Samenvatting Wiskunde B

Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen met de GR. Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond antwoord indien nodig af. Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond het antwoord niet af. Laat wortels, breuken etc. staan. Bereken met behulp van afgeleide: Bereken met behulp van differentiëren: Bereken de formule van de afgeleide. De rest van de berekening mag met de GR opgelost worden. 1

1. Lineaire vergelijkingen oplossen: + 1 = = 1 = ½ Alles met naar links, alle losse getallen naar rechts.. Tweedegraads vergelijking oplossen (a + b = 0) 3 + 6 = 0 3( + ) = 0 3 = 0 + = 0 = 0 = - Haal de buiten de haakjes.

3. Tweedegraads vergelijking oplossen (a + c = 0) 3 6 = 0 3 = 6 = = = - Herleid tot = getal 4. Tweedegraads vergelijking oplossen (a + b + c = 0) 6 7 = 0 ( + 1)( 7) = 0 = -1 = 7 Ontbindt het linkerlid in factoren. 3

5. Tweedegraads vergelijking oplossen (a + b + c = 0) 5 7 = 0 D = b 4ac = (-5) 4-7 = 81 b D b D a a 5 81 5 81 1 3 1 Gebruik de ABC formule 6. Hogeregraads vergelijking oplossen (Haal,, 3, buiten de haken) 3 3 + = 0 ( 3 + ) = 0 ( 1)( ) = 0 = 0 = 1 = 4

7. Hogeregraads vergelijking oplossen (substitutiemethode) 4 3 + = 0 [Neem = p] p 3p + = 0 (p 1)(p ) = 0 p = 1 p = = 1 = [Schrijf oplossing als =...] = 1 = -1 = = - 8. Modulusvergelijking oplossen + 6 = 5 + 6 = 5 of + 6 = -5 = -1 of = -11 = -½ of = -5½ 5

9. Wortelvergelijking oplossen 1 1 (1 ) 144 4 5 144 0 ( 9)( 16) 0 9 16 o.k. k.n. [Zorg dat links enkel nog de wortelterm staat] [Kwadrateren om wortel weg te werken] [Controleer altijd of de oplossing klopt!!!] 6

10.Gebroken vergelijking oplossen 7 6 ( 7)( 6) ( ) 6 7 4 13 4 15 4 15 [Kruislings vermenigvuldigen] [Let op = en = -6 mogen niet als oplossing want dan heb je een noemer die 0 is.] 7

11. Stelsels van vergelijkingen (Optellen en aftrekken) y 3 3 3 y 6 6 3y 9 6 4y 1 7y 1 y 3 8

1. Stelsels van vergelijkingen (Substitutie) y = + 4 9 + 3y = 6 9 + 3y = 6 9 + 3( + 4) = 6 9 + 3 + 1 = 6 3 + 9 + 6 =0 + 3 + = 0 ( + )( + 1) = 0 = - = -1 9

13.Omzetten eponentiële en logaritmische functies = 7 = log(7) log( + 1) = 3 + 1 = 3 + 1 = 8 = 7 Gebruik de regel: Uit g log() = y volgt = g y 10

14. Eponentiële functies 1 3 7 55 1 3 48 1 16 1 4 4 4 4 Zorg dat alle losse getallen rechts komen te staan. Zorg dat links alleen nog maar een macht staat. Schrijf de vergelijking in de vorm g A = g B Je kunt de grondtallen nu wegstrepen 11

15. Logaritmische vergelijkingen (een logaritme) 5 1 log() 7 5 log() 6 5 log() 3 Zorg dat links alleen nog maar een logaritme staat. 5 3 15 Zorg dat alle losse getallen rechts komen te staan. Gebruik de regel: Uit g log() = y volgt = g y 16. Logaritmische vergelijkingen (meerdere logaritmes) log( ) 1 4 log() 3 3 log( ) log(3 ) log( ) 3 3 1 3 4 log( ) log(3) log(16) 3 3 3 log( ) log(48) 3 3 48 50 voldoet 1

17. Logaritmische vergelijkingen (substitutiemethode) log () 5 log() 6 0 p log() p 5p 6 0 (p )(p 3) 0 p p 3 log() log() 3 3 1 1 4 8 Gebruik de regel: Uit g log() = y volgt = g y Alle regels voor logaritmen gelden ook voor natuurlijke logaritmen: e log() = ln(); Alle regels voor machten gelden ook voor e-machten. 13

18. Oplossen sinusvergelijkingen sin( 1) sin( 3) 1 3 k of 1 ( 3) k 4 k of 1 3 k 4 k of 3 k 1 4 k of k 3 3 3 sin(a) = sin(b) geeft A = B + k π of A = π B + k π 14

19. Oplossen cosinusvergelijkingen 1 cos(3) cos( ) 4 1 1 3 k of 3 ( ) k 4 4 1 1 k of 3 k 4 4 1 1 1 k of 4 k 8 4 1 1 1 k of k 8 16 8 cos(a) = cos(b) geeft A = B + k π of A = B + k π Gebruik indien nodig rekenregels om vergelijkingen van de vorm sin( ) = cos( ) om te schrijven naar sin( ) = sin( ) of cos( ) = cos( ) 15

1. Standaardafgeleide f() = a n geeft f () = na n-1 f() = 7 5 4 4 + 3 3 + 1 geeft g () = 35 4 16 3 + 9. Productregel p () = f () g() + f() g () p() = ( + 6)( + ) geeft p () = [ + 6] ( + ) + ( + 6) [ + ] = 1 ( + ) + ( + 6) ( + ) = + + + + 1 + 1 = 3 + 16 + 1 16

3. Quotiëntregel De afgeleide van q() = t() n() q'( ) n( ) t'( ) t( ) n'( ) ( n ( )) wordt nu: q() q'() q'() q'() q'() 5 8 3 6 geeft (3 6) [5 8]' (5 8) [3 6]' (3 6) (10 8) (5 8) 3 30 4 60 4815 4 15 60 48 (3 6) (3 6) (3 6) (3 6) 17

4. Kettingregel dy dy du d du d y = ( + 6) schrijf je als: y= u met u = + 6 y' dy du du d u ( 1) ( 6)( 1) 5. Afgeleide van een e-macht f() = e geeft f () = e 18

6. Afgeleide van een eponentiële functie f() = a geeft f () = a e log(a) = a ln(a) 7. Afgeleide van een natuurlijke logaritme [ln()]' 1 8. Afgeleide van een logaritme [ log()]' ln(g) g 1 9. Afgeleide van een sinusoïde f() = sin() => f () = cos() g() = cos() => g () = -sin() 19

10. Bepaal de richtingscoëfficiënt (helling) Bij de grafiek y = a + b hoort een r.c. van 11. Bepaal de helling in een punt Bereken de helling in het punt met A = 1 van de grafiek van f() = 3 1 + 1 f () = 3 1 f (1) = 3 1 1 = -9 y yb y B A A 0

1. Het opstellen van een raaklijn Gegeven is de functie: f() = + 3 + 4 Stel de met behulp van de afgeleide de vergelijking op van de raaklijn l in punt A met r.c. = 1 Stap 1: Stel de afgeleide van de functie f() op: l:y = a + b en dus l:y = + b f() = + 3 + 4 f () = + 3 Stap : Bereken wanneer de afgeleide gelijk is aan 1: f () = 1 + 3 = 1 = - A = -1 1

1. Het opstellen van een raaklijn Gegeven is de functie: f() = + 3 + 4 Stel de met behulp van de afgeleide de vergelijking op van de raaklijn l in punt A met r.c. = 1 Stap 3: Bepaal de y-coördinaat van het punt A: y A = f( A ) = (-1) + 3-1 + 4 = Stap 4: Stel de vergelijking van de raaklijn l op: l:y = + b Invullen van A = (-1, ) geeft: = -1 + b b = 3 Hieruit volgt: l:y = + 3

13. Raaklijn aan de grafiek door een bekend punt niet op de grafiek m is een lijn, die de grafiek van f raakt in het punt P. De lijn m gaat niet door de f( P) y A oorsprong. Er geldt nu: f '( p) Gegeven zijn de functie f() = en het punt A(4, 5). Bereken de coördinaten van de raakpunten van de raaklijnen aan de grafiek van f() en het punt A. P A ( ) 5 4 ( 4) = 7 8 = 7 8 + 7 = 0 ( 1)( 7) = 0 = 1 = 7 De raakpunten zijn nu (1, -1) en (7, 47) 3

14. Het raakpunt van twee grafieken Twee grafieken raken elkaar in het punt A. Er geldt: f( A ) = g( A ) EN f ( A ) = g ( A ) Bereken het raakpunt van de functies f() = 1 3 5 en g() = - + 9-13 3 Stap 1: Bereken de afgeleiden van f() en g(). f () = EN g () = - + 9 Stap : Los de vergelijkingen f() = g() f () = g () op: 1 3 5 9 13 9 3 1 3 9 18 0 9 3 1 3 9 18 0 3, 3 3 4

14. Het raakpunt van twee grafieken Twee grafieken raken elkaar in het punt A. Er geldt: f( A ) = g( A ) EN f ( A ) = g ( A ) Bereken het raakpunt van de functies f() = 1 3 5 en g() = - + 9-13 3 Stap 3: Controleer of de gevonden oplossingen kloppen. f(3) = 5 EN g(3) = 5 f(-3) = -31 EN g(-3) = -49 Deze oplossing klopt Deze oplossing klopt niet. Het punt (3, 5) is het raakpunt van beide grafieken. 5

15. Grafieken die elkaar loodrecht snijden In het punt waar twee grafieken elkaar loodrecht snijden geldt: f() = g() f () g () = -1 Bereken eact de waarde van p en de coördinaten van het punt waar de grafieken f() = en g p () = Stap 1: Bereken de afgeleiden van f() en g p () 1 f () = EN g () = p p elkaar loodrecht snijden. 6

15. Grafieken die elkaar loodrecht snijden Bereken eact de waarde van p en de coördinaten van het punt waar de p grafieken f() = en g p () = elkaar loodrecht snijden. Stap : Los de vergelijkingen f() = g() f () g () = -1 op: p 1 p p = = 0 ( ) = 0 = 0 = p p 1 1 Stap 3: = geeft p = 4 f() =, dus de grafieken snijden elkaar loodrecht in (, ) 7

16. Buigpunten In een buigpunt gaat de helling bv. van afnemend stijgend naar toenemend stijgend. (Eén van de vier mogelijkheden) Ga na of de functie f() = 3 + 6 + 4 een buigpunt heeft. Stap 1: Bereken de tweede afgeleide f () = 3 + 6 f () = 6 Stap : Los de vergelijking f () = 0 op. 6 = 0 geeft = 0 Stap 3: Controleer of de afgeleide in het punt met -coördinaat 0 een etreme waarde heeft. Dit is zo, dus er is nu een buigpunt bij = 0. 8

1. Regels primitiveren a n 1 g ln(g) n n1 f() a F() c met n 1 f() g F() c f() e F() e c 1 f() F() ln c f() ln() F() ln() c 1 ln(g) g f() log() F() ( ln() ) c 9

. Primitiveren sinusoïde f() = sin() g() = cos() => F() = -cos() + c => G() = sin() + c 3. Kettingregel voor primitiveren De primitieven van f(a + b) zijn 1 F(a b) c a 1 1 f() 4 1 (4 1) u 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F() u c (4 1) c (4 1) c 4 0,51 4 3 6 30

4. Oppervlakte onder een grafiek Bereken de oppervlakte van vlakdeel V ingesloten door de f() = 4 en de -as en y-as. 4 O(V) (4 )d 0 3 4 1 3 0 1 3 3 3 ( 4 4 ) (0 0) 10 Willlem-Jan van der Zanden 31

5. Oppervlakte tussen twee grafieken Bereken de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van f() = 1 en g() = 5 Stap 1: Bepaal met de optie INTERSECT de twee snijpunten van beide grafieken. Dit zijn -,41 en 1,68 Stap : Merk op dat in het interval [-,41; 1,68] de grafiek van g() boven de grafiek van f() ligt. Willlem-Jan van der Zanden 3

5. Oppervlakte tussen twee grafieken Stap 3: De oppervlakte van het gevraagde vlakdeel kan nu berekend worden met: 1,68 1,68 (g() f())d (5 ( 1))d 13,94,41,41 Integreren met de GR: Y1 = 5 ^ (^ 1) ND TRACE Optie 7 Vul bij Lower Limit -,41 in en bij Upper Limit 1,68 en druk op ENTER Willlem-Jan van der Zanden 33

6. Booglengte Samenvatting Wiskunde B Als je de lengte van de grafiek van f tussen = a en = b wilt berekenen, gebruik je hiervoor de volgende formule: Voorbeeld: Het vlakdeel wordt ingesloten door de grafiek van f() = ln(), de -as en de lijn = 10. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de booglengte. b a 1 (f'()) d 10 1 10 1 1 (f'()) d 1 ( ) d 9,4 1 Willlem-Jan van der Zanden 34

Willlem-Jan van der Zanden 7. Inhoud van een lichaam: Bereken de eact de inhoud van het lichaam L dat ontstaat als V om de -as wentelt. I(L) 4 0 4 0 4 0 f() d (4 ) d 3 4 (16 8 )d 16 3 4 1 5 ( 3 5 1 4 341 51 04 34 3 5 15 4 0 35

8. Inhoud tussen twee lichamen: Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafieken van f() =,5 8 en g() = - en de y-as. Bereken nu de inhoud van het lichaam L dat ontstaat als V om de -as gewenteld wordt. Stap 1: Bereken het snijpunt van f() en g() met INTERSECT. Dit is 1,779 Stap : Omdat f() onder g() ligt in het interval [0; 1,779] is de inhoud van het omwentelingslichaam L nu als volgt te berekenen: I(L) = 1,779 1,779 0 0 1,779 1,779,5 Willlem-Jan van der Zanden (f()) d (g()) ( 8) d ( ) d 18,3 0 0 36

9 Substitutiemethode integreren (Alleen schooleamen) (f g)d = f dg Primitiveer de functie f() = 5( + ) 4 ( + 1) 5( + ) 4 ( + 1) d = 5( + ) 4 d( + ) [Neem + = u] 5u 4 du = u 5 = ( + ) 5 Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = ( + ) 5 + C Let op: Door het handig toepassen van de substitutiemethode krijgt je een functie, die je kunt primitiveren met de regels uit Hoofdstuk 10. 37

10. Partieel integreren (Alleen schooleamen) Voor partieel integreren geldt de volgende regel: gdf = f g - fdg Primitiveer de functie h() = ln() ln()d = ln() d(½ ) [f = ½ en g = ln()] = ½ ln() ½ d(ln()) 1 = ½ ln() ½ d = ½ ln() ½ d = ½ ln() - ¼ H() = ½ ln() - ¼ + C is de primitieve van de functie h() = ln() 38

11. Cyclometrische functies (Alleen schooleamen) De functie f() = heeft als primitieve: F()= arctan() + c De functie g() = arctan() heeft als afgeleide: g () = De functie f() = heeft als primitieve: F()= arcsin() + c De functie g() = arcsin() heeft als afgeleide: g () = De functie f() = 1 1 1 1 1 1 heeft als primitieve: F()= arccos() + c De functie g() = arccos() heeft als afgeleide: g () = 1 1 1 1 1 1 39

1 Breuken herschrijven via staartdeling (Alleen schooleamen) Bereken eact 4 1 51 d 1 Stap 1: Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: + 1 / + 5 + 1 \ maal + 1 = ( + 1) = + + Let op: Hierdoor valt de weg. ---------------- - 3 + 1 + 1 / + 5 + 1 \ + 3 3 maal + 1 = 3( + 1) = 3 + 3 + Let op: Hierdoor valt de 3 weg. ---------------- - 3 + 1 3 + 3 --------- - - 40

1 Breuken herschrijven via staartdeling (Alleen schooleamen) Bereken eact 4 1 51 d 1 Stap 1: Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: 51 De functie f() = 1 kan dus geschreven worden als: f() = + 3 + 1 Stap : De primitieven van de functie f() = + 3-1 zijn: F() = + 3 ln + 1 + C Let op: Staartdelen kan alleen als de graad van de teller groter of gelijk is Dan de graad van de noemer. 41

1 Breuken herschrijven via staartdeling (Alleen schooleamen) Bereken eact 4 1 51 d 1 Stap 3: Bereken nu de gevraagde integraal: 4 4 51 d 3 d 1 1 1 1 3 ln 1 4 1 (4 3 4 ln 4 1 ) (1 3 1 ln 1 1 ) 8 ln 5 5 ln 3ln 5 ln 4

13. Breuken herschrijven, Discriminant noemer kleiner dan 0 (Alleen SE) Primitiveer de functie f() = 1 45 Let op: 1) De discriminant van de noemer ( + 4 + 5) is kleiner dan 0 (4 4 1 5 = -4). Je kunt de noemer niet ontbinden in factoren; 1) De afgeleide van + 4 + 5 is + 4; ) Staartdelen is niet mogelijk. 1 4 5 4 5 d d d 4 5 4 5 4 5 4 5 4 d 45 1 d( 4 5) 45 1 du ln u u ln 45 Door het herschrijven van de functie ontstaan twee breuken die je kunt primitiveren: 1) Gebruik de substitutiemethode (breuk 1); ) Primitieve is de natuurlijke log. (breuk ). 43

13. Breuken herschrijven, Discriminant noemer kleiner dan 0 (Alleen SE) Primitiveer de functie f() = 5 d 45 5 d ( ) 1 5arctan( ) 1 45 Herleiden van de breuk zorgt dat je de tweede breuk kunt primitiveren. De primitieve van de functie f() = 1 45 wordt nu: F() = ln + 4 + 5-5 arctan( + ) + C 44

14. Breuken herschrijven, Discriminant noemer gelijk aan 0 (Alleen SE) Primitiveer de functie f() = 1 44 Let op: 1) De discriminant van de noemer ( + 4 + 4) is gelijk aan 0 (4 4 1 4 = 0); ) De noemer is te schrijven als + 4 + 4 = ( + ) ; 3) De teller is te schrijven als - 1 = + 4 5 = ( + ) 5; 4) Staartdelen is niet mogelijk. 1 ( ) 5 d d 4 4 ( ) 5 d 5( ) d ( ) ln 5( ) 1 Door het herschrijven van de functie ontstaan twee breuken die je kunt primitiveren. 45

15. Breuken herschrijven, Discriminant noemer groter dan 0 Bereken de primitieven van f( ) 8 8 ( 1)( ) Let op: 1) De discriminant van de noemer ( + -) is groter dan 0 (1 4 1 - = 9). De noemer kan in factoren ontbonden worden; 1) De noemer geschreven worden als + - = ( 1)( + ); ) Staartdelen is niet mogelijk. Stap 1: Merk op dat je deze functie niet kunt primitiveren op de manieren zoals geleerd. Dit is op te lossen door de functie f als volgt te schrijven: f( ) a b 1 46

Samenvatting Wiskunde b 15. Breuken herschrijven, Discriminant noemer groter dan 0 Stap 1: a b 1 a( ) b( 1) ( 1)( ) ( 1)( ) a( ) b( 1) ( 1)( ) a a b b ( 1)( ) ( a b) a b ( 1)( ) We kiezen a en b nu zodanig dat (a + b) + a b gelijk is aan + 8 Er geldt nu: a + b = 1 en a b = 8 47

K.4 Breuksplitsen [3] 15. Breuken herschrijven, Discriminant noemer groter dan 0 Stap : Los het nu ontstane stelsel van vergelijkingen op: ab1 ab8 3a 9 a 3 Invullen van a = 3 in a + b = 1 geeft b = -. De vergelijking f( ) 8 8 ( 1)( ) kan dus geschreven worden als: f( ) a b 1 met a = 3 en b = -. Dit geeft: f( ) 3 1 48

K.4 Breuksplitsen [3] 15. Breuken herschrijven, Discriminant noemer groter dan 0 Stap 3: Primitiveer de functie f( ) 3 1 F() = 3 ln -1 - ln + + C 49