Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi23wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 1 / 12
Fourierreeksen van even en oneven functies a 2 + ( a n cos + b n sin Definitie Een functie f heet even als f ( x = f (x voor alle x Een functie f heet oneven als f ( x = f (x voor alle x Dergelijke functies moeten dus gedefinieerd zijn op een symmetrisch interval rond Voorbeelden: 1, x 2, x 4, 1 + x 6, cos(x zijn even functies x, x 3, x 5, x + x 7, sin(x zijn oneven functies Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 2 / 12
Fourierreeksen van even en oneven functies Als f een oneven functie is, dan geldt: Als f een even functie is, dan geldt: f (x dx = f (x dx = 2 f (x dx Verder gelden de volgende rekenregels: f even en g even, dan is f g even f even en g oneven, dan is f g oneven f oneven en g oneven, dan is f g even Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 3 / 12
Fourierreeksen van even en oneven functies Gevolg: f even: 1 f (x cos dx = 2 1 f (x sin dx = f (x cos dx f oneven: 1 f (x cos dx = 1 f (x sin dx = 2 f (x sin dx Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 4 / 12
Fourier cosinusreeks / Fourier sinusreeks Als f een even functie is op [, en verder periodiek met periode 2, dan geldt: f (x = a 2 + a n cos met a = 2 f (x dx en a n = 2 (Fourier cosinusreeks f (x cos dx voor n 1 Als f een oneven functie is op [, en verder periodiek met periode 2, dan geldt: f (x = b n sin (Fourier sinusreeks met b n = 2 f (x sin dx voor n 1 Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 5 / 12
Fourier cosinusreeks / Fourier sinusreeks Als een functie f gedefinieerd is op een interval [, ], dan kan die functie even worden voortgezet op het interval [, ] en vervolgens periodiek met periode 2, maar kan ook oneven worden voortgezet op het interval [, ] en vervolgens periodiek met periode 2 Zo n functie kan dus als een Fourier cosinusreeks worden geschreven, maar ook als een Fourier sinusreeks: f (x = a 2 + a n cos = b n sin met a n = 2 f (x cos dx en b n = 2 f (x sin dx Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 6 / 12
Voorbeeld f (x = x, < x < 1 f (x = 2 π ( 1 n+1 sin(n π x n f (x = 1 2 + 2 π 2 ( 1 n 1 n 2 cos(n π x Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 7 / 12
Euler-Fourier formules / Relatie van Parseval f (x = a 2 + Euler-Fourier formules: en a n = 1 b n = 1 Relatie van Parseval: ( a n cos f (x cos f (x sin + b n sin dx, n =, 1, 2,... dx, n =, 1, 2,... 1 {f (x} 2 dx = a2 2 + an 2 + b 2 n Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 8 / 12
Methode van scheiden van variabelen Warmte- of diffusievergelijking: α 2 u xx = u t, < x <, t > Randvoorwaarden: u(, t = en u(, t = voor t > Beginvoorwaarde: u(x, = f (x voor x De positieve constante α 2 heet de diffusieconstante Stel u(x, t = X (x T (t, dan volgt: α 2 u xx = u t α 2 X (x T (t = X (x T (t Voor u(x, t = X (x T (t geldt nu: Hieruit volgt: X (x X (x = 1 α 2 T (t T (t = σ (separatieconstante X (x σ X (x = en T (t σ α 2 T (t = Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 9 / 12
Methode van scheiden van variabelen Uit de randvoorwaarden volgt: u(, t = : X (T (t = = X ( = en u(, t = : X (T (t = = X ( = Dus: { X (x σ X (x =, < x < X ( =, X ( = Dit is een homogeen randwaardeprobleem Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 1 / 12
Methode van scheiden van variabelen We hebben gezien dat er alleen voor negatieve eigenwaarden σ n = µ 2 n < met µ n = n π, n = 1, 2, 3,... niet-triviale oplossingen bestaan Eigenwaarden: σ n = n2 π 2, n = 1, 2, 3,... 2 Eigenfuncties: X n (x = sin, n = 1, 2, 3,... Voor T n (t volgt dan: T n(t σ n α 2 T n (t = en dus: ( T n (t = exp n2 π 2 α 2 t 2, n = 1, 2, 3,... Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 11 / 12
Methode van scheiden van variabelen Dan volgt: u n (x, t = X n (x T n (t = e n2 π 2 α 2 t 2 sin, n = 1, 2, 3,... Nu gebruiken we het superpositieprincipe: u(x, t = c n u n (x, t = c n e n2 π 2 α 2 ( t n π x 2 sin Uit de beginvoorwaarde u(x, = f (x voor x volgt dan: f (x = c n sin (Fourier sinusreeks Ten slotte volgt uit de Euler-Fourier formules: c n = 2 f (x sin dx, n = 1, 2, 3,... Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 12 / 12