Modellen en Simulatie Recursies

Utrecht, 13 mei 2013 Modellen en Simulatie Recursies Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/

N n : aantal individuen eind tijdvak n. Aanname [Malthus, 1798]: in ieder tijdvak: fractie s sterft, fractie g geboren Model. N n+1 = N n + g N n s N n = κ N n met κ = 1 + g s, κ is de groeicoëfficiënt Oplossing. N n = (1 + g s) n N 0 = κ n N 0 : de groei is exponentiëel

Bezwaren tegen het Malthus model groeicoëfficiënt kan afhangen van N n, groeicoëfficiënt kan afhangen van n, groeicoëfficiënt kan afhangen van N n, N n 1,... groeicoëfficiënt kan beïnvloed worden door andere soorten, veranderingen kunnen optreden op elk tijdstip (tijdsvakgedachte niet houdbaar) groei kan plaats afhankelijk zijn.

Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Lineairiseren Companion vorm Complex als 2-d reeel Hoefijzer van Smale

Een opleiding heeft drie jaargangen (klassen). Aanname: In iedere klas gaat gemiddeld 70% over. In de derde klas slaagt 70% voor het eindexamen. Van de zittenblijvers doet 20% de klas en verlaat 10% de opleiding. Ieder jaar heeft de opleiding 1000,100,200 instromers in klas 1, 2, 3 respektievelijk. Hoeveel leerlingen slagen er (op den duur) jaarlijks voor de opleiding?

Een opleiding heeft drie jaargangen (klassen). Aanname: In iedere klas gaat gemiddeld 70% over. In de derde klas slaagt 70% voor het eindexamen. Van de zittenblijvers doet 20% de klas en verlaat 10% de opleiding. Ieder jaar heeft de opleiding 1000,100,200 instromers in klas 1, 2, 3 respektievelijk. Model. x n = (x n (1), x 2 (n), x 3 (n)) T, met x n (j) het aantal leerlingen in klas j in academisch jaar n.

Een opleiding heeft drie jaargangen (klassen). Aanname: In iedere klas gaat gemiddeld 70% over. In de derde klas slaagt 70% voor het eindexamen. Van de zittenblijvers doet 20% de klas en verlaat 10% de opleiding. Ieder jaar heeft de opleiding 1000,100,200 instromers in klas 1, 2, 3 respektievelijk. Model. x n = (x n (1), x 2 (n), x 3 (n)) T, met x n (j) het aantal leerlingen in klas j in academisch jaar n. x n+1 = Ax n + f met A = 0.2 0 0 0.7 0.2 0 en f = 0 0.7 0.2 1000 100 200

In n-de jaar Economisch model C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen I Aanname [Keynes 1936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar. Investeringen veranderen niet.

In n-de jaar Economisch model C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen I Aanname [Keynes 1936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar. Investeringen veranderen niet. Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en I 0.

In n-de jaar Economisch model C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen I Aanname [Keynes 1936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar. Investeringen veranderen niet. Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en I 0. Dan Y n = k Y n 1 + C 0 + I 0.

In n-de jaar Economisch model C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen I Aanname [Keynes 1936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar. Investeringen veranderen niet. Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en I 0. Dan Y n = k Y n 1 + C 0 + I 0. α evenwichtspunt α = k α + C 0 + I 0 α = C 0 + I 0 1 k.

In n-de jaar Economisch model C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen I Aanname [Keynes 1936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar. Investeringen veranderen niet. Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en I 0. Dan Y n = k Y n 1 + C 0 + I 0. α evenwichtspunt α = k α + C 0 + I 0 α = C 0 + I 0 1 k. Positief evenwicht k < 1 stabiel evenwicht (Y n = α + ε n ε n = kε n 1 ).

In n-de jaar Economisch model C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen I Aanname [Keynes 1936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar. Investeringen veranderen niet. Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en I 0. Dan Y n = k Y n 1 + C 0 + I 0. α evenwichtspunt α = k α + C 0 + I 0 α = C 0 + I 0 1 k. Positief evenwicht k < 1 stabiel evenwicht (Y n = α + ε n ε n = kε n 1 ). Schommelingen in de conjunctuur?

Economisch model II Aanname [Samuelson & Hicks 1939]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van het vorig jaar Investeringen hangen lineair af van de groei van het nationaal inkomen

Economisch model II Aanname [Samuelson & Hicks 1939]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van het vorig jaar Investeringen hangen lineair af van de groei van het nationaal inkomen Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en d, I 0.

Economisch model II Aanname [Samuelson & Hicks 1939]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van het vorig jaar Investeringen hangen lineair af van de groei van het nationaal inkomen Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en d, I 0. Y n = k Y n 1 + C 0 + d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 = (k + d ) Y n 1 d Y n 2 + C 0 + I 0.

Economisch model II Aanname [Samuelson & Hicks 1939]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van het vorig jaar Investeringen hangen lineair af van de groei van het nationaal inkomen Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en d, I 0. Y n = k Y n 1 + C 0 + d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 = (k + d ) Y n 1 d Y n 2 + C 0 + I 0. α evenwicht α = (k + d ) α d α + C 0 + I 0 α = C 0 + I 0 1 k.

Economisch model II Aanname [Samuelson & Hicks 1939]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van het vorig jaar Investeringen hangen lineair af van de groei van het nationaal inkomen Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en d, I 0. Y n = k Y n 1 + C 0 + d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 = (k + d ) Y n 1 d Y n 2 + C 0 + I 0. α evenwicht α = (k + d ) α d α + C 0 + I 0 α = C 0 + I 0 1 k. Positief evenwicht k < 1. Stabiel?? Y n α als Y 0 α en Y 1 α??

Economisch model; Analyse Er geldt (companion vorm) [ ] [ Yn k + d d = 1 0 Y n 1 ] [ Yn 1 Y n 2 ] + [ C0 + I 0 0 ]. Met A= [ k + d d 1 0 ], c=[ C0 + I 0 0 ], x n = [ x1 (n) x 2 (n) ] geldt Y n =x 1 (n 1) ( n) Y n =x 2 (n) ( n) Y 1 = x 1 (0) Y 0 = x 2 (0) & x n = A x n 1 + c alle n.

x n = A x n 1 + c alle n α [ α1 α 2 ] evenwicht (x 0 = α x 0 = x 1 =...) α 1 = α 2 = (C 0 + I 0 )/(1 k). Stabiel als x n α (n ) voor x 0 α. Als x n = α + ε n dan ε n = A ε n 1 Stelling. Stabiel ε n 0 (n ) voor ε 0 0 λ < 1 alle eigenwaarden λ van A.

λ 1, λ 2 eigenwaarden A zodat λ 2 λ 1. Evenwicht is stabiel λ 1 < 1. Met Y n = α 1 + ε n is ε n = ε 1 (n) = e T 1 ε n. λ 2 < λ 1 (λ 1 dominant) ε n γ 1 λ n 1 : Evenwicht herstelt als λ 1 < 1. (Herstel is monotoon als λ 2 > 0.) λ 1 = λ 2 = ρ e iφ R. Hier ρ λ 1 ε n = ρ n (γ 1 cos(n φ) + γ 2 sin(n φ)): Slingerende herstel van het evenwicht als λ 1 < 1.

Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < 1. 2.5 faseplot: n > (Y n,y n 1 ) 2 1.5 1 0.5 0 0.5 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.

Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < 1. 2 1.8 Economisch model, k=0.1, d=0.7, C0=0.888889 nationaal inkomen Y n Consumptie C n 1.6 1.4 Y n en C n 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 n k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.

In jaar n: Model: Sluipwespen & Rupsen r n het aantal rupsen, w n het aantal sluipwespen. Aanname: groeicoëfficiënt rupsen neemt lineair af bij groeiend aantal rupsen en wespen, groeicoëfficiënt wespen neemt lineair toe bij groeiend aantal rupsen. { rn+1 = (a r n /R w n /W ) r n, w n+1 = γ r n w n, voor zekere positieve constanten a, γ, R en W.

In jaar n: Model: Sluipwespen & Rupsen r n het aantal rupsen, w n het aantal sluipwespen. Aanname: groeicoëfficiënt rupsen neemt lineair af bij groeiend aantal rupsen en wespen, groeicoëfficiënt wespen neemt lineair toe bij groeiend aantal rupsen. { rn+1 = (a r n /R w n /W ) r n, w n+1 = γ r n w n, voor zekere positieve constanten a, γ, R en W. Schaal: x n r n /R, y n w n /W levert { xn+1 = (a x n y n ) x n, y n+1 = b x n y n. Is er evenwicht? Is dat stabiel? Hoe ontwikkelt de oplossing zich?

Niet-lineaire modellen { xn+1 = f(x n, y n ) of x n+1 [ ] xn+1 y n+1 y n+1 = g(x n, y n ) = f(x n ) [ ] f(xn, y n ). g(x n, y n )

Niet-lineaire modellen { xn+1 = f(x n, y n ) of x n+1 [ ] xn+1 y n+1 y n+1 = g(x n, y n ) = f(x n ) [ ] f(xn, y n ). g(x n, y n ) Evenwicht als { xn = x n 1 =... = x 0 = α, y n = y n 1 =... = y 0 = β. (α, β) evenwicht α = f(α, β) & β = g(α, β).

Niet-lineaire modellen { xn+1 = f(x n, y n ) of x n+1 [ ] xn+1 y n+1 y n+1 = g(x n, y n ) = f(x n ) [ ] f(xn, y n ). g(x n, y n ) Evenwicht als { xn = x n 1 =... = x 0 = α, y n = y n 1 =... = y 0 = β. (α, β) evenwicht α = f(α, β) & β = g(α, β). Evenwicht (α, β) is stabiel als x n α & y n β (n ) voor alle x 0 α & y 0 β en x 0 α & y 0 β x n α & y n β alle n.

Voorbeeld I. { xn+1 = (a x n y n ) x n, y n+1 = b x n y n. f(x, y) = (a x y) x & g(x, y) = b x y.

Voorbeeld I. { xn+1 = (a x n y n ) x n, y n+1 = b x n y n. f(x, y) = (a x y) x & g(x, y) = b x y. Drie evenwichtsoplossingen (α, β): (1) α = β = 0; (2) α = a 1 & β = 0; (3) α = 1/b & β = a 1 1/b.

0.4 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(0.9 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) 0.3 0.2 y n 0.1 0 0.1 0.2 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 x n

0.5 0.4 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(0.9 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y rupsen wespen 0.3 x n (rupsen), y n (wespen) 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0 5 10 15 20 25 30 n

x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(1.7 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) 1 0.8 0.6 y n 0.4 0.2 0 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 x n

1.2 1 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(1.7 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y rupsen wespen 0.8 x n (rupsen), y n (wespen) 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n

1.6 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(2.1 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) 1.4 1.2 1 0.8 y n 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 x n

1.6 1.4 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(2.1 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y rupsen wespen 1.2 x n (rupsen), y n (wespen) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0 10 20 30 40 50 60 n

x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(2.5 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) 1.8 1.6 1.4 1.2 1 y n 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 x n

2 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(2.5 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y rupsen wespen 1.5 x n (rupsen), y n (wespen) 1 0.5 0 0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 n

x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(2.93 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) 2 1.5 y n 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 x n

2.5 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(2.93 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y rupsen wespen 2 x n (rupsen), y n (wespen) 1.5 1 0.5 0 0.5 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 n

x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(3.35 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) 2.5 2 1.5 y n 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x n

3 2.5 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(3.35 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y rupsen wespen 2 x n (rupsen), y n (wespen) 1.5 1 0.5 0 0.5 9900 9910 9920 9930 9940 9950 9960 9970 9980 9990 10000 n

Voorbeeld I. { xn+1 = (a x n y n ) x n, y n+1 = b x n y n. f(x, y) = (a x y) x & g(x, y) = b x y. Drie evenwichtsoplossingen (α, β): (1) α = β = 0; (2) α = a 1 & β = 0; (3) α = 1/b & β = a 1 1/b. Voorbeeld II. x n+1 = (a x n y n ) x n, x n y n+1 = b y n. 1 + x n

Linearizeren f(α + ε) f(α) + ε f (α) voor ε 0. 2-dimensionaal: ε, δ 0 f(α + ε, β + δ) f(α, β) + ε f f (α, β) + δ (α, β). x y

Linearizeren rond evenwicht Stel (α, β) evenwicht, α Als [ ] εn+1 δ n+1 { xn = α + ε n y n = β + δ n D [ ] εn δ n [ α β ] oplossing met, met D Df( α) =. { εn 0 δ n 0 f (α, β) f x g (α, β) g x de Jacobi matrix of totale afgeleide van f. (α, β) y (α, β) y,

Linearizeren rond evenwicht Stel (α, β) evenwicht, α Als [ ] εn+1 δ n+1 { xn = α + ε n y n = β + δ n D [ ] εn δ n [ α β ] oplossing met, met D Df( α) =. { εn 0 δ n 0 f (α, β) f x g (α, β) g x de Jacobi matrix of totale afgeleide van f. (α, β) y (α, β) y, [ εn+1 δ n+1 ] = D [ εn δ n ] { xn α + ε n y n β + δ n opl. mits { εn 0 δ n 0.

Lineariseren en stabiliteit Stelling. α evenwichtsoplossing. λ eigenwaarde Df( α). Evenwicht stabiel λ < 1 alle λ. Evenwicht instabiel λ > 1 zekere λ. Geen conclusie als λ 1 alle λ & λ = 1 zekere λ! Stelling ook goed in meer dan 2 dimensies.

Stabiliteit evenwichten 2-d (reëel) [ xn+1 y n+1 ] = A [ xn y n ] met A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ], a ij, [ x0 y 0 ] reëel. A met eigenwaarden λ 1 en λ 2, λ 2 λ 1. Hoe zie je eenvoudig of λ 1 < 1?

Stabiliteit evenwichten 2-d (reëel) [ xn+1 y n+1 ] = A [ xn y n ] met A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ], a ij, [ x0 y 0 ] reëel. A met eigenwaarden λ 1 en λ 2, λ 2 λ 1. det(a λ I) = (a 11 λ)(a 22 λ) a 12 a 21 = λ 2 (a 11 + a 22 ) λ + (a 11 a 22 a 12 a 21 ) = λ 2 s λ + d met d det(a) a 11 a 22 a 12 a 21 s spoor(a) a 11 + a 22

Stabiliteit evenwichten 2-d (reëel) [ xn+1 y n+1 ] = A [ xn y n ] met A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ], a ij, [ x0 y 0 ] reëel. A met eigenwaarden λ 1 en λ 2, λ 2 λ 1. det(a λ I) = (a 11 λ)(a 22 λ) a 12 a 21 = λ 2 (a 11 + a 22 ) λ + (a 11 a 22 a 12 a 21 ) = λ 2 s λ + d met d det(a) a 11 a 22 a 12 a 21 s spoor(a) a 11 + a 22 λ 2 s λ + d = (λ λ 1 ) (λ λ 2 ) s = λ 1 + λ 2 en d = λ 1 λ 2

Stabiliteit evenwichten 2-d (reëel) [ xn+1 y n+1 ] = A [ xn y n ] met A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ], a ij, [ x0 y 0 ] reëel. A met eigenwaarden λ 1 en λ 2, λ 2 λ 1. d a 11 a 22 a 12 a 21 = det(a) = λ 1 λ 2 s a 11 + a 22 = spoor(a) = λ 1 + λ 2

Stabiliteit evenwichten 2-d (reëel) [ xn+1 y n+1 ] = A [ xn y n ] met A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ], a ij, [ x0 y 0 ] reëel. A met eigenwaarden λ 1 en λ 2, λ 2 λ 1. d a 11 a 22 a 12 a 21 = det(a) = λ 1 λ 2 s a 11 + a 22 = spoor(a) = λ 1 + λ 2 4d s 2 λ 1, λ 2 R. Stabiel: 1 s + d > 0 en 1 + s + d > 0 1 < λ 2 λ 1 < 1 4d > s 2 λ 1, λ 2 R, λ 2 = λ 1 Stabiel: d = λ 1 2 : λ 1 = λ 2 < 1 d < 1 Bewering. Stabiel als s 1 < d < 1. Instabiel als s 1 > d of d > 1.

3 Stabiliteit evenwichten in 2 d 2 d 4d=s 2 1 +1 0 2 1 +1 +2 s 1 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 Horizontaal: s=spoor. Verticaal: d=det

Voorbeeld. Lineariseer rond (α, β): Evenwicht (1): Evenwicht (2): Evenwicht (3): { xn+1 = (a x n y n ) x n, y n+1 = b x n y n, [ ] εn+1 δ n+1 [ ] εn+1 δ n+1 [ ] εn+1 δ n+1 [ ] εn+1 δ n+1 met a, b 0. [ a 2α β α = b β b α [ ] [ ] a 0 εn =. 0 0 δ n [ ][ ] 2 a 1 a εn =. 0 b(a 1) = 1 1 b 1 b b(a 1) 1 1 δ n [ εn δ n ] [ εn δ n ]. ]. Evenwicht (1) is stabiel a < 1. Evenwicht (2) is stabiel 1<a<3 & a<1 + 1 b. Evenwicht (3) is stabiel max( 3 b 3, 1 + 1 b )<a<1+ 2 b. Wat als a>1+ 2 b?

N n aantal individuen eind maand n Aanname: Alleen individuen ouder dan 1 maand produceren nakomelingen Productie is met vaste groeicoëfficiënt, Sterfte hangt lineair af van het totaal aantal individuen. Model: Voor zekere g > 0 N n+1 = (1 κ N n N ) N n + g(1 κ N n 1 N ) N n 1. Na schaling x n N n /N: x n+1 = (1 κ x n ) x n + g(1 κ x n 1 ) x n 1 of equivalent hiermee (companion vorm) { xn+1 = x n κ x 2 n + g(y n κ y 2 n), y n+1 = x n. (d.w.z. y 1 = x 0 y n+1 = x n ).

Verhulst x n+1 = f(x n ) waarbij f(x) κ(1 x)x b Afhankelijk van κ en b geen evenwicht(en) (stabiele) evenwichten (stabiele) p-periodieke banen (p = 2 l ) chaos Afhankelijk van x 0 (en van het bestaan van stabiele evenwichten,... ) x n voor n x n α voor n (als α stabiel evenwicht) (x n ) op den duur bijna p-periodiek (x n ) chaotisch

Verhulst x n+1 = f(x n ) waarbij f(x) κ(1 x)x b Afhankelijk van κ en b geen evenwicht(en) (stabiele) evenwichten (stabiele) p-periodieke banen (p = 2 l ) chaos Afhankelijk van x 0 (en van het bestaan van stabiele evenwichten,... ) x n voor n x n α voor n (als α stabiel evenwicht) (x n ) op den duur bijna p-periodiek (x n ) chaotisch α = κ(1 α)α b heeft twee (complexe) wortels α.

Verhulst x n+1 = f(x n ) waarbij f(x) κ(1 x)x b Afhankelijk van κ en b geen evenwicht(en) (stabiele) evenwichten (stabiele) p-periodieke banen (p = 2 l ) chaos Afhankelijk van x 0 (en van het bestaan van stabiele evenwichten,... ) x n voor n x n α voor n (als α stabiel evenwicht) (x n ) op den duur bijna p-periodiek (x n ) chaotisch α = κ(1 α)α b heeft twee (complexe) wortels α. Wat gebeurt er als we complex rekenen? Voor de notationele eenvoud bekijken we een ietsje eenvoudigere situatie.

Complex als 2-d reëel Voor c R, bekijk x n+1 = f(x n ) met f(x) x 2 + c (x R)

Complex als 2-d reëel Voor c C, bekijk z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 + c (z C)

Complex als 2-d reëel Voor c C, bekijk z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 + c (z C) Voor z C, schrijf z = x+iy met x, y R. Evenzo c = a+ib. Dan F (x + iy) = (x 2 y 2 + a) + i(2xy + b).

Complex als 2-d reëel Voor c C, bekijk z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 + c (z C) Voor z C, schrijf z = x+iy met x, y R. Evenzo c = a+ib. Dan F (x + iy) = (x 2 y 2 + a) + i(2xy + b). Schrijf z n = x n + iy n. Dan x n+1 = f(x n, y n ) x 2 n y2 n + a y n+1 = g(x n, y n ) 2x n y n + b

Complex als 2-d reëel Voor c C, bekijk z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 + c (z C) Voor z C, schrijf z = x+iy met x, y R. Evenzo c = a+ib. Dan F (x + iy) = (x 2 y 2 + a) + i(2xy + b). Schrijf z n = x n + iy n. Dan Conclusie. x n+1 = f(x n, y n ) x 2 n y2 n + a y n+1 = g(x n, y n ) 2x n y n + b (1-d) Complex is equivalent met 2-dimensionaal reëel. In onze volgende voorbeelden rekenen we complex omdat dat de notatie vereenvoudigt.

Complex als 2-d reëel Voor c C, bekijk z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 + c (z C) Voor z C, schrijf z = x+iy met x, y R. Evenzo c = a+ib. Dan F (x + iy) = (x 2 y 2 + a) + i(2xy + b). Schrijf z n = x n + iy n. Dan x n+1 = f(x n, y n ) x 2 n y2 n + a y n+1 = g(x n, y n ) 2x n y n + b [ 2x 2y Stabiliteit. Jacobi matrix in (x, y): 2y 2x met eigenwaarden λ 1 = 2(x + iy) en λ 2 = 2(x iy). Met z = x + iy is λ 1 = λ 2 = 2 z = F (z). Evenwicht (in C) in ζ 1 1 2 (1 + 1 4c). Stabiel als 2ζ 1 < 1 ]

Voorbeeld Kies c C. Definieer F (z) z 2 + c (z C). Voor iedere rij (z n ) met z n+1 = F (z n ) zijn er drie mogelijkheden: 1) z n α (n ) met α evenwicht: α = F (α) 2) z n (n ) 3) anders (chaos, periodieke banen)

Voorbeeld Kies c C. Definieer F (z) z 2 + c (z C). Voor iedere rij (z n ) met z n+1 = F (z n ) zijn er drie mogelijkheden: 1) z n α (n ) met α evenwicht: α = F (α) 2) z n (n ) 3) anders (chaos, periodieke banen) Voorbeeld: c = 0. α = 0 is stabiel, α = 1 is instabiel (z n ) heeft eigenschap 1) als z 0 < 1 (z n ) heeft eigenschap 2) als z 0 > 1 (z n ) heeft eigenschap 3) als z 0 = 1, z 0 1

Julia set

Voorbeeld Kies c C. Definieer F (z) z 2 + c (z C). Voor iedere rij (z n ) met z n+1 = F (z n ) zijn er drie mogelijkheden: 1) z n α (n ) met α evenwicht: α = F (α) 2) z n (n ) 3) anders (chaos, periodieke banen) Julia set: {z 0 C (z n ) heeft eigenschap 3)} Kies c = 1.25. Kleur z 0 C met kleur afhankelijk van gedrag (z n ) voor n. Kleurnuance per n-de schil : S n (α) = {z 0 C z n 1 α > 10 8, z n α 10 8 }, S n ( ) = {z 0 C z n 1 < 10 8, z n 10 8 }, S (Julia set) is de rest; Kleurnuance voor n schil kan per plaatje verschillen.

Julia set

Voorbeeld Kies c C. Definieer F (z) z 2 + c (z C). Voor iedere rij (z n ) met z n+1 = F (z n ) zijn er drie mogelijkheden: 1) z n α (n ) met α evenwicht: α = F (α) 2) z n (n ) 3) anders (chaos, periodieke banen) Julia set: {z 0 C (z n ) heeft eigenschap 3)} Kies c = 1.25. Kleur z 0 C met kleur afhankelijk van gedrag (z n ) voor n. Kies z 0 = 1. Kleur c C met kleur afhankelijk van gedrag (z n ) voor n. Kleurnuances corresponderen met waarde n waarvoor z n α < 10 8 of z n > 10 8

Julia set

Newton proces x n+1 = x n F (x n) F (x n ) (x R) Voorbeeld. F (x) = x 3 a. Dan x n+1 = x n x3 n a 3x 2 n

Newton proces z n+1 = z n F (z n) F (z n ) (z C) Voorbeeld. F (z) = z 3 a. Dan z n+1 = z n z3 n a 3z 2 n = G(z n ) met G(z) 2 3 z + a 3z 2.

Newton proces z n+1 = z n F (z n) F (z n ) (z C) Voorbeeld. F (z) = z 3 a. Dan z n+1 = z n z3 n a 3z 2 n = G(z n ) met G(z) 2 3 z + a 3z 2. Voor z C, schrijf z = x + iy met x, y R. Evenzo a = α + iβ. Definieer, f(x, y) Re(G(x + iy)), g(x, y) Im(G(x + iy)). Volgende plaatje: F (z) = z 5 + 3z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 3z 9 F (ζ j ) = 0. Kleur S n (ζ j ) {z 0 C z n 1 ζ j > 10 8, z n ζ j 10 8 } Verschillende kleuren voor verschillende ζ j, verschillende kleurnuances voor verschillende n ( schillen ).

x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(3.35 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) 2.5 2 1.5 y n 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x n

Chaotisch gedrag vertoont zich vaak op structuren met een zekere self similarity (zelf gelijkenis): details en details van details,..., vertonen zelfde structuren als het geheel (zoals bij broccoli en romanesco). Die structuur is fractaal (d.w.z., grillig zoals van broccoli en romanesco). Kunnen we deze broccoli structuur begrijpen? Kunnen we bewijzen dat het gedrag chaotisch is (en niet maar alleen bijvoorbeeld 64 periodiek)?

Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. x n+1 = 10 x n mod 1 x 0 = 0.3415982... x 1 = 0.4159827... x 2 = 0.1598276... x 3 = 0.5982769...

Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. x n+1 = 10 x n mod 1 x 0 = 0.3415982... x 1 = 0.4159827... x 2 = 0.1598276... x 3 = 0.5982769... ad 1) x 0 = 0.3416982... x 1 = 0.4169827... x 2 = 0.1698276... x 3 = 0.6982769...

Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. x n+1 = 10 x n mod 1 x 0 = 0.3415982... x 1 = 0.4159827... x 2 = 0.1598276... x 3 = 0.5982769... ad 2) x 0 = 0.3413413... x 1 = 0.4134134... x 2 = 0.1341341... x 3 = 0.3413413...

Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. x n+1 = 10 x n mod 1 x 0 = 0.3415982... x 1 = 0.4159827... x 2 = 0.1598276... x 3 = 0.5982769... ad 3) x 0 = 0.1234... 01020304... 9899001002... 00010002...

Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. x n+1 = 2 x n mod 1 x 0 = 0.01001011101011010... x 1 = 0.10010111010110101... x 2 = 0.00101110101101011... x 3 = 0.01011101011010111....

Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 (z C), z 0 < 1 z n 0 (n ) z 0 > 1 z n (n ) z 0 = 1. Schrijf z n = e 2πiφ n voor een φ n [0, 1). z n+1 = zn 2 φ n+1 = 2 φ n mod 1: Chaos op {z C z = 1}. Is chaos zichtbaar hier?

Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 + c (z C), De (Julia) set {z 0 (z n ) convergeert niet} is dik voor bv. c = 1.25. Is de iteratie voor z 0 in die verzameling chaotisch?

Het hoefijzer van Smale We geven een constructie (bewijstechniek) die in een aantal gevallen naar een verzameling D leidt die self similarity vertoont en waarop het iteratief proces chaotisch is. De constructie kan uiteraard maar alleen werken als het proces daadwerkelijk chaotisch is op zekere verzamelingen. Voor de duidelijkeheid leggen we de constructie uit aan de hand van een drietal concrete voorbeelden. Maar de constructie (hoefijzer van Smale) is algemener uitvooerbaar.

Het eerste voorbeeld is in essentie 1 dimensionaal: Voorbeeld. z n+1 = F (z n ) met F (z) z 3 (z C). Omdat voor z 0 = 1 geldt z n = e 2πiφ n en φ n+1 = 3φ n mod 1, weten we dat het proces chaotisch is op de hele eenheidscirkel S {z C z = 1}. We negeren dit feit en gaan uit van een vermoeden dat er op zekere deelverzamelingen D van de eenheidscirkel (D S) het proces chaotisch is en proberen zo n verzameling D te construeren (en leveren impliciet het bewijs dat het proces daadwerkelijk chaotisch is op D).

x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). Wat gebeurt er met de bovenste helft van de eenheidscirkel? V f(v) F beeldt de eenheidscirkel af binnen deze cirkel. Voor de uitleg hebben we echter in de rechter tekening V {z z = 1 + ε, Im(z) 0} genomen.

x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). Wat gebeurt er met de bovenste helft van de eenheidscirkel? f 1 (V) V V f(v) F beeldt de eenheidscirkel af binnen deze cirkel. Voor de uitleg hebben we echter in de rechter tekening V {z z = 1 + ε, Im(z) 0} genomen.

x n+1 = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+1 f 1 (V n ) f(v n ) V n Met D V n n=0 geldt f(d) = D Is D =? Is er chaos op D?

Cantor verzameling 0 1 1 0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Cantor verzameling 0 1 0 1 0 1 1 0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Cantor verzameling 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Cantor verzameling 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Cantor verzameling 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 i=1 2 a i 3 i met a i {0, 1} 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Cantor verzameling 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 i=1 2 a i 3 i met a i {0, 1} 1 i=1 a i 2 i met a i {0, 1} 0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Cantor verzameling. D i=1 2 a i 3 i a i {0, 1} D wordt ook wel het Discontinuüm van Cantor genoemd.

Cantor verzameling. D i=1 2 a i 3 i a i {0, 1} Self similarity: 3([0, 1 3 ] D) = D

Cantor verzameling. D i=1 2 a i 3 i a i {0, 1} Itereren op de Cantor verzameling. x n+1 = 2 x n mod 1 op [0, 1] is equivalent met (binair) j=1 a j 2 j Verplaats dit proces naar D: j=1 2 a j 3 j j=1 j=1 Zo correspondeert x 0 = 0.01011001... a j+1 2 j. 2 a j+1 3 j ) = 0 2 1 + 1 2 2 + 0 2 3 + 1 2 4 + 1 2 5 +... op D met 0 3 1 + 2 3 2 + 0 3 3 + 2 3 4 + 2 3 5 +... Conclusie. Proces ) is chaotisch op de Cantor verzameling.

x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). Wat gebeurt er met de bovenste helft van de eenheidscirkel? f 1 (V) V V f(v) D f φ 3φ mod 1 F beeldt de eenheidscirkel af binnen deze cirkel. Voor de uitleg hebben we echter in de rechter tekening V {z z = 1 + ε, Im(z) 0} genomen. 2 a j 3 j 2 a j+1 3 j j=1 D e π i φ e π i 3φ j=1

x n+1 = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+1 f 1 (V n ) f(v n ) V n Met D V n n=0 geldt f(d) = D Chaos op D?

x n+1 = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+1 f 1 (V n ) f(v n ) V n Met D V n n=0 geldt f(d) = D Chaos op D in vorige voorbeeld. Is deze constructie algemener toepasbaar? Wanneer werkt hij?

x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). 0 is een stabiel evenwicht. Andere evenwichten? (z n ) convergeert naar 0 als z 0 < 1. (z n ) convergeert naar (divergeert) als z 0 > 1. Chaotisch gedrag voor z 0 = 1. Varianten. x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 2 (z C). F (z) z 2 + c voor zekere c. Julia set. F (z) = F (r e 2π i φ ) r e 2 π i 2φ.

x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). 0 is een stabiel evenwicht. Andere evenwichten? (z n ) convergeert naar 0 als z 0 < 1. (z n ) convergeert naar (divergeert) als z 0 > 1. Chaotisch gedrag voor z 0 = 1. Varianten. x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 2 (z C). F (z) z 2 + c voor zekere c. Julia set. F (z) = F (r e 2π i φ ) r e 2 π i 2φ. F (z) = F (r e π i φ ) ( 1 3 r + 8 9 φ ) e3π i φ (r [0, ), φ 1) Actie F op {z C z 1, Re(z) 0} is samendrukken, uitrekken, oprollen (Plaatjes op de volgende transparanten voor deze iteratie)

x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V 0 in rood, V n = f(v n 1 ) in groen, n = 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V 0 in rood, V n f(v n 1 ) V n 1 in groen, n = 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V 0 in rood, V n f(v n 1 ) V n 1 in groen, (n = 1). 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V n f 1 (V n 1 ) f(v n 1 ) V n 1 in groen, (n = 1). 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x n+1 = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+1 f 1 (V n ) f(v n ) V n Met D V n geldt n=0 f(d) = D Voorbeeld. V 0 {r e π i φ φ [0, 1], r 1 φ [0, 1]}, 3 en F (r e π i φ ) ( 1 3 r + 8 9 φ) e3π i φ. V 0 {(x, y) x [0, 1], y [0, 1 2 ]} en f(x, y) ((x + y)/2, 4(1 y)y). (De plaatjes op de volgende transparanten voor deze iteratie)

x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, opvouwen V 0 in rood, V 1 = f(v 0 ) in groen, (n = 1).

x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, opvouwen V 0 in rood, V n = (f f)(v n 2 V 0 ) in groen, (n = 2).

x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, opvouwen V 0 in rood, V n = (f f)(v n 2 V 0 ) in groen, (n = 4).

x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, opvouwen Voor (x 0, y 0 ) = (0.1, 0.1) is (x 0, y 0 ),..., (x N, y N ) geplot.

x n+1 = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+1 f 1 (V n ) f(v n ) V n Met D V n n=0 geldt f(d) = D Voorbeeld. f(x, y) = ( 1 2 x, 1 2 y). Voor iedere V 0 die (0, 0) bevat is D = {(0, 0)}: geen Chaos of D. f(x, y) = (x, y). Voor iedere V 0 is D = V 0 : geen Chaos of D.

x n+1 = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+1 f 1 (V n ) f(v n ) V n Met D V n n=0 geldt f(d) = D Conclusie. Als f(v) in twee parallele stroken V doorsnijdt, en als l een lijn is in V en f(l) als een hoefijzer om l ligt, dan is er een Cantor achtige deelverzameling D van V met en f(d) = D het proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch op D.

x n+1 = (3.35 x n y n )x n, y n+1 = 1.1 x n y n Geplot (x 0, y 0 ),..., (x N, y N ) voor een (x 0, y 0 ). 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x n+1 = (3.35 x n y n )x n, y n+1 = 1.1 x n y n Geplot (x 0, y 0 ) in rood en (x 2, y 2 ) in groen.