driehoeken. Noteer het ongruentiekenmerk. Vlieger. ZZZ Weetje en vlieger is een vierhoek wrvn twee pr nliggende zijden even lng zijn. In lesgeheel 6 leer je meer over de vlieger, een speile vierhoek. Rehthoek. Je tekent een digonl. ZZZ of ZHH of HZH Prllellogrm. e figuur is een prllellogrm. HZH Je kunt hier verwisselende innenhoeken geruiken. d Ruit. e figuur is een ruit. ZZZ of HZH of ZHZ 805 V* Teken een driehoek met de volgende gegevens: = m = 4 m = 0 Kun je met deze gegevens twee niet-ongruente driehoeken tekenen? Verklr. J, driehoek is niet ongruent met driehoek. ZZH is geen ongruentiekenmerk............. 806 V* Gegeven: = is de hoogtelijn uit. is het snijpunt vn en. m m 4 m m 0 4 m 0 Gevrgd: Is Δ Δ? Zo j: noteer het ongruentiekenmerk. Zo neen, welke gelijkheid moet je dn nog weten? e... driehoeken zijn ongruent. Twee... gelijkheden zijn gegeven :... = en omdt hoogtelijn is... uit weet je dt = = 90. e twee... driehoeken heen ovendien een gemeenshppelijke zijde = Het ongruentiekenmerk is ZZ90 Δ Δ ongruente driehoeken M 73
807 Teken Δ met = 60 en = 70. Teken Δ ls je weet dt Δ Δ. Welk ongruentiekenmerk geruik je? HZH 60 60 70 70 808 Teken twee driehoeken met een hoogte vn 4 m en een oppervlkte vn 0 m² die niet ongruent zijn. 4 m 0 m 0 m 5 m 5 m 4 m 809 V* Teken in een ssenstelsel de driehoek en de driehoek PQR met ls oördinten ( 3,4), ( 3,), Q(3, ) en R(, ). epl de oördinten vn de punten en P ls je weet dt Δ ΔPQR en dt en Q rehte hoeken zijn. 4 3 P 6 5 4 3 0 0 3 4 5 6 R Q 3 (-,) of (-5,) P(3,-4) of P (3,) 4...... P 74 M ongruente driehoeken
80 V* Is driehoek ongruent met driehoek? Zo j, noteer het ongruentiekenmerk. Mk een shets op een kldld. = = 3 m = = 4 m = = 40 J, ZHZ. = = 40 = = 65 = = 75 Neen, HHH is geen ongruentiekenmerk. 8 V* Zijn de gegeven driehoeken ongruent? Zo j, noteer het ongruentiekenmerk. Mk een shets op een kldld. L = SL = N S = N ΔLS ΔJN (je mg en J door om het HZH even welke ndere letter vervngen). M = OM SM = TO S = TM ZZZ ΔSM ΔTMO d = = 4 m = = 3 m = = 5 m J, ZZZ = = 5 m = = 6 m = = 50 Neen, ZZH is geen ongruentiekenmerk is niet de ingesloten hoek vn en, wel. = U W = K WL = KU HZH d U = I U = I UN = IK Neen, wnt ij ΔWL is het een nliggende en een niet-nliggende hoek, ij de tweede driehoek, zijn het twee nliggende hoeken. ZHZ ΔUN ΔIK 8 V* Zijn de uitsprken wr of niet wr? Indien niet wr, verklr. Twee rehthoekige driehoeken zijn ongruent ls de twee overeenkomstige rehthoekszijden even lng zijn. Wr, ZHZ Twee rehthoekige driehoeken zijn ongruent ls een overeenkomstige rehthoekszijde even lng is en de overeenkomstige nliggende sherpe hoek even groot is. Wr, HZH Twee rehthoekige driehoeken zijn ongruent ls de overeenkomstige hoeken even groot zijn. Niet wr, HHH is geen ongruentiekenmerk. d Twee rehthoekige driehoeken zijn ongruent ls de overeenkomstige shuine zijde even lng is en een overeenkomstige sherpe hoek even groot is. Wr, ZHH e Twee rehthoekige driehoeken zijn ongruent ls een overeenkomstige rehthoekszijde even lng is en de overstnde sherpe hoek even groot is. Wr, ZHH ongruente driehoeken M 75
M ewijzen met ongruente hoeken 83 Noteer het gegeven en het te ewijzen. entwoord de ijkomende vrgjes. ls Δ gelijkenig is met tophoek en is de hoogtelijn uit en is het snijpunt vn en dn zijn de driehoeken en ongruent. Gegeven:...... Te ewijzen:... Δ Δ Wt weet je vn en? Tip: Geruik de definitie vn een hoogtelijn. Δ en Δ... Welke gelijkheden vind je? Verklr. is hoogtelijn uit = is het voetpunt = = 90 def. hoogtelijn: de hoogtelijn stt loodreht op de zijde.... = gemeenshppelijke zijde = def. gelijkenige driehoek... = = 90 def. hoogtelijn driehoek... uid de gelijkheden die je gevonden het n op de tekening. 84 Noteer het gegeven en het te ewijzen. entwoord de ijkomende vrgjes. ewijs dt het midden is vn []. en Δ = = Gegeven:........... = Te ewijzen:.. d e f g h uid de gelijkheden die je gegeven het in het groen n op de tekening. uid dtgene wt je moet ewijzen in het rood n op de tekening. Vn welke twee driehoeken vermoed je dt ze ongruent zijn? Δ en Δ Welke twee gelijkheden he je gegeven? = en = Welke gelijkheid vind je nog ls je een eigenshp vn hoeken geruikt? = Overstnde hoeken zijn even groot. Welk ongruentiekenmerk kun je geruiken? HZH Is dit wt je moet ewijzen? Neen Kun je wt je moet ewijzen fleiden uit ongruente driehoeken? J, ls driehoeken ongruent zijn, dn zijn overeenkomstige zijden even lng. Je kunt esluiten dt = en dn is per definitie het midden vn []. 76 M ewijzen met ongruente hoeken
85 Noteer het gegeven en het te ewijzen. entwoord de ijkomende vrgjes. is een prllellogrm. ewijs dt Δ en Δ ongruent zijn. prllellogrm = Gegeven:......... Te ewijzen:... d Δ Δ Vind je nog gelijkheden ij de driehoeken? Verklr. H = (eig. verwisselende innenhoeken met // en snijlijn ). Z = (gemeenshppelijke zijde). uid de gelijkheden die je gegeven het in het groen n op de tekening. uid de even lnge zijden of de even grote hoeken die je kent in het groen n op de tekening. Welk ongruentiekenmerk kun je geruiken? ZHZ 86 Noteer het gegeven en het te ewijzen. entwoord de ijkomende vrgjes. en ls in de figuur [] en [] even lng zijn dn zijn ook [] en [] evenlng. ewijs dit. Gegeven:......... Te ewijzen:.. d e f g h en = = Vn welke elementen weet je nog dt ze dezelfde grootte heen? Verklr. = = 90 (def. loodrehte stnd) uid de gelijkheden die je gegeven het in het groen n op de tekening. uid dtgene wt je moet ewijzen in het rood n op de tekening. Wt is de derde gelijkheid? = (gemeenshppelijke zijde) Vn welke twee driehoeken vermoed je dt ze ongruent zijn? Δ en Δ Welk ongruentiekenmerk kun je geruiken? ZZ90 Is dit wt je moet ewijzen? Neen Kun je wt je moet ewijzen fleiden uit de ongruente driehoeken? J, ls driehoeken ongruent zijn, dn zijn overeenkomstige zijden even lng. Je kunt esluiten dt = 87 V* Onderzoek of je met de gekregen gegevens mg esluiten of de driehoeken ongruent zijn. Noteer het gegeven, het te ewijzen en de gelijkheden. ormuleer het esluit. Indien de driehoeken ongruent zijn, geef je ook het ongruentiekenmerk. is het midden vn [] en []. Is Δ ongruent met Δ? [] en [] is het midden vn [] is het midden vn [] Gegeven:......... ewijzen met ongruente hoeken M 77
Δ Δ Te ewijzen:... ewijs: Voor Δ en Δ geldt: Z def. midden... =... (... ) H eig. overstnde hoeken... =... (... ) Z def. midden ZHZ Δ Δ = = 90... =... (... ) esluit: ongruentiekenmerk:... e hoeken en zijn rehte hoeken. Is Δ ongruent met Δ? Gegeven:......... Δ Δ Te ewijzen:... ewijs: Voor Δ en Δ geldt: e twee driehoeken heen een gemeenshppelijke zijde Je kunt met ehulp vn slehts twee gelijkheden niet ntonen dt driehoeken ongruent zijn.... =... (... )... =... (... )... =... (... ) esluit: ongruentiekenmerk:... e rehten en zijn evenwijdig. Is ΔIJK ongruent met ΔKML? Gegeven:... // I J... I en J zijn punten vn de rehte... L en M zijn punten vn de rehte K... K is het snijpunt vn IM en LM Te ewijzen: L... ΔIJK ΔKML M ewijs: Voor ΔIJK en ΔKML geldt:... Je weet dt de overeenkomstige =... hoeken even groot (... zijn. ( eig. verwisselende innenhoeken ) en eig overstnde hoeken) mr HHH is geen ongruentiekenmerk. Je weet niet of de zijden... even lng zijn. =... (... ) Je kunt dus niet ntonen dt de driehoeken ongruent zijn.... =... (... ) esluit: ongruentiekenmerk:... 88 ewijs met ehulp vn de volgende gegevens dt Δ ongruent is met ΔPQR. Δ en ΔPQR Gegeven:... = PQ = P = R...... Te ewijzen:... Δ ΔPQR ewijs: = PQ = P = R (gegeven) (gegeven) (gegeven) P ZHH... Δ ΔPQR...... Q R 78 M ewijzen met ongruente hoeken
89 ewijs met ehulp vn de volgende gegevens dt Δ ongruent is met Δ. Gegeven:......... Te ewijzen:... ewijs: =... =... =... Δ Δ en Δ = = Δ......... Δ (gegeven) (gegeven) (gemeenshppelijke zijde) ZZZ Δ 80 ewijs met ehulp vn de volgende gegevens dt de driehoeken en ongruent zijn. Gegeven:... Δ en Δ =... = =... Te ewijzen:... Δ Δ Voor Δ en Δ geldt: ewijs:... Z = (gegeven)... H = (gegeven) Z = (gegeven) Δ ZHZ Δ 8 Jonthn heeft in zijn tuin tussen vijf pltjes een drd gespnnen. e lijnstukken [] en [] zijn even lng en de hoeken in en zijn rehte hoeken. Jonthn pltst een pltje in het midden M vn [] en eweert dt de fstnden vn tot M en vn tot M gelijk zijn. Heeft hij gelijk? ewijs. M Verkennen Vrg ekijk de tekst en de tekening ndhtig. Mk een eenvoudige tekening. ntwoord M ewijzen met ongruente hoeken M 79
Wt is gegeven? uid dit in het groen n op de tekening. Wt wordt er eweerd? uid dit in het rood n op de tekening. en zijn even lng. e hoeken in en zijn reht. M is het midden vn [ ]. e fstnden vn tot M en vn tot M zijn gelijk. nlyseer: vooruitdenken terugdenken een pln mken Vrg Shrijf de gekende elementen in wiskundige symolen. it noem je het gegeven. ntwoord Gegeven: = = = 90 M is het midden vn [ ] Shrijf wt ngetoond moet worden in wiskundige symolen. it noem je het te ewijzen. Zoek twee driehoeken wr deze elementen vn het gegeven en het te ewijzen voorkomen en wrvn je vermoedt dt ze ongruent zijn. Welk ongruentiekenmerk kun je geruiken om n te tonen dt de gekozen driehoeken ongruent zijn? Noteer de gelijkheden. Zijn de twee driehoeken ongruent? Shrijf dit in symolen. ls twee driehoeken ongruent zijn, dn zijn lle overeenkomstige zijden even lng. Hieruit kun je esluiten dt de ewering klopt. Te ewijzen: M = M ΔM en ΔM ZHZ Voor ΔM en ΔM geldt: = gegeven = = 90 gegeven M = M M is midden vn [ ] ΔM ΔM M = M ewijs opshrijven Jonthn heeft op zijn gzon tussen vijf pltjes drd gespnnen. [] en [] zijn even lng. e hoeken in en zijn reht en in het midden vn [] is een pltje gepltst. Jonthn eweert dt de fstnden vn tot M en vn tot M gelijk zijn. ΔM en ΔM Gegeven:... =... = = 90 M is het midden vn [ ]... Te ewijzen:... M = M Voor ΔM en ΔM geldt: Z = (gegeven)... H = = 90 (def. loodrehte stnd) Z M = M (def. midden)... ZHZ... ΔM ΔM ig. overeenkomstige zijden in... ongruente driehoeken M = M ewijs:...... M 80 M ewijzen met ongruente hoeken
8 ewijs met ehulp vn de volgende gegevens dt M = R. ΔMPQ en ΔRTS Gegeven:... MP = RS P = S PQ = ST...... M R... M = R Te ewijzen:... Voor ΔMPQ en ΔRST geldt: ewijs:... Z MP = RS (gegeven)... H P = S (gegeven)... Z PQ = ST (gegeven)...... ΔMPQ ZHZ ΔRST 83 ewijs dt =. irkel met strl M... ig. overeenkomstige hoeken in ongruente driehoeken... M = R... Gegeven:...,,, zijn punten vn de irkel... ΔM en ΔM M = M... Te ewijzen:... = Voor ΔM en ΔM geldt: ewijs:... Z M = M (def. irkel)... H M = M (gegeven)... Z M = M (def. irkel)...... ΔM ZHZ ΔM... ig. overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken... Q P S M T =... 84 Net zols op de figuur stt Mrten (M) even ver vn ns () en vn urk (). Hij stt ook juist in het midden tussen rlos () en ieter (). ewijs dt de fstnd tussen ns en rlos even groot is ls de fstnd tussen ieter en urk. M is het snijpunt vn [ ] en [ ] M is het midden vn [ ] M is het midden vn [ ] Gegeven:......... = Te ewijzen:... Voor ΔM en ΔM geldt: ewijs:... Z M = M (def. M is het midden vn [ ]) H M = M (eig. overstnde hoeken) Z M = M (def. M is het midden vn [ ]) ZHZ ΔM ΔM ig.overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken = e fstnd vn ns tot rlos is even groot ls de fstnd vn ieter tot urk. M ewijzen met ongruente hoeken M 8
85 ewijs dt =. Δ en Δ Gegeven:... =... = = 90... = Te ewijzen:... Voor Δ en Δ geldt: ewijs:... Z = (gemeenshppelijke zijde)... Z = (gegeven)... 90 = = 90 (gegeven)... ZZ90... Δ Δ... ig. overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken... 86 V* Δ ΔPQR. 8 M ewijzen met ongruente hoeken =... Teken vnuit en P de hoogtelijn op de overstnde zijde. Noem de voetpunten respetievelijk en T. ewijs dt = PT. Δ en ΔPQR e hoogtelijn uit met voetpunt e hoogtelijn uit P met voetpunt T = PT Gegeven:......... Te ewijzen:... ewijs:... Voor Δ en ΔRTP geldt: Z = RP (eig. overeenkomstige zijden in... ongruente driehoeken)... H = R (eig. overeenkomstige zijden in... ongruente driehoeken) H Q... = T = 90 (def. hoogtelijn) ZHH... Δ ΔPTR... ig. overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken = PT... 87 V* Voor een groepsopdrht PO he je twee ongruente driehoeken nodig. line tekent twee evenwijdigen en. Vervolgens tekent ze op de rehte een lijnstuk en op de rehte een lijnstuk dt even lng is. Ze eweert dt ze klr is ls ze de egin- en eindpunten met elkr verindt, zodt ze twee driehoeken ekomt. Klopt hr werkwijze? ewijs of verklr wrom niet. Mk een tekening. Gegeven: en zijn punten op de rehte. en zijn punten op de rehte. en snijden elkr in het punt // = Te ewijzen: Δ Δ. ewijs: Voor Δ en Δ geldt: H = (eig. verwisselende innenhoeken met // en snijlijn ) Z = (gegeven) H = (eig. verwisselende innenhoeken met // en snijlijn ) HZH Δ Δ line heeft gelijk: de driehoeken zijn ongruent. P T R
88V* Gegeven: //. en zijn punten op de rehte en en zijn punten op de rehte. is het snijpunt vn en. is midden vn []. ewijs dt =. // en zijn punten vn, en Gegeven:... zijn punten vn. is het snijpunt vn... en. is het midden vn [ ]... Te ewijzen:... = Voor Δ en Δ geldt: ewijs:... H = (eig. overstnde hoeken) Z = (def. midden) H = (eig. verwisselende innenhoeken met // en snijlijn ) Δ HZH Δ ig. overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken = 89 V* Wrd en Jef heen ieder een driehoekig stuk grond. Ze esluiten om een stuk grond te ruilen. Wrd ploegt een lijn vn nr door. Met het midden vn [] en []. Ze ruilen de driehoeken en. Is dit een eerlijke ruil? Jef Wrd G Jef Wrd G Δ en Δ is het midden vn [] is het midden vn [] Δ Δ Voor Δ en Δ geldt: Z = (def. midden) Gegeven: Te ewijzen: ewijs: H = (eig. overstnde hoeken) Z = (def. midden) ZHZ Δ Δ r wordt eerlijk geruild. ewijzen met ongruente hoeken M 83
830 ewijs dt in de gegeven kuus ΔH ΔGH. de kuus Gegeven:......... ΔH ΔHG Te ewijzen:... Voor ΔH en ΔHG geldt: ewijs:... Z = H (even lnge rien in een kuus)... H = H = 90 (rien in een kuus stn G H loodreht op elkr) Z H = HG (even lnge rien in een kuus) ΔH ZHZ ΔHG 83 V* ewijs dt de opstnde rien vn een regelmtige vierzijdige pirmide even lng zijn. Regelmtige pirmide met ls grondvlk een vierknt en top... Hoogte M is een vierknt. Gegeven:...... Te ewijzen:... = = = Het ewijs wordt gegeven voor =. ewijs:... Voor de ndere rien is het ewijs nloog. Voor ΔM en ΔM geldt:... Z M = M (gemeenshppelijke zijde)... H M = M = 90 (definitie hoogte)... Z M = M (def. irkel)...... ΔM ZHZ ΔM... ig. overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken... =... M Weetje en regelmtige pirmide is een pirmide met ls grondvlk een regelmtige veelhoek. e hoogtelijn uit de top gt door het middelpunt vn het grondvlk (= middelpunt vn de irkel die door de vier hoekpunten vn het grondvlk (ongeshreven irkel). 83 V*** In de kuus worden de rien [], []en [] in de middens X, Y en Z gesneden. ewijs d.m.v. ongruentie dt het snijvlk XYZ een gelijkzijdige driehoek is. Gegeven:... Kuus [],[]en [] zijn rien vn een kuus... X is het midden vn [] Y is het midden vn []... Z is het midden vn [] Te ewijzen:... XY = YZ = XZ ewijs:... ongruentiekenmerk ZHZ: : Voor ΔXY en ΔXZ geldt:... Z X = X (gemeenshppelijke zijde) H XY = XZ = 90 (def. vierknt) Z Y = Z (def. midden vn even lnge zijden) ZHZ ΔXY ΔXZ ig. overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken XY = XZ 84 M ewijzen met ongruente hoeken G X Z Y
M3 : Voor ΔZX en ΔZY geldt: (ewijs nloog n vorige) Z Z = Z (gemeenshppelijke zijde) H ZX = ZY = 90 (def. vierknt) Z X = Y (def. midden) ZHZ ΔZX ΔZY ig. overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken XZ = YZ Uit en volgt: XZ = YZ = XY ef. vn een gelijkzijdige driehoek riehoek XYZ is een gelijkzijdige driehoek. igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk 833 onstrueer de middelloodlijn vn []. 834 Verdeel het lijnstuk in vier even lnge lijnstukken. Geruik lleen psser en linil. Y X 835 V** Verdeel de gelijkzijdige driehoek in drie ongruente vierhoeken. ewijs. ewijs dt ΔM ΔM... Gegeven: Δ is middelloodlijn vn []... is middelloodlijn vn []... is middelloodlijn vn []... M is het snijpunt vn de drie middelloodlijnen... Te ewijzen: M M M... ewijs: Voor ΔM en ΔM geldt:... Z = (def. middelloodlijn)... H = (def. middelloodlijn)... Z M = M (gemeenshppelijke zijde)...... ΔM ZHZ ΔM igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk M M3 85
Op dezelfde mnier kun je ewijzen dt de zes driehoeken in de gelijkzijdige driehoek ongruent zijn.... lke vierhoek estt uit twee ongruente driehoeken. e vierhoeken zijn ongruent...................... 836 onstrueer drie vershillende irkels die door en gn. 837 Mrio gt op zoek nr lle punten die op gelijke fstnd liggen vn twee punten en. Welke rd geef je Mrio? onstrueer de middelloodlijn vn [ ]... Verklr. ls een punt op de middelloodlijn vn [ ] ligt dn ligt het punt op gelijke fstnd vn de grenspunten vn [ ] (zie eigenshp)....... 86 M3 igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk
838 onstrueer een punt dt op gelijke fstnd ligt vn drie punten,,. Verklr. onstrutie: d S Noteer de stppen die je zet. onstrueer de middelloodlijn vn [ ]. onstrueer de middelloodlijn d vn [ ].......... Verklring: Het snijpunt S vn eide middelloodlijnen is het gevrgde punt. Het punt S ligt op de middelloodlijn vn [ ], dus S = S. Het punt S ligt op de middelloodlijn vn [ ], dus S = S.......... Uit en volgt: S = S = S....... 839 V* onstrueer een irkel die door de punten, en gt. Verklr. onstrutie: M Noteer de stppen die je zet. onstrueer de middelloodlijn vn [ ]. onstrueer de middelloodlijn vn [ ].......... Verklring: Het snijpunt M vn eide middelloodlijnen is het middelpunt vn de irkel. Het punt M ligt op de middelloodlijn vn [ ], dus M = M. Het punt M ligt op de middelloodlijn vn [ ], dus M = M.......... Uit en volgt: M = M = M m..w. het punt M is het middelpunt en M is de strl vn de gevrgde irkel....... igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk M3 87
840 V* onstrueer het punt dt op gelijke fstnd ligt vn de punten en en dt op de rehte ligt. Verklr. onstrutie: m S Noteer de stppen die je zet. onstrueer de middelloodlijn vn [ ].... Zoek het snijpunt S vn de middelloodlijn met de rehte. Het punt S is het gevrgde punt....... Verklring: Het punt S ligt op de middelloodlijn vn [ ], dus S = S.... Het punt S ligt op de rehte............. 84 V* Is het ltijd mogelijk een punt te onstrueren dt op gelijke fstnd ligt vn twee punten en tot een gegeven rehte ehoort? Neen,... ls de middelloodlijn evenwijdig is met de gegeven... rehte is er geen snijpunt en is er geen punt... op die rehte dt op gelijke fstnd ligt vn de punten en.... m d 84 V* Thoms zoekt een stndplts voor zijn ijskr op het pltselijke rokfestivl. Hij wil grg dt zijn ijskr even ver stt vn het podium P ls vn de mping. Hij wordt wel verpliht de ijskr n het wndelpd te pltsen. onstrueer het punt wr de ijskr kn stn. wndelpd Noteer de stppen die je zet. onstrueer de middelloodlijn vn [ P ].... Het snijpunt I vn deze middelloodlijn met het wndelpd is het gevrgde punt....... P I Verklring: Het punt I ligt op de middelloodlijn vn P, dus PI = I. Het punt I ligt op het wndelpd.......... Het punt I is de plts wr Thoms de ijskr moet pltsen.... 88 M3 igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk
843 V* onstrueer de punten die even ver liggen vn de punten en en op m vn het punt. Verklr. onstrutie: M X Y Noteer de stppen die je zet.... onstrueer de middelloodlijn vn.... Teken de irkel met middelpunt en strl m. e snijpunten X en Y vn de irkel en de middelloodlijn zijn de gevrgde punten.... Verklring:............ e punten X en Y liggen op de middelloodlijn vn [ ], dus X = X en Y = Y. e punten X en Y liggen op de irkel met middelpunt en strl m, liggen dus op m fstnd vn. e snijpunten X en Y vn de middelloodlijn en de irkel zijn de gevrgde punten.... 844 V* onstrueer de loodlijn l door het punt P op de rehte s. onstrutie: l s P Noteer de stppen die je zet. onstrueer een irkel met middelpunt P en willekeurige strl. epl de snijpunten en vn deze irkel met de rehte s.......... Verklring: onstrueer de middelloodlijn l vn [ ]. eze rehte l is de gevrgde rehte. e rehte l stt loodreht op de rehte s door de onstrutie. Het punt P ligt op de rehte l wnt P = P =strl vn de irkel.......... e rehte l is de loodlijn door het punt P op de rehte s....... igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk M3 89
onstrutie: l P s Noteer de stppen die je zet. onstrueer een irkel met middelpunt P en willekeurige strl die s snijdt. epl de snijpunten en vn deze irkel met de rehte s.......... Verklring: onstrueer de middelloodlijn l vn [ ]. eze rehte l is de gevrgde rehte. e rehte l stt loodreht op de rehte s door de onstrutie. Het punt P ligt op de rehte l wnt P = P = strl vn de irkel.......... e rehte l is de loodlijn door het punt P op de rehte s....... 845 V* onstrueer de middelloodlijnen vn [] en []. Noem het snijpunt vn de middelloodlijnen M. M Weetje e middelloodlijnen vn een driehoek snijden elkr in één punt. it punt is het middelpunt vn de omgeshreven irkel vn de driehoek. Wrom is M = M? en punt gelegen op de middelloodlijn vn een lijnstuk, ligt even ver vn de grenspunten vn het lijnstuk. Wrom is M = M? en punt gelegen op de middelloodlijn vn een lijnstuk, ligt even ver vn de grenspunten vn het lijnstuk. Volgt uit het voorgnde dt M = M? d J Ligt M ook op de middelloodlijn vn []? J Teken de irkel met middelpunt M met strl O. e Welke punten vn de driehoek liggen op deze irkel? e punten, en. eze irkel noem je de omgeshreven irkel vn Δ. 90 M3 igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk
846 V* onstrueer de omgeshreven irkel vn ΔPQR. P P R Q R Q P Q R 847 V** Heeft de onstrutie uit oefening 84 ltijd twee oplossingen? Geef een vooreeld. Neen.... Soms is er mr één oplossing, ls de middelloodlijn............ 848 V** Gegeven: drie vershillende punten. Gevrgd: zoek lle punten die op gelijke fstnd liggen vn de drie punten. vn [ ] de irkel rkt. Soms is er geen oplossing, ls de middelloodlijn vn [ ] volledig uiten de irkel ligt en de irkel niet snijdt. e drie punten liggen niet op één rehte. e punten zijn niet-ollineir. Vind je ltijd een oplossing? J, je vindt ltijd juist één punt dt even ver vn de drie punten verwijderd... is: het snijpunt vn de middelloodlijnen. Kun je meerdere oplossingen vinden? Neen, de middelloodlijnen snijden elkr in één punt.... M s M t igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk M3 9
e drie punten liggen op één rehte, de punten zijn ollineir. p m e middelloodlijnen zijn evenwijdig, er is geen snijpunt, dus je kunt geen punt vinden dt even ver vn de drie punten verwijderd is. 849 V*** Is het ltijd mogelijk een punt te onstrueren dt op gelijke fstnd ligt vn vier vershillende punten? it is enkel mogelijk ls de vier punten tot eenzelfde irkel ehoren. Het middelpunt vn die irkel ligt dn op gelijke fstnd vn de vier punten en is het gevrgde punt. ls de vier punten niet tot eenzelfde irkel ehoren is er geen oplossing mogelijk............. 850 V*** Teken in het ssenstelsel de punten (,0), (3,0), (0,4) en ( 3,3). 4 3 M 6 5 4 3 0 0 3 4 5 6 3 4 e punten,, en stellen vier dorpen voor. r wordt een ringweg (= in de vorm vn een irkel) ngelegd zodt elk dorp even ver vn de ringweg ligt. onstrueer die ringweg. Noteer de stppen die je zet. onstrueer de omgeshreven irkel vn Δ Noem het middelpunt M. [ M ] snijdt deze irkel in het punt. onstrueer het midden vn [ ] en noem het midden. onstrueer de irkel met middelpunt M die door gt. it is de ringweg. Verklring: Het punt M ligt even ver vn de drie dorpen, en. ligt niet op deze irkel. e rehte M snijdt de irkel in het punt. ls je een irkel tekent met middelpunt M door het midden vn het lijnstuk, dn liggen de drie punten, en even ver vn deze irkel omdt overl de strl vermeerderd wordt met. e fstnd vn = (def. midden). 9 M3 igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk
M4 igenshp en onstrutie vn de issetrie vn een hoek 85 onstrueer de issetrie vn de hoek. 85 Pieterjn wil het ltste stuk trt delen met zijn vriend Rogier. onstrueer de snijlijn zodt de twee trtstukken even groot zijn. 853 Teken twee snijdende rehten en met snijpunt S. onstrueer de punten die even ver vn en liggen en op m vn S liggen. Hoeveel punten vind je? 4... Noteer de stppen die je zet.... onstrueer de twee issetries vn de snijdende rehten en.... Teken de irkel met middelpunt S en strl m. e snijpunten X en Z vn de irkel met de eerste... issetrie en de snijpunten Y en T vn de irkel met de tweede issetrie zijn de gevrgde punten.... Verklring:... e punten X en Z liggen op een issetrie, ze liggen op gelijke fstnd vn en.... e punten Y en T liggen op de ndere issetrie, ze liggen op gelijke fstnd vn en.... e punten X, Y, Z, T liggen op de irkel met... middelpunt S en strl m, liggen dus op m fstnd vn S.... e punten X, Y, Z, T zijn de gevrgde punten.... X Y S T Z igenshp en onstrutie vn de issetrie vn een hoek M4 93
854 onstrueer het punt P even ver vn de enen vn en. P Noteer de stppen die je zet. onstrueer de issetrie (deellijn) vn. onstrueer de issetrie (deellijn) vn. Het snijpunt P vn de twee issetries (deellijnen) is het gevrgde punt. Verklring: Het punt P ligt op de deellijn vn, P ligt even ver vn de enen vn. Het punt P ligt op de deellijn vn, P ligt even ver vn de enen vn. Het punt P is het gevrgde punt. 855 V* onstrueer de issetries vn, en. Wt stel je vst? e issetries snijden elkr in punt. Noem het snijpunt vn de issetries M. Teken de loodlijn uit M op en noem het voetpunt N. d Teken de irkel met middelpunt M met strl MN. e irkel pst preies in driehoek. e irkel rkt lle drie de zijden vn de driehoek. eze irkel noem je de ingeshreven irkel vn Δ. Weetje In een driehoek snijden de issetries elkr in één punt. it punt is het middelpunt vn de ingeshreven irkel vn de driehoek. M 94 M4 igenshp en onstrutie vn de issetrie vn een hoek
856 V* onstrueer de ingeshreven irkel vn ΔPQR. P P R Q R Q 857 V* Teken een ongelijkenige driehoek. onstrueer een punt P dt even ver ligt vn de drie zijden vn de driehoek. Verklr. Kun je een irkel onstrueren met middelpunt P en die de drie zijden vn de driehoek rkt? J, de irkel is de ingeshreven irkel vn de driehoek. Noteer de stppen die je zet... onstrueer de issetrie vn... onstrueer de issetrie vn... Het snijpunt P vn eide issetries is het gevrgde punt... P Verklring:.... P ligt op de issetrie vn, P ligt op gelijke fstnd vn [ ]en [ ]. P ligt op de issetrie vn, P ligt.. op gelijke fstnd vn [ ] en [ ]..... Het punt P ligt op gelijke fstnd vn de drie zijden vn de driehoek... igenshp en onstrutie vn de issetrie vn een hoek M4 95
858 V* Vul n. Mk een tekening. ls je lle punten op gelijke fstnd r vn een gegeven punt wilt tekenen, teken je een irkel met middelpunt en strl r. ls je lle punten op gelijk fstnd vn twee punten en wilt tekenen, teken je de middelloodlijn vn het lijnstuk []. r = m. m r ls je lle punten op gelijke fstnd vn twee snijdende rehten en met snijpunt S wilt tekenen, teken je de issetries vn de hoeken rond S. m..w. de issetries vn de snijdende d ls je lle punten op m vn een rehte wilt tekenen, teken je n weersknten een evenwijdige rehte m vn de rehte. rehten en m S m e ls je lle punten even ver vn drie punten, en wilt tekenen, teken je teken je twee middelloodlijnen vn de lijnstukken [], [] en/of []. Het snijpunt M vn die middelloodlijnen is het punt dt even ver ligt vn de drie gegeven punten. f ls je lle punten even ver vn drie zijden vn een driehoek wilt tekenen, dn teken je twee issetries vn de hoeken,, en /of. Het snijpunt vn de issetries is het punt S dt even ver vn de drie zijden ligt. M S 96 M4 igenshp en onstrutie vn de issetrie vn een hoek
859 V* onstrueer de punten die even ver vn en liggen en op m vn. m S T Hoeveel punten voldoen n die voorwrden? onstrueer de middelloodlijn vn []. Teken een rehte // op m vn. Teken een rehte // op m vn. e snijpunten vn de rehte en met de middelloodlijn m zijn de oplossingen. Kun je ltijd een oplossing vinden? Verklr en illustreer met een vooreeld. ls de middelloodlijn vn [] evenwijdig is met de gegeven rehte he je geen oplossingen ls de rehte niet preies op m vn de middelloodlijn gelegen is en oneindig veel oplossingen ls de rehte preies op m vn de middelloodlijn gelegen is 860 V** e gemeente wil een fietsstlling ouwen die n volgende voorwrden voldoet. e hlte moet even ver vn het sttion ls vn het politieureu liggen en op gelijke fstnd vn de Lngestrt en de Zonnestrt. Wr is de idele plts voor de fietsenstlling? Sttion Vijverstrt Politie Lngestrt Zonnestrt igenshp en onstrutie vn de issetrie vn een hoek M4 97
M5 ewijs: de eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk 86 V* ewijs dt de psseronstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk juist is. Verkennen: Wrover gt het? Welke meetkundige elementen komen erin voor? [], psseronstrutie met P en Q snijpunten vn irkeloogjes met eenzelfde psseropening en P = P = Q = Q. Gegeven:...... PQ is de middelloodlijn vn [ ]. Te ewijzen:... Wt weet je vn de lijnstukken [P][P][Q] en [Q]? uid dit n op de shets. eze lijnstukken heen dezelfde lengte, omdt je dezelfde psseropening het genomen.... Wt wordt er eweerd? uid dit n op de shets. PQ is de middelloodlijn vn [ ].... nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken P P Q Q Je het twee irkels getekend met middelpunt en en met dezelfde ewijs: psseropening. Je ekomt dezelfde lengten: P = P en Q = Q ig. middelloodlijn P ligt op de middelloodlijn vn [ ] en Q ligt op de middelloodlijn vn [ ] Twee vershillende punten eplen een rehte PQ is de middelloodlijn vn [ ] 98 M5 ewijs: de eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk
86 V* M is het midden vn []. m is de middelloodlijn vn []. e irkel met middelpunt M en een strl kleiner dn M snijdt [] in de punten Y en Z en de middelloodlijn m in de punten X en T. Mk een tekening en ewijs dt YX = ZT. Y X m M Z Y X m M Z M is het midden vn [ T ] Gegeven: m = XT is de middelloodlijn vn [ ]. irkel met middelpunt M en strl MY met MY < M Y en Z liggen op de irkel en op het lijnstuk [ ]. X en T liggen op de irkel en op de middelloodlijn: m Te ewijzen: YX = ZT Voor ΔXYM en ΔTZM geldt: ewijs: Z XM = TM (strl vn de irkel) H M = M = 90 (definitie middelloodlijn) Z YM = ZM (strl vn de irkel) ΔXYM ZHZ ΔTZM ig. overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken YX = ZT T 863 V* Gegeven: X en Y liggen op de middelloodlijn vn [PQ]. Te ewijzen: In de vierhoek PXQY zijn de hoeken P en Q even groot. [ PQ ] Gegeven:... X... XY is de middelloodlijn vn [ PQ ]... vierhoek XQYP P Te ewijzen:... P = Q ewijs:... Voor ΔXYP en ΔXYQ geldt:... Z XY = XY (gemeenshppelijke zijde)... Z PX = QX (eigenshp middelloodlijn)... Z PY = QY (eigenshp middelloodlijn) Y ΔXYP ZZZ ΔXYQ ig. overeenkomstige hoeken in ongruente driehoeken P = Q Je kunt dit ook nog op ndere mnieren ewijzen. Q ewijs: de eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk M5 99
864 V* In driehoek is de middelloodlijn vn [] en de middelloodlijn vn []. S is het snijpunt vn en. ewijs dt S een punt is vn de middelloodlijn vn []. S Δ. Gegeven: de middelloodlijn vn [], de middelloodlijn vn [], S is het snijpunt vn en. Te ewijzen: S is een punt vn de middelloodlijn vn []. S = S eig. S is een punt vn de middelloodlijn vn []. ewijs: S = S eig. S is een punt vn de middelloodlijn vn []. S = S ig. middelloodlijn S is een punt vn de middelloodlijn vn [] M6 ewijs: de eigenshp vn de issetrie vn een hoek 865 V* In vierhoek is de issetrie vn hoek. Ook is =. ewijs dt ook de issetrie is vn. Gegeven:... Vierhoek =... is issetrie vn. Te ewijzen:... is de issetrie vn voor Δ en Δ geldt: ewijs:... Z = (gegeven)... H = (def. is issetrie vn )... Z = (gemeenshppelijke zijde)... Δ ZHZ Δ... ig. overeenkomstige hoeken in... = ongruente driehoeken... ef. issetrie... is issetrie vn. 300 M6 ewijs: de eigenshp vn de issetrie vn een hoek
866 V* ewijs dt de psseronstrutie vn de issetrie vn een hoek juist is. X Z Y Hoek en de psseronstrutie vn Z. X en Y zijn snijpunten vn de enen vn de hoek en een irkel met middelpunt. Z is het snijpunt vn de irkeloogjes met eenzelfde psseropening met middelpunt x en middelpunt Y Gegeven: Te ewijzen: Z is de issetrie vn hoek. Voor ΔXZ en ΔYZ geldt: ewijs: Z X = Y (dezelfde fstnd strl vn de irkel) Z XZ = YZ (dezelfde fstnd strl vn de irkel) Z Z = Z (gemeenshppelijke zijde) ΔXZ ZZZ ΔYZ ig. overeenkomstige hoeken in ongruente driehoeken = ef. issetrie Z is de issetrie vn hoek 867 V* onstrueer een hoek die even groot is ls hoek. ewijs deze onstrutie. Stppenpln een even grote hoek onstrueren Teken een hlfrehte met ls grenspunt. it is één een vn. X Teken in hoekpunt een irkeloog die eide enen snijdt. Noem de snijpunten X en Y. Y Teken met dezelfde psseropening een irkeloog met middelpunt die de hlfrehte snijdt.it snijpunt noem je S. S ewijs: de eigenshp vn de issetrie vn een hoek M6 30
Neem psseropening XY en ps deze fstnd f op de ltst getekende oog. Plts je psserpunt op S en trek een oogje door de irkel. Het snijpunt noem je R. X Y Teken het tweede een [R vn hoek. R S Plts de nodige merktekens. R S Hoek met X en Y gelegen op de enen vn hoek. Hoek met R en S gelegen op de enen vn hoek. Gegeven: = Te ewijzen: Voor ΔXY en ΔRS geldt: Z X = R (gelijke fstnd = zelfde psseropening, stp 3) Z Y = S (gelijke fstnd = zelfde psseropening, stp 3) Z XY = RS (gelijke fstnd = zelfde psseropening, stp 4) ZZZ ΔXY ΔRS ig. overeenkomstige hoeken in ongruente driehoeken = ewijs: 868 V* onstrueer een hoek die even groot is ls de gegeven hoek. 30 M6 ewijs: de eigenshp vn de issetrie vn een hoek
869 V* onstrueer een driehoek XYZ die ongruent is met driehoek. Mk geruik vn het ongruentiekenmerk ZHZ. X Y Met welk ongruentiekenmerk kun je driehoek XYZ het hndigst onstrueren? Z Met het ongruentiekenmerk ZZZ. Je pst de drie zijden f met de psser.... 870 V* onstrueer een driehoek XYZ die ongruent is met driehoek. Mk geruik vn het ongruentiekenmerk ZZ90. Z X Y ewijs: de eigenshp vn de issetrie vn een hoek M6 303
87 V** onstrueer de issetrie vn volgens het stppenpln. is het snijpunt vn [ en de irkel met middelpunt. is het snijpunt vn [ en de irkel met middelpunt. Noem het snijpunt vn de irkels met middelpunten en en dezelfde psseropening P. ewijs dt P de middelloodlijn is vn []. P = Gegeven: P is de issetrie vn. is het snijpunt vn P en. P is middelloodlijn vn []. Te ewijzen: Voor Δ en Δ geldt: ewijs: Z = (gelijke fstnd psseronstrutie def. strl irkel) H = (def. issetrie) Z = (gemeenshppelijke zijde) Δ ZHZ Δ ig. overeenkomstige zijden en hoeken ij ongruente driehoeken = = en + = 80 (def. nevenhoeken) en = = 90 en ef. middelloodlijn is de middel-loodlijn vn [ ]. 304 M6 ewijs: de eigenshp vn de issetrie vn een hoek