TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE, groep Transportfysica FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE, groep Materials Technology Tentamen Cardiovasculaire (Humane) Stromingsleer 4A690 (3T160) blad 1/4 op vrijdag 13 augustus 1999, 14-17 uur Het tentamen levert maximaal 30 punten op. De verdeling is bij de vragen aangegeven. 1. Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef een beknopte argumentatie. a. Is het snelheidsproel van een volledig ontwikkelde oscillerende buisstroming afhankelijk van het product van het Strouhal-getal en het Reynolds-getal? b. Is het juist dat de longitudinale impedantie op een specieke locatie in het arteriele systeem in tegenstelling tot de ingangsimpedantie alleen afhangt van de locale materiaaleigenschappen? c. Is in een aorta met een diameter van 20mm de longitudinale impedantie (Z L = =^q) vrijwel imaginair voor een normale hartslagfrequentie?, @ ^p d. Is het juist dat de stroming van een Newtonse vloeistof in een zwak gekromde bocht met straal a identiek is aan de stroming van dezelfde vloeistof in een bocht met dezelfde straal maar een 4 zo kleine kromtestraal en een 2 zo hoge gemiddelde snelheid? e. Zal de inlooplengte nodig voor volledig ontwikkelde stationaire buisstroming toenemen voor een toenemende viscositeit? f. Is de schuifspanning in volledig ontwikkelde bochtstroming waarin secundaire wervels zichtbaar zijn hoger aan de buitenbocht dan aan de binnenbocht? g. Is het waar dat de voortplantingssnelheid van golven in een elastische buis voor zeer hoge frequenties gelijk is aan de Moens-Korteweg snelheid? h. Is het waar dat in grote vaten de demping van golven vooral wordt veroorzaakt door visco-elastische eigenschappen van de wand? i. Is het juist dat het quotient van het Deborah getal en het Weissenberg getal het Strouhal getal oplevert? j. Zal bij wielrenners met een verhoogd hematocriet de prestatie verhogen omdat het bloed een lagere viscositeit heeft? 1
Tentamen Cardiovasculaire (Humane) Stromingsleer 4A690 (3T160) blad 2/4 op vrijdag 13 augustus 1999, 14-17 uur 2. Men maakt een model van een pulserende stroming door een dunwandig, lineair elastisch, vat met een cirkelvormige doorsnede. Dit wordt gedaan met behulp van een 3-components 'windketel' model afgesloten met een uitgangsweerstand R p zoals gegeven in onderstaande guur. p=0 h E, q c q i C q o r a v p i L R R p p =0 z u p o, l N.B. voor de afzonderlijke elementen met daarover een drukval p geldt: p = qr p = L @q q = C Van het vat dat wordt beschouwd zijn de volgende gegevens (niet allemaal nodig) bekend: elasticiteitsmodulus E =10 5 Pa, dwarscontractie =0:5, lengte l =1m, wanddikte h =0:2mm en straal a =2mm. De ingangsow q i bestaat uit een stationaire component q gesuperponeerd op een harmonische functie ~q(t) volgens: q i (t) =q+~q(t) ofwel q i (t) = X n=0 ^q n e in!t Van de vloeistof is bekend dat de dynamische viscositeit een constante waarde heeft van =10,3 Pas en een dichtheid =10 3 kg=m 3. a. Onder de aanname dat in- en uitstroom-eecten verwaarloosbaar klein zijn wordt de stroming in het vat beschreven door de z-component van de impulsvergelijking: @u =, + @ r @r (r@u @r ) Schrijf deze vergelijking in een dimensieloze vorm met behulp van de Womersley parameter en geef aan wat de fysische betekenis van is. 2
b. Teneinde een schatting te vinden voor de weerstand R in het model, wordt een stroming beschouwd waarin de weerstand R de dominerende parameter is. Geef aan waarom en onder welke condities met betrekking tot de frequentie en/of amplitude van de instroom q i en de uitstroomweerstand R p dit geldt. Laat verder zien dat in dat geval de stroming in het vat wordt beschreven door: @ r @r (r@u @r )= c. Geef de oplossing voor deze dierentiaalvergelijking en leid hieruit af dat R gedenieerd kan worden als: R = 8l a 4 d. De inertantie L wordt geschat door een stroming te beschouwen waarbij de instationaire traagheid dominant is. Geef aan waarom en onder welke condities met betrekking tot de frequentie en/of amplitude van de instroom q i en de uitstroomweerstand R p dit geldt. Laat verder zien dat in dat geval de stroming in het vat wordt beschreven door: @u =,1 e. Geef de oplossing van deze dierentiaalvergelijking en leid hieruit af dat de inertantie kan worden gedenieerd als: L = l a 2 f. Uiteraard wordt ook een schatting gemaakt voor de compliantie C van het vat. Ook nu wordt weer een ingangsow aangeboden maar nu zodanig dat de compliantie de bepalende factor is in het model. Geef aan waarom en onder welke condities met betrekking tot de frequentie en/of amplitude van de instroom q i en de uitstroomweerstand R p dit geldt. Laat verder met behulp van de massabalans zien dat in dat geval de dwarsdoorsnede oppervlakte verandering wordt gegeven door: @A =,@q g. De compliantie van de buis is gedenieerd door C = l(@a=). Geef met behulp van deze denitie een uitdrukking voor het verschil van de ingaande en uitgaande volumestroom q c = q i, q o. h. Laat zien dat geldt: p i, p o = L @q i + Rq i en p o = R p (q i, C o ) i. Als de ingansow in de buis wordt onderbroken, vindt men na enige tijd een exponentiele daling van de druk p o volgens p o / e,t=. Geef een schatting van de karakteristieke tijd uitgedrukt in de modelparameters (R; R p ;L;C). j. Laat zien dat voor harmonische functies q i geldt: ^p i R p = R + i!l + ^q i 1+i!R p C 3
Tentamen Cardiovasculaire (Humane) Stromingsleer 4A690 (3T160) blad 4/4 op vrijdag 13 augustus 1999, 14-17 uur 3. De voortplanting van een drukgolf in een met vloeistof (dichtheid ) gevulde exibele leiding (doorsnede oppervlak A 0 )worden bij benadering beschreven door: 8 >< B 1 + @q =0 >: B 2 + @q =0 met p en q de verstoringen van druk en volumestroom en B 1 en B 2 constanten. a. Wat is de fysische betekenis van beide vergelijkingen en onder welke voorwaarden zijn ze van toepassing? b. Wat is de fysische betekenis van de coecienten B 1 en B 2? c. Stel dat in de buis een harmonische drukverstoring bestaat met hoekfrequentie! en dat deze verstoring zich voortplant met golfgetal k 0 en admittantie Y 0. Geef uitdrukkingen voor k 0 en Y 0 in termen van de relevante gegeven parameters. d. De leiding wordt op z = 0 verbonden met een tweede leiding. De golf loopt in de positieve z-richting, refelecteert op z = 0 en gaat gedeeltelijk door in de tweede leiding. De refelectiecoecient bedraagt, =, 1. Wat leert ons dat 2 over de coecienten B 1 en B 2 voor de tweede leiding, die we 1 en 2 zullen noemen ter onderscheid. e. Voor de situatie zoals geschetst onder (d) meten we de 'lokale' reectiecoecient r = p r =p i op een afstand L links van z =0. De symbolen p r en p i zijn complexe amplitudes. We vinden dat r = r 0 =, 1. Wat leert ons dat over L? 2 4
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE, groep Transportfysica FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE, groep Materials Technology Antwoorden bij tentamen Cardiovasculaire (Humane) Stromingsleer (4A690,3T160) op vrijdag 13 augustus 1999, 14-17 uur 1. Antwoorden: a. Ja, dit product is gelijk aan 2. b. Ja, de ingangsimpedantie (^p=^q) op een bepaalde locatie is een eigenschap van het hele stelsel erachter de longitudinale impedantie ( @ ^p =^q) hangt alleen van locale eigenschappen af. c. Ja, dan =0:01 q 2=3 10,6 15 en dus vrijwel wrijvingsloos dus druk en ow uit phase: i!^u = @ ^p. d. Nee, voor zwak gekromde bochten is het Deangetal de enige dimensieloze groep: Dn = 1=2 Re kromtestraal 4 maal kleiner en U dus Re 2 maal kleiner geeft gelijke Dn. e. Nee, juist afnemen. De inlooplengte is evenredig met Re en dus omegekeerd evenredig met de viscositeit. f. Ja, secundaire wervel zichtbaar dus wrijving speelt een rol dus hogere snelheidsgradienten aan buitenbocht. g. Ja, per denitie is de Moens-Korteweg golfsnelheid gelijk aan de de golfsnelheid voor!1. h. Ja. Daar speelt wrijving door viscositeit van de vloeistof geen belangrijke rol. i. Ja, De=W e =(=)=(V=a) =a=v = Sr. j. Nee. De viscositeit wordt juist hoger. Wel wordt het transporterend vermogen voor zuurstof hoger. 2. Antwoorden: a. u = u=u, r = r=a, z = z=l, t =!t en p = p=p 0 geeft: U! @u =,p 0 l + U 1 a 2 r 5 @ @r (r@u @r )
a 2! @u =,p 0a 2 Ul + 1 @ r @r (r@u @r ) kies p 0 = Ul=a 2 dan: 2 @u = + 1 r r @! @r (r@u @r ) met: = a. b. Als quasi-statisch ( 1 en dus! a 2 =) dan doet de inertantie niet mee. Stroming laminair en volledig ontwikkeld dus Re en dus jq i j laag. Voor constante diameter moet bovendien ldp=dz p. R p moet bekend zijn en voor dominante R laag. DV: triviaal ( 1). c. Twee maal integreren en randvoorwaarden invullen geeft: u(r) =, 1 4 (a2,r 2 ) Nogmaals integreren geeft ow: q =, 8 p =,l! R = 8l a 4 d. Nu moet juits 1 en dus! a 2 =. Voor dominante L kan R p het beste zo laag mogelijk zijn zodat de druk bij de compliantie ongeveer 0 is. DV: triviaal ( 1). e. Integreren over de lengte van de buis: dus: @q =,A p = l @q a 2 = a2 l p! L = l a 2 f. Beschouw een stukje dz in lengterichting van de buis. Dan geeft de massabalans: (q(z + dz), q(z)) dt =, (A(t + dt), A(t)) dz en dus met dz! 0: @q =,@A 6
g. @A = @A = C l Het opgeslagen volume is l @q q c = C h. Uit voorafgaande volgt: 8 >< >: p o, p i q c p i, p o =(q i,q c )R p =,l C l Eliminatie van q c geeft gevraagde. i. Uit de tweede vergelijking uit (h) volgt: p o = R p C o en dus: = L @q i + Rq i = C o met als oplossing p o = Ae t=rpc en dus = R p C: de RC-tijd. j. Substitueer p i = ^p i e i!t, q i = ^q i e i!t en p o = ^p o e i!t in de vergelijkingen uit (h) en elimineer ^p o. 3. Antwoorden: a. De behoudswetten van massa en impuls. Geldig indien: V=c 0 1, =a 0 1, A=A 1. Verder moet wrijving verwaarloosbar zijn, dus = a 0 q!= 1. () b. B 1 is de compliantie = (da=dp) 0, B 2 = A 0 =. ( 2pnt) c. Vul in, p = ^pe i(!t,kz) en q = ^qe i(!t,kz) B 1 i!^p, ik 0^q =0,B 2 ik 0 ^p + i!^q =0 Oplossen geeft: () k 2 0 =! 2 B 1 B 2 k 0! = s B1 B 2 ^q ^p = Y! 0 = B 1 k 0 = q B 2 B 1 7
d. Reectie: of Y 1 = Y 0 (), o = Y 0, Y 1 = Y 0 + Y 1 s 1 0 = 1,, 0 =3. B 1 B 0 1+, 0 p B0 B 1, p 0 1 pb0 B 1 + p 0 1 =, 1 2 e. Dat L een geheel aantal malen een halve golengte is. () 8