De Wageningse Methode &6 WO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk egels voor differentiëren Paragraaf Opnieuw sinus en inus a. -, 0, ; -, ; -, ; -, b. (,sin) (-0, ; 0,9), met de G Op dezelfde hoogte:, -, -+. Op dezelfde breedte: -,, - +. Dit kun je afleiden uit de symmetrie van de eenheidscirkel, maar het kan ook (wat lomper) zo: Op dezelfde hoogte: sintsin t+k of t +k ; de waarden van t tussen - en vind je door voor k- of 0 te nemen. Op dezelfde breedte; t t+k of t-+k ; de waarden van t tussen - en vind je door voor k- of 0 te nemen in t+k en voor k0 of te nemen in t-+k. c. -H, -H,, uit de eenheidscirkel of: sintt sintsin( t) t t +k of t ( t) +k t+k t+k. De waarden van t tussen - en vind je door voor k-, -, 0 en te nemen. d. -B, -,, B uit de eenheidscirkel of met bijvoorbeeld t t+k of t+k. Door de goede waarden voor k te nemen vind je -B, -,, B als oplossingen. e. Zie plaatje. In het punt (a,b) van de eenheidscirkel is de snelheidsvector (b,-a). f. (, ), (0,-), (, - ) g. De snelheidsvector is (sint,-t), klopt. a. Eenheidscirkel,, b. Cirkel met middelpunt O en straal,, c. De beweging ontstaat door die uit b te spiegelen in de lijn y, dus cirkel met middelpunt O en straal,, d. De beweging ontstaat door die uit b te spiegelen in de -as, dus cirkel met middelpunt O en straal,, e. De beweging ontstaat uit de standaard cirkelbeweging door de bewegingsrichting om te draaien, dus eenheidscirkel,, f. De beweging ontstaat door die uit c twee keer zo snel te maken, dus cirkel met straal,, a. (-sint,t) ; (-sint,t) ; (t,-sint) ; (-sint,-t) ; (sin-t,--t) ; (t,-sint) b. (-sint) +(t) (sin t+ t), dus de grootte van de snelheid is. a. Middelpunt (m,n), straal r, ω hoeksnelheid of te wel: de omlooptijd is. ω b. + ( t ), dus ω-, dus ω y + sin ( t ) a. b. t, t, 6 t -as t0, c. De tweede beweging loopt seconde achter. 6 a. m0, n, r, ω-, De beweging die in S 0 begint loopt sec vóór op de beweging die in S begint, dus t 0 -. b. Ze verschillen een geheel veelvoud van 6. c. Het kogeltje is op t0 in (m+rϕ, n+rsinϕ), dus bijvoorbeeld ϕ-. Haakjes wegwerken in -(t+) geeft -t. Je krijgt hetzelfde. 7 a. Zie plaatje, α, dus PMQ0, t t, 6 t 0, P(0,+ ), Q(0, ). b. Het kogeltje doet sec M S over deel van de cirkel, dus Q de periode is sec. -as c. ω d.,,,, - t 0 vind je als volgt: de beweging die in P begint loopt sec vóór op de beweging die in S begint, dus t 0 -. e. k h 9 P α S 0 S -as -as t, Uitgebreide antwoorden De Wageningse Methode wiskunde b &6 vwo Hoofdstuk 0
g. Door eenheden naar links te schuiven (of 8 eenheden naar rechts). k(t)+sin (t+) 8 ω p 9 a. - b. c. H is de helft van de periode, dus die is d. periode ; de straal is de amplitude, ω dus ; de hoogte van het middelpunt is de evenwichtswaarde, dus - e. Omdat de beweging daar stijgend door het evenwicht gaat. f. f(t)-+sin t 0 a. g. De grafiek van g loopt sec achter op die van f, dus g(t)-+sin (t ) h. Die beweging loopt periodes achter op die bij g. - u(t) b. u(t)sint c. sint sint0, sin - (0.)0.0, dus één van de oplossingen is 0.0 / 0,8 De tweede oplossing vind je bijvoorbeeld met de symmetrie van de grafiek : 0,8,87 y+sin ; y-sin a. Bijvoorbeeld met de -as: y0 of -, dus of -, dus de snijpunten met de -as: (,0) en (-,0) ; met de : (0,) en (0,-) ; (, ) en (,- ) ; (,K) en (-,K). b. (,y) op F + y 9 y 9 d. Horizontaal met factor en verticaal met factor e. (a,b) a b f. + a +b a. (t,sint) 8 t c. De snelheidsvector is (-sint,t); zijn grootte is: sin t + 9 t sin t + 9 ( sin t ). d. v is minimaal als sin t, dat is in het hoogste punt (0,) en in het laagste punt (0,-) van de ellips. v is maimaal als sin t 0, dat is in de snijpunten met de -as. a. + y 9 b. en y invullen in de vergelijking uit a. c. Pythagoras: sin + b. 0 De keerpunten zijn (G): (,0) en (-,0). Deze worden bereikt op de tijdstippen tk, met k geheel. De snelheidsvector is (-sint,sintt). Deze is (0,0) als tk. c. De algemene vergelijking van een parabool met top (a,b) is yp( a) +b. Hier geldt dus: yp +. Het punt (,0) moet op de parabool liggen, dus 0p +, dus p-, dus een vergelijking is: y d. Dan moet sin t t en dat is de stelling van Pythagoras. e. t en - t, dus je krijgt y op het -interval [-,]. 6 a. (,) c. + d. +y e. (t sint) +(t+sint) t tsint+sin t+ t+tsint+sin t t+sin t ( t+sin t) f. mn0, r, ω, t 0 - g. (t+) (t sint sin) (t sint )t sint en sin(t+) (sint +t sin) (sint +t )sint+t 7 a. + y dus +y b. sin t t+( t sin t) sin t t+ t sin t t+sin t t+sin t t+sin t(sin t+ t) 8 b. Je moet laten zien dat +sint(t+sint) oftewel +sint t+sintt+sin t (haakjes) oftewel +sint +sintt (Pythagoras) Dit volgt uit de verdubbelingsformule sint sintt. Uitgebreide antwoorden De Wageningse Methode wiskunde b &6 vwo Hoofdstuk 0
0 c. De lengte is ( ) + ( y ) dt 0 sin(t ) + (t )dt. Dit bereken je met de G. Het resultaat is: 0,8 f g 9 b. Dan moeten en y etreem (maimaal of minimaal) zijn. t 0,,,, (-,) wordt bereikt op de tijdstippen t+k, met k geheel en (,0) op de tijdstippen tk. c. De snelheidsvector is (-sint,sintt) en die is 0 op de in b genoemde tijdstippen. d. y-+ We moeten aantonen dat sin t-t+ oftewel t sin t en dit is een verdubbelingsformule. 0 a. Er geldt: sint en yt. De beweging (sint,t) over de eenheidscirkel wordt dus verticaal ten opzichte van de met factor vermenigvuldigd. Dit geeft een ellips. b. (t,-sint) Paragraaf Lissajousfiguren c., d. Een hoogste punt krijg je als sintmaimaal, dus is t+k t+k. () en ()-, dus (,) en (-,) zijn de hoogste punten. Een laagste punt krijg je als sint- t-+k t-+k. De laagste punten zijn: (-,-) en (,-). e. (-sint,t). f. In de hoogste en de laagste punten is de y- component van de snelheidsvector 0. g. Uiterst links als t- t. Dit geeft het punt (-,0). Uiterst rechts als t t0 of. Dit geeft het punt (,0). De -component van de snelheidsvector is0. h. Dan geldt: t0 en sint0 t of t. De snelheidsvector heeft dan lengte. De snelheid is dan maimaal omdat de - en de y- component van de snelheidsvector dan tegelijkertijd maimaal of minimaal zijn. a. Amplitude vanf ; amplitude van g b. Zie volgende kolom. c. f(t)t (of sin(t )); g(t)sint a. (,y )(8t t,t ) b. Dat is in de hoogste en laagste punten van de baan. t 0 t, t- ; t geeft het punt (,-) en t- geeft het punt (,). c. Dat is in de meest linkse en rechtse punten van de baan. 8t t 0 -t(t )0 t0, -,. t- geeft (8,-) ; t0 geeft (0,0) en t geeft: (8,). d. (- t ) ( - t ) (- t) t t ( t) enzovoort. De baan is symmetrisch in de -as. e. Met de -as: (0,0), (7,0); met de : (0,0 ), (0,0 ). a. 0 t0 of t. De snijpunten met de zijn (0,0) en (0,8). y0 t0 of t-. De snijpunten met de -as zijn (0,0) en (8,0). b. De snelheidsvector is (t,t+). In het laagste punt is y minimaal y'(t)0 t-, dus (,-) is het laagste punt. In het meest linkse punt is minimaal '(t)0 t, dus (-,) is het meest linkse punt. c. Als (,y) op de baan, dan ook (y,), ze worden op tegengestelde tijdstippen bereikt want ((-t), y(-t)) (y(t), (t)). Dus de baan is symmetrisch in de lijn y. d. Als (,y) voldoet, dan ook (y,) want: +yy+ en ( y) (y ). e. Dat gebeurt op t-, de snelheidsvector is dan α (-6,-). Als α de hellingshoek is, dan is tanα, dus α 8. 6 a. f. v 8t + 8 ; v is minimaal als t0. Op t0 is de buiging het sterkst. -as 00 Uitgebreide antwoorden De Wageningse Methode wiskunde b &6 vwo Hoofdstuk 0
6 a. keer ; zie b. b. t t t t -as 0-0 7 a. Hoogste punt als y maimaal sint t of t. Dit geeft de punten (,) en (-,). Laagste punt als y minimaal sint- th of th. Dit geeft de punten (,-) en (-,-). b. Dan sint0 t0,,,,. Dit geeft de punten (0,0), (,0), (0,0), (-,0) en (0,0). c. Dan moet sin t ( sin t) (verdubbelingsformule 7) sin t( t)) sin t+ t en dit is formule 9 (Pythagoras). y is maimaal als ( )0, dus als ±. 8 a. De y-coördinaat is keer maimaal en keer minimaal op [0,], dus periodes op [0,]. De -coördinaat is keer maimaal en keer minimaal op [0,], dus periodes op [0,]. b. (,y)(sint,sint) 9 b. y 0 a. (,,), (,-,), (,,-), (,-,-), (-,,) (-,-,), (-,,-), (-,-,-) b. z-as z-as van voren t0 -as van boven t -as Je kunt het jezelf gemakkelijk maken: an boven zie je de beweging (sint,sint), vanuit de y-richting (sint,sint) en vanuit de -richting (sint,sint). c. Dan z, dus sint t+k t+k B. oor t krijg je (,,) ; van links voor t M : (,-,) en t : (-,0,). Paragraaf Periodiciteit a. : de periode kan niet kleiner zijn, zie plaatje; verder geldt: y(+)y() voor alle. b. t+t dt c. t+tt+( t ) t+t 0 t- of t t of t of tb. Etreme waarden: y() en y(b)-. d. y()0 en y'()0, dus de grafiek gaat door (,0) en heeft daar een horizontale raaklijn, dus raakt de t-as in (,0). a. (verdubbelingsformule 7) Dus y ( ). b. neemt alle mogelijke waarden aan tussen - en. ( ) is maimaal als -, dus (-), dus y is maimaal 8 als +k, met k geheel. ( ) is minimaal 0 als, dus y is minimaal 0 - als k, met k geheel. c. y'()-sin+sin -sin +sinsin ( )0 sin0 of +k of k, met k geheel. Als y(+k ) is de maimale waarde en y(k )- is de minimale waarde van y. a. f(7+a)sin(7+a)+sin(i+a) f(7 a)sin(7 a)+sin(i a) Omdat sinsin( ), geldt: sin(i+a)sin( (I+a))sin(7 a). oor a in de laatste formule -a invullen geeft: sin(i a) sin(7+a). Dus: sin(7+a)+sin(i+a) sin(i a)+ sin(7 a) De grafiek is symmetrisch in de lijn 7. b. c. (+)I ; sini ; 7 a. Een ruit b. α, α c. De beweging loopt α voor op de standaardcirkel-beweging. Als M het snijpunt is van PQ en O, dan OMα, dus de straal van de cirkel waarover beweegt is α. e. Door voor ta te nemen en voor αb a. [ NB: (a b)(b a) en t+α(a+b) ] a. + ; + b. +b-b b ; dit klopt, want -bb en +b b is verdubbelingsformule 7. En: sinb -b sinb. Dit klopt want: -bb en sinb b sinb is verdubbe-lingsformule 6. c. a a en sina sina d. -bb e. sina sinb(a+b) sin(a b) f. In de eerste formule b door b geeft: Uitgebreide antwoorden De Wageningse Methode wiskunde b &6 vwo Hoofdstuk 0
a+(b )(+(a b)) (- +(a+b)) dus: a bsin-(a b) sin(a+b). Want: (b )-b, volgt uit en, (+(a b)) -sin(a b) volgt uit 8 en. (-+(a+b)) sin(a+b) volgt uit en 8. 6 sin+sin(+)( ) sin(+) -7 sin(+7) en -77sinI volgens en 8. 7 sinasina a en dit volgt uit verdubbelingsformule 6. 8 a. a, want sin7 is een constante, heeft dus afgeleide 0. b. -sin(a 7)sin(a+7)+ (a 7) (a+7) c. Dit volgt ook uit formule met α(a+7) en β (a 7). 9 a. Periode f 9, dus de frequentie f Periode g 0, dus de frequentie g 0. Het frequentieverschil is. b. 9, 0 c. 8 0 80 9. d. e. r(t)t sin9t (Simpson) f. Omdat - sin9t g. In de raakpunten is de helling niet 0, in de toppen wel. h. t0 of sin 9t0 t of 9tk, met k geheel t of tk, met k 0,,,..., 9 9. 0 a. f() (Simpson) b. f()0 0 of 0. De kleinste positieve waarvoor 0 is en de kleinste positieve waarvoor 0 is ; de afstand is dus. b. f(t) t sint (Simpson), dus f(t)0 t0 of sint0 t-,, -, 0,. c. f'(t)t+t, dus f'(±)0 en f(±)0, dus de grafiek van f raakt de t-as in (±,0). b. sin( t)+sin(+t)t sin volgens de tweede formule van Simpson. c. amplitude 0,, periode d. sin0 0,,,, e. uitwijking is 0,t, dus amplitude0,, periode, frequentie f. sinof sin- sin of sin k+, k+m of k, k M met k geheel. a. sin+sin sin (Simpson) sin+sin sin (Simpson), dus f() (sin+sin) sin b. f()0 0 of 0 of sin0. De eerste zes positieve waarden van zijn dus:,,,,, Paragraaf Tangens a. A is het punt (,0). yq y De helling van lijn OP Q tant. OA b. Als t+k, met k geheel, want dan snijdt lijn OP de lijn niet meer. yp sin t c. De helling van lijn OP. t a. Teken op de lijn het punt met y-coördinaat -. De lijn door de oorsprong en dit punt snijdt de cirkel in de gevraagde punten. invtan- -,, De punten zijn (t,sint) met t -, en t -,+, dus (0,, -0,9), (-0,, 0,9) b. De tijdstippen t-,+k, met k geheel tussen -7 en 7, dus t-,9, -,,,89,,0 sin a. tan, b. -,, 6 6 P enzovoort, a. Zie het plaatje bij opgave : A is het punt (,0) en B de projectie van P op de. Dan BPO AOQ, dus: OP OQ OQ. BP AO t Omdat het over de lengte van OQ gaat, en die is positief of nul. b. Stelling van Pythagoras in driehoek AQO c. sin t+ t (delen door t) sin t t + tan t + t t (,-) -as b. Als t < en t nadert tot, dan wordt de richtingscoëfficiënt van lijn OP willekeurig groot; als t > en t nadert tot, dan wordt de richtingscoëfficiënt van lijn OP willekeurig klein (negatief). andaar een verticale asymptoot. Zo ook +k met k geheel. Uitgebreide antwoorden De Wageningse Methode wiskunde b &6 vwo Hoofdstuk 0
c. Als t nadert tot, nadert de noemer t tot 0 en de teller sint tot. sin( + ) 6 a. tan(+) ( + ) -sin - b. Tangens is periodiek met periode. sin tan f(k)-k, de buigpunten zijn dus: (k,-k); deze liggen op de lijn y-. b. F'() -sintan c. Oppervlakte F() F(0)ln > ln > 7 a. tana tanb 8 sin a sin b sin a b sin b a sin( a b) a b a b a b volgens formule. b. Neem a+ en b in a, dan krijg je: sin( ) tan(+ ) tan, dus: ( + ) tan( + ) tan sin( ). ( + ) sin( ) Als 0, dan, dus tan( + ) tan. d d sin sin + 9 a. Bijvoorbeeld met de kettingregel: tana a y, da tan a d da d Het kan ook met de productregel: ytan tan, Dan y tan+ tan en je vindt hetzelfde. b. Met de kettingregel: tana a da d da d a tan c. Bijvoorbeeld met de quotiëntregel: 0 y - - tan tan sin d. y + tan, dus je krijgt hetzelfde als in c. 0 a. tan tan of tan- of -, De snijpunten zijn dus (,) en (-,). b. F'() tan, zie opgave b. c. Oppervlakte (F() F(-)) a. f'() tan en f"() tan f"()0 tan0 k met k geheel. ekentechniek an links naar rechts min - als sin, dus als +k ma als sin-, dus als -+k min 0 als -, dus als +k ma als -, dus als k min - als - geen ma min - als -, want y(+) geen ma min - als dus +k ma als, dus als k min - als +k (zie voorgaande) ma als k min - als sin, dus als sin of als sin-, dus +k ma als sin 0, dus als als sin0 k min 0 als k ma als +k min e - als sin-, dus als -+k ma e als sin, dus als +k geen min ma 0 als sin, dus als +k b. min - als, dus als k ma als -, dus als +k a. K: (-t)-(t) en y(-t)y(t); symmetrisch in de L: (-t)(t) en y(-t)-y(t); symmetrisch in de - as M: (-t)-(t) en y(-t)-y(t); puntsymmetrisch in O(0,0) b. ( t)-(t) en y( t)y(t); symmetrisch in de a,b f y c. De grafiek van f is symmetrisch in de, de grafiek van g is puntsymmetrisch in O. g y Uitgebreide antwoorden De Wageningse Methode wiskunde b &6 vwo Hoofdstuk 0 6
a. sin(+)( (+))( ) (+)sin( (+))sin( ), klopt. Symmetrisch in de lijn b. ysin(-)+(-)-sin+ c. y-sin d. g() sin a. - + f ( ) + f ( ) 8 f ( ) b. g() ( sin( )) sin Je kunt eenzelfde soort platje maken. 6 f ( ) 8 + e e + + + e e e - - e e - e -, - ( ) f ( ) f e voor alle 0. e e 7 a. h(a )h(a+)voor alle, of h(a )h()voor alle b. Het gemiddelde van j en k is b, dus: (j()+k())b voor alle Ook: j()+bb k() voor alle c. b k(a+)k(a ) b voor alle 8 an links naar rechts: t invullen in y t + geeft: y + + t y invullen in t t geeft: y y t y invullen in lnt t e, voor y t + geeft: y + t geeft: ( y ) e t e invullen in sint in ysint+ vervangen door geeft: y + sint in sin t vervangen door y geeft: ( y ) - + y + y f ( ) O -as 87 79 K + 6, 6L + + 90, 8B geeft L B 87 79 90, 8 K + 6, 6L + L + 0 L 0 L 7 +, 6 L. L c. A vervangen door q in K 0, A + 0 0 + geeft: K q 0 0 a. Uit de stelling van Pythagoras volgt dat de hoogte van de lantaarn r sinα b. r r, dus r r L sinα, dus r r r r r r L 6 6 6 6 r r r r r a. Noem ded lengte van het pad a, dan is de tijd over de heenweg a en over de terugweg 6 a, dus de tijd over een afstand van a is a a a +, 6 a dus de gemiddelde snelheid is a:,8 km/u b. tt +t c. v t A, v t A, v ta d. A A A +, beide leden van de vergelijking v v v a. delen door A geeft het resultaat. v v e. v v + v b. c. i, + + i, i, dus i i + i, dus (delen door ): + + geeft: +. 9 a. Er geldt: O 6 6 en 6, dus: O 6, dus 0 b. B invullen in L O 6 O en. 6 Uitgebreide antwoorden De Wageningse Methode wiskunde b &6 vwo Hoofdstuk 0 7
Uitgebreide antwoorden De Wageningse Methode wiskunde b &6 vwo Hoofdstuk 0 8