Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal kleinere breuken. Het heeft te maken met de Laplace-transformatie en het herkennen van signalen. Het komt vaak voor dat de variabele s genoemd wordt, vandaar dat in de oefeningen ook deze variabele s gebruikt wordt. Het is mogelijk om meer breuken samen te nemen tot één breuk. Het komt neer op het gelijknamig maken van de breuken die je wilt samennemen. De omgekeerde actie heet breuksplitsen. Soms is het gemakkelijk te zien dat bijvoorbeeld een grote breuk in meer kleine breuken gesplitst kan worden: Dat is echter niet altijd gemakkelijk te zien. Daarvoor zijn er wat vaardigheden nodig om te oefenen met pen en papier. Het is niet voor alle opleidingen nodig om deze vaardigheden te kennen. Bij de opleiding elektrotechniek is het wel belangrijk dat je deze vaardigheid op enig niveau beheerst om bij de toepassingen snel de vormen te herkennen en iets te kunnen zeggen over de signalen die met de verschillende functies van s corresponderen. Zie ook een les over Laplace transformaties. Omdat deze vaardigheid vrijwel direct toepasbaar is bij de theorie van de
overdrachtsfuncties en signalen, is het gebruikelijk dat met de variabele s gewerkt wordt. Iedere andere variabele kan echter gebruikt worden in de plaats van de letter s. De bedoeling van deze les is het splitsen van eenvoudige breuken met behulp van pen en papier. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers van de breuken niet gelijk zijn aan 0. Voorbeeld In sommige gevallen is het beter voor de herkenbaarheid van de grafiek, om grotere breuken te splitsen in meer kleinere breuken. De blauwe grafiek ( ) is voor kleine waarden van x (in de buurt van ) het sterkst vertegenwoordigd. De rode grafiek (de lijn
terwijl de functiewaarden van ) is pas van betekenis als de waarden van x groter worden, (blauw) dan juist niet meer veel voorstellen. Voor het begrip van de standaardgrafieken is er een aparte les over functies en grafieken.*** de grafiek van de breuk Laten we de grafiek van de functie eens maken. Deze grafiek is eigenlijk een optelsom van de grafieken en. restart; f:(1+x^2)/x; f1:x; f2:1/x; plot([f1,f2,f],x-5..5,y-20..20,thickness[1,1,3],color[red,blue,black], disconttrue,legend["f1","f2","samengestelde functie f"]);
In de grafiek zijn de afzonderlijke delen van de gesplitste breuk duidelijk te herkennen. De lijn en de standaardhyperbool. Opgeteld geven ze samen de zwarte grafiek van de samengestelde breuk. Zie verder in de les van functies en grafieken ***. Voorbeeld Een voorbeeld van breuksplitsen bij de Regeltechniek: het omvormen van een grote breuk naar meer kleine breuken (partial fraction). breuk:1/(s*(s^2+5*s+4)); breukconvert(breuk,parfrac,s);
Laplace-transformatie Dit soort breuken vind je veel terug bij het vak Regeltechniek waar er gewerkt wordt met Laplace-transformaties. with(inttrans): tijdsfunctie:invlaplace(breuk,s,t); plot(tijdsfunctie,t0..8,thickness2); Iemand die nu iets weet van de inverse Laplace-transformatie kan de verschillende onderdelen van de tijdsfunctie in verband brengen met de gesplitste breuk. Uitleg over het splitsen van de breuk staat in de paragraaf ontbinden van de noemer. 2 Ontbinden van de noemer Als de noemer van de breuk te ontbinden is in factoren, is het splitsen van de breuk mogelijk.
Zoals in het voorbeeld te zien is herkennen we de factoren van de noemer van de breuk. Deze factoren zijn s, ( ) en ( ). Een dergelijke breuk (als de noemer te ontbinden is) is altijd te splitsen in afzonderlijke breuken van de volgende vorm. De kunst is nu om de constanten A en B en C te vinden. Zie paragraaf berekening van constanten. 2.1 Met de computer 1/(s*(s^2-3*s-4)):%convert(%,parfrac,s); 2.2 Berekening van de constanten Het bovenstaande voorbeeld wordt hier uitgewerkt. De grote breuk dient in kleine breuken gesplitst te worden in de volgende vorm die afgeleid is uit de factoren van de noemer van de oorspronkelijke breuk. Ga uit van de de gesplitste vorm waarbij de constanten nog niet bekend zijn. Neem de afzonderlijke breuken weer samen door ze gelijknamig te maken:
Eigenlijk moet dus de gelijkheid met de oorspronkelijke breuk gelden voor élke waarde van s. Omdat toch de noemers links en rechs van de gelijkheid dezelfde zijn, kunnen deze weggelaten worden en krijgen we de volgende gelijkheid. 1 Probeer nu waarden te vinden voor de letters A en B en C zodat deze gelijkheid waar is voor elke s. Uit het hoofd de constanten berekenen Nu kun je uit het hoofd achtereenvolgens de waarden van A en B en C berekenen. Immers de gelijkheid moet voor íedere waarde van s geldig zijn, dus ook voor gemakkelijk in te vullen waarden van s. (Het is onverstandig om voor het doel: het berekenen van de constanten A en B en C, de haakjes weg te werken!) TRUC!! Ga na dat gemakkelijke waarden om in te vullen voor s zijn: en en.. De breuk is dus als volgt te splitsen: 1/(s*(s^2-3*s-4)):%convert(%,parfrac,s);
3 Oefeningen om zelf te doen De volgende oefeningen dienen gedaan te worden met pen en papier. Voor het splitsen van grote breuken kijk je naar de noemer en ontbind de noemer in factoren als dat mogelijk is. Vervolgens kun je de breuk gaan splitsen. Bereken de waarden van de constanten op de manier van paragraaf berekening van de constanten. Hoe meer factoren in de noemer, hoe meer kleine breuken je kunt maken. Aan het eind van de oefeningen staat een overzicht van de verschillende situaties. Zie paragraaf overzicht. Als je met de computer wilt werken met decimale getallen, moeten de getallen in de invoer ook met decimale punt gegeven worden. Zie daarvoor paragraaf decimale getallen. vraag 1 Bepaal de waarden van A en B zodat voor elke waarde van s geldt: 1/((s-1)*(s+2)):%convert(%,parfrac,s); Dus de waarde van A is en de waarde van B is. vraag 2 Bepaal de waarden van A en B zodat voor elke waarde van s geldt: (let op het minteken) s/(s^2-4):%convert(%,parfrac,s);
Dus de waarde van A is en de waarde van B is. (Let op wat de vraag was, er staat een minteken tussen de breuken.) vraag 3 Bepaal de waarden van A en B en C zodat voor elke waarde van s geldt: aanwijzing De noemer kan in drie factoren worden ontbonden. Haal eerst een s buiten haakjes. Verder kan de kwadratische factor nog verder ontbonden worden. (5*s+3)/(s^3-2*s^2-3*s):%convert(%,parfrac,s); Dus de waarde van A is en de waarde van B is en de waarde van C is. (Let op dat hetzelfde is als.) vraag 4 Bepaal de waarden van A en B en C zodat voor elke waarde van s geldt: aanwijzing Misschien valt op dat de kwadratische vorm niet verder te ontbinden is. In een dergelijk geval stel je de teller lineair in een algemene vorm met constanten A en B. Neem de breuken weer samen en probeer, door handige waarden voor s in te vullen, de waarden van de constanten A en B en C te berekenen. (5*s+3)/(s^3-2*s^2+3*s):%convert(%,parfrac,s);
Dus de waarde van A is en de waarde van B is 7 en de waarde van C is 1. vraag 5 Splits de volgende breuk en bepaal de waarden van de constanten. aanwijzing Misschien valt op dat bij het ontbinden in factoren er een dubbele factor ontstaat. Immers kan worden.. Let dan in deze situatie op hoe de breuk gesplitst 1/(s*(s^2+2*s+1)):%convert(%,parfrac,s); Dus de waarde van A is en de waarde van B is en de waarde van C is 1. vraag 6 Splits de volgende breuk in kleine breuken: aanwijzing 1 De noemer is ontbonden in twee factoren dus de breuk kan in tweeën gesplitst worden tot de volgende vorm die natuurlijk weer gelijkwaardig moet zijn aan de oorspronkelijke breuk. Neem de breuken aan de linkerkant van de gelijkheid weer samen en kies handige waarden voor s om de waarden van de constanten A en B te achterhalen. aanwijzing 2 Na het gelijknamig maken van de breuken met de constanten A en B en weglaten van
de noemers links en rechts, moet de volgende gelijkheid voor íedere waarde van s gelden. Substitueer in deze gelijkheid, dan komt er. Substitueer in deze gelijkheid, dan komt er. 2*(s-1)/s/(s+3):%convert(%,parfrac,s); vraag 7 Splits de volgende breuk in kleine breuken aanwijzing Deze breuk kan vereenvoudigd worden tot. Vervolgens is snel te zien dat er niet meer dan van gemaakt kan worden. oplossing s/(s*(s^2+2*s+1)):%convert(%,parfrac,s); vraag 8 Splits de volgende breuk in kleine breuken aanwijzing 1 De noemer van deze breuk bevat een dubbele factor. Zie ook vraag 5 wat te doen in
zo'n geval. aanwijzing 2 De breuk kan altijd gesplitst worden in Neem de breuken weer bij elkaar en achterhaal de waarden van de constanten door handige waarden voor s in te vullen. (s+2)/(s*(s^2+2*s+1)):%convert(%,parfrac,s); vraag 9 Splits de volgende breuk in kleine breuken aanwijzing 1 De kwadratische vorm is niet te ontbinden. Zie ook vraag 4 wat te doen in een dergelijk geval. aanwijzing 2 Stel bij de splitsing ook een van de breuken een breuk met als noemer deze kwadratische vorm en de teller daarvan lineair. (s+2)/(s*(s^2+2*s+2)):%convert(%,parfrac,s); vraag 10 Splits de volgende breuk in kleine breuken:
aanwijzing Misschien is direct al te zien dat de kwadratische vorm niet meer verder te ontbinden is (zie ook vraag 4 en vraag) Dus de splitsing zal er als volgt uitzien: U:53/(s*(s^2+6*s+58)):Uconvert(U,parfrac,s); vraag 11 Splits de volgende breuk in kleine breuken waarbij een parameter is.: aanwijzing 1 Vereenvoudig eerst deze breuk tot dat er geen breuken meer in de breuk staan. (Teller en noemer met vermenigvuldigen.) aanwijzing 2 Vereenvoudigen van de breuk levert:. aanwijzing 3 De noemer bestaat uit twee factoren dus maak twee breuken: en.
U:2*(s-1/tau)/(s*(s+3/tau)):Uconvert(U,parfrac,s); vraag 12 Splits de volgende breuk in kleine breuken aanwijzing 1 Ontbind de noemer zover mogelijk in factoren. aanwijzing 2 Splits in 4 kleine breuken: X: 1/(s^2*(s^2+3*s+2)); convert(x,parfrac,s); 4 Overzicht Om te beginnen kijk je eerst of de graad van de teller kleiner is dan de graad van de noemer Als de graad van de teller namelijk groter of gelijk is aan de graad van de noemer, kunnen er helen uit de breuk gehaald worden, zie voorbeeld 5. Het aantal breuken waarin je een grote breuk kunt splitsen heeft te maken met het aantal factoren waaruit de noemer van de breuk is opgebouwd. Zie voorbeeld 1.
Als de noemer een kwadratische factor bevat die niet ontbonden kan worden, dan stel je de teller lineair. Zie voorbeeld 2. Het is ook mogelijk de kwadratische factor in de noemer anders te schrijven met behulp van kwadraat afsplitsen. Zie voorbeeld 3. (Zie hiervoor paragraaf kwadraat afsplitsen). Als de noemer meervoudige factoren bevat, dan kun je in meer kleine breuken splitsen. Zie voorbeeld 4. voorbeeld 1 De noemer bevat drie verschillende factoren: voorbeeld 2 De noemer bevat een kwadratische vorm die niet verder ontbonden kan worden: voorbeeld 3 Bij voorbeeld 2 kan de kwadratische noemer ook anders geschreven worden. voorbeeld 4 De noemer bevat meervoudige factoren:
Vervolgens kun je de getallen en berekenen. voorbeeld 5 De graad van de teller is evengroot als de graad van de noemer. 1 + 1 + Zie nu weer verder als voorbeeld 4. (s^2+5)/(s^2+2*s+1):%convert(%,parfrac,s); 5 Met kwadraat afsplitsen Een kwadratische vorm die niet te ontbinden is in lineaire factoren, kun je ook anders schrijven met behulp van een afgesplitst kwadraat. Ga na dat dit klopt door de haakjes weg te werken. oefening 1
Splits het kwadraat af van restart; with(student): x^2+4*x+5; %completesquare(x^2+4*x+5); oefening 2 Splits het kwadraat af van restart;with(student): x^2+4*x+15; %completesquare(%); oefening 3 Schrijf de noemer met afgesplitst kwadraat restart; with(student): (s+1)/(s^2-2*s+3);numer(%) /completesquare(denom(%));
andere schrijfwijze Ga na dat de volgende gelijkheid geldt: 6 Numerieke berekeningen Stel dat de ontbinding van de noemer in factoren wel mogelijk is maar heel slecht uitkomt.... Meestal zijn dat dan geen vraagstukken die met pen en papier gedaan worden. Het principe van het splitsen van de breuk blijft echter wel hetzelfde. (Zie ook de paragraaf 4 met het overzicht.) We doen dergelijke splitsingen dan ook liever met de computer. Enkele voorbeelden volgen hieronder waarbij je de vormen moet kunnen herkennen. Je kunt daarbij de breuken een beetje veranderen en steeds kijken wat de breuksplitsing oplevert. voorbeeld a Als je in de invoer een decimale punt hebt, dan gaat Maple automatisch over op de numerieke rekenwijze eventueel het aantal decimalen bijvoorbeeld op 2 zetten. restart; breuk:(3.0+s)/(s^3+5.2*s+1):%convert(%,parfrac,s); toelichting De derdegraads noemer is te ontbinden in een lineaire factor en een kwadratische factor. denom(breuk)factor(denom(breuk)); Er kan dus gesplitst worden in twee kleinere breuken. Als de noemer kwadratisch is, wordt de teller lineair. met minder decimalen Er staan wel erg veel decimalen in de bovenstaande ontbinding. Als je iets minder decimalen wilt hebben, bijvoorbeeld 2 decimalen. restart;interface(displayprecision2):breuk:(3.0+s)/ (s^3+5.2*s+1):%convert(%,parfrac,s); denom(breuk)factor(denom(breuk));
voorbeeld b restart; breuk:(3.0+0.2*s)/(s^3-5.2*s^2+1):%convert(%, parfrac,s); toelichting De derdegraads noemer is te ontbinden in drie lineaire factoren. denom(breuk)factor(denom(breuk)); Er onstaan dus drie kleinere breuken met alle constante tellers. voorbeeld c restart; interface(displayprecision2):breuk:(s+1)/(s^3+1.0* s^2+.25*s):%convert(%,parfrac,s); toelichting De derdegraads noemer is te ontbinden waarbij er een dubbele factor ontstaat. denom(breuk)factor(denom(breuk)); Daarom is de splitsing van de vorm