Toets 4 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y woensdag 2 november 2016; 13:30-15:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Volgt de lessen bij: (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (van den Dries) / C (Tholen) / D (Coplakova) Een niet-grafische rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden. Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent. Het cijfer is de som van het aantal behaalde punten plus 2, gedeeld door 2. 1p 1. (a) Geef de vergelijking van de bol met middelpunt (-2,1,5) en straal 7. 1p (b) Schrijf ( 5 cos(7t) + 5 sin(7t)) in de vorm R cos(ωt α), met R > 0 en ω > 0. Motiveer uw antwoord.
3p 2. Bepaal de algemene (reële) oplossing van de volgende differentiaalvergelijking voor u(t): d 2 u + 10 du + 28u = 244 cos(2t) dt 2 dt
3. f(x) = x. (a) Bepaal het tweede-orde Taylorpolynoom, P 2 (x), van f(x) rond a = 100. De exacte waarde van 110 (in zeven decimalen) is Benader deze waarde door P 2 (110). 110 = 10, 4880885. 110 P2 (110) = (b) De restterm R 2 (x) is gedefinieerd door: f(x) = P 2 (x) + R 2 (x). Schat met een uitdrukking voor R 2 (110) de maximale grootte af van de fout die u maakt bij de benadering van 110 door P 2 (110).
1p 4. Bepaal of de volgende reeksen convergent zijn of niet. ( ) n 49 (a) 50 n=0 (b) n=0 1 3n + 6 (c) n=0 arctan(n) 1 + n 2
5. (a) Een driehoek heeft de hoekpunten A(1, 1, 1), B(2, 2, 2) en C(3, 2, 1). Bereken de oppervlakte van de driehoek. (b) De vergelijking van vlak V is: 2x + 3y + z = 5. x 1 1 Lijn l heeft als parametervoorstelling: x = y = 0 + λ 1. z 0 1 De hoek α is de hoek tussen de normaalvector van vlak V en lijn l. Bereken α. Hoek ϕ is de hoek tussen vlak V zelf en lijn l. (Anders gezegd: Alle vectoren in V hebben een hoek met lijn l. Van al deze hoeken is ϕ de kleinste.) Bereken ϕ.
FORMULEBLAD Calculus MST sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x y) = sin x cos y cos x sin y sin 2x = 2 sin x cos x cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 1 2 sin 2 x = 2 cos 2 x 1 cosh x = 1 2 (ex + e x ), sinh x = 1 2 (ex e x ) Standaard Taylorontwikkelingen: e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + O(x 4 ) sin x = x x3 3! + x5 5! + O(x 7 ) cos x = 1 x2 2! + x4 4! + O(x 6 ) ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 + O(x4 ), x ( 1, 1] (1 + x) a = 1 + ax + a(a 1) 2! x 2 + a(a 1)(a 2) 3! x 3 + O(x 4 ), a IR, x ( 1, 1) arctan x = x x3 3 + x5 5 + O(x7 ) Integraaltabel: x a dx = 1 a+1 xa+1 + C (a IR\{ 1}) 1 dx = ln x + C x a x dx = e x ln a dx = 1 ln a ax + C (a IR + \{1}) sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C 1 cos 2 x dx = tan x + C 1 dx = arctan x + C 1+x 2 1 dx = 1 1+x ln 1 x 2 2 1 x 1 1 x 2 dx = arcsin x + C + C 1 dx = ln(x + x x 2 + 1) + C 2 +1 1 dx = ln x + x x 2 1 + C 2 1 1 + x2 dx = 1x 1 + x 2 2 + 1 ln(x + 1 + x 2 2 ) + C 1 x2 dx = 1 2 x 1 x 2 + 1 2 arcsin x + C π 2 0 sinn x dx = π 2 0 cosn x dx = { n 1 n 3 n 5 n n 2 n 1 n 3 n 5 n n 2 3 n 4 4 n 4 5 π, voor n = 2, 4, 6,. 2, voor n = 3, 5, 7,. 1 2 3
Toets 4 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y woensdag 2 november 2016; 13:30-15:30 um' Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Volgt de lessen bij: (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (van den Dries) / C (Tholcn) / D (Coplakova) Een niet-grafische rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden. Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent. Het cijfer is dc som van het aantal behaalde punten plus 2, gedeeld door 2. 1. (a) Geef de vergelijking van cle bol met middelpunt (-2,1,5) en straal \/7. (b) Schrijf ( 5 cos(7t) + 5 sin(7t)) in de vorm Rcos{ujt a), met i? > O en w > 0. Motiveer uw antwoord.
3p 2. Bepaal dc algemene (reële) oplossing van dc volgende differentiaalvergelijking voor u{ty. dt^ + 10 + 28u = 244cos(2t) dt (f)hzi--kfnm: -iffi 'Zo/I ^z^^
. fix) = v^. (a) Bepaal het tweede-orde Taylorpolynoom, ^2(3;), van f(x) rond a = 100. De exacte waarde van \/ÏÏÜ (in zeven decimalen) is x/ïïö = 10, 4880885. Benader deze waarde door ^2(110). x/ïïö «P2(iio) = h-h J^(i/o-/oo^ ~^o(^^^-^<^^y (b) De restterm R^ix) is gedefinieerd door: f{x) = P2{x) + R2{x). Schat met een uitdrukking voor i?2(110) de maximale grootte af van de fout die u maakt bij de benadering van \/ll0 door ^2(110). /oö /lo r> pzolo) < /ooo,_l /ooooo ^^0? loöooo
4. Bepaal of de volgende reeksen convergent zijn of niet. 5^ C(?7\C^(A\Xr co - x=o ^«^ö p-)oo^v r-'
5. (a) Een driehoek heeft de lioekpunten A{1,1,1), B{2, -2, 2) en C(3, 2,1). Bereiden de oppervlakte van dc driehoek. '-3 c - ' 2 / O -4 /-': 7- X ƒ O/ - 2. :? (b) De vergelijking van vlak V is: -2a; + 3y + 2; = 5. X " 1" " 1 ' Lijn l heeft als parametervoorstelling: x y = 0 + A 1 z 0 1 De hoek a is de hoek tussen de normaalvector van vlak V en lijn l. Bereken a. 1^ = /,') /'/caényivecftr- Hoek (f is de hoek tussen vlak V zelf en lijn /. (Anders gezegd: Alle vectoren in V hebben een hoek met lijn l. Van al deze hoeken is (f de kleinste.) Bereken ip. 1/ V/