Vraag (.) () Controeer inproduct (.2) (.3) (.4) Het vodoet aan ae voorwaarden (2) Controeer endomorfisme dom(t) = C^{2,2} bij het vermenigvudigen van vierkante matrices bijft de dimensie geijk, zo ook bij opteing im(t) \subs C^{2,2} bijft in C^{2,2} ineariteit: (3) matrixvoorsteing (.5)
(.6) (.7) (4) inverteerbaar Is dus inverteerbaar voor ae p \in R en de waarden C \{4I, 2+2I} (5) voor weke waarden groter dan (.8) (.9) (.) (.)
(.2) Hier is de dimensie van de kern en de rang van de matrix 3 (.3) (.4) (.5) Hier is de dimensie van de kern 2 en de rang van de matrix 2 Vraag 2 (2.) () Controeer inproduct (2.2) (2.3)
(2.4) Het vodoet aan ae voorwaarden (2) Controeer endomorfisme dom(t) = C^{2,2} bij het vermenigvudigen van vierkante matrices bijft de dimensie geijk, zo ook bij opteing im(t) \subs C^{2,2} bijft in C^{2,2} ineariteit: (3) matrixvoorsteing (2.5) (2.6)
(2.7) (4) inverteerbaar Is dus inverteerbaar voor ae p \in R en de waarden C \{5I, 2+3I} (5) voor weke waarden groter dan (2.8) Mape vindt p niet euk... trouwens 2+3I is toch negatief :P (positief en negatief zijn aan ekaar geijk maar enke 5I) (2.9) (2.) (2.) (2.2) Hier is de dimensie van de kern en de rang van de matrix 3 (2.3) (2.4)
(2.4) (2.5) Hier is de dimensie van de kern 2 en de rang van de matrix 2 Vraag 3/4 (3.) (3.2) () A \in V (3.3) (2) det(i + x) = 2^tr(x) Eigenwaarden van A zijn of aangezien het geschrijven kan worden as A^2=A <=A(A) =, de det((x+i) (ambda+i).i) za dan en 2 zijn dan nog de mutipiciteit van de eigenwaarde 2 dat is de som van de eigenwaarden aangezien deze of zijn kan de trace genomen woren (3) dom is goed ook de image is goed en in ook goed T is geen endomorfisme op V aangezien V \subs im(t)
(3.4) (3.5)
(3.5) (5) Inverteerbaar Dus A is niet inverteerbaar We kunnen M opspitsen (3.6) (3.7) Dus M is ook niet inverteerbaar contoe: (6) diagonaiseerbaar (3.8) (3.9) (3.) (3.) (3.2)
(3.2) Dus de matrix is diagonaiseerbaar (3.3) (3.4) Vraag 5 (4.) (4.2) () A \in V (4.3) (2) det(i + x) = 2^tr(x) Eigenwaarden van A zijn of aangezien het geschrijven kan worden as A^2=A <=A(A) =, de det((x+i) (ambda+i).i) za dan en 2 zijn dan nog de mutipiciteit van de eigenwaarde 2 dat is de som van de eigenwaarden aangezien deze of zijn kan de trace genomen woren (3) dom is goed ook de image is goed en in ook goed T is geen endomorfisme op V aangezien V \subs im(t)
(4.4) (4.5)
(4.5) (5) Inverteerbaar Dus A is niet inverteerbaar We kunnen M opspitsen (4.6) (4.7) Dus M is ook niet inverteerbaar contoe: (6) diagonaiseerbaar (4.8) (4.9) (4.) (4.) (4.2)
(4.2) Dus de matrix is diagonaiseerbaar Vraag 6 (4.3) (4.4) (5.) () T end zie eerste vraag (2)Matrixvoorsteing (5.2) (5.3) (3) Inverteerbaar (5.4) (5.5) Is dus voor R \{/2, /6, /2}
(4) Basis voor kern en im (5.6) (5.7) Kern is hier (5.8) (5.9) Kern is hier
(5.) (5.) kern is hier Mape doet hier rare dingen dus beter met hand maar tekensen M[..4,..5] is de image (5) (5.2) (5.3) Dan is de kern {} en de im is de standaardbasis (6) diagonaiseerbaar (5.4)
Dus k moet groter of geijk zijn aan /2 (7) (5.5) (5.6) (5.7) (5.8) (5.9) dus apha geijk aan, beta geijk aan en gamma geijk aan 2 (5.2) Vraag 7 (6.) (6.2) () een orthogonaa ste (6.3)
(2) dim van W aangezien dat ().x^5+x^3+ = x^5+x^3+ is de dim van W 3 (6.3) (6.4) (6.5) (6.6) (6.7) (6.8) (3) uitbreiden tot orthogonae base (6.9) (6.) (6.) (6.2)
(6.2) (6.3) (6.4) (4) Matrix voorsteing van orthogonae projectie (6.5) Daarna in matrix zetten best standaard matrix (5) (6.6) (6.7)
Vraag 8 (7.) (7.2) () een orthogonaa ste
(2) dim van W aangezien dat ().x^5+x^2+ = x^5+x^2+ is de dim van W 3 (7.3) (7.4) (7.5) (7.6) (7.7) (7.8) (3) uitbreiden tot orthogonae base (7.9) (7.) (7.) (7.2)
(7.3) (7.4) (4) Matrix voorsteing van orthogonae projectie (7.5) Daarna in matrix zetten best standaard matrix (5) (7.6) (7.7)
! I j r r t ' ~ t + " r î î t T. r i t Î T f : +.,._ r L + i f r r r
r [ ~++++++ r f ++++ y " " r I + " f L + " + ++t++++++++ : " + ~ +++t+++ ~. _: r t++++++ ~ ~++ +++ +++++++++ t ++~+++++ +++++++ ~ t r j t i t ~ ~ [ t L ~ t! ~ [. L... +++++ f ++++i+t+++ f ++++ ++!+ " f t r " î r
î î. f [ i r i T ~ I h r î L T. t f t T
r' tt'! t t tii' _f_} (f) t ~ ~ r t t t,,, I t ~~ ~ ~ r i ~ ~ i J~ r J f { J ~ J J4 ~ J = J i ' r Î + f f ; ~~o f ~ ti ~ + +. )ï,i. ( ata ~ ' w b 7 B ~ ~,r ~r ~! ::: ~<~!~"~'~. t '; " ~M " ( ~ : 7 _ (!, ~ ~ " C: ~L ~ ~, ' ' ~ '! ~ _,..._ ' ~4~ +..i A.. ~ ) ''Y ' J,_ ~ 98~..,.tL. y [ rn., i..." + J4 )(' ::: o r I S)<~ _g ~ 6.,., ' ~ î î î j r t f t î I j" ~ ~ ~ ~ r t 2 :. ~ y "~. X5 ~ trt) t ~ t ( ~J + î ff (A) P3 t! i =() _{A) V' r i r f ~ ',, :;; ~ t ~, (~ tj ~ ~ ~ ' ~,, ~ r î î î,.
t r î ~ t [ " " t ~ + f " " [ + n J i ~ ~++4~tf++ t t t I " + +... t +. L " t " " " t I j " t r f î = ritt++ ~ î +++4'+++ ~~ ~= ~ ~++++ttrt [ : _ ~ t +++4+ttirr t ~, î t t ~ ++~+ =~ =~~ =~= =~ ~~~= r ~ +J+ttcrr ~ t ++fttttrt!.. ~ttt r " ~~ t ~ ~~ ~ ~4t!+++t+ ~ ~+t+++++ttt '. " ++ ++t++++tt ~. T ++~ +++++t t _ ~ i " t + t : : ~ ::=t ~ :=:=:::=:::=:::=r~~~~ ~ f ~++++ L+if++++~ + I î, ~ î t T f
~ =n=t ~ ~ 4 / id,rlr :.::t ( ]~,_, if'. AA ""î'h r i : t r ~ J,.j, ij,;;;.,'j ' rr,.,4. f f r=i. j (/... 7 " ~ I ~,,. ~.,', t I D ~ r. ' ;~~:. bi ' ~ J. Int (I_ '?\ H?h J ~,i ' ~ f~ J::., cjj _ f ; r~,i '. t d~~ ~o {. t ~ + + I t r î r L : j + + " t T r t r r r,_ i r t,, ", ; ~. " r e. ", ~ L T T t t f f T I r r ~ r t f r. r T, ~ r t + f r î f ~
' i î ~ t t r t ". ".. ~ + + t! f i ~~r~_r. ~L rt_t_ tt~=+xrn ; ;_.J_ itfhh4llr TtiHtWL T =c rfrr=tîtudffi r T ~ J ~ r T i ~~TIH++HWLr ~ ~. ~ re±e=t+htbfet± +. il ~ _L rttt++h!i~ ' r +++++LL r T t ~ r = tt_l r L...