TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (Y49) op 5 augustus 3 VGF: Bij de vraagstukken zullen ook Veel Gemaakte Fouten (VGF) worden vermeld. Voor bijna alle opgaven kan gezegd worden dat er erg veel rekenfouten bij worden gemaakt. Dit kan soms een slecht effect hebben op het resultaat. Verder zijn er problemen waarbij het duidelijk is dat de uitkomst een positief reel getal is. Als bij de berekeningen er dan een getal uitkomt dat negatief of niet-reel is, getuigt het van inzicht als er opgemerkt wordt dat het antwoord niet goed kan zijn omdat het niet positief is. Zulk een inzicht kan een positief effect hebben op het resultaat. Voorbeelden van grootheden die zeker positief moeten zijn, zijn vermogen P f en de energie-inhoud E f. Opgave Zij gegeven de π-periodieke functie f(t) :=sint +cos(t). a. Schets de grafiek van het signaal. b. Bepaal de Fourierreeks van f(t). c. Bepaal het vermogen P f van f(t). Zij g(t) de convolutie van f(t) met zichzelf, dus g(t) := π π f(τ)f(t τ) dτ. d. Bepaal de Fourierreeks van g(t). e. Bepaal g(t). Oplossing: a. We berekenen de maxima en de minima van f. Ergeldtf (t) =cost sin(t) = cos t 4sintcos t =cost( 4sint). Hieruit volgt dat f (t) =ophetinterval [, π] alscost = dus als t = π, 3 π,enalssint = 4. Dit laatste geldt voor t = t := arcsin( 4 ), 56 en voor t = t := π t, 89. De waarde µ van f is in beide gevallen gelijk aan f(arcsin( 4 )), 5. Merk op dat de functie op het tijdstip t = een positieve helling heeft, en wel.
De grafiek ziet er als volgt uit: f(t) = sin t + cos (t) t π_ t 7π _ 6 3π _ π _ 6 π b. Eerste methode Er geldt f(t) =sint +cos(t) = ( je jt + je jt + e jt + e jt). () Dit is een Fourierreeks met eindig veel termen. De Fouriercoëfficiënten worden dus gegeven door f = j, f = j, f = f =, () en alle andere f n s zijn nul. De Fourierreeks zelf is eenvoudig (). Tweede methode We hebben waar f k = π = π π π (sin t +cos(t))e kjt dt = ( je jt + je jt + e jt + e jt) e kjt dt = = { jc k + jc k+ + c k + c k+, } c m := π π { (m =), e jmt dt = (m ). Dit levert weer formule () op.
3 c. Eerste methode P f = π = π π π f(t) dt = {sin t +cos (t)+sint cos(t)} dt = omdat de sinus en de cosinus gemiddeld zijn en de andere term oneven. Tweede methode We gebruiken de formule van Parseval: P f = f k = 4 + 4 + 4 + 4 = Zie formule (). d. Uit g = f f volgt g k = f k voor alle k. Vanwege () vinden we daarom g k = 4 voor k =,, g k = 4 voor k =, eng k = voor andere k. e. Omdat de Fourierreeks van g kennelijk convergeert (Er zijn maar eindig veel termen) vinden we VGF: g(t) = k= g k e jkt = 4 ( e jt + e jt e jt e jt) = (cos(t) cos t). De tekening van de grafiek suggereert dat de functie een maximum en dus helling nul heeft in t =i.p.v. helling. De eerste methode wordt niet gezien. Bij de tweede methode krijgt men een nul in de noemer omdat het geval van de exponent gelijk aan nul niet apart behandeld wordt.
4 Opgave Laat f(t) het signaal zijn gegeven door f(t) := cos t t +. a. Bepaal de Fouriergetransformeerde F (ω) van f(t). b. Bepaal de energie-inhoud E f van f(t). c. Schets een grafiek van F (ω). Oplossing: a. Er geldt volgens de tabellen en rekenregels e t ω + t πe ω + e ±jt πe ω t + cos t { t + π e ω + e ω+ }. Dus F (ω) = π {e ω + e ω+ }. b. Volgens de gelijkheid van Parseval geldt er, waar E f := = π 4 E := f(t) dt = π F (ω) dω = { e ω +e ω ω+ + e ω+ } dω = π 4 {E +E + E 3 }, e ω dω = e v dv = e v dv =.
5 (In = passen we de substitutie v = ω toe,in = gebruiken we dat de integrand even is, en dat v = v voor v.) E := = = = e ω ω+ dω = 3 e ω ω+ dω = e ω ω+ dω + e (ω ) (ω+) dω + e dω + e ω ω+ dω = e (ω ) (ω+) dω = [ ] e e ω dω =e ω + =3e. (In 3 = gebruiken we dat de integrand even is,) en E 3 = E = (met de substitutie v = ω.) Hieruit volgt E f = π 4 ( + 3e +)= π ( + 3e ).
6 c. De grafiek van e ω krijgen we door de bekende grafiek van de e-macht met negatieve exponent te spiegelen t.o.v. de verticale as. De grafieken van e ω en e ω+ krijgen we door verschuiving over een afstand naar rechts, resp. naar links. De functie F (ω) is π keer het gemiddelde van deze functies. _ π e - ω ω F(ω) _ π e - ω+ _ π e - ω ω
7 Opgave 3 a. Bewijs dat het systeem gegeven door de relatie y(t) =u(t) u(t ) lineair, tijdinvariant en causaal is. b. Bepaal de impulsresponsie en de stapresponsie van het systeem. c. Is het systeem stabiel? Oplossing: a. Lineair: Laat de uitgangen bij de ingangen u,u gelijk zijn aan y,y en laat α, β twee getallen zijn. Dan wordt de uitgang y bij de ingang u :=αu +βu gegeven door y(t) =u(t) u(t ) = =(αu (t)+βu (t)) (αu (t ) + βu (t )) = = α(u (t) u (t )) + β(u (t) u (t )) = = αy (t)+βy (t). Tijdinvariant Laat de uitgang bij de ingang u gelijk zijn aan y en laat τ een getal zijn. Dan wordt de uitgang y bij de ingang u (t) :=u (t τ) gegeven door y (t) =u (t) u (t ) = u (t τ) u (t τ ) = y (t τ). Causaal Als u (t) =u (t) voort t,dan y (t) =u (t) u (t ) = u (t) u (t ) = y (t) (t t ), want als t t dan is ook t t. b. De impulsresponsie h(t) is de uitgang behorende bij de ingang u(t) = δ(t). Kennelijk is h(t) =δ(t) δ(t ) voor alle t. De stapresponsie g(t) is de uitgang bij ingang ε(t). Dus g(t) =ε(t) ε(t ) = p (t ). c. We hanteren de definitie van (BIBO -)stabiliteit: Een systeem is stabiel als er bij een begrensde ingang altijd een begrensde uitgang hoort. Als we aannemen dat u(t) M voor alle t, dan volgt uit de driehoeksongelijkheid dat y(t) u(t) + u(t ) M voor alle t. Het systeem is dus stabiel.
8 Opgave 4 Een systeem gegeven zijn door de differentiaalvergelijking y (t)+3y (t)+y(t) =u (t)+3u(t). Veronderstel dat y() = y () = u() =. We geven de Laplacegetransformeerden van u(t) en y(t) aan met U(s) resp. Y (s). a. Vertaal de vergelijking naar het Laplacedomein. b. Druk Y (s) uit in U(s). c. Bepaal de overdrachtsfunctie H(s) en de impulsresponsie h(t) van het systeem. d. Is het systeem stabiel? e. Bepaal de uitgang bij ingang u(t) =e jt. Oplossing: a. Uit de regels voor de laplacegetransformeerde van de afgeleiden van een functie, en het gegeven over de beginvoorwaarden volgt voor de laplacegetransformeerden U(s),Y(s) vanu(t) resp.y(t): (s +3s +)Y (s) =(s +3)U(s). b. Uit a. volgt Y (s) = c. Uit b. volgt dat H(s) = s +3 s +3s + U(s). s +3 s +3s +. We berekenen de impulsresponsie door terugtransformatie: H(s) = s +3 (s +)(s +) = s + s +. Uit de tabel voor de Laplacetransformatie volgt nu: h(t) =(e t e t )ε(t).
9 d. Eerste methode We gebruiken het criterium vinden we h(t) dt = = h(t) dt <. M.b.v. de driehoeksongelijkheid (e t e t )ε(t) dt = e t e t dt (e t + e t ) dt = 5 <. Tweede methode De overdrachtsfunctie heeft als polen de punten s = ens =. Deze liggen beide in het linkerhalfvlak. e. Als u(t) =e jt, dan is voor t : y(t) = t h(τ)u(t τ) dτ = t t = e jt (e τ jτ e τ jτ ) dτ = (e τ e τ )e j(t τ) dτ = = e { jt [e τ jτ] t j [e τ jτ] } t = j = e {( jt j)( e t jt ) } 5 ( j)( e t jt ) = =( j)(e jt e t ) 5 ( j)(ejt e t ).