HYDRAULICA prof. dr. ir. F. De Smedt M.C. Escer, Wateral
HYDRAULICA CURSUSNOTA S september prof. dr. ir. F. De Smedt Vakgroep Hdrologie en Waterbouwkunde Faculteit Ingenieurswetenscappen Vrije Uniersiteit Brussel Pleinlaan, 5 Brussel Bureau T - tel. /69.35.47 Email: fdesmedt@ub.ac.be Home-page: ttp://omepages.ub.ac.be/~fdesmedt/ Secretariaat T5 - tel. /69.3. - fa. /69.3.
- i - INHOUDSLIJST INLEIDING.... EIGENSCHAPPEN VAN VLOEISTOFFEN... 4. Soorten materialen... 4. Druk... 5.3 Densiteit... 7.4 Viscositeit....5 Coesie, adesie en opperlaktespanning... 7 BASISVERGELIJKINGEN.... Basisbegrippen.... Beoud an massa... 4.3 Beoud an impuls... 6.4 Vloeistofstroming... 9 3 HYDROSTATICA... 3 3. De drostatisce wet... 3 3. Metingen an de druk en de piëometrisce oogte... 34 3.3 Kracten uitgeoefend door loeistoffen in rust... 37 3.4 Ondergedompelde en drijende oorwerpen... 4 3.5 Vloeistoffen in een permanent ersnellingseld... 43 4 STROMING ZONDER WRIJVING... 46 4. Stromingsergelijkingen... 46 4. De wet an Bernoulli... 5 4.3 Toepassingen an de wet an Bernoulli... 53 4.4 Berekening an kracten... 6 4.5 Toepassingen an de formule an Euler... 6 5 VISKEUZE STROMING... 65 5. Stromingsergelijkingen... 65 5. Stroming in een recte buis... 65 5.3 Ladingserlies en wrijing in een buis... 68 5.4 Stroming oer een rect opperlak... 7 5.5 Ladingserlies bij een iskeue stroming oer een opperlak... 73 5.6 Het eperiment an Renolds... 75
- ii - 6 TURBULENTE STROMING... 8 6. Stromingsergelijkingen... 8 6. De mengteorie an Prandtl... 8 6.3 Turbulente stroming in een buis... 86 6.4 Speciale erlieen in leidingen... 9 6.5 Turbulente stroming met een rij opperlak... 95 6.6 De ergelijking an Manning... 7 LEIDINGEN EN AFVOERKANALEN... 7. Dimensionering an een leiding... 7. Dimensionering an een pomp in een leiding... 3 7.3 Leidingsnetwerken... 6 7.4 Afoerkanalen... 7.5 Kracten op ondergedompelde oorwerpen... 4 8 STROMING IN POREUZE MEDIA... 7 8. Stromingergelijkingen... 7 8. Porositeit en conductiiteit... 8.3 Hdrostatica in poreue media... 5 8.4 Oneradigde stroming... 9 8.5 Veradigde stroming... 34 REFERENTIES... 4
- - INLEIDING De loeistofmecanica is een onderdeel an de mecanica, waarbij de beweging an loeistoffen bestudeerd wordt. Dee wetenscap is gebaseerd op de wetten an de continuüm mecanica, aangeuld met specifieke eigenscappen an loeistoffen. De draulica is een onderdeel an de loeistofmecanica, waarbij oornamelijk de beweging an water bestudeert wordt (Hdro is et Griekse woord oor water). De draulica steunt eeneens op de wetten an de continuüm mecanica, maar wordt aangeuld met specifieke eigenscappen an water en empirisce formules gebaseerd op proefonderindelijk onderoek. De loeistofmecanica en draulica werden oornamelijk ontwikkeld anaf de 7 de eeuw. De belangrijkste wetenscappers, die ieraan ebben bijgedragen ijn: Arcimedes (87-.C.): Griekse wetenscapper in Sracusa, Sicilië, die de wetten astlegde an ondergedompelde en drijende oorwerpen. Simon Stein (548-6): Vlaamse wetenscapper, publiceerde De Beginselen des Waterwicts in 586, waarin ij de wetten an de drostatica uiteenet. Benedetto Castelli (578-643): leerling an Galileo, publiceerde Della mesura dell acque corrent in 68, waarin ij in naolging an Leonardo da Vinci de wet formuleerde dat de sneleid maal de doorsnede (dit is et debiet) constant is bij permanente stroming. Eangelista Torricelli (68-647): Italiaanse wis- en natuurkundige, opolger an Galileo aan de Florentijnse Academie; toonde oor et eerst et bestaan aan an de atmosfeerdruk met beulp an een kwikbarometer; ij is ook de grondlegger an de drodnamica door ijn studie an uitstroming dooreen openingen. Blaise Pascal (63-66): Franse wis- en natuurkundige, onder meer uitinder an de draulisce pers en de spuit; tussen 646 en 648 gaf ij een erklaring oor de druk in een loeistof en later ook oor de luctdruk. Isaac Newton (64-77): Engelse wis- en natuurkundige en professor te Cambridge, bestudeerde et erband tussen kracten en beweging en in et bijonder de wrijing erooraakt door een slinger in stilstaand water. Gioanni Poleni (683-76): Italiaan, professor in de astronomie en fsica aan de uniersiteit an Padua, waar ij in 738 een laboratorium uitbouwde oor fsisce eperimenten, o.a. stroming an water. Henri de Pitot (695-77): Franse wiskundige, astronoom en draulicus, die in 73 een instrument uitond om de stroomsneleid an water te meten, de ogenaamde pitotbuis. Hij gebruikte dit apparaat om de stroming en et debiet in de Seine op te meten. Daniel Bernoulli (7-78): Zwitserse professor in de wiskunde, botanie, anatomie en fsica; onting maal de prijs an de Franse Academie oor wetenscappen; formuleerde in ijn werk Hdrodnamica, de iribus et motibus fluidorium in 738 oor et eerst wetten oor loeistofstroming. Leonard Euler (77-783): Zwitserse wis- en natuurkundige; professor aan de Berlijnse Academie en de uniersiteit an St. Petersburg; riend an Daniel Bernoulli; ij formuleerde de wetten oor de stroming an perfecte loeistoffen in Principes générau du moement des fluides, 757.
- - Pierre Louis Georges Du Buat (734-89): introduceert et begrip draulisce straal in Principles d'draulique, érifiés par un grand nombre d'epériences faites par ordre du gouernement, 786. Josep Louis Lagrange (736-83): Franse wis- en sterrenkundige; op 9 jaar professor te Turijn, daarna directeur an de Berlijnse Academie en professor aan de École Poltecnique an Parijs; publiceerde belangrijke werken oer wiskunde, mecanica en astronomie en was oofd an de commissie oor de inoering an et metriekstelsel. Antoine de Cé (78-798): Franse ingenieur die een kanaal ontwierp oor de waterooriening an Parijs en in 768 een formule opstelde om et debiet te berekenen; lesgeer en later directeur (798) an de Ecole Nationale Supérieure des Ponts et Caussées. Gioanni Battista Venturi (746-8): Italiaanse natuurkundige, die de stroming an water bestudeerde en een metode ontwikkelde om et debiet te meten, etgeen we nu de enturi-meter noemen. Claude Naier (785-836): Frans ingenieur, die de basiswetten opstelde oor stroming an iskeue fluïda. Gottilf Heinric Ludwig Hagen (797-884): Duits fsicus en draulisc ingenieur, die laminaire en turbulente stroming bestudeerde. Jean-Louis Marie Poiseuille (799-869): Frans natuurkundige die de stroming an loeistoffen in leidingen bestudeerde, omdat ij geïnteresseerd was in de circulatie an de bloedsomloop; ij formuleerde oor et eerst de wet oor laminaire stroming in leidingen; de eeneid poise oor iscositeit werd naar em genoemd. Henri Pilibert Gaspard Darc (83-858): Frans ingenieur, erantwoordelijk oor de waterooriening in Dijon; stelde proefonderindelijk wetten op oor stroming an water dooreen andfilters en leidingen, weergegeen in Les Fontaines Publique de la Ville de Dijon, Delmont, Paris, 856 ; de basiswet oor grondwaterstroming is naar em genoemd. Henri Arséne Jules Etienne Juénal Dupuit (84-866): Frans ingenieur, stelde een formule oor om grondwaterstroming te berekenen. Julius Weibac (86-87): Duits draulicus, die de turbulente stroming in leidingen bestudeerde. William Froude (8-879): Engelse sceepsbouwkundige. Robert Manning (86-897): oofdingenieur bij de Office of Public Works, Ierland; stelde in 89 een formule op oor de berekening an de stroming in riieren en kanalen. George Gabriel Stokes (89-93): Britse wis- en natuurkundige, die de basiswetten an de drodnamica opstelde; de eeneid stokes oor kinematisce iscositeit werd naar em genoemd. Osborne Renolds (84-9): Britse wis- en natuurkundige; ij onderoct turbulente stroming en stelde in 883 een metode oor om laminaire en turbulente stroming te ondersceiden. Ludwig Prandtl (874-953): Duits natuurkundige, professor aan de uniersiteit an Göttingen, die de wetten an de grenslaag opstelde en grondlegger is an de moderne loeistofdnamica. Lewis Ferr Mood (88-953): Amerikaanse onderoeker, die een metode op punt stelde om de stromingsweerstand in leidingen te berekenen. Teodore on Kármán (88-963): Hongaarse wetenscapper, studeerde bij Prandtl in Göttingen, werd daarna professor aan de uniersiteit an Aken en later aan de California Institute of Tecnolog in de VS; grondlegger an de teorie an de turbulente stroming.
- 3 - Het doel an dee cursus is de basisprincipes, -eigenscappen en -wetten an de loeistofstroming aan te leren De onderwerpen die ierbij aan bod komen ijn, o.a.: Eigenscappen an loeistoffen, oals densiteit, iscositeit en opperlaktespanning; welke parameters ierbij an belang ijn, oe dee bepaald worden, en. Fsisce grooteden, oals druk, sneleid en debiet, en oe dee gemeten of berekend kunnen worden. Speciale fenomenen oals capillariteit, caitatie, drijende oorwerpen, turbulentie, en. Kenmerken an erscillende stromingsregimes, oals perfecte-, laminaire-, turbulenteof poreue-stromingen. Berekenen an kracten op structuren uitgeoefend door in rust of in beweging ijnde loeistoffen. Het ontwerpen an leidingen, pompen, afoerkanalen, e.d. Meer gespecialiseerde en georderde onderwerpen komen later aan bod in andere cursussen, oals Riierdraulica en Surface water drolog in et e jaar Master in de Ingenieurwetenscappen Bouwkunde, en Waterbouw en -beeer in et e jaar Master in de Ingenieurwetenscappen Bouwkunde. Voor dee cursus wordt erondersteld dat een aantal basisbegrippen gekend ijn uit de ectoren tensorrekening, oals scalair en ectorieël product, gradiënt, diergentie en rotatie, en uit de mecanica, oals plaats, tijd, massa, sneleid, ersnelling, kract en energie, alsook begrippen uit de continuümmecanica, oals spanningen, erormingen, beoud an massa, en impulsergelijking. Voor de dimensies worden olgende smbolen gebruikt: L oor lengte, T oor tijd, M oor massa en F = ML/T oor kract. Alle grooteden worden uitgedrukt in SI-eeneden: m (meter), s (seconde), kg (kilogram) en de daaran afgeleide eeneden, tenij epliciet anders ermeld wordt. Alle eeneden worden gescreen onder oofdletter, maar de afkorting wordt wel gescreen met een oofdletter indien de eeneid afgeleid is an een eigennaam. Zo is de eeneid an massa kilogram, afgekort tot kg, maar oor kract is dit newton, afgeleid an Newton, en de afkorting is N. Soms worden ooroegsels gebruikt, oals (micro = -6 ), m (milli = -3 ), c (centi = - ), k (kilo = 3 ), M (mega = 6 ) en G (giga = 9 ). Enkele nuttige referentiewerken ijn: Berlamont, J., 99. Hdraulica. Wouter Uitgeerij, Leuen, 47 pp. ISBN 9-5497.3-. Çengel, Y.A, and J.M. Cimbala, 6. Fluid Mecanics: Fundamentals and Applications, McGraw-Hill: 956 pp. ISBN -7-4736-7. Nortier, W. en P. de Koning, 99. Toegepaste loeistofmecanica - Hdraulica oor waterbouwkundigen. Stam tecniek, 489 pp. ISBN 9-4-.38-6. Dee boeken en nog ele andere ijn aanweig in de biblioteek an de VUB.
- 4 -. EIGENSCHAPPEN VAN VLOEISTOFFEN. Soorten materialen De eigenscappen an materialen worden oornamelijk bepaald door de beweging an de moleculen en aantrekkingskracten tussen de moleculen. Materialen worden ingedeeld in aste stoffen, loeistoffen en gassen, afankelijk an de grootte an de aantrekkingskracten en de bewegingsrijeid an de moleculen. Bij aste stoffen ijn de aantrekkingskracten o groot dat de moleculen ic eer dict naast elkaar beinden in een ast patroon. Hierdoor kan de orm en et olume an een ast materiaal slects in eer beperkte mate eranderen onder inloed an uitwendige kracten. In de continuüm mecanica worden de erormingen an aste stoffen bestudeerd door een erband te leggen tussen de spanningen en de erormingen, etgeen erder uitgewerkt wordt in de elasticiteitsteorie en de sterkteleer. Gassen daarentegen kenmerken ic door eer kleine aantrekkingskracten tussen de moleculen, waardoor e rij an elkaar kunnen bewegen. Hierdoor beit een gas geen ast olume of orm. De moleculen an een gas erspreiden ic dan ook olledig in de ruimte waarin et gas ic beindt. Het uiteindelijk olume en de orm worden dus bepaald door de omgeing. In de continuümmecanica wordt de erorming of beweging an een gas erklaard door een erband te leggen tussen spanningen en erplaatsingssneleden. De eigenscappen an gassen worden bestudeerd in de cemie en fsica, en ooral in de aërodnamica. De eigenscappen an loeistoffen situeren ic tussen die an aste stoffen en gassen, omdat loeistoffen gekenmerkt worden door gemiddelde aantrekkingskracten tussen de moleculen. Hierdoor ijn de moleculen in ekere mate aan elkaar gebonden maar is er toc nog eel erorming mogelijk. Als geolg ieran ebben loeistoffen een rij constant olume maar geen aste orm. In afweigeid an uitwendige kracten al een loeistof een bolorm aannemen, maar onder inloed an een uitwendige kract al een loeistof de orm aannemen an de ruimte waarin e gedwongen wordt. Dit gedrag is te wijten aan et feit dat loeistoffen geen weerstand kunnen bieden aan scuifspanningen. Onder inloed an scuifspanningen gaan loeistoffen dus bewegen of loeien. In de continuümmecanica wordt er oor loeistoffen een erband gelegd tussen spanningen en erplaatsingssneleden, oals bij de gassen. Men spreekt dan globaal oer fluïda, een eramelnaam oor owel loeistoffen als gassen. Ecter bij praktisce toepassingen moet men dikwijls wel een ondersceid maken tussen dee twee soorten stoffen en is et aangeween om loeistoffen apart te beandelen. De moleculen in een materiaal bewegen ic ook relatief ten opicte an elkaar, wat aangeduid wordt als moleculaire beweging. Bij aste stoffen wordt door de grote aantrekkingskracten tussen de moleculen de beweging gereduceerd tot een ibratie rondom een eenwictstoestand. Daarentegen bewegen de moleculen an gassen ic met een eer grote sneleid bijna ongeinderd dooreen de ruimte waarin et gas ic beindt. De moleculen an een loeistof bewegen ic oals bij een gas met een eer grote sneleid, maar de erplaatsingen ijn beperkt omdat de moleculen oortdurend met elkaar in botsing ijn. De sneleden ijn in de orde an grootte an 9 m/s, waarbij er slects afstanden worden afgelegd an ongeeer - m. Dergelijke bewegingen wordt gekwantificeerd door middel an de fsisce grooteden temperatuur en warmte, waarbij de temperatuur een maat is oor de intensiteit an de moleculaire beweging en de warmte een uitdrukking is an de energie an dee beweging. Bij stijgende temperatuur worden de afstanden tussen de moleculen
- 5 - groter waardoor de aantrekkingskract tussen de moleculen afneemt. Hierdoor al bij een kritisce waarde an de temperatuur de loeistof eranderen in een gas. Daarentegen komen moleculen dicter bij elkaar bij dalende temperatuur, waardoor de aantrekkingskracten toenemen en bij een ekere kritisce waarde de loeistof al eranderen in een aste stof. Dergelijke fenomenen worden niet bestudeerd in de loeistofmecanica of draulica maar wel in de sceikunde en termodnamica.. In de loeistofdnamica en de draulica ijn we niet geïnteresseerd in de beweging an indiiduele moleculen maar wel in globale beweging an een eer groot aantal moleculen, waarbij de relatiee moleculaire beweging uitgemiddeld wordt. Dit is de continuüm benadering wat een redelijke werkwije is geien de gemiddelde afstand tussen de moleculen in een loeistof ongeeer -7 mm bedraagt, odat er ongeeer moleculen aanweig ijn in een kubieke millimeter water. Het doel is dus om alleen de macroscopisce eigenscappen an de stroming te erklaren, waarbij macroscopisce grooteden oals stroomsneleid, druk en debiet bescouwd worden, wat meestal olstaat oor courante toepassingen in de praktijk.. Druk Vloeistoffen kunnen geen weerstand bieden aan scuifspanningen. Dee eigenscap ondersceidt de loeistoffen an de aste stoffen. Een loeistof al dus bewegen onder de inloed an scuifspanningen, odat bij rust er alleen maar normaalspanningen aanweig ijn. Dit eeft tot geolg dat bij rust een loeistof altijd de orm aanneemt an et at waarin et ic beindt onder inloed an een uitwendige kract, oals bijoorbeeld de waartekract. Het is eenoudig aan te tonen dat bij afweigeid an scuifspanningen de normaalspanningen isotroop moeten ijn, d.w.. gelijk in elke ricting. Om dit te bewijen bescouwen we een elementair olume loeistof in rust alleen onderworpen aan normaalspanningen, oals weergegeen in Fig... Fig.. Een elementair olume loeistof alleen onderworpen aan normaalspanningen.
- 6 - Het betreft een tetraëder met ijden, en, langseen de coördinaatsassen, en. Op de wanden an dit olume werken alleen maar normaalspanningen. Veronderstel dat de normaalspanningen de olgende waarden aannemen op de erscillende wanden an de tetraëder:, en op respectieelijk de opperlakken loodrect op de -, - en de -as en op de scuine wand. Bij rust ullen de totale kracten op et olume in elke ricting in eenwict ijn. De componenten an de kracten in een bepaalde ricting kunnen berekenend worden door gebruik te maken an de principes an de ectorrekening. Bijoorbeeld oor de scuine wand geldt F S (.) waarbij F de totale kract is op et opperlak en S de ectoriele uitdrukking an de grootte an dit opperlak (positief naar buiten gerict) (merk op dat we ectoriële smbolen onderlijnen). De component an de kract F n in een bepaalde ricting n wordt bekomen door de projectie an de kract in dee ricting, etgeen etelfde is als et scalair product te nemen met de eeneidsector n in de ricting n F F n S n (.) n S n waarbij S n de projectie is an et opperlak S loodrect op de ricting n. Bijoorbeeld de component in de -ricting an de kract op de scuine wand is F S (.3) Gelijkaardige resultaten worden bekomen oor de andere lakken en rictingen. Het eenwict an alle kracten in de ricting, geeft dan olgende ergelijking f (.4) 6 Hierin stelt f de -component oor an een eentueel uitwendig kracteneld (oals bijoorbeeld de waartekract), uitgedrukt als kract per olume loeistof, met dimensies [F/L 3 ]. Wanneer we delen door en de limiet nemen oor gaande naar nul, olgt ieruit dat - =, ofwel =. Hetelfde geldt oor de andere rictingen, odat = = =, wat bewijst dat alle normaalspanningen gelijk ijn. Men definieert dee isotrope normaalspanning in een loeistof als de druk, meestal aangeduid door et smbool p, een scalaire grooteid onafankelijk an de ricting. De dimensies an druk ijn [F/L ]. In et SIstelsel gebruikt men de eeneid pascal oorgesteld door et smbool Pa ( Pa = N/m²), genoemd naar de Franse onderoeker Pascal, die oor et eerst de wet formuleerde dat in een loeistof in rust de druk gelijk is in elke ricting. Omdat de eeneid pascal nogal klein uitalt gebruikt men in de praktijk meestal kilo-pascal (kpa). Een erouderde eeneid is de bar ( bar = 5 Pa = kpa). Merk ook op dat de druk door een positiee waarde wordt oorgesteld, in tegenstelling met de mecanica an et continuüm en de sterkteleer waar een trekspanning als positief wordt bescouwd. Op de aarde is er steeds een druk aanweig ten geolge an de atmosfeer. Dit noemt men de luct- of atmosfeerdruk, die oor et eerst werd aangetoond door Torricelli, met beulp an een omgekeerde kolom geuld met kwik, oals weergegeen in Fig... De druk an de
- 7 - atmosfeer op eenieau is gelijk aan et gewict an een laag kwik an ongeeer 76 mm oogte afankelijk an de meteorologisce omstandigeden. De druk an de atmosfeer daalt met de plaatsoogte, oals astgesteld door Toricelli, omdat er dan minder atmosfeer aanweig is. Vroeger werd de atmosfeerdruk uitgedrukt in millimeter kwik, wat aangeduid werd met de eeneid torr, genoemd naar Torricelli. De atmosfeerdruk bedraagt dus ongeeer 76 torr. Later gebruikte men de eeneid atmosfeer ( atm = 76 torr), maar nu meestal de eeneid pascal; uitgedrukt in et SI-stelsel bedraagt de atmosfeerdruk op eenieau ongeeer,3 kpa. In oofdstuk 3 ullen we aantonen dat de druk niets anders is dan et gewict per opperlakte-eeneid an de fluïdum, dus et gewict an de luct in geal an de atmosfeer of et gewict an 76 mm kwik in geal an de kwikbarometer an Toricelli. Dit komt oereen met een waterlaag an,34 m oogte. Torricelli kon dus moeilijk een waterkolom gebruiken om de atmosfeerdruk te meten en ad geluk omdat men toen juist loeibare kwik ontdekt ad. acuüm 76 mm p atm Eangelista Torricelli Hg Fig.. De atmosfeerdruk opgemeten met een kwikmanometer. In water of een andere loeistof al de druk toenemen met de diepte onder et rij opperlak, door et bijkomend gewict an de boenliggende loeistof, oals uiteengeet al worden in oofdstuk 4 oer de drostatica. Men noemt dit de absolute druk. Ecter meestal gebruikt men in praktisce toepassingen de relatiee druk, ijnde et erscil tussen de absolute druk en de atmosfeerdruk. Ook in de draulica is dee conentie gebruikelijk en erstaan we onder et begrip druk en et smbool p de relatiee of de bijkomende druk t.o.. de atmosfeerdruk, tenij et anders ermeld wordt..3 Densiteit Elk materiaal eeft een densiteit of dicteid, aangeduid door et smbool als de massa M per olume V in de limiet gaande naar nul en gedefinieerd M lim (.5) V V De dimensies ijn [M/L 3 ] en in et SI-ssteem ijn de eeneden kg/m³, maar in de praktijk
Densiteit (kg/m 3 ) - 8 - wordt oor loeistoffen ook dikwijls g/cm 3 gebruikt. Vermits de massa constant is en in geal an een loeistof ook et olume bijna oneranderlijk is, olgt ieruit dat de densiteit rij constant is, ij et eenwel dat er een beperkte inloed is an de temperatuur en de absolute druk. Tabel. geeft enkele oorbeelden an densiteiten an loeistoffen, bij een temperatuur an C en een normale atmosfeerdruk. De densiteit an water in functie an de temperatuur en bij een normale atmosfeerdruk wordt gegeen in Fig..3 en in Tabel.. Voor de praktisce berekeningen wordt de densiteit an water bij normale omstandigeden meestal afgerond tot kg/m 3. Tabel. De densiteit an enkele loeistoffen bij een temperatuur an C en normale atmosfeerdruk. Vloeistof Densiteit (kg/m 3 ) Kwik 3.56 Tetracloorkoolstof.59 Zwaelkoolstof.63 Glcerine.6 Water 998 Beneen 895 Terpentijn 87 Tolueen 867 Petroleum 85 Aceton 79 Benine 7-8 Etlalcool 789 Diëtleter 75 99 4 C - kg/m 3 98 97 96 95 3 4 5 6 7 8 9 Temperatuur ( C) Fig..3 De densiteit an water in functie an de temperatuur bij normale atmosfeerdruk.
- 9 - Tabel. Eigenscappen an water in functie an de temperatuur bij normale atmosfeerdruk. Densiteit Viscositeit Temperatuur Kinematisce Viscositeit Elasticiteitsmodulus Opperlakte spanning T E ( C) (kg/m 3 ) (mpa s) ( m S /s) (GPa) (mn/m) 999,8,78,785, 75,6 5 999,9,58,59,6 74,9 999,7,37,36, 74, 5 999,,39,39,4 73,5 998,,,3,8 7,8 5 997,,89,893, 7, 3 995,7,798,8,5 7, 35 994,,73,77,4 7,4 4 99,,656,66,7 69,6 45 99,,599,65,9 68,8 5 988,,549,556,3 67,9 55 985,7,56,53,3 67, 6 983,,469,477,8 66, 65 98,6,436,444,6 65, 7 977,8,46,45,5 64,4 75 974,9,38,39,3 63,5 8 97,8,357,367, 6,6 85 968,6,336,347,7 6,6 9 965,3,37,38,6 6,8 95 96,9,99,3, 59,8 958,4,84,96,7 58,9 Vloeistoffen ijn slects in beperkte mate samendrukbaar bij toename an de druk, dit in tegenstelling tot gassen die eer samendrukbaar ijn. De samendrukking wordt gedefinieerd als de relatiee afname in olume t.g.. een toename in de druk. Vermits de massa oneranderd blijft, is dit ook gelijk aan de relatiee toename an de densiteit. De samendrukking kan dan als olgt gedefinieerd worden V V C p p E (.6) De eenredigeidscoëfficiënt C wordt de samendrukbaareid of compressibiliteit genoemd en is et inerse an de olumetrisce elasticiteitsmodulus E uit de elasticiteitsteorie. De eeneden ijn [L /F] oor C en [F/L ] oor E. Dee materiaaleigenscappen ijn in beperkte mate afankelijk an de temperatuur en de absolute druk. Tabel.3 geeft karakteristieke waarden oor enkele loeistoffen bij C en normale atmosfeerdruk. De olumetrisce elasticiteitsmodulus an water, in functie an de temperatuur bij een normale atmosfeerdruk
- - wordt gegeen in Tabel.. Tabel.3 Samendrukbaareid en olumetrisce elasticiteitsmodulus an enkele loeistoffen bij C en normale atmosfeerdruk. Vloeistof C E (atm - ) (GPa) kwik 4, -6 4,7 glcerine, -5 4,5 water 4,6-5,8 olie 5,3-7,8-5,3-,9 petroleum 8,4-5, tetracloorkoolstof 9, -5, etlalcool, -4,9 beneen 9,6-5,6 Vloeistoffen ijn ongeeer. keer minder samendrukbaar dan gassen. Aloewel in de praktijk loeistoffen, in et bijonder water, meestal als onsamendrukbaar kunnen bescouwd worden, mag men niet uit et oog erlieen dat bijoorbeeld de samendrukbaareid an water nog maal groter is dan die an staal en maal groter dan die an beton, odat in bijondere geallen de samendrukbaareid toc nog an belang kan ijn. Ter illustratie berekenen we de relatiee olumeerandering an water bij een erdubbeling an de atmosfeerdruk: V 5 V C p 4,6 atm atm,5% (.7) Dit is uiterts gering. Om et olume an water samen te drukken met % is er een druk nodig an 7 atm. We kunnen dus besluiten dat in de praktijk bij normale natuurlijke omstandigeden loeistoffen en in et bijonder water quasi onsamendrukbaar ijn..4 Viscositeit De wrijing erooraakt door een loeistof werd bestudeerd door Newton, door middel an een slinger ondergedompeld in water, waarbij ij aststelde dat de wrijing functie was an de sneleid an de slingerbeweging. Later werd door Stokes et begrip iscositeit an een loeistof geïntroduceerd, aan de and an et olgende gedacte-eperiment. Bescouw een loeistof tussen twee platen, waarbij de boenste plaat in beweging wordt gebract met een sneleid en de onderste plaat onbeweeglijk blijft, oals scematisc weergegeen in Fig..4. De loeistof boenaan aan de bewegende plaat krijgt daardoor deelfde sneleid, terwijl de loeistof onderaan aan de onderste plaat onbewegelijk blijft. Hierdoor ontstaat een sneleidsgradiënt in loeistof, oals weergegeen in de figuur. Om dee beweging te bestendigen moet er een kract uitgeoefend worden om de boenste plaat in beweging te ouden, terwijl er een elfde maar tegengestelde kract nodig is om de onderste plaat in rust te ouden. Dee kracten ijn in eenwict (actie is gelijk aan reactie) en et is duidelijk dat
- - de kract an de ene plaat oergebract wordt naar de andere plaat door de wrijing uitgeoefend door de loeistof. F d F F FFig..4 Het eperiment an Stokes oor bepaling an de iscositeit. F Voor kleine sneleden al de kract F lineair eenredig ijn met de opperlakte S an de platen en met de sneleid an de beweging en omgekeerd eenredig met de afstand d tussen de platen. Uiteraard is de kract ook afankelijk an et soort an loeistof. Dit wordt de wet an Newton genoemd S F (.8) d waarbij de eenredigeidsparameter de (dnamisce) iscositeit is an de loeistof. Het woord iscositeit is afgeleid an iscum, de Latijnse benaming oor maretak, een plant die een plakkerige loeistof afsceidt. De iscositeit is dus een eigenscap an de loeistof die aangeeft in welke mate de loeistof in beweging kan worden gebract door scuifkracten en daarbij wrijing erooraakt. De dimensies an de iscositeit ijn [FT/L = M/LT] en gebruikelijke eeneden ijn Pa s of et equialente kg/m s, maar in de praktijk wordt ook de poise gebruikt, met smbool P ( P = g/cm s =, Pa s), genoemd naar Poiseuille, die in 838 eperimenteel de wet an Newton (feitelijk an Stokes) beestigde. De iscositeit is afankelijk an de temperatuur en in beperkte mate ook an de druk. Waarden oor de iscositeit an erscillende loeistoffen bij C en een normale atmosfeerdruk worden gegeen in Tabel.4. Waarden oor de iscositeit an water in functie an de temperatuur bij een normale atmosfeerdruk worden gegeen in Tabel.. De iscositeit an water bij C en normale atmosfeerdruk bedraagt ongeeer -3 Pa s ofwel cp (centi-poise). Waarden oor de iscositeit an erscillende fluïda, in functie an de temperatuur en bij normale atmosfeerdruk, worden gegeen in Fig..5a. Introduceert men de scuifspanning, = F/S, dan kan men ergelijking.8 ook scrijen als d (.9) waaruit duidelijk blijkt dat een scuifspanning stroming erooraakt in de loeistof; meer bepaald ontstaat er een sneleidsgradiënt afankelijk an de iscositeit an de loeistof.
- - Hoe kan er nu scuifspanning door de loeistof oergebract wordt an de ene plaat naar de andere? Globaal duiden we dit aan als wrijing, maar de eigenlijke erklaring dient geoct te worden op microscopisce scaal. Macroscopisc geien stroomt de loeistof parallel langs de platen met erscillende sneleden afankelijk an de afstand tot de wand. De aantrekkingskracten aanweig tussen de moleculen orgen oor een ekere coesie tussen de moleculen, waardoor er oerdract an momentum plaatsindt. Moleculen met een grotere sneleid sleuren aanliggende moleculen met een tragere sneleid mee, waardoor de snelle moleculen afgeremd worden en de trage moleculen ersneld worden, etgeen de wrijing of oerdract an scuifspanningen met ic meebrengt. Vermits bij toenemende temperatuur de microscopisce beweging an de moleculen ergroot, waardoor de coesie tussen de moleculen ermindert, al de iscositeit an een loeistof afnemen met stijgende temperatuur. Tabel.4 Viscositeit an enkele loeistoffen bij een temperatuur an C en normale atmosfeerdruk. Vloeistof Viscositeit (mpa s = cp) Kinematisce iscositeit, ( m /s = cst) Kwik,554,47 Tetracloorkoolstof,958,63 Zwaelkoolstof,376,98 Glcerine.53. Water,,4 Beneen,649,75 Terpentijn,5,7 Tolueen,6,7 Petroleum,5 -,4.6 -,8 Aceton,36,399 Benine,33,44 Etlalcool,9,5 Diëtleter,4,33 Smeerolie 8-4 - 7 Bij gassen is er weinig of geen coesie tussen de moleculen waardoor er eel minder wrijing al ijn. Eenwel ijn gassen ook in beperkte mate iskeus omdat er oerdract an momentum plaatsindt door de microscopisce caotisce beweging an de moleculen. Hierdoor kunnen moleculen met een grote macroscopisce sneleid terectkomen tussen moleculen met een tragere sneleid en omgekeerd, waardoor er botsingen ontstaan en impulsen worden oergebract. Vermits bij ogere temperaturen de microscopisce beweging toeneemt, al bij een gas de iscositeit stijgen met de temperatuur, terwijl dit omgekeerd is bij loeistoffen. De oerdract an scuifspanningen kan dus ook bescouwd worden als een erspreiding of diffusie an impuls. Dit wordt duidelijker wanneer we de wet an Newton op de olgende wije erscrijen
- 3 - ( ) (.) waarin = / de kinematisce iscositeit is met dimensies [L /T], die etelfde ijn als bij een diffusiecoëfficiënt. Vergelijking. stelt dat een gradiënt in, dit is impuls per olume, een oerdract an scuifspanning of wrijing erooraakt afankelijk an de kinematisce iscositeit an et medium. De eeneden an de kinematisce iscositeit in et SI-stelsel ijn m /s, maar in de praktijk wordt dikwijls de stokes gebruikt, met smbool St ( St = cm /s = -4 m /s), genoemd naar Stokes. Waarden oor de iscositeit an erscillende loeistoffen bij C en een normale atmosfeerdruk worden gegeen in Tabel.4. Waarden oor de kinematisce iscositeit an water in functie an de temperatuur en bij een normale atmosfeerdruk worden gegeen in Tabel.. De kinematisce iscositeit an water bij C en normale atmosfeerdruk bedraagt ongeeer -6 m /s ofwel cst (centistokes). Het erband tussen de kinematisce iscositeit oor water en de temperatuur wordt bij benadering gegeen door olgende empirisce formule,78,337 T 6, T (.) waarin uitgedrukt is in m /s en T de temperatuur oorstelt in C. Waarden oor de kinematisce iscositeit an erscillende fluïda in functie an de temperatuur en bij normale atmosfeerdruk worden gegeen in Fig..5b. We scrijen nu de formules in een meer wetenscappelijke en wiskundige orm. Indien we een loeistoflaagje met dikte d bescouwen, dan olgt uit ergelijking.9 d d (.) en indien s de erplaatsing is an de loeistof in de -ricting dan is = ds/dt en kan et erband tussen de scuifspanning en de erormingen ook gescreen worden als d d ds dt d dt ds d d dt (.3) met = ds/d de oekerdraaiing an de erorming an de loeistof, ofwel de afscuiingssneleid oals gedefinieerd in de mecanica an et continuüm, oals weergegeen in Fig..4. De scuifspanning blijkt dus eenredig te ijn met de sneleid an de oekerdraaiing, dit in tegenstelling met lineair elastisce materialen waar de scuifspanning proportioneel is met de oekerdraaiing elf. Het gedrag an erscillende materialen onder inloed an scuifspanningen wordt scematisc weergegeen in Fig..6. Fluïda ijn iskeue stoffen waarbij de oergebracte scuifspanning afankelijk is an de sneleid an de erorming. De fluïda worden ingedeeld in newtoniaanse en niet-newtoniaanse fluïda. De newtoniaanse fluïda oldoen aan de iscositeitwet an Newton, d.w.. dat de scuifspanningen lineair eenredig ijn met de gradiënten an de sneleid. Alle gassen en dunne loeistoffen, oals water, ijn quasi newtoniaanse fluïda, terwijl dikke loeistoffen meestal niet-newtoniaans ijn, d.w.. dat de
Scuifspanning, Vaste stof - 4 - scuifspanningen niet lineair eenredig ijn met gradiënten an de sneleid. Niet-newtoniaanse loeistoffen kunnen ofwel pseudo-plastisc ijn indien de iscositeit afneemt met de scuifspanning, oals bijoorbeeld maonaise erf, of tandpasta, ofwel dilatant indien de iscositeit toeneemt met de scuifspanning, oals bij stroop of pudding. Een ideaal fluïdum is een loeistof of gas dat geen iscositeit beit, wat impliceert dat de stroming onder wrijing plaatsindt en er dus geen kracten oergebract worden. Ideale fluïda bestaan niet in werkelijkeid, doc gassen kunnen bij benadering als ideaal erondersteld worden. Bij loeistoffen is dit minder et geal, beale in eer bijondere omstandigeden, oals loeibaar elium bij een temperatuur dict bij et absolute nulpunt. Ecter in sommige praktisce omstandigeden Isaac Newton, in ijn sterfjaar 77, geportretteerd door J. Vanderbanck is de wrijing klein in ergelijking met de andere optredende kracten, odat in dergelijke geallen et fluïdum als ideaal mag bescouwd worden. Dit al de berekeningen sterk ereenoudigen oals aangetoond wordt in oofdstuk 4. Bij aste stoffen is de scuifspanning onafankelijk an de sneleidsgradiënt, terwijl stoffen oals plastic, ic gedragen als een aste stof wanneer de scuifspanningen klein ijn en als een loeistof wanneer de scuifspanningen een ekere kritisce waarde oerstijgen. Sommige onderoekers ijn an oordeel dat aste stoffen ook fluïda ijn, ecter met een eer oge iscositeit, oals Pa s of meer (panta rei ei Plato). Plastic Niet-newtoniaans pseudoplastisc fluïdum: c te newtoniaans fluïdum: = c te Niet-newtoniaans dilatant fluïdum: c te Ideaal fluïdum: = Afscuiingssneleid, d /dt, of sneleidsgradiënt, d/d Fig..6 Verband tussen de scuifspanning en de erorming oor erscillende materialen.
Viscositeit (Pa s) - 5 - glcerine - smeerolie - kwik -3 etlalcool benine -4 luct -5 waterstof -6 Temperatuur ( C) Fig..5a Viscositeit an enkele loeistoffen en gassen in functie an de temperatuur bij normale atmosfeerdruk.
Kinematisce iscositeit (m /s) - 6 - - glcerine -3 smeerolie -4 waterstof -5 luct -6 etlalcool benine water -7 kwik -8 Temperatuur ( C) Fig..5b Kinematisce iscositeit an enkele loeistoffen en gassen in functie an de temperatuur bij normale atmosfeerdruk.