Logica voor Informatica Relaties en Functies Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University
Geordende paren, productverzameling, relatie (a, b) geordend paar (a, b) = (c, d) a = c en b = d Productverzameling (Cartesisch product) van en B: B = { (a, b) a en b B } (Binaire) relatie R van naar B R B Notatie: R(a, b) of arb voor (a, b) R
Relatie Relatie R over verzamelingen en B a R b B
Universele, lege, gelijkheids- relatie, inverse relatie Gegeven verzamelingen en B, B is de universele relatie over en B B is de lege relatie voor verzameling and B = = { (a, a) a } is de gelijkheidsrelatie op Gegeven een relatie R van naar B, de inverse relatie R 1 gedefinieerd als R 1 = { (b, a) (a, b) R }
Inverse relatie a R 1 b B
Compositie van relaties Zij R B en S B C. De compositie R S van R en S is gedefinieerd als: R S = { (a, c) b B : (a, b) R en (b, c) S } R S = { (a, c) b B : arb en bsc }
Compositie van relaties R S B C R S = { (a, c) b B : arb en bsc }
Compositie van relaties R S B C R S = { (a, c) b B : arb en bsc }
Reflexieve relatie a : ara (e.g., )
Symmetrische relatie a, b : arb bra (e.g., =)
symmetrische relatie a, b : arb niet bra (e.g., <)
ntisymmetrische relatie a, b : (arb and bra) a = b (e.g., )
Transitieve relatie a, b, c : (arb and brc) arc (e.g., )
Stelling Zij R een relatie over R reflexief = R R symmetrisch R 1 R or R 1 = R R transitief R R R (not R R R)
Equivalentierelatie Een relatie R over een verzameling is een equivalentierelatie als: R is reflexief, R is symmetrisch, en R is transitief. Notatie: vaak of Voorbeeld: gelijkheid = op willekeurige verzameling
Equivalentieklassen en Quotiëntverzameling Zij R een equivalentierelatie op De equivalentieklasse van a onder R [a] R = { x (a, x) R } De quotiëntverzameling van onder R /R = { [a] R a } Stelling: /R is een partitie van
Equivalentieklassen en quotiëntverzameling a [a] R [a] R /R
Partiële ordening Een relatie R op verzameling is een partiële ordening op als: R is reflexief, R is antisymmetrisch, en R is transitief Notatie: vaak Voorbeeld: deelverzamelingsrelatie
n-aire relaties n-aire relatie R op is een verzameling n-tuples (a 1,..., a n ) R... }{{} n times = n
Functies Een functie (afbeelding) van naar B f : B Een functie f is een relatie F van naar B met de eigenschap dat, voor elke a b B : (a, b) F & b, b B : (a, b) F en (a, b ) F b = b N.B. f (a) verwijst naar uniek element in B Notatie: f (a) = b voor (a, b) F
Functie a f X b B Een functie f is een relatie F van naar B met de eigenschap dat, voor elke a b B : (a, b) F & b, b B : (a, b) F en (a, b ) F b = b
Functie f a X b b B Een functie f is een relatie F van naar B met de eigenschap dat, voor elke a b B : (a, b) F & b, b B : (a, b) F en (a, b ) F b = b
Functie f OK B Een functie f is een relatie F van naar B met de eigenschap dat, voor elke a b B : (a, b) F & b, b B : (a, b) F en (a, b ) F b = b
Functie f OK B Een functie f is een relatie F van naar B met de eigenschap dat, voor elke a b B : (a, b) F & b, b B : (a, b) F en (a, b ) F b = b
Identiteitsfunctie en functiecompositie Gegeven een verzameling Identiteitsfunctie 1 : 1 (a) = a voor elke a Gegeven f : B en g : B C Compositie g f is de functie die hoort bij de relatie F G. a : (g f )(a) = g(f (a)) (Let op volgorde!)
Speciale typen functies Functie f : B is injectief (of 1-1 ) als a, a : f (a) = f (a ) a = a Functie f : B is surjectief als b B a : f (a) = b Functie f : B is bijectief ( 1-1-correspondentie ) als f is injectief en f is surjectief
Wel-injectieve, Niet-surjectieve functie f B Injectief: a, a : f (a) = f (a ) a = a Surjectief: b B a : f (a) = b
Niet-injectieve, Wel-surjectieve functie f B Injectief: a, a : f (a) = f (a ) a = a Surjectief: b B a : f (a) = b
Bijectieve functie f B Bijectief = Injectief + Surjectief
Inverteerbare functies Gegeven functie f : B (en geassocieerde relatie F B) Functie f is inverteerbaar als de inverse relatie F 1 van de relatie F weer een functie is Stelling: f is inverteerbaar f is bijectief. Notatie: inverse functie f 1 : B
Functie and inverse functie f B
Functie and inverse functie f B f 1 B
Geen inverse functie f B
Geen inverse functie f B f 1 X B
Geen inverse functie f B
Geen inverse functie f B f 1 X B
Eigenschappen inverse functie Zij f : B bijectief (inverteerbaar). Dan geldt voor f 1 : B : f 1 f = 1 d.w.z. f 1 (f (a)) = a f f 1 = 1 B d.w.z. f (f 1 (b)) = b
Partiële functie f : B is een partiële functie f B is een relatie er bestaat een niet-lege verzameling f : B is een functie