Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij Tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Metingen en Modellen in de Kliniek Vakcode: 8VB10 Datum: 13-04-2015 Begintijd: 9:00 Eindtijd: 12:00 Aantal pagina s: 6 Aantal vragen: 3 + 1 ter herkansing van de tussentoets (i.e. opgave 4) Aantal te behalen punten/normering per vraag: 37 Wijze van vaststellen eindcijfer: aantal punten delen door 3.7 Wijze van beantwoording vragen : open vragen Inzage: dr.ir. R. Lopata Overige opmerkingen: Tentamenopgavenblad mag meegenomen worden Noteer deelstappen en argumentatie! Alleen een antwoord (zonder argumentatie) levert geen punten op. Het formuleblad bevindt zich op pagina 6. Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): Notebook Rekenmachine Grafische rekenmachine Dictaat/boek 1 A4-tje met aantekeningen Woordenboek(en). Zo ja, welke: Anders, namelijk: Notebook enkel voor het gebruik van Matlab. Grafische rekenmachine ook enkel voor het maken van berekeningen. Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 15 minuten na aanvang en 15 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend / uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 2/6 1. In een studie naar de elasticiteit van bloedvaten is de diameterverandering van de halsslagader gemeten met ultrageluid. De gemeten curve en bijbehorende amplitude spectrum zijn gegeven in onderstaande figuur. De frequentie-inhoud is normaliter beperkt tot de eerste decade. De grondharmonische is 1.2 Hz. Diameter (mm) 8.6 8.5 8.4 8.3 8.2 8.1 8 7.9 7.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Time (s) A k ( ) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 5 10 15 Frequency (Hz) a. Wat is de periode-tijd van de diameter curve in bovenstaande figuur? Rond af op twee decimalen. b. Wat moeten de Nyquist frequentie en de benodigde bemonsteringsfrequentie zijn op basis van de gegeven data? c. Welke harmonische(n) in het amplitude lijnspectrum is (zijn) ruis? d. Binnen welke range zou je de kantel (cut-off) frequentie mogen kiezen? e. Wat moet de weerstand van een anti-aliasting filter zijn om aliasing te voorkomen als C = 1 µf? Indien u het antwoord bij (d) niet heeft gevonden, neem dan een kantel frequentie van 20-24 Hz. De zieke slagader wordt in beeld gebracht met een echoprobe met een zendfrequentie van 7 MHz. De sterkte van de echo-signalen lijdt onder zowel attenuatie van geluid in weefsel (0.5 db/cm/mhz) als onder reflectie door een zeer gecalcificeerde bovenwand. f. De amplitude van het signaal net voor de bovenwand nog slechts 30% van het originele signaal. Bereken de diepte waarop de bovenwand van deze carotis zich bevindt. Gegeven: ρ kalk = 2.2 10 3 kg/m 3, c kalk = 3500m/s en ρ weefsel = 1.0 10 3 kg/m 3, c weefsel = 1500m/s. Er wordt aangenomen dat de eigenschappen van bloed gelijk zijn aan die van weefsel. 3 pnt g. Hoeveel procent van de geluidsintensiteit (t.o.v. de beginintensiteit bij het verlaten van de echoprobe) zal zich uiteindelijk door de wand heen naar het bloed weten voort te planten?
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 3/6 2. Het ECG signaal wordt gemeten in patiënten met hartfalen. Door een fout in het ontwerp van de ECG sensoren zit er een ongewenste trilling rondom 8 Hz die de ECG signalen ernstig verstoort. Om deze ruiscomponent te verwijderen wordt een notch filter toegepast. De systeem response van dit filter is gegeven: S notch (ω) = ω 2 + 1 LC ω 2 + iω R L + 1 LC met L = 400 mh en C = 1.0 mf. (1) a. Geef symbolische uitdrukkingen voor de natuurlijke resonantiefrequentie en dempingsratio van dit systeem. Gebruik hiervoor alleen de noemer van bovenstaande vergelijking! b. Bereken de gedempte resonantiefrequentie en de weerstand R voor een gegeven dempingsratio van 0.25. c. Bepaal de amplitude response functie A(ω) voor dit filter. d. Tussen welke twee frequenties zal de signaalamplitude met minstens -6dB zijn afgenomen na filtering? TIP: introduceer y = ω 2 om de resulterende 4 e graads functie op te lossen. Gebruik vervolgens Matlab of je grafische rekenmachine om de abc-formules op te lossen! De ECG voltages variëren tussen ongeveer -3 mv en +3 mv. De signalen worden gedigitaliseerd voor verdere digitale opslag. Het systeem is een 8-bits, bi-polaire AD converter die is ingesteld op een bereik van -5 mv tot +5 mv. e. Wat is de resolutie van het systeem in bits/mv? f. Wat is de waarde van de meest significante bit? g. Wat is de afrondfout in mv? h. Uitlezen van de data geeft voor het maximum-voltage van de R-top een digitale waarde 01000111. Wat is het piek voltage in mv?
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 4/6 3. Om de stijfheid van de aorta te bepalen worden er echometingen uitgevoerd met twee probes. Men meet de golfsnelheid v 0 van de bloeddrukgolf door het tijdsverschil tussen de voeten van twee distensiecurves te bepalen over een vooraf bepaald traject l. Vanuit de golfsnelheid kan men dan de compliantie C 0 bepalen met behulp van de Moens-Korteweg vergelijking: A 0 v 0 =, (2) ρc 0 met A 0 het aorta oppervlak in diastole en ρ de dichtheid van het bloed. Bij een patiënt is deze meting uitgevoerd over een traject l = (250 ± 5) mm. Aangenomen wordt dat het bloedvat een diastolische diameter heeft van d 0 = (2.0 ± 0.2) cm en ρ = 1050 kg/m 3 (exact). De tijd tussen de twee distensiecurves was t = (40 ± 10) ms. a. Bereken de golfsnelheid v 0 met het bijbehorende betrouwbaarheidsinterval onder de aanname dat je de rekenregels voor 100% intervallen mag gebruiken. b. Bereken op gelijke wijze de aorta compliantie C 0 met zijn onzekerheid. c. Bediscussieer welke parameter het moeilijkst te bepalen is en welke meting je zou willen optimaliseren om de betrouwbaarheid van C 0 te verbeteren. Een andere methode om een afschatting te maken van de vaatcompliantie is door gebruik te maken van een twee-element windketel model. Een ME ingenieur heeft dit geimplementeerd in Matlab: main.m, odenum = 3. Men kan nu de druk en flow simuleren zodra de compliantie C en weerstand R bekend zijn. d. Simuleer de bloeddruk met de gegeven Matlabcode en de Forward Euler methode. Neem tstep=1e-2 s en tend=20 s. Neem R = 1.4 10 8 Pa s/m 3 en C = 10 8 P a/m 3. Welke gemiddelde druk en drukverschil vind je in [mmhg]? e. Wat zouden de compliantie C en perifere weerstand R moeten zijn om een drukverschil van 65 mmhg en een gemiddelde druk van 110 mmhg te verkrijgen in je simulaties? Het is bekend dat de versterkingsfactor van de Forward Euler methode gegeven is door Q E (λh) = 1 + λh voor een functie y = λy + f(t). f. Leidt de differentiaalvergelijking voor het twee-element windkessel model af door gebruik te maken van impedanties en laat zien dat RCp + p = Rq. g. Bepaal wat de maximale stapgrootte mag zijn als je gebruik maakt van Forward Euler en aanneemt dat RC = 1.5s. Leg uit of deze minimale tijdstap ook geschikt is om de druk en flow te simuleren met het windketel model. In deze opgave was de aortadruk of gegeven of kon je hem simuleren. In de klinische praktijk kun je de bloeddruk ook meten met een drukdraad. (Z.O.Z)
h. Bespreek de klinische randvoorwaarden en ethische aspecten rondom deze invasieve metingen bij patiënten met vasculaire dementie veroorzaakt door aderverkalking. 4. HERKANSING TUSSENTOETS Een medical engineer probeert de flow in de aorta te reconstrueren aan de hand van bloeddrukmetingen. Er wordt eerst een drukmeting uitgevoerd met behulp van een vloeistof-gevulde catheter. De vergelijking voor deze sensor is gegeven door: p aorta,uit(t) + 0.2p aorta,uit(t) + p aorta,uit (t) = p aorta,in (t) (3) a. Wat zijn de dempingsratio en gedempte resonantie frequentie van deze cathether? b. Wat zal de vorm van het inschakeleffect in het gemeten druksginaal zijn? c. Zal de overdracht van deze buis op de lange termijn de drukmeting verstoren? Gegeven het 3-element windketel model. De parameters van dit model zijn R 1 = 1 10 8 Pa s/m 3, C = 1 10 8 m 3 /Pa en R 2 = 5 10 6 Pa s/m 3. C R1 R2 ~ d. Leid met behulp van de wetten van Kirchhoff af dat geldt: 3 pnt (1 + R 1 R 2 )q + CR 1 q = 1 R 2 p + Cp (4) e. Leid de (omgekeerde) systeem response functie af: S = Q. Leid vervolgens A(ω) P en ϕ(ω) af. TIP: Werk symbolisch! Stel dat het exacte aortadruk in de tijd varieert volgens: p aorta,in (t) = 100 + 20 sin(2.5 π t) (5) f. Bepaal de flow, q(t), voor gegeven p(t). g. Bepaal de oplossing q(t) van vergelijking (4) voor p(t) = R 2 t
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 6/6 Algebraische elementen V R (t) = RI(t) F K (t) = Kx(t) p R (t) = Rq(t) CV C (t) = I(t) F B(t) = Bx (t) Cp C (t) = q(t) V L = LI (t) p L = Lq (t) Homogene oplossing voor 2 e orde ODEs: y hom (t) = Re(K 1 e λ1t + K 2 e λ2t ) voor twee verschillende roots y hom (t) = Re(K 1 te λ1t + K 2 e λ1t ) voor twee dezelfde roots y hom (t) = Re(e γ1t [d 1 cos γ 2 t + d 2 sin γ 2 t]) voor twee complexe roots Particuliere oplossing voor 2 e orde ODEs: Rechterzijde is f(t) = Q(t)e ωt Q(t) als ω λ 1 and ω λ 2 Q(t) + 1 als λ 1 λ 2 and ω = λ 1 or ω = λ 2 Q(t) + 2 als ω = λ 1 = λ 2 Cosinus regel c 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos(α), met α de hoek tussen de twee vectoren Partiële Integratie f(x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x) g(x)dx Reflection & Transmissie akoestische energie, Doppler effect R E = (Z 2 Z 1 ) 2 (Z 2 + Z 1 ) 2 T E = 1 R E f = Fourier serie 2v cos(θ) f c c x(t) = + k=0 [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] ˆx(t) N = N k=0 [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] a 0 = 1 t=t+t T t=t x(t)dt a k = 2 t=t+t T t=t x(t) cos(kωt)dt b k = 2 t=t+t T t=t x(t) sin(kωt)dt c k = 1 2 (a k ib k ) c k = 1 2 (a k + ib k ) A k = a 2 k + b2 k = 2 c k ψ k = arctan( b k a k ) Statistiek µ x = 1 N N x i S = 1 N (x i x) N 1 2 i=1 i=1 Foutpropagatie 100% & 68% interval y = N j=1 xj f(x 1,..., x N ) x j S m,ȳ = N ( f(x 1,t,..., x N,t ) ) x 2 Sm, x 2 i. i i=1
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, sectie Cardiovasculaire Biomechanica Antwoorden Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) 1. a. f 0 = 1.2 Hz. Dus: T = 1 1.2 = 0.83 s b. Een decade is: 1.2 10 = 12 Hz. Dus: f Nyquist = 12 Hz. 3 pnt f sample = 2 f Nyquist = 24 Hz. c. f 11 (= 13.2 Hz.) en f 13 (= 15.6 Hz.) d. 12Hz < f cutoff < 13.2Hz e. R = 1 2πfC 12.1 103 < R < 13.3 10 3 Ω. Indien aangenomen 20Hz < f cutoff < 24Hz 6.6 10 3 < R < 8.0 10 3 Ω A f. A 0 = 0.3 20 10 log(0.3) = 10.46 10.5 db. attenuation = 0.5 f c d = 0.5 7 d = 3.5d d = 10.46 3.5 = 3 cm g. z kalk = 2.2 10 3 3.5 10 3 = 7.7 10 6 Rayl z weefsel = 1.0 10 3 1.5 10 3 = 1.5 10 6 Rayl R = (Z 2 Z 1 ) 2 (Z 2 +Z 1 = 0.4542 ) 2 T = 1 R = 0.5458 T tot = T T = 0.5458 2 = 0.2979 0.30 Afname-amplitude voor de wand = 0.3 I is proportional to A 2. Dus intensiteit-afname is 0.09 I na de wand dus 0.09 0.30 = 0.268 2.7%
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 3/6 2. a. ω0 2 = 1 LC ω 0 = 1 LC 2ζω 0 = R L ζ = R 2L 1 ω 0 = R 2L LC = R C 2 L b. ω 0 = 1 400 10 3 10 3 c. A = R = 2ζω 0 L = 10Ω ω 2 + 1 LC ( 1 LC ω2 ) 2 +(ω R L )2 = 50 rad/s ( 8 Hz) d. De amplitude-response functie is: A = ( 1 ω 2 + 1 LC = 10 LC ω2 ) 2 + (ω R L )2 6 20 = 0.5 ( ω 2 + 1 LC )2 = 0.25( 1 LC ω2 ) 2 + 0.25(ω R L )2 0.75( ω 2 + 1 LC )2 = 0.25(ω R L )2 3( ω 2 + 1 LC ) = ω R 3( ω 2 + 1 L LC ) = ω R L 3ω 2 + 25ω 2500 3 = 0 3ω 2 + 25ω + 2500 3 = 0 ω = 25 3 ω = 100 3 3 Dit geeft: (f = ω 2π ) 6.9 < f < 9.2 Hz. Let op: De tweede parabool levert enkel imaginaire getallen op en heeft dus geen reële frequenties. e. res = 27 1 5 = 25.4bits/mV f. de meest significante bit geeft het + of teken aan. 1 g. 2 LSB= 0.5 1 res = 0.0197 2.0 10 2 mv h. Zie tabel. V piek = 71/25.4 = +2.8mV 0 + 1 2 7 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 2 1 1 2 0 + 71
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 4/6 3. a. v 0 = l t 250 10 3 = = 6.25m/s 40 10 3 v 0 = f( l, t) v 0 v 0 l l + t t v 0 = (6.3 ± 1.7)m/s Met de onzekerheid in 1 significant cijfer geeft dit v 0 = (6 ± 2)m/s. Alternatief via v0 = l f( l, t) f( l, t) + t t t b. C 0 = f(v 0, ρ, A 0 ) C 0 = A 0 v0 2 ( ) ρ 2 d0 A 0 = π = (1.00 + 0.01) 10 4 πm 2 9 m3 C 0 = 7.7 10 2 Pa C0 = v f(v, ρ, A) + ρ v f(v, ρ, A) + A ρ 1.7( 2A 0 v0 3ρ ) + 6.28 10 5( 1 m3 = 5.7 10 9 ρ) Pa v 2 0 f(v, ρ, A) = A Dus met de onzekerheid in 1 significant cijfer geeft dit: C 0 = (8 ± 6) 10 9 m3 Pa c. Voor het bepalen van de dichtheid ρ moet een bloed sample genomen worden, wat de meting lastiger maakt maar wel mogelijk. De snelheid is een schatting over een bepaald traject en dus lastig locaal te bepalen. Op basis van de foutenanalyse kan men inzien dat de snelheid v 0 de grootste bijdrage heeft aan de onzekerheid. Om de C 0 beter te kunnen schatten moet v 0 daarom beter gemeten worden (Grootste contributie van de onzekerheid in v 0 wordt veroorzaakt door t, zie vorige opgave). d. De drukken in het programma zijn in kpa, dus delen door 133. Dan volgt (aflezen): p 100mmHg en p 40mmHg e. R moet omhoog, C moet omlaag. Door te proberen kom je uiteindelijk uit op R 1.5 10 8 P a s/m 3 en C 6 10 9 m 3 /P a.
f. Parallelle impedantie en weerstand dus: 1 Z tot = 1 Z R + 1 Z C Z tot = P tot Q tot = 1 R + jωc Q tot = 1 R P tot + jωcp tot Re(Q tot e jωt ) = Re( 1 R P ejωt + jωcp e jωt ) q(t) = 1 dp(t) p(t) + C RCp + p = Rq R dt g. p + 1 RC p = q C p = 1 p + }{{ RC } A q C }{{} f(t) Q E (λh) = 1 + λh < 1, h > 0, λ < 0 1 + λh < 1 Deze voorwaarde geldt altijd 1 + λh > 1 h < 2 λ h < 2 1/1.5 = 3s Een tijdstap van 3 seconden levert een stabiele oplossing, maar de hartfrequentie is in de orde-grootte van 1s, dus deze tijdstap is niet geschikt. h. Bijvoorbeeld: randvoorwaarde: Omdat een hoofdslagader aangprikt moet worden moet er altijd een arts aanwezig zijn. ethisch: Toestemming voor de procedure kan niet altijd verkregen worden vanuit de patiënt zelf (dementie), maar moet verkregen worden van iemand anders. Het uitvoeren van invasieve metingen doe je liever niet, vervelend voor de patient. 4. HERKANSING TUSSENTOETS a. ω 0 = 1 = 1rad/s = 0.16Hz, ζ = 0.2/2 = 0.1, w d = 3 10 11 0.99rad/s, wat overeenkomt met ongeveer 0.16 Hz. b. Ondergedempte trilling. Tekening zie diktaat. De afleiding van de homogene oplossing is ook goed gerekend. c. Ja, resonantiefrequentie ligt in range relevante frequenties druksignaal, storing blijft. d. P = P R1 + P R2 = P R1 + P C q = q c + q R2 = CP c + 1 R 2 P c = (CP R1 ) + 1 R 2 (P P R1 ) = CP + 1 R 2 P CR 1 q + R 1 R 2 q
e. C iω + 1 R S(ω) = 2 R 1 C iω + (1 + R 1 R2 ) (Cω) 2 + ( 1 R 2 ) 2 A(ω) = (R 1 Cω) 2 + (1 + R 1 R 2 ) 2 ϕ = arctan( Cω RCω ) arctan( 1/R 2 1 + R 1 /R2 ) 3 pnt f. A(0) = 1/R 2 1 + R 1 /R 2 = 9.5 10 9 ϕ(0) = 0 A( 5π 2 ) = 9.6 10 9 ϕ( 5π 2 ) = 0.0163 q(t) = 9.5 10 7 + 1.9 10 7 sin(2πt + 0.016) g. 21q + q = t + 1 20 q e 21t + 21qe 21t = (t + 1 20 )e21t qe 21t = te 21t dt + 1 e 21t dt + c = 20 t 21 e21t 1 21 21 e21t + 1 20 21 e21t + c q = t 21 + 1 20 21 2 + ce 21t.