Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 5 en 6: Tensor Formulering Elektromagnetisme Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist

Programma 1 1. Contravariant versus covariante vectoren 2. Tensorvelden 3. Transformatie Elektromagnetische tensor 4. Maxwell vergelijkingen in tensorvorm 5. Vooruitblik algemene relativiteitstheorie

Lorentz kracht Blijkt te zijn: (gaan we nog doen) Beide kanten met een rij toevoegen: We krijgen dan: vermenigvuldigen 3.1 Wat zullen we hier invullen? Scheef symmetrisch maken? Maar dan zou: Een minteken teveel en een factor c 2 te weinig We zouden liever In de eerste rij hebben gehad. 3

Contravariant versus covariant (1) Een kromme (bijvoorbeeld: wandeling) Snelheidsvector op een bepaald punt P Hoogte functie: Hoogtegradientvector Hoe hard stijg (of daal) ik als ik in P loop? Check met stijgingsfunctie s: 9 P Deze -4 is onafhankelijk van het coördinaten systeem. B3 4

We hadden: Contravariant versus covariant (2) We gaan over op andere coördinaten: In matrix vorm: Dan ook: heel klein : Dus zo transformeert een vector 9 Dus in de nieuwe coordinaten: Wat is er fout? Dit is er fout! is een z.g. covariante vector Die transformeert anders: P Klopt niet?? B3 5

Contravariant versus covariant (3) Iets algemener: u en v zijn functies van x en y ( nieuwe coördinaten ): Dit is ook omkeerbaar (in een zeker gebied): is een kromme Raak vector aan kromme Is een contravariante ( gewone ) vector. B5 Gradient van een scalarveld Is een covariante vector. Ook wel 1-vorm genoemd. 6

Nieuwe notatie vectoren, tensoren (1) 4-impuls. Notatie was: wordt nu: Kan 2 dingen betekenen: a. Een (contravariante) vector; b. De μ-de component van deze vector. Waarom? Conventie: Griekse indexen: 4-dim tijdruimte Omdat dit transformeert als: Waarbij er een coördinaten trafo is: Hoe te onthouden? Kijk naar vector: Deze transformeert zo: B4 Een covariante vector: Een -tensor transformeert als volgt: Als een natuurwet is uitgedrukt als een tensorvergelijking dan is die juist in alle coördinaat systemen als ie dat in één is!! Dus onafhankelijk van het gekozen coördinaat systeem. B1 B2 zijn elkaars inverse, immers: 8

Nieuwe notatie vectoren, tensoren (2) B4 B1 B6 9

Elektronische tensor We hadden voor de Lorentz kracht: Kun je nu schrijven als: Lorentzkracht in tensorvorm (oude notatie: ) Gaan we nu μ naar beneden halen: Conclusie: Het elekromagnetische veld is een scheefsymmetrisch tensorveld van rang 2 Moeten nog wel even de transformatie checken 10

De transformatie van de Elektronische tensor (1) We hadden al gevonden: Als tensor zou hij moeten transformeren als: 3.2 Transformatie van de Elektromagnetische velden: Kortweg: We gaan een handige manier vinden om al deze matrices Te vermenigvuldigen. Met deelmatrices. Lorentz Transformatie (inverse) 12

De transformatie van de Elektronische tensor (2) We hadden al gevonden: Als tensor transformeert hij als: Transformatie van de Elektromagnetische velden: Kortweg: 13

De transformatie van de Elektronische tensor (3) We hadden al gevonden: Als tensor transformeert hij als: Transformatie van de Elektromagnetische velden: Kortweg: Gewoon voluit de matrices vermenigvuldigen. Ook op deze manier zien we dat het klopt. 14

Maxwell vergelijkingen in tensor vorm We hadden al afgeleid, de Maxwell vergelijkingen, voluit geschreven: 3.3 (1) (6) (7) (8) Dus: Waarbij dus de stroom vector completeert tot 4-vector. Dit waren de vergelijkingen 1, 6, 7 en 8. De z.g. inhomogene. De homogene (2,3,4 en 5) bekijken we op de volgende slide. 16

De homogene vergelijkingen (x ontbreekt) (y ontbreekt) (z ontbreekt) (t ontbreekt) Blijft geldig als 2 indexen gelijk zijn, immers klopt. 17

Noodzaak nieuwe gravitatie theorie Probleem met onmiddelijke actie op afstand : Gebeurtenis 1: Zon ontploft Gebeurtenis 2: Aarde vliegt uit baan 2 is duidelijk het gevolg van 1. In Newtons theorie gebeurt dit instantaan op het zelfde moment. Maar in een stelsel dat van links naar rechts raast, gebeurt 2 eerder dan 1 volgens de SRT! Bovendien: in het elekromagnetisme was dit al OK. Het EM veld plant zich voort met de lichtsnelheid. Dus tijd voor een nieuwe theorie. Newton moet hieruit wel kunnen worden afgeleid (als eerste benadering). 19

Basisgedachte: het equivalentie principe A. C. Equivalent De gelukkigste gedachte van mijn leven Aarde Aarde Equivalent B. D. De zwevers De staanders 20

Toch te voelen: getijdekrachten Zwaartekracht bestaat niet!! Kan immers weggetransformeerd worden. Vergelijkbaar met het lokaal wegtransformeren van de kromming van het aardoppervlak, bijvoorbeeld bij de rijksdriehoekmeting. Maar als er een echt zwaartekrachtsveld is zijn er toch (minieme) effecten: getijdekrachten. 21

y-as Coördinaten en (lokale) afstand: lijnelement x-as Zouden er andere coördinaten u en v mogelijk zijn zodat??? Antwoord nee! Maar dat is nog niet zo eenvoudig te bewijzen! Nee, niet plat Nee, ook niet plat Ja, wel plat!! 22

Het programma kwadrant Vlakke meetkunde 2-dimensionaal Speciale relativiteitstheorie 4-dimensionaal Plaats vector Raak vector Driehoek Hoek 4-Plaats vector 4-Raak vector Tensoren (eerste kennismaking met -) Rechte lijn Meetkunde gekromde vlakken 2-dimensionaal (en n-dimensionaal) Algemene relativiteitstheorie 4-dimensionaal Plaats vector Raak vector Driehoek Hoek potentiaal Geodeet 23

Het programma Meetkunde gekromde vlakken 2-dimensionaal (en n-dimensionaal) Geodeten (Christoffel symbolen) Algemene relativiteitstheorie g 00 potentiaal 4-dimensionaal Covariant differentiëren Krommingstensor Bianchi identiteiten Zwarte gaten Klokvertraging: roodverschuiving Veldvergelijkingen lege ruimte Schwarzschild oplossing Afbuiging licht door zon Perhelium Mercurius Nogmaals: Zwarte gaten De Veldvergelijkingen Kosmologie 24

Programma Klaar 1. Contravariant versus covariante vectoren 2. Tensorvelden 3. Transformatie Elektromagnetische tensor 4. Maxwell vergelijkingen in tensorvorm 5. Vooruitblik algemene relativiteitstheorie

Operatie Bijlage 1: Overzicht tensorrekening Type wijziging R Voorbeeld(-en) O Optellen V Vermenigvuldigen C Contractie D Differentiëren * V komt vrijwel altijd gecombineerd met C voor In aanwezigheid van metrische tensor Verhogen en verlagen index Opmerkingen: *D levert alleen een tensor in vlakke ruimtes *D werkt alleen op een tensorveld. 26

Bijlage 2: Definitie Tensor (-veld) Onderstaande definitie is een werk-definitie. Tamelijk complex. Wiskundig is er een fraaiere (coördinaatvrije) definitie mogelijk, maar die is vrij abstract. We hebben n-dimensionale ruimte. Stel p en q zijn getallen en r=p+q. Stel P is een punt in die ruimte. Een tensor van het type (en dus van rang r) in punt P is een object dat in elk coördinaatsysteem n r componenten (getallen) heeft. Bij een andere keuze van het coördinaat systeem transformeren deze getallen volgens de volgende regel: Een tensorveld van het type (en dus van rang r) op een verzameling V is een object dat in elk punt P in de verzameling V een tensor geeft. De verzameling V kan de hele ruimte zijn, maar ook bijvoorbeeld alleen een kromme. Voorbeeld van het laatste: het raakvectorveld langs een kromme. 27

Bijlage 3: Coördinaten stelsels We gaan over op andere coördinaten: Orthonormale Coördinaten x, y In matrix vorm: We gaan over op nog andere coördinaten: In matrix vorm: 28

Bijlage 4: Transformatie metriek 29

Bijlage 5: Contravariant versus covariant (3) Rijvorm Iets algemener: u en v zijn functies van x en y ( nieuwe coördinaten ): Dit is ook omkeerbaar (in een zeker gebied): is een kromme (dit is onveranderd) Raak vector aan kromme Is een contravariante ( gewone ) vector. Gradient van een scalarveld Is een covariante vector. Ook wel 1-vorm genoemd. 30

Bijlage 6: Overzicht voorbeelden; formules Nieuwe coördinaten: Trafo 1-Vorm Standaard voorbeeld: Gradient van scalar veld h: Vector Standaard voorbeeld: Raakvector aan kromme: is scalar Standaard voorbeeld: Metriek Heen en weer switchen tussen vector en 1-vorm: Korter: 31

Bijlage 6: Overzicht voorbeelden (x, y) Trafo 1-Vorm N.v.t. Vector Metriek 32

Bijlage 6: Overzicht voorbeelden (u=2x, v=y) Trafo 1-Vorm Vector Metriek 33

Bijlage 6: Overzicht voorbeelden (u=x+y, v=y) Trafo 1-Vorm Vector Metriek 34