Circel van Mohr INHOUD LES 2 Inleiding grensspannings-hypothesen Vloeimodellen Rankine De Saint Venant Tresca Beltrani Von Mises (metalen) Mohr-Coulomb (grond) Drucker-Prager Rankine + Mohr-Coulomb (beton) Tsai-Hill (hout) Geschreven door ir. J.W. Welleman Aangepast door dr. ir. P.C.J. Hoogenboom, januari 2008 1
Cirkel van Mohr Download een uitleg-programma van Dhr. Welleman: http://mech025.citg.tudelft.nl/tud_ct/ software/mohr/ 2
Cirkel van Mohr Assenstelsels voor de vlakjes 3
Cirkel van Mohr Assen van de cirkel 4
Cirkel van Mohr Bekende spanningspunten 5
Cirkel van Mohr Middelpunt 6
Cirkel van Mohr Richtingen-centrum 7
Cirkel van Mohr Hoofdspanningsrichtingen 8
Cirkel van Mohr Spanningen op de vlakjes 9
Cirkel van Mohr Spanningen op de vlakjes 10
Cirkel van Mohr 3D draaiing van de kubus om de 1-as draaiing van de kubus om de 2-as draaiing van de kubus om de 3-as 3 2 1 mogelijke spanningstoestanden 11
TREKPROEVEN OP METALEN Plastisch gedrag Met of zonder vloeitraject Kort plastisch traject = bros Lang plastisch traject = ductiel 12
MODELLERING Versteviging ( Hardening ) 13
BAUSCHINGER EFFECT 14
GRENSSPANNINGSHYPOTHESE Hypothese = Aanname (nog toetsen met experimenten) Wiskundige formulering van een criterium waarbij vloei, breuk of verbrijzelen ontstaat Vloeivoorwaarde Vloeifunctie Vloeioppervlak Vloeicriterium Locus Belastingsfunctie SYNONIEMEN 15
HOOFDSPANNINGSRUIMTE (Von Mises) 16
VLAKKE SPANNINGSTOESTAND 3 = 0 2 1 17
-VLAK 2 3 1 C-curve 18
WAT GEBEURT ER BIJ BELASTEN EN ONTLASTEN? Belastingen binnen de vloeifunctie geeft elastisch gedrag. Als de vloeifunctie wordt geraakt kan vloei optreden. Tijdens het vloeien kan de spanning langs de vloeifunctie lopen. Bij ontlasten wordt het gedrag weer elastisch. 19
NIET CONSTANTE VLOEIFUNCTIES ISOTROPIC HARDENING Eenvoudig te programeren Vaak niet realistisch 20
NIET CONSTANTE VLOEIFUNCTIES KINEMATIC HARDENING 21
MOGELIJKE VLOEIMODELLEN Maximale hoofdspanning RANKINE Maximale hoofdrek SAINT VENANT Maximale schuifspanning TRESCA Maximale rek-energie BELTRANI Maximale vervormingsenergie VON MISES Interne wrijving MOHR-COULOMB DRUCKER-PRAGER 22
RANKINE 2 c t t 1 Grenzen aan de hoofdspanningen,, c 1 2 3 c Ongelijke sterkte voor trek en druk t 23
SAINT VENANT E 2 1 E 2 E 1 2 E 1 2 E E 1 E E 2 1 Grenzen aan de hoofdrekken,, 1 2 3 1 1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 [ 12 ] E E 1 2 24
TRESCA Grens aan de grootste schuifspanning op iedere mogelijke snede 25
TRESCA (VERVOLG) v 2 Dus we kunnen ook schrijven 2 v 26
TRESCA (VERVOLG) 2 3 1 v Dus we kunnen ook schrijven 1 2 2 3 3 1 v v v 27
TRESCA (VERVOLG) 2 2 v 1 v v v 1 v 2 v 1 3 1 2 2 1 0 v v v 28
TRESCA (VERVOLG) trek trek + afschuiving 2 2 4 v 29
BELTRANI Grens aan de vormveranderingsenergie W met : 1 2 1 1 2 2 3 3 1 1 12 3 E 1 2 2 31 E 1 3 312 E dus 2 2 2 1 2 3 2 12 23 31 W 2E 2 v W 2E 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 v W 30
3 0 BELTRANI 2 v 0 0.35 0.15 1 v 31
1 2 VON MISES Grens aan de gedaante-veranderingsenergie W s Resultaat: 2 2 2 2 2 2 xx yy yy zz zz xx xy yz zx v [( ) ( ) ( ) ] 3( ) 1 s s 1 2 ixyzj,, xyz,, xx xx o xy xy 1 o 3 xx yy zz Of: 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 [( ) ( ) ( ) ] v Of: 3J2 v etc. ij ij ( ) 32
VON MISES 33
VON MISES Zuivere trek xx xx 0 yy zz xy yz xz Dus xx v Zuivere afschuiving 0 xx yy zz yz xz Dus 3 xy v 0,58 xy xy v xy 34
VON MISES Trek plus afschuiving xy xx xy xx 0 yy zz yz xz Dus 2 2 xx 3 xy v (Huber Hencky) 35
VON MISES versus TRESCA 36
MOHR-COULOMB Grens aan de combinatie van en op iedere mogelijke snede c c tan 37
MOHR-COULOMB 1 3 1 3 sin 2 2 1 3 cos 2 3 1 c c tan invullen : 13 cos 13 13 c sintan 2 2 2 vereenvoudigen : 1sin 1sin 1 3 1 2ccos 2ccos 38
MOHR-COULOMB c t Zuivere druk 2c cos c sin 1 Zuivere trek 2c cos t 1 sin Algemene formulering: max( 1, 2, 3) min( 1, 2, 3) t c 1 39
Grond: MOHR-COULOMB Voorbeeld c = 3,0 MPa = 0,2 rad Te dragen spanningstoestand: 0,86 4,16 3,88 1 2 3 Gevraagd: Zal het bezwijken? 2c cos 2*3,0*cos0,2 t 4,91 1sin 1sin 0, 2 2c cos 2*3,0*cos0,2 c 7,34 sin 1 sin 0,2 1 max( 1, 2, 3) min( 1, 2, 3) t 3,88 4,16 1, 36 4,91 7,34 1,36 is groter dan 1. Dus de grond zal bezwijken. c 40
MOHR COULOMB 41
MOHR COULOMB 2 c m c t 1 c 42
DRUCKER-PRAGER met hydrostatische invloed Von Mises : J 2 Drucker Prager I 1 2 1 3 J 2 k 43
MOHR-COULOMB versus DRUCKER-PRAGER 2sin 3 en 6ccos 3 sin 33 sin k 44
ONGEWAPEND BETON Experimentele resultaat 2 1 45
Model voor ONGEWAPEND BETON Rankine is geschikt voor trek (tension cut-off). Mohr-Coulomb is geschikt voor druk. 46
Rankine c 3, 2, 1t Alleen trek 1 t Ofwel Mohr Coulomb Gecombineerd 1 1 t 1 3 1 t c max(, ) 1 1 1 3 t t c 47
48
TSAI-HILL Grensspanningshypothese voor hout 2 2 2 xxyy yy xx xy 2 2 2 2 xx xx yy xy 1 ˆ ˆ ˆ ˆ x is de vezelrichting y is loodrecht op de vezelrichting ^ is de sterkte 49
TSAI-HILL afleiding Von-Mises (metalen) 2 2 2 2 2 2 1 2 ( xx yy ) ( yy zz ) ( zz xx ) 3 xy yz xz y Als vlakke spanningstoestand zz xz yz 0 1 2 2 2 2 xx yy yy xx xy v 2 ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 2 2 2 xx xx yy yy yy xx xy v 2 ( 2 ) 3 2 2 2 xx xxyy yy 3xy v 2 2 2 2 xx xx yy yy 3 xy v Delen door de sterkte 2 2 2 xx xx yy yy xy 3 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ xx xx yy yy xy Correcties om overeenkomst met experimenten te verbeteren. 50
SAMENVATTING Metalen Von Mises Grond Mohr-Coulomb Ongewapend beton Rankine voor trek en Mohr-Coulomb voor druk Hout Tsai-Hill Raadpleeg de softwarehandleiding voor het geinplementeerde materiaalmodel. 51