Hadout bij de workshop Wortels va Biome Steve Wepster NWD 014 Verbeterde versie 1 Historische achtergrod Klassieke Griekse meetkude: I de klassieke Griekse meetkude zoals we die bijvoorbeeld bij Euclides vide, worde ooit legtes va lijstukke uitgedrukt i getalle Wel bestudere de Griekse meetkudige de verhoudige va lijstukke tot elkaar, e ook va oppervlakke tot elkaar Twee lijstukke kue ee rechthoek opspae e zo ee oppervlakte voorstelle, e op dezelfde maier ku je ook kijke aar het vierkat op ee lijstuk Tegewoordig vertale we dat moeiteloos i rekekude of algebra, waarbij we de legte va twee lijstukke vermeigvuldige resp het kwadraat (letterlijk vierkat!) eme va ee legte Ook de verhoudige va legte of oppervlakke tot elkaar drukke we makkelijk i getalle uit Boek X va de Elemete va Euclides gaat over het soort verhoudige dat lijstukke tot elkaar kue hebbe Euclides geeft hier ee classificatie va, die vrij eevoudig begit maar al sel heel igewikkeld wordt Hieroder staa ter illustratie ekele voorbeelde va begrippe die i Boek X aa de orde kome, met ee korte toelichtig i meer rekekudige terme Twee groothede (zoals lijstukke, oppervlakke, ) A e B hete commesurabel als ee geheel aatal kopieë va A eve groot zij 1
als ee geheel aatal kopieë va B Rekekudig beteket dit dat de verhoudig A : B ratioaal is De zijde e de diagoaal va ee vierkat zij iet commesurabel (de verhoudig is 1 : e is gee ratioaal getal) Lijstukke A e B hete potetieel commesurabel als het vierkat op A commesurabel is met het vierkat op B Zijde e diagoaal va ee vierkat zij wel potetieel commesurabel omdat de vierkate op deze lijstukke zich verhoude als 1 : Ee lijstuk heet biomiaal als het bestaat uit twee dele die iet commesurabel maar wel potetieel commesurabel zij Rekekudig opgevat: ee legte 3 e ee legte vorme same ee legte 3+ Ee lijstuk heet apotome als het otstaat door va ee lijstuk ee deel weg te eme dat er iet commesurabel maar wel potetieel commesurabel mee is Rekekudig opgevat: ee legte 3 waar je ee legte va wegeemt, resteert ee legte 3 Op grod va og ekele adere kemerke verdeelt Euclides de biome e apotome elk i zes subcategoriee Sids de 16e eeuw Simo Stevi heeft de meetkudige classificatie va Euclides deels overgezet i rekekude e voorzie va rekekudige voorbeelde Stevi oemde Boek X va de Elemete het kruis der wiskudige omdat het zo moeilijk te doorgrode is, maar volges hem werd het rekekudig veel duidelijker Rekekudig kue we biome e apotome aaduide als getalle A ± B waarbij A e B ratioale getalle zij e mistes éé va A e B irratioaal is We eme steeds A als grootste va de twee getalle De zes subcategoriee va Euclides kome da voort uit eerzijds of A, B, of gee va beide ratioaal zij, e aderzijds of A B wel of iet commesurabel is met A Hier zulle we os verder iet mee bezighoude Voorbeelde va (rekekudige) biome zij: 11+, 9+ 8, 11+ 8 Vervag je hieri de +-tekes door da krijg je apotome Novoorbeelde zij 99 + 11, 45 0, 10 + 9
Biome e apotome zoals bij Euclides meetkudig behadeld, zij sids de 16e eeuw grotedeels i vergetelheid geraakt, maar i veel literatuur over rekekude kwame ze og lag voor Ze werde bestudeerd oa omdat ze opduike i allerlei meetkudige(!) probleme Bijvoorbeeld: de verhoudig tusse de ribbe va ee icosaeder e de diameter va de omgeschreve bol is 5 5 Euclides zelf classificeert de verhoudig va ribbe e diameter i 10 dit geval als ee mior maar wij zulle het eevoudig beschouwe als de wortel uit ee apotoom Opmerkig: I het vervolg zulle we biome e apotome same behadele, waarbij we ze steeds same aaduide met de aam bioom Hiervoor gebruike we otaties zoals a ± b Biomische wortels vereevoudige We vrage os af of, e zo ja hoe, je de wortel va ee bioom kut vereevoudige Naïeve methode Schrijf het bioom als a + b We wille wete of er ee bioom p + q bestaat zo dat a + b = p + q Opgave 1 Kwadrateer deze vergelijkig e leid af dat a = p +q, b = 4p q Opgave Vereevoudig 6 + 3 Het is iet altijd makkelijk om ratioale p e q te vide die hieraa voldoe: i feite vervage we het oorsprokelijke probleem door het oplosse va ee stelsel Diophatische vergelijkige Je kut hiermee wel allerlei waarde voor a e b vide waarvoor a + b te vereevoudige is 3
Klassieke methode Schrijf het bioom als A ± B met A > B Neem C zo dat C = A B Da geldt A ± B = A + C A C ± Opgave 3 Cotroleer bovestaade bewerig door te kwadratere Opgave 4 Vereevoudig + 3 e 3 5 Opgave 5 Vereevoudig 54 ± 980 Eulers methode Weliswaar werkt bovestaade methode voor biomische wortels zoals bijvoorbeeld 1 ± 3, maar je vraagt je af of je het resultaat wilt zie als ee vereevoudigig Het resultaat is amelijk 3 3 ± 1 3 Het probleem is hier dat A B = 1 9 = 3 gee kwadraat va ee ratioaal getal is Euler heeft hiervoor de volgede oplossig gegeve Noem A (A B ) = C e A B = D Natuurlijk is D iet ratioaal maar misschie C wel Euler beweert: C+D A ± B = ± C D 4 D Opgave 6 Cotroleer door kwadratere Opgave 7 Vid met Eulers methode dat 1 ± 3 = 3 ± 3 4 1 3 Hogeremachtswortels: Newto Nu zij we toe aa biome voor gevorderde! We gaa op zoek aar de -demachtswortel va ee bioom, aar A ± B dus (Als toepassig hierva kue we deke aa = 3 e de formule va Cardao voor het oplosse va vergelijkige va de derde graad) We veroderstelle wederom dat A > B Newto geeft, zoder verklarig of achtergrod, het volgede protocol om de wortel te vereevoudige 4
1 Zoek het kleiste gehele getal M waarva de -de macht M deelbaar is door A B, e laat Q = M A B Neem voor r het kleiste gehele getal dat groter is da (A + B) Q 3 Schrijf A Q als product va ee zo groot mogelijk ratioaal getal e ee iet te vereevoudige wortel; oem die wortel s 4 Neem voor t het gehele getal dat het dichtst ligt bij r + M/r s 5 De oplossig is A ± B = ts ± t s M Q Voorbeeld: we berekee 3 68 4374 1 A B = 464 4374 = 50 = 5 3, we kieze M = 10 e Q = 4 4374 661, e 3 (68 + 66) = 3 68 64 dus r = 7 3 A Q = 68 = 136 1 dus s = 1 (Ter illustratie: ware A Q = 8 da zou s = ) 4 7+10/7 = 3 1 + 5, eem t = 4 7 5 Atwoord 4 1 16 10 6 4 = 4 6 3 Opgave 8 Met dezelfde methode ku je uitrekee dat 3 968 + 5 = 1 + Newto geeft ee aatal verschillede voorbeelde bij zij methode, ook voor bijv = 5 Al zij voorbeelde kloppe Maar Euler laat i 1740 zie dat Newtos methode iet klopt voor 5 5 5 + 11 Opgave 9 Ga door machtsverheffe a dat 5 5 5 + 11 = 5 + 1 5 16 5
Opgave 10 Ga a dat Newtos methode geeft 5 5 10 + 8 5 + 11 = 10 8 Dit is overduidelijk ee umeriek veel groter atwoord da we i de vorige opgave hebbe gezie, e dus fout! Na dit tegevoorbeeld merkt Euler op dat Newtos methode zelfs meestal ee verkeerd atwoord geeft Dat roept bij mij de vraag op of Newto dat da zelf iet gewete heeft, e hoe hij zij (correcte) voorbeelde gevode heeft Terzijde: Euler maakt ee tekefout bij het leze e iterpretere va Newto, waardoor hij als atwoord va de laatste opgave 10+ 1 10 heeft, 8 maar dat doet er verder iet toe 4 Hogeremachtswortels: Euler Nadat Euler de foute resultate va Newtos protocol heeft aagetood, geeft hij zij eige versie hoe het da wel moet Hieroder geve we de typisch Eulerse afleidig weer, waarbij we e passat eig zicht krijge op wat Newto voor oge moet hebbe gestaa We late de details als oefeig Het doel is om, idie mogelijk, A ± B te vereevoudige Behalve de gebruikelijke A > B vereise we ook og dat A e B breukvrij zij, wat we verduidelijke met ee voorbeeld: het bioom 4 3 + 7 3 is iet breukvrij, maar je kut ee gemeeschappelijke oemer buite haakjes hale zodat je krijgt 1 (1 + 8 3) Allee het deel tusse haakjes hoef je te 8 vereevoudige bij het worteltrekke Merk op dat als A e B breukvrij zij e A + B is ee bioom, da is A B geheel De vereevoudigig die we zoeke heeft de vorm A ± B = x ± y p waari we x, y e p og moete vide; x ± y is opieuw ee bioom De oemer lijkt misschie wat vreemd, maar dat zal sel duidelijk worde Het ligt voor de had dat de ± zowel liks als rechts ofwel +, ofwel is Vermeigvuldig beide mogelijkhede met elkaar, dit geeft A B = x y, p 6
oftewel x y = (A B )p (1) Aagezie x + y ee bioom is, is x y ratioaal, e dus moet (A B )p de -de macht va ee ratioaal getal zij: late we dat getal r oeme Maar A B is geheel! Daarom kue we gehele getalle p e r kieze zo dat (A B )p = r ; vergelijkig (1) luidt da x y = r Nu wille we ook x + y vide Hiertoe merke we op dat waaruit we verkrijge ( A + B) + ( A B) = (x + y) + (x y), p x + y = 1 (A + B) p + 1 (A B) p Liks staat het gehele getal x + y, rechts de som va twee wortels Dit beteket dat de fracties achter de komma va de twee wortelgetalle same geheel moete zij We kue dus volstaa met beaderige i gehele getalle s e t zodaig dat (A + B) p = s ± ee of adere fractie, (A B) p = t dezelfde fractie Immers, da is x + y = 1 (s + t), e same met vergelijkig (1) krijge we x = s + t + r, 4 y = s + t r 4 Merk og op dat we de afzoderlijke getalle s e t iet odig hebbe, allee hu som! Zodoede hebbe we da de vereevoudigig gevode: s + t + r ± s + t r A ± B = p Opgave 11 Opgave 1 Vul waar odig details aa Gebruik Eulers methode om 5 5 5 + 11 te vereevoudige 7
Opgave 13 Probeer ook 7 139 3 + 91 7 = 7 + 3 7 64 Daara gaat Euler pas echt los, met het vereevoudige va biome door middel va wortels va (complexe) veelterme, maar dat late we voor ee volgede workshop 5 Bibliografie EJ Dijksterhuis, De Elemete va Euclides, deel, Groige 1930 L Euler, De extractioe radicum ex quatitatibus irratioalibus, i: Commetarii academiae scietiarum Petropolitaae 13 (1751), p 16 60 Herderukt i Opera Omia: Series 1, Volume 6, p 31 77 Eeström idex E157 I Newto e J Raphso, Uiversal Arithmetick: or, a treatise of Arithmetical Compositio ad Resolutio, 170 (dit boek is Raphsos Egelse vertalig va ee bewerkig va Newtos oorsprokelijke lecture otes) CE Sadifer, The Early Mathematics of Leohard Euler, hst 46, Washigto 007 S Stevi, L arithmétique, coteat les computatios des ombres arithmétiques ou vulgaires; esemble les quatre premiers livres d Algèbre de Diophate d Alexadrie, maiteat premièremet traduicts e fraçois; ecore u livre particulier de la Pratique d arithmétique u traicté des icommesurables gradeurs: avec l explicatio du dixiesme livre d Euclide, Leide 1585 8