Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les 2: en differentiaalrekening Dr Harm van der Lek vdlek@vdleknl Natuurkunde hobbyist Programma 211 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel 1 Matrix vermenigvuldiging 2 Coördinaten transformatie 1 Bepaalde integraal 2 Primitiveren 1 Pijlen 2 Vector algebra 3 Vector ruimtes 4 Vector producten 1 Definitie afgeleide functie 2 Standaard functies 4 Partiële afgeleiden 1 Vectorvelden 2 1-vormen 3 2-vormen 1
Matrix vermenigvuldiging, inverse matrix Einstein sommatie conventie: Niet commutatief: Eenheidsmatrix: Inverse matrix: 3 Lineaire vergelijkingen oplossen Matrix notatie: (a1) 3 keer van (b1) aftrekken (b2) 3 keer van (a2) aftrekken (a3) delen door 2 4 2
Praktijkgeval; opgave 24 Opgave: Bereken de 4 bij 4 matrix a Direct b Via 2 bij matrixes: Schrijfwerk beperken door: 5 Programma 212 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel 1 Matrix vermenigvuldiging 2 Coördinaten transformatie 1 Bepaalde integraal 2 Primitiveren 1 Pijlen 2 Vector algebra 3 Vector ruimtes 4 Vector producten 1 Definitie afgeleide functie 2 Standaard functies 4 Partiële afgeleiden 1 Vectorvelden 2 1-vormen 3 2-vormen 3
Coördinaten transformatie (andere basis) Stel we hebben een vector In oude coördinaten: In nieuwe coördinaten: O Vergeet dit maar Praktijk: andersom! 7 Coördinaten transformatie de praktijk Notatie soms ook: maar dat kan verwarrend zijn Er immers maar één vector Notatie ook: Gebruik boven- en onder indexen Einstein Sommatie conventie Ter vergelijking: Bewijs hiervan is een typisch voorbeeld van gemanipuleer met deze notatie: What s in the name 8 4
Programma 221 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel 1 Matrix vermenigvuldiging 2 Coördinaten transformatie 1 Bepaalde integraal 2 Primitiveren 1 Pijlen 2 Vector algebra 3 Vector ruimtes 4 Vector producten 1 Definitie afgeleide functie 2 Standaard functies 4 Partiële afgeleiden 1 Vectorvelden 2 1-vormen 3 2-vormen Afgeleide van een functie Officiële definitie: Voorbeeld: Meetkundig: f (x) is de richtingscoëfficient van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (x,f(x)) Pathologisch Niet differentieerbaar, Wel continu Niet eens continu Makkelijk: en 10 5
Notatiewijzen; Hogere afgeleiden Geen quotient! Operator Flux notatie van Newton Wiskundig dubieus (nu: differentiaal vormen) Vooral als variabele de tijd is (vermoeden) Lineairiteits regels (makkelijk bewijsbaar) 11 Programma 222 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel 1 Matrix vermenigvuldiging 2 Coördinaten transformatie 1 Bepaalde integraal 2 Primitiveren 1 Pijlen 2 Vector algebra 3 Vector ruimtes 4 Vector producten 1 Definitie afgeleide functie 2 Standaard functies 4 Partiële afgeleiden 1 Vectorvelden 2 1-vormen 3 2-vormen 6
Afgeleide sinus A B A B C Wellicht is C=0!? Alternatief: Schrijf 13 Afleide van een exponentiële functie Dus: De afgeleide van een exponentiële functie is een constante maal die functie zelf en die constante is de waarde van die afgeleide voor x=0 Voor een bepaalde waarde van tussen 2 en 3 zal gelden: C=1 Deze waarde noemen we Dus: ( 2,71828183 ) het grondtal van de natuurlijke logarithmen NB Later blijkt: 14 7
Programma 223 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel 1 Matrix vermenigvuldiging 2 Coördinaten transformatie 1 Bepaalde integraal 2 Primitiveren 1 Pijlen 2 Vector algebra 3 Vector ruimtes 4 Vector producten 1 Definitie afgeleide functie 2 Standaard functies 4 Partiële afgeleiden 1 Vectorvelden 2 1-vormen 3 2-vormen Productregel f en g zijn functies van x Dan is het product fg ook een functie van x: We zien al: De afgeleide van een product is de afgeleide van de één maal de ander plus de één maal afgeleide van de ander Andere notaties: 16 8
Toepassing: x n Vermoeden: Is waar voor n = 0, 1, 2 en 3 Vermoeden OK voor n-1 Vermoeden OK voor 1 OK n-1 OK n Volledige inductie: OK voor n=0,1,2,3,4, Waar voor n = -1? Beide kanten differentiëren: Dus: Dus vermoeden OK voor n = -1 In feite: Opgave 31: doe dit rechtsreeks met de definitie 17 Kettingregel Samengestelde functie Voorbeelden: Afgeleide van de buitenste (met binnenste ingevuld) maal afgeleide van de binnenste Idee: Check: Belangrijk geval: (c een constante) Differentiaal vergelijking: Oplossing: Pendule (harmonische Oscillator) 18 9
Quotientregel en inverse functies Omgekeerde: Bv: Eerst de noemer noemen Quotient regel Beide kanten differentiëren: In feite: 19 Programma 224 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel 1 Matrix vermenigvuldiging 2 Coördinaten transformatie 1 Bepaalde integraal 2 Primitiveren 1 Pijlen 2 Vector algebra 3 Vector ruimtes 4 Vector producten 1 Definitie afgeleide functie 2 Standaard functies 4 Partiële afgeleiden 1 Vectorvelden 2 1-vormen 3 2-vormen 10
Partiële afgeleiden Kettingregel Stel u en v zijn functies van x en f een functie van twee variabelen Notatie hogere afgeleiden: Meer variabelen: Einstein sommatie conventie: 21 Programma 22klaar 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel 1 Matrix vermenigvuldiging 2 Coördinaten transformatie 1 Bepaalde integraal 2 Primitiveren 1 Pijlen 2 Vector algebra 3 Vector ruimtes 4 Vector producten 1 Definitie afgeleide functie 2 Standaard functies 4 Partiële afgeleiden 1 Vectorvelden 2 1-vormen 3 2-vormen 11