Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O, H en Z zijn opvolgend het omcentrum (middelpunt vn de omgeschreven cirkel, die hier omcirkel genoemd wordt, het hoogtepunt en het zwrtepunt vn een willekeurige driehoek ABC. De lengte vn de strl vn de omcirkel (O vn die driehoek geven we n met R, de lengtes vn de zijden (zols gebruikelijk met, b, c. We lten zien dt: Stelling 1.. OH 2 = 9 R 2 ( 2 + b 2 + c 2 2 b. OZ = R 1 ( + b + c 9 We bewijzen llereerst: Lemm 1. Snijdt een lijn door een willekeurig, mr vst punt P een cirkel (O, R in de punten A en B, dn is: PA PB = k (k is constnt wrbij k = OP 2 R 2 Bewijs. In de figuur hiernst (met P binnen de cirkel is: AQP = ½ bg(as = PBS. De driehoeken APQ en SPB zijn drmee gelijkvormig (hh, zodt: PA : PS = PQ : PB PA PB = PQ PS = (R OP(R + OP Dus: PA PB = R 2 OP 2 Opmerkingen. 1. Ligt P buiten de cirkel, dn is PA PB = OP 2 R 2. 2. Het getl m = OP 2 R 2 wordt wel de mcht vn het punt P bij de cirkel (O genoemd. Druit volgt dt m < 0 is ls P binnen de cirkel (O ligt, m = 0 ls P op de cirkel ligt, en m > 0 ls P buiten de cirkel ligt. En vervolgens: Lemm 2. Is O de projectie vn O op de zijde BC vn driehoek ABC (O is dn het midden vn BC, dn geldt: AH = 2 OO Over de lengte vn OH, OZ en OI [ 1 ] Copyright 2007, PndD Softwre, Rotterdm
Bewijs. We bewijzen lemm 2 lleen voor een scherphoekige driehoek. Het bewijs voor een rechthoekige of stomphoekige driehoek verloopt nloog. We vermenigvuldigen driehoek OO Z met de fctor -2 ten opzichte vn het punt Z. Het beeld vn O bij deze vermenigvuldiging zij O'. Het beeld vn O is dn het punt A. Door die vermenigvuldiging is O'A // OO, zodt ook O'A loodrecht stt op BC. De lijn AO' is dus de hoogtelijn uit A. Op dezelfde mnier kunnen we bewijzen dt de lijn BO' hoogtelijn is vn driehoek ABC. Het punt O' vlt dus smen met het hoogtepunt H vn de driehoek. Uit de gelijkvormigheid vn de driehoeken OO Z en O'AZ volgt dn: AO' = AH = 2 OO Gevolg. Het zwrtepunt Z ligt op de lijn OH OO', wrbij OZ : ZO' = 1 : 2. Bewijs vn stelling 1 In nevenstnde figuur snijdt de hoogtelijn uit A de zijde BC in het punt D en de omcirkel vn driehoek ABC ook nog in het punt A'. De lijn BE is de hoogtelijn op de zijde CA. Het punt O is ook hier de projectie vn O op de zijde BC. Stellen we nu AH = x, HD = y en AD = h = x + y, dn geldt, omdt ook HD = DA' = y en volgens lemm 1 voor de mcht vn het punt H bij cirkel (O: R 2 OH 2 = HA HA' = x 2y = 2x y R 2 OH 2 = 2x (h x En zo ook, met overeenkomstige betekenis en nmgeving voor h b, h c, x b, x c: R OH = 2 xb( hb xb R OH = 2 xc( hc xc Optelling vn deze drie uitdrukkingen voor R 2 OH 2 geeft dn: 2 3( R OH = 2( xh + xbhb + xchc 2( x + xb + xc (1 Volgens de cosinusregel in driehoek ABC hebben we: 2 = b + c 2bc cosα (2 AE AE wrbij cos α = AB = c, zodt: AE = c cosα (3 Omdt HDCE een koordenvierhoek is, hebben we ook voor de mcht vn A bij cirkel (HDCE: AE AC = AH AD = x h zodt vi (3 blijkt dt: bc cosα = xh 2 En dn geeft (2: 2xh = b + c Uitdrukking (1 kn dn geschreven worden ls: Over de lengte vn OH, OZ en OI [ 2 ] Copyright 2007, PndD Softwre, Rotterdm
3( R OH = ( b + c + ( + c b + ( + b c 2( x + xb + xc = ( + b + c 2( x + xb + xc Nu is verder in driehoek BOO volgens de stelling vn Pythgors: 2 1 R ( 2 = ( OO (5 En volgens lemm 2: AH = x = 2 OO (6 Zodt vi (5 en (6 blijkt dt: x + xb + xc = 4( OO + 4( OOb + 4( OOc = 2 1 1 1 2 = 4( R 4 + 4( R 4b + 4( R 4c = 12 R ( + b + c En dit geeft dn in (4: 2 3( R OH = ( + b + c 24R + 2( + b + c of, n deling door 3: R OH = + b + c 8R zodt: 2 OH = 9 R ( + b + c (4 Bewijs vn stelling 1b Zols bekend (en zie drtoe ook het gevolg vn lemm 2 ligt het zwrtepunt Z vn een driehoek op de Euler-lijn e 1 ( OH vn die driehoek, wrbij OZ = 3 OH. Uit stelling 1 volgt dn: 2 9OZ = 9 R ( + b + c 1 2 OZ = R 9 ( + b + c 2. De lengte vn OI Het punt I is het incentrum vn driehoek ABC; I is het middelpunt vn de incirkel (ingeschreven cirkel vn de driehoek. We geven de lengte vn de strl vn de incirkel n met r. We zullen nu bewijzen [1] : Stelling 2. OI = R 2Rr Opmerking. Deze formule is voor het eerst bewezen door Leonrd Euler (1707-1783, Zwitserlnd, en wordt drom wel formule vn Euler (nst de vele ndere genoemd. In de onderstnde figuur snijdt de lijn OO de omcirkel vn driehoek ABC in de punten A', A". Omdt de lijn AI de bissectrice is vn hoek A, snijdt die lijn de omcirkel in het punt A' ; dit punt is het midden vn bg(bc. Over de lengte vn OH, OZ en OI [ 3 ] Copyright 2007, PndD Softwre, Rotterdm
Het punt U is het middelpunt vn de uitcirkel vn de zijde BC; d.w.z. dt U is het middelpunt vn de cirkel die 'inwendig' rkt n BC en n de verlengden vn de zijden AB en AC. Dit houdt in dt de lijn U B loodrecht stt op BI; met ndere woorden: driehoek BIU is rechthoekig in B (immers, de binnen- en buitenbissectrice vn hoek B stn loodrecht op elkr. We bewijzen nu eerst: Lemm 3. In driehoek BIU geldt: BA' = IA' = U A'. Opmerking. Lemm 3 zegt dus, dt BA' zwrtelijn is nr de schuine zijde IU vn de rechthoekige driehoek BIU. Bewijs. In de figuur zijn enkele hoeken ngegeven met de letters x, y, z, t, u. We zullen ntonen dt t = u. Immers, druit volgt het in lemm 3 gestelde (BA' is dn zwrtelijn in driehoek BIU. Uit de stelling vn de omtrekshoek volgt nu x = z, immers: x = ½ bg(a'c = z Nu is, omdt BU buitenbissectrice is vn hoek B: 1 t = 2 (180 B z = 90 y z Voor u vinden we in driehoek BAU : u = 180 ( t + z+ 2 y x = 180 t z 2 y z = = 180 (90 y z 2 y 2z = = 90 y z Zodt inderdd blijkt dt: t = u. Gevolg. In driehoek BIU is: BA' = IA'. Bewijs vn stelling 2 In de figuur hiernst is het punt G de projectie vn I op A'A", wrdoor GO = r. Verder is driehoek A'A"B rechthoekig in B (Thles-driehoek. We stellen OI = d. Verder is ntuurlijk OA' = R. In driehoek OIA' is dn volgens de cosinusregel: 2 ( IA = OI + ( OA 2 OI OA cos IOA (7 Op bsis vn het gevolg vn lemm 3, en omdt in driehoek GOI geldt dt OI cos IOA = OG, kunnen we (7 schrijven ls: 2 ( BA = d + R 2R OG (8 = d + R 2 R ( OO r In de rechthoekige driehoek A'A"B geldt: 2 ( BA = AO AA = AO 2R Zodt drmee (8 overgt in: Over de lengte vn OH, OZ en OI [ 4 ] Copyright 2007, PndD Softwre, Rotterdm
En uit deze ltste uitdrukking volgt dn: AO R= d + R R OO r 2 R ( AO + OO = d + R + 2Rr 2ROA = d + R + 2Rr 2 2R = d + R + 2Rr ( d R 2Rr = 3. Noot [1] Zie voor een nder bewijs vn stelling 2 eventueel ook: Dick Klingens: Om- en incirkel. Op: www.pndd.demon.nl/omincirkel.htm (webpgin. Over de lengte vn OH, OZ en OI [ 5 ] Copyright 2007, PndD Softwre, Rotterdm