Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine ladzijde 8 V-a Een snijpunt met de x-as heeft y-oördinaat gelijk nul. = x + = x x = klopt! Begingetal (startgetal) = en hellingsgetal a = y= ax+ y= x x = x+ x = x = d y= + = of y= = V-a d Stel een vergelijking op en los op: x = 7x+ 8 x = x = y= = of y= 7 + 8 = De oördinaten van het snijpunt zijn (, ) Stel een vergelijking op en los op: 9, x+, =, x 7, 9, x, x= 7,,, x =, x, y= 9,, +, =, of y=,, 7, =, De oördinaten van het snijpunt zijn (,;,). Stel een vergelijking op en los op: x + = 7 x = 7 5 x = 7 5 x = = 7 7 5 y = + = 7 7 De oördinaten van het snijpunt zijn ( ; ) 7 7 Stel de vergelijking op en los op: 5, x, 5 = x+ 8 x+ x= + 8 x = 8 8 x = = = 8 y = 5,, 5 = of y =. 8 + = De oördinaten van het snijpunt zijn (, )
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde 9 V-a De door Ans afgelegde weg is evenredig met de tijd. In uur loopt Ans 5 kilometer. s = 5t. Bas legt in uur 8 kilometer af. Op t = is zijn afstand tot Capelle aan den IJssel 7 kilometer. s = 7 8t. Stel een vergelijking op en los op: 5t = 7 8t 5t + 8t = 7 t = 7 7 t =, uur 8 minuten Dus op 8 minuten over passeren Ans en Bas elkaar. V-a Het gewiht zakt = entimeter over 5 9 = uur. Per uur zakt het gewiht dus = entimeter. Neem t de tijd in uren met t = op uur s middags en h de afstand in m van het gewiht tot de klok. Je vindt dan: h= + t 95 = + t t =, 5 De klokt stopt om kwart over vijf s middags. V-5a Voor x = is x kleiner dan x. Voor x = is x groter dan x. Dus snijdt de grafiek van y = x die van y = x voor x ergens tussen en. x,5 y = x,5 y = x,,58,7 Dus ligt de x-oördinaat van het snijpunt tussen,5 en. x,5,,7,8,9, y = x,5,,7,8,9, y = x,58,,,7,7,7 De x-oördinaat van het snijpunt ligt tussen, en,7. d Evenzo vind je dat de x-oördinaat van het snijpunt ligt tussen, en, en dat de x-oördinaat van het snijpunt ligt tussen,8 en,9. Dus is de x-oördinaat van het snijpunt in twee deimalen nauwkeurig,. V-a Met letterrekenen vind je: t = of t = 9, dus t = of t 987, of t 9, 87 Met inklemmen vind je t, Met letterrekenen vind je:, t = 7dus t,
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde a Y= x x TI: GRAPH CASIO: DRAW (F) y 8 9 8 7 5 5 7 8 9 x 8 a Y=, 5x xmin = xmax = ymin = ymax = ymin = 8 ymax = a Bij ymin = en ymax = krijg je de grafiek goed in eeld. TI: TRACE CASIO: SHIFT Trae top (, 9) snijpunt met de y-as (, 9) snijpunten met de x-as: (,9;,) en (,;,98) Je het een sleht eeld van de grafiek; de nulpunten en de top zijn niet goed te zien. ladzijde a x 5 y 7 5 5 7 5 y 8 5 5 x Aflezen uit de grafiek geeft voor de top: (,5; 5,5).
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde 5 Y= x + 7x xmin = xmax = ymin = ymax = 5 x 5 7 8 9 y 9 9 5 9 9 5 9 9 y 8 5 x 7 8 9 8 a Y= x x x+ 8 xmin = xmax = 5 ymin = ymax = 5 7a Oppervlakte = lengte reedte = 7 = m De lengte = = 5 m dus de oppervlakte = 5 = 5 m y 5 5 x 5 Y= x x xmin= xmax = ymin= ymax = B 5 O 9 5 5 d Bij de top is de oppervlakte het grootst. Aflezen: O 5,m.
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde 8a De rehter grafiek geeft de grafiek het est weer. Kies y max kleiner (maar wel positief). y = 9a TI: nd TBLSET TlStart= Tl= nd TABLE CASIO: MENU TABLE RANG (F5) START: END: pith: TABL(F) De kleinste y-waarde is,. Met TRACE vind je dat de y-oordinat van punt A ligt tussen en. Met TRACE vind je dat de x-oördinaat van punt B ligt tussen en en dat de x-oördinaat van punt C ligt tussen en 7. a d t telt de tijd vanaf het moment dat de steen is gegooid. t is dus altijd positief. h meet de hoogte van de steen oven het ravijn. h is dus ook altijd positief. Ongeveer + = 5 meter. Ongeveer 5 seonden. Kies xmin = xmax = 5 ymin = ymax = 5. Deze vensterinstelling geeft een goed eeld van de grafiek. ladzijde a xmin = xmax = ymin = ymax = xmin = xmax = ymin = ymax = 99 xmin = 5 xmax = 5 ymin = ymax = a xmin = xmax = ymin = ymax = a xmin = xmax = 8 ymin = ymax = Y= 9 x+ 8 TRACE geeft y 85, ij x, 5 dus ijfer 8,5. TRACE geeft x 9 ij y 55, dus 9 punten. d Cijfer = 8, hoort ij punten. Dit hadden er + = moeten zijn. Het uiteidelijk ijfer ij punten is een 8,. 5
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde a Y= 5+ 5, 8 x TI: nd TBLSET TlStart= Tl= nd TABLE CASIO: MENU TABLE RANG (F5) START: END: pith: TABL(F) Tussen en minuten is de temperatuur C. Na ongeveer,8 minuten. Y = 5 xmin = xmax = ymin = ymax = d TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft x 8, dus na ongeveer,8 minuten (dat is minuten en 7 seonden) is de thee 5 C. e Neem Y = 7 Als ij d krijg je nu x 5, dus na ongeveer,5 minuten (dat is minuut en 9 seonden) is de temperatuur 7 C. ladzijde 5 5a In een woonwijk wordt zeker niet harder gereden dan 5km/uur. Y=, 5x +, x Y = xmin = xmax = 5 ymin = ymax = TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft x, dus ij v, km/uur is de stopafstand meter. Y = 8 xmin = xmax = ymin = ymax = TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft x 97, 7 dus ij v 97, 7 km/uur is de stopafstand 8 meter. a Y= +, 5x Y =, 9x xmin = xmax = 5 ymin = ymax = TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft x 5 en y 58, 5 dus het snijpunt is (5; 58,5). Minstens keer om voordeliger te zijn.
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde 7a De huurprijs neemt met e,- per duizend kopieën toe. Dat kun je zien aan het hellingsgetal van de lineaire formule. Y= 5+ x Y = xmin = xmax = ymin = ymax = 5 TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft x 99 dus men kan 99 = 99 kopieën maken voor e,-. In plaats van de rekenmahine kun je letterrekenen geruiken: 5 + a = a = 5 8a 95 a = = 98, 75 99 Y = + x TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft x 8 dus ij 8 kopieën is de onurrent voordeliger. In plaats van de rekenmahine kun je letterrekenen geruiken: 5 + a = + a a a = 5 9a = 5 a = 8 5 9 Letterrekenen is hier sneller: 8 t = t = t = Dus een auto van jaar oud heeft nog een waarde van e,- Y= 8 x Y = 8 8, x xmin = xmax = ymin = ymax = 8 TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft x 79, Dus na ongeveer 7 jaar is de auto ij eide verzekeringsmaatshappijen (ongeveer) e 7,- waard. Y= 9 Bij de eerste verzekering is na,5 jaar ( x 5, ) de auto nog e 9,- waard. Bij de tweede verzekering is na, jaar ( x, ) de auto nog e 9,- waard. Het vershil is dus, jaar. ladzijde 9a [, ] en [, ] en [8, ] [, ] en [, ] uur d C op de top e C 7
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde a Y= 75x 5x + xmin = xmax = ymin = ymax = 5 TI: ZOOM :ZOOM IN gevolg door TRACE CASIO: SHIFT ZOOM IN(F) gevolgd door SHIFT TRACE Ga met de ursor zo goed mogelijk op de top staan. Top (,;,9) TI: nd CALC :maximum CASIO:SHIFT G-Solve MAX(F) geeft Top (,57;,89) ladzijde 7 a aarde water luht maximum C C 5 C minimum C 8 C C Ongeveer uur later. De watertemperatuur heeft een maximum om 9. uur. De luhttemperatuur heeft een maximum om 5. uur, dus uur later. a Omdat je moet delen door t +, dat kun je zien aan de reukstreep. Y= x/( x + ) xmin = xmax = ymin = ymax = TI: nd CALC :maximum CASIO:SHIFT G-Solve MAX(F) geeft maximum C, mg/liter Y = TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft x 5, Dus na ongeveer t 5, uur minuten. d Het tweede snijpunt ligt ij t uur dus na uur moet de tweede injetie gegeven worden. a Y = + 7, x Y =, 55 xmin = xmax = ymin = ymax = 5 TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft s Letterrekenen is hier sneller: 5, s = + 7, s 5, s 7, s = 8, s = s = Noem de verkoopprijs V, stel de vergelijking op en los op met letterrekenen: + 7, = V = V V = 7, Dus de verkoopprijs moet e,7 zijn. 8
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Bij p =, geldt s =, = 7 Dus TK = + 7, 7 =, - en TO =, 7 = 78, - Het edrijf maakt winst omdat TK < TO. d Y = 8 + x x xmin = xmax = ymin = ymax = 5 TI: nd CALC :maximum CASIO: MENU GRAPH DRAW(F) SHIFT G-Solve MAX(F) geeft dat ij p 58, de TW maximaal is. e Dan is de maximale TW e 8, ladzijde 8 a t in jaren 5 K in e 5, 5, 58, 5955,8,8 9, 79, K in 75 7 5 55 5 d e 5 t in jaren Op -- werd 58, 5, = e 8, rente ijgeshreven. Op -- werd 79, 9, = e,7 rente ijgeshreven. De grafiek is toenemend stijgend dus elk jaar wordt het renteedrag hoger. 5a d e Van 7. 8. uur en van.. uur steeg het water het sterkst. Van.. uur daalt het water m. Dat is de sterkste daling in één uur. De veranderingen in waterhoogte worden veroorzaakt door e en vloed. Bij e daalt het water omdat er dan een stroming naar de zee toe is. Bij de sterkste daling is er dus een stroming naar de zee toe. Vanaf 7. uur wordt de stijging minder snel. De grafiek is na 7. uur afnemend stijgend. ladzijde 9 Tussen A en B afnemende stijging; tussen B en C afnemende stijging; tussen C en D toenemende daling; tussen Den E onstante daling; tussen E en F afnemende daling en tussen F en G toenenemende stijging. 9
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde 7 De d-verkoop vertoont een afnemende daling. De groei stagneert dus is de groei vrijwel. De werkloosheid vertoont een afnemende stijging. 8a Y= x Y =, 5x xmin = xmax = ymin = ymax = t 5 5,55 h = t 5 5,, 8,5 h =,5t,5 5, - - h in m 5 5 5 5 t in uren Het oliepeil van lampje vertoont een onstante daling. Het oliepeil van lampje vertoont een toenemende daling. Lampje randt uur want uit = t volgt t =. Lampje randt,55 uur want uit =, 5t volgt t = dus t =, 55 uur (opmerking: de oplossing t, 55 vervalt natuurlijk!) d TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft t 7, dus na,7 uur is het oliepeil van lampje lager als die van lampje. 9a Het oliepeil van het eerste lampje daalt in het eerste uur 9,85 =,5 m. Het oliepeil van het tweede lampje daalt in het eerste uur m. Dat kun je zien aan het hellingsgetal. Het oliepeil van lampje daalt elk uur m. Het oliepeil van lampje daalt in het vierde uur ook ongeveer m. Dus in het vierde uur dalen de twee oliepeilen ongeveer even snel.
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde a d In het -de uur is de temperatuur het meest toegenomen. In het -de uur is de temperatuur,5 C toegenomen (dus,5 C afgenomen). Een staafje met een rood olletje geeft aan dat het om een afname gaat. Om 7 uur is het C. Om 8 uur is het + = C. Om 9 uur is het + = 5 C. ladzijde a leeftijd in jaren 5 7 8 9 lengte in m 57 78 9 9 8 5 lengte in m 5 75 5 5 5 7 8 9 t in jaren Zie het toenamediagram ij opdraht a. Op zijn 9-de verjaardag was Filip + = m lang. a p 5 R 5 7 9 5 R 5 5 p t 5 K 8, 5,,9,78, K 9 5 t
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde a 5 h 5 8 9 8 5 h 9 5 a a d Kies h voor de hoogte in kilometer. En kies T voor de temperatuur in C. T in graden 5 5 5 8 h in km De langste staaf in het toenamediagram is 55 C. Voor h = is T =, dus voor h = is T = + 8 5 = C. De grafiek van T heeft een maximum daar waar het toenamediagram overgaat van een toename naar een afname (dus waar het toenamediagram een nulpunt heeft). a In de eerste 5 jaar groeide Titia 5 + + + 9 + 8 = 55 m. Je kent de lengte van Titia ij haar geoorte niet. De toenames zijn afnemend. d Bij de geoorte was Titia dus 55 = 57 m. e leeftijd in jaren 5 7 8 9 lengte in m 57 7 85 95 9 7 5 toename in m 5 5 5 7 8 9 leeftijd in jaren ladzijde 5a h in m 5 5 t in minuten
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Linker vaas: h = = m. Rehter vaas: h = 5, 5 = m. Linker vaas: t = geeft h = m en t = 5 geeft h = m Dus de toename in de 5-de minuut is m. Rehter vaas: t = geeft h = m en t = 5 geeft h =, m. Dus de toename in de 5-de minuut is, m. d In de linker vaas stijgt het waterpeil met m per minuut. Maak een tael in je rekenmahine en zoek waar het waterpeil in de rehter vaas ook m per minuut stijgt. Dat lijkt na ongeveer minuten zo te zijn. a Y= x + 5 Y = x xmin = xmax = ymin = ymax = 8 8 TK in 5 5 TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft t 7 dus vanaf 7 ontainers per maand maakt de koffierander winst. Y = x x 5 xmin = xmax = ymin = ymax = 5 TI: nd CALC :maximum CASIO: MENU GRAPH DRAW(F) SHIFT G-Solve MAX(F) geeft dat ij de TW maximaal is. d De maximale TW is e,7. 7a De toename vermindert in het jaar 99. In 99 is dus de maximale snelheid ingevoerd. Eind 99 zijn er 9,7 doden per miljoen inwoners. Dus eind 99 zijn er 9,7 +, = 5,9 doden; eind 99 zijn er 5,9 +,5 =,; eind 99 zijn er, +, =, en eind 99 zijn er,, = 7, doden per miljoen inwoners. Eind 989 zijn er 9,7 9, = 8, doden per miljoen inwoners. Dus de afname per jaar moet zijn 7, 8,=5, over 995 = 5 jaar dus 5,/5 = 7, per jaar per miljoen inwoners. toename in aantal verkeersdoden 5 7 8 9 99 99 998 tijd in jaren
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde 8a De module geeft het aantal vierkante meter dat elke voetganger tot zijn eshikking heeft dus module= / =,75 m /voetganger. Y= 87 /( x+, 5) xmin = xmax = ymin = ymax = 87 snelheid in m/s 9 8 7 5 d e 5 7 8 9 module in m /voetganger Er zijn seonden nodig om meter af te leggen dus de snelheid is /x=5 meter/minuut. Y = 5 TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft dat M 5, m /voetganger. 5 km/uur 8 meter/minuut Y = 8 TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft dat M 5, m /voetganger dus je kunt inderdaad ongehinderd lopen. De tunnel is meter reed. Per minuut verlaten dus Vx/M voetgangers de tunnel. Y= ( 87 /( x+ 5, )) / x TI: nd CALC :maximum CASIO: MENU GRAPH DRAW(F) SHIFT G-Solve MAX(F) geeft dat ij M 5, de maximale apaiteit van de tunnel 9 voetgangers per minuut is. ladzijde I-a Een rode stip geeft een afname aan; een groene een toename. Bij 55 C is het langste rode staafje. De temperatuur daalt 5 C ij een stijging van 9 km naar km hoogte. d C e Neemt de temperatuur lineair toe dan zijn de staafjes in het toenamediagram even lang. f Bij elke stijging van km neemt de temperatuur met 5 C toe. Van naar km hoogte is de temperatuurtoename dus 8 5 = C.
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde 5 I-a Filip was ij de geoorte het langst. Na zes jaar was Naomi het langst. Vanaf de eerste verjaardag loopt de grafiek van Naomi steiler dan die van Filip. In het toenamdiagram zie je dat vanaf de eerste verjaardag de toenames van Naomi groter zijn dan die van Filip. I-a De grafiek daalt het meest tussen en 8. Een sterke afname hoort ij een sterk dalende grafiek. In het toenamediagram vind je dan een lang staafje met een rood olletje. De grafiek is tussen twee meetpunten lineair. Het toenamediagram is tussen twee meetpunten onstant; de staafjes zijn evenlang. I-a y 5 5 7 8 9 x y 5 5 7 8 9 x y 5 x 5 7 8 9 y 5 x 5 7 8 9 5
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Je herkent een toenemende stijging aan groter wordende toenames. Je herkent een afnemende stijging aan minder groot wordende toenames. Je herkent een onstante stijging aan gelijk lijvende toenames. Je herkent een toenemende daling aan groter wordende afnames. Je herkent een afnemende daling aan minder groter wordende afnames. Je herkent een onstante daling aan gelijklijvende afnames. I-5a Drie week na de vondst van veel eieren verdwijnen evenveel eieren. (Predatie veroorzaakt een geleidelijk verlies van eieren.) weeknummer 5 7 8 9 aantal eieren N 8 59 Nj 9 8 7 5 5 7 8 9 weeknummer N 5 7 8 9 weeknummer d De top van de grafiek van N herken je in het toenamediagram als een overgang van toename naar afname. ladzijde 8 T-a t ligt tussen en 5 seonden. xmin = xmax = 5 ymin = ymax = Y= x x + 7 TI: nd CALC :value x=5 CASIO: MENU GRAPH DRAW(F) SHIFT G-Solve Y-CAL(F) geeft h = 57 m d TI: nd CALC :minimum CASIO: MENU GRAPH DRAW(F) SHIFT G-Solve MIN(F) geeft t, seonden.
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde T-a RAC: TK = 5, k + AVO: TK =, k + 5 Letterrekenen is hier het snelst: 5, k+ =, k+ 5 5, k, k = 5. k = Bij kilometer zijn ze even duur. Ook hier is letterreken mogelijk: 5, k+ =, k+ 5 5, k, k = 5 k 7 Bij 7 kilometer zijn ze even duur. T-a Y=, x + x xmin = xmax = ymin = ymax = 5 h in m 8 5 5 a in m TI: nd CALC :zero CASIO: MENU GRAPH DRAW(F) SHIFT G-Solve ROOT(F) geeft a = dus na meter komt de al weer op de grond. TI: nd CALC :maximum CASIO: MENU GRAPH DRAW(F) SHIFT G-Solve MAX(F) geeft h = meter. d TI: nd CALC :value x=8 CASIO: MENU GRAPH DRAW(F) SHIFT G-Solve Y-CAL(F) geeft h =, m. Dat is te hoog voor de medespeler. De medespeler kan de al dus niet innenhouden. T-a In juni was er een afnemende daling. De maximale waterhoogten zijn,8 m en, m. hoogte in m 5 7 8 9 tijd in maanden 7
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde d In maart is de toename het grootst. e In mei was de daling het sterkst:,7, =, m. ladzijde 9 T-5a Y=, x + x + 5 Y=, 5x+ xmin = 5 xmax = ymin = ymax = TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft (,;,8) en (,;,55). TI: nd CALC :zero CASIO: MENU GRAPH DRAW(F) SHIFT G-Solve Y-CAL(F) geeft (, ). TI: nd CALC :maximum CASIO: MENU GRAPH DRAW(F) SHIFT G-Solve MAX(F) geeft (5,;,). T-a Y = 9 9, x xmin = xmax = ymin = ymax = 9 TI: nd CALC :value x= CASIO: MENU GRAPH DRAW(F) SHIFT G-Solve Y-CAL(F) geeft A = 77. Y = TI: nd CALC 5:interset ENTER ENTER < of > ENTER geeft t =,8 jaar dat valt in het jaar 9. TI:nd TBLSET TlStart= Tl= CASIO:MENU TABLE RANG(F5)Start: End:5 pith: geeft t = jaar dus in het jaar. T-7a Omdat minstens voor één jaar de wereldevolking gegeven moet zijn.,7 miljard = 7 miljoen tijd in jaren 9 95 95 975 5 5 75 wereldevolking in miljoenen 8 58 8 7 8 7 8 88 89 wereldevolking in miljoenen 8 95 5 tijd in jaren In het jaar is de grafiek het steilst. 8
Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde T-8a eindtijd t 7: 7: 7: 7: 7: 7:5 8: 8: toenames voor N 5 5 7 5 5 Omdat minstens voor één eindtijd het aantal auto s op het aanvak gegeven moet zijn. Bereken eerst het aantal auto s op het aanvak voor elke eindtijd. Reken ook de tijd in uren en minuten om naar uren. Bijvooreeld eindtijd 7: wordt 7,7 uur. eindtijd t 7, 7,7 7, 7,5 7,7 7,8 8, 8,7 aantal N 9 5 5 5 8 55 5 aantal 5 5 5 5 5 7 7, 7, 7, 7,8 8 8, eindtijd Het aanvak is 8 km lang. Heeft elke auto meter tot zijn eshikking dan zijn er 8x/ = auto s op het aanvak. Er is dus kans op file-vorming van ongeveer 5 minuten over 7 tot 5 minuten voor 8. 9