TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel A2 en B, blad 1/6 vrijdag 6 november 2009, 9.00-12.00 uur Het tentamen levert maximaal 100 punten op. De verdeling is bij de vragen aangegeven. Deel A2 omvat opgaven 1 en 2 en levert maximaal 40 punten op. Deel B omvat opgaven 3, 4 en 5, en levert maximaal 60 punten op. De extra opgave telt niet mee bij het bepalen van het eindcijfer maar is onderdeel van het star honoursprogramma, bedoeld voor studenten van generatie 2009. De tijd bedraagt 3 uur ongeacht of ervoor wordt gekozen deel A2 te laten vervangen door het al gemaakt deel A1 in de vorige sessie. Er wordt dus niets tussentijds opgehaald. Geef bij alle antwoorden een argumentatie. 1
Deel A2 (opgaven 1 en 2): 1. De wrijvingskracht F w, die werkt op een bol met straal R die zich met een snelheid v door een medium met viscositeit η beweegt wordt beschreven door de wet van Stokes: F w = 6πRη v (a) Toon aan dat het fysisch correct is de viscositeit η uit te drukken in kg m 1 s 1. De volumestroom q (uitgedrukt in m 3 s 1 ) door een klein bloedvat hangt af van de lengte l en de binnenstraal R van het vat (zie figuur), de drukval p tussen het begin en eind van het vat (uitgedrukt in Pa) en de viscositeit van het bloed η. l q R p 1 p = p 1 p 2 p 2 5 pnt (b) Toon aan dat de relatie tussen bovenstaande grootheden door 2 dimensieloze groepen wordt bepaald. (c) In bovenstaand probleem wordt gezocht naar het volgende dimensieloze verband tussen l, R, p, q en η: Π(l, R, p, q, η) = 0 [l a l R a R ( p) a p q a q η a η ] = 1. Laat zien dat een mogelijke eerste dimensieloze groep wordt gegeven door π 1 = l R. (d) Bepaal een tweede dimensieloze groep π 2, onder de voorwaarde a l = 0. (e) Vanuit de stomingsleer kan worden afgeleid dat: p = 8ηl πr 4 q. Laat zien dat deze relatie in overeenstemming is met de hiervoor bepaalde dimensieloze groepen π 1 en π 2. We gebruiken de relatie uit (e) om de viscositeit te meten. We nemen een cilindrische buis met straal R = (2.0 ± 0.1) mm en lengte l = (100 ± 1) mm. Aan het ene uiteinde brengen we een druk p 1 = (1.00 ± 0.01) kpa aan, en aan het andere uiteinde een druk p 2 = (2.00 ± 0.01) kpa. We meten een volumestroom q = (20 ± 1) µl/s. 6 pnt (f) Bereken de waarde en nauwkeurigheid van η in de vorm η ± η, met hierin het juiste aantal significante cijfers. 2
2. Een bol met massa m hangt aan twee massaloze touwen, met lengte L 1 en L 2, waarin spankrachten T 1 en T 2 heersen. Touw 1 maakt een hoek θ met de e y -richting, touw 2 is geörienteerd in de e x -richting. De versnelling g van de zwaartekracht werkt in negatieve e y -richting. O e y e x θ T 1, L 1 g T 2, L 2 s m (a) Teken het free-body diagram voor de bol. (b) Gebruik de tweede wet van Newton om de krachten T 1 en T 2 te bepalen. Op een zeker moment t = 0 wordt touw 2 doorgeknipt. De oscillerende beweging van de bol als functie van de tijd t kan dan beschreven worden in termen van de uitwijking s ten opzichte van de vertikale evenwichtsstand: s(t) = Ae γt cos(ωt) waarin γ en ω positieve constanten zijn. (c) Welke dimensie hebben de parameters γ en ω? Welke fysische betekenis hebben deze parameters? (d) Bereken de snelheid van de bol als functie van de tijd. (e) Bereken de versnelling van de bol als functie van de tijd. Na verloop van tijd is de beweging van de bol uitgedempt, en hangt de bol bewegingsloos aan touw 1. Vervolgens wordt, op tijdstip t 1, ook touw 1 doorgeknipt. We beschouwen nu de valbeweging van de bol, en verwaarlozen daarbij de luchtwrijving. (f) Bereken de vertikale snelheid van de bol als functie van de tijd t, vanaf t = t 1. (g) Bereken de vertikale positie van de bol als functie van de tijd t, vanaf t = t 1, ten opzichte van de oorsprong O. 3
Deel B: opgaven 3, 4 en 5 3. We beschouwen een wielrenner tijdens een klimtijdrit in de Tour de France. De wielrenner wordt, inclusief zijn fiets, voorgesteld als een puntmassa met massa m. Hij overbrugt van de start in punt A tot de finish in punt B een hoogteverschil h onder een hoek α. De ervaren wielrenner kan zijn race goed indelen: hij fietst de hele race met een constant maximaal vermogen P max, en bereikt daarmee een maximale, maar constante snelheid v 1. De gravitatieversnelling heeft een grootte g. Vooralsnog verwaarlozen we de invloed van luchtwrijving. g m v B h A α (a) Bereken, met behulp van een energie-beschouwing, de totale mechanische arbeid, die de wielrenner tijdens de tijdrit verricht. (b) Gebruik een energie-beschouwing om de tijd T, die de wielrenner nodig heeft om de tijdrit te af te leggen, uit te drukken in onder andere P max. (c) Gebruik een kinematische beschouwing om de tijd T, die de wielrenner nodig heeft om de tijdrit te af te leggen, uit te drukken in onder andere v 1. (d) Laat zien dat antwoorden uit (b) en (c) leiden tot de volgende relatie tussen v 1 en P max : v 1 = P max mg sin α (e) Bepaal op basis van het antwoord in (d) de kracht die de wielrenner levert. Geef een interpretatie van deze kracht. Na het bereiken van de finish rust de wielrenner uit, waarna hij, zonder een trap te doen, aan de afdaling terug naar de start in punt A begint. (f) Bereken met een energiebeschouwing de snelheid v als functie van de afgelegde afstand s. (g) Al snel bereikt de wielrenner snelheden waarbij luchtwrijving niet meer verwaarloosd mag worden. Onder invloed van deze wrijvingskracht, met een grootte F w = kv 2, bereikt hij een constante snelheid v 3. Schrijf, gebruik makend van de tweede wet van Newton, de snelheid v 3 als functie van m, g, α en k. (h) De wielrenner gaat nu op maximaal vermogen P max meetrappen. Geef een verband tussen de nu bereikte snelheid v 4 en m, g, α, k en P max. Hint: gebruik de afgeleide van de energiebalans naar de tijd. 4
4. Een cilindrisch bloedvat met lengte l, wanddikte h en inwendige straal a wordt aan beide uiteinden afgesloten, en vervolgens belast met een interne druk p waardoor de straal toeneemt van a 0 tot a (zie onderstaande figuur A). In de wand ontstaat een omtreksspanning σ o. Neem aan dat de lengte l en de wanddikte h niet veranderen. Het materiaalgedrag van de vaatwand wordt gekarakteriseerd met de Young s modulus E. h 2a 0 p = 0 lengte l v(x) A v(x + x) h p 2a x A 1, v 1, p 1 figuur A figuur B figuur C A 2, v 2, p 2 (a) Druk de omtreksspanning σ o in de vaatwand uit in p, h en a. Beschouw daartoe het snede-oppervlak door het vat, weergegeven in het onderste deel van figuur A. Breng de weggesneden vaatwand en vloeistof in rekening met de juiste krachten, en pas de tweede wet van Newton toe. (b) Druk omtreksspanning in de vaatwand uit in E, a, en a 0. (c) Druk op basis van de antwoorden in (a) en (b) de omtreksrek uit in p, E, a en h. We beschouwen de stroming van bloed door een elastisch stukje bloedvat met een lengte x en een dwarsdoorsnedeoppervlak A, dat niet van de positie x afhangt (zie figuur B). Op zeker moment t is bedraagt de gemiddelde instroomsnelheid v(x) en de gemiddelde uitstroomsnelheid v(x + x). Het bloed gedraagt zich incompressibel. (d) Bereken de verandering A van het dwarsdoorsnedeoppervlak A gedurende een klein tijdsinterval t. (e) Leid een relatie af tussen da/dt en dq/dx, waarbij q de volumestroom voorstelt. We beschouwen de stroming door een bloedvat, dat door aderverkalking star geworden is (zie figuur C). Op positie 1 heeft het bloedvat een dwarsdoorsnede-oppervlak A 1 en stroomt het bloed met een gemiddelde snelheid v 1 bij een druk p 1. Even verderop is het bloedvat vernauwd tot een dwarsdoorsnede-oppervlak A 2, en stroomt het bloed met een gemiddelde snelheid v 2 bij een druk p 2. Het bloed gedraagt zich incompressibel. (f) Druk de snelheid v 2 in de vernauwing uit in v 1, A 1 en A 2. (g) Onder welke voorwaarden mag de wet van Bernoulli worden toegepast? (h) Neem aan dat de wet van Bernoulli mag worden toegepast. Bereken met deze wet het drukverschil p 1 p 2. 5
5. Een massa m is via twee veren, met veerconstanten k 1 en k 2, verbonden aan de vaste wereld. Op positie x = 0 zijn beide veren onbelast. Voor t < 0 wordt de massa vastgehouden op positie x = x 1. Op t = 0 wordt de massa losgelaten. De bewegende massa ondervindt geen wrijving en geen invloed van de zwaartekracht. k 1 m k 2 x (a) Laat met behulp van de tweede wet van Newton zien dat de beweging van de massa voldoet aan de trillingsvergelijking. (b) Druk de periodetijd T van de trilling uit in m, k 1 en k 2. (c) Toon aan dat de positie van de massa kan worden beschreven door: x(t) = A sin (ωt + φ) (d) Toon aan dat A = x 1 en φ = π/2. (e) Op welke tijdstippen is de potentiële energie van het massa-veer-systeem maximaal? (f) Op welke tijdstippen is de kinetische energie van het massa-veer-systeem maximaal? De massa m wordt nu met beide veren verbonden zoals in onderstaande figuur. Ook nu zijn beide veren onbelast op positie x = 0. k 1 k 2 m x 1 x 4 pnt (g) Laat met behulp van de tweede wet van Newton zien dat ook nu de beweging x(t) van de massa voldoet aan de trillingsvergelijking. Druk periodetijd T van de trilling uit in m, k 1 en k 2. Hint: maak gebruik van de verplaatsing x 1 van het (massaloze) verbindingspunt tussen de veren. 6
Een belangrijke component in de achillespees is collageen. De structuur van collageen leidt ertoe dat de potentiële energie U, die in de pees wordt opgeslagen als functie van de uitrekking x, geschreven kan worden als: U(x) = 1 2 ab ( e x/b 1 ) 2 x 0 0 x < 0 (a) Bereken de kracht, die in de pees wordt opgewekt, als functie van de uitrekking x. Interpreteer het gedrag voor x < 0. Een massa m is via twee identieke pezen, beschreven door bovenstaande functie U(x), verbonden aan de vaste wereld. Op positie x = 0 zijn beide pezen onbelast. pees 1 m pees 2 x (b) Leid de differentiaalvergelijking af, waarmee de beweging van de massa beschreven wordt. (c) Voor x b kan aangetoond worden dat e x/b 1 + (x/b). Geeft een schatting van de hoekfrequentie van de massa voor x b. 7
1. Antwoorden: TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Antwoorden by het tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) vrijdag 6 november 2009, 9.00-12.00 uur 1 pnt (a) [η] = [F w ][R] 1 [v] 1 = (MLT 2 )(L 1 )(L 1 T) = ML 1 T 1, dus kg m 1 s 1 is een passende eenheid. (b) Er zijn 5 fysische grootheden (q, l, R, p, η) en 3 basis dimensies (L, M, T). Er zijn dus 5-3=2 dimensieloze groepen die het probleem beschrijven. (c) [ p] = (MLT 2 )(L 2 ) = ML 1 T 2. invullen van de dimensies: Uit [l a l R a R p ap q aq η aη ] = 1 volgt dan bij Dit geeft: 1 = L a l L a R (ML 1 T 2 ) ap (L 3 T 1 ) aq (ML 1 T 1 ) aη = M 0 L 0 T 0 L : a l + a R a p + 3a q a η = 0 M : a p + a η = 0 T : 2a p a q a η = 0 Voor π 1 = l/r geldt a l = 1, a R = 1, a p = a q = a η = 0. Deze oplossing voldoet aan bovenstaand stelsel vergelijkingen. (d) We nemen a l = 0 en kiezen (bijvoorbeeld) a p = 1. Dan volgt a η = a p = 1, a q = 2a p a η = 1 en tenslotte a R = a l + a p 3a q + a η = 3. Daarmee volgt als dimensieloze groep π 2 = R3 p ηq. (e) De gegeven relatie kan geschreven worden als het volgende verband tussen π 1 en π 2 : (f) Er geldt: R 3 p ηq = 8 π l R π 2 = kπ 1 met k = 8 π η = πr4 p 8lq η η = 4 R R + ( p) + l + q p l q Met ( p) = p 1 + p 2 volgt: η η 4 0.05 + 0.02 + 0.01 + 0.05 0.28 Invullen van de gemeten waarden levert tenslotte η = (3.1±0.9) 10 3 kg m 1 s 1, of, iets voorzichtiger, η p = (3 ± 1) 10 3 kg m 1 s 1. 8
2. Antwoorden: (a) Free body diagram: T 1 T 2 θ T 1 cos θ T 2 e y T 1 sin θ e x mg mg (b) De tweede wet van Newton levert: Fx = T 1 sin θ + T 2 = 0 Fy = T 1 cos θ mg = 0 Hieruit volgt T 1 = mg/ cos θ en T 2 = mg tan θ. (c) Er moet gelden [γt] = [ωt] = 1, dus [γ] = [ω] = T 1. De parameter 1/γ geeft aan op welke tijdschaal de amplitude van de trilling afneemt, de parameter ω komt overeen met de hoekfrequentie van de trilling. (d) Voor de snelheid geldt: v(t) = ds dt (e) Voor de versnelling geldt: a(t) = dv dt = A( γe γt ) cos(ωt) + Ae γt ( ω sin(ωt)) = Ae γt (γ cos(ωt) + ω sin(ωt)) = Aγe γt (γ cos(ωt) + ω sin(ωt)) Ae γt ( γω sin(ωt) + ω 2 cos(ωt) ) = Aγe γt ( (γ 2 ω 2 ) cos(ωt) + 2γω sin(ωt) ) (f) De bol versnelt onder invloed van de gravitatieversnelling g. Dus: v(t) = v 0 + t (g) Voor de positie geldt: t 1 a(t)dt = t t t 1 ( g)dt = g(t t 1 ) t y(t) = y 0 + v(t)dt = L 1 + ( g(t t 1 ))dt = t 1 t 1 L 1 + [ 1 2 gt2 + gt 1 t ] t t 1 = L 1 1g (t t 2 1) 2 9
3. Antwoorden: (a) Er geldt: E = U + K = W nc waarin W nc de door de fietser verrichte arbeid voorstelt. Omdat de snelheid constant is, geldt W nc = U = mgh. (b) De wielrenner levert de arbeid W nc met een constant vermogen P max en heeft dus een tijdsinterval T = mgh/p max nodig om boven te komen. (c) De afstand s AB = h/ sin α van A naar B wordt met een constante snelheid v 1 afgelegd in een tijd T = h/(v 1 sin α). (d) Er geldt dus: T = mgh P max = h v 1 sin α v 1 = P max mg sin α (e) Uit P = F v volgt in dit geval F = mg sin α. Deze kracht is precies gelijk aan de component van de zwaartekracht langs de helling naar beneden. Daarmee is de netto kracht langs de helling gelijk aan nul, en dus is de fietssnelheid constant. (f) Toepassing van E = U + K = W nc met W nc = 0 (de fietser trapt niet) en E(s = 0) = 0 levert 1 2 mv2 = mg h. Met h = s sin α volgt v = 2gs sin α (g) Volgens evenwicht van krachten langs de helling geldt: mg sin α kv 2 3 = 0 v 3 = mg sin α/k (h) Net als in (a) geldt U = W nc. Per tijdseenheid geldt : Met en: du dt = dw nc dt du dt = dmgh dt = mg dh dt = mg sin αds dt = mg sin αv 4 volgt: dw nc dt = P max F w v 4 mg sin αv 4 = kv 3 4 + P max Alternatief: aangezien de snelheid constant is, is de netto kracht gelijk aan nul. Voor de component langs de helling geldt, met de positieve richting in de richting van de snelheid: mg sin α + P max v 4 kv 2 4 = 0 (1) 10
4. Antwoorden: (a) Volgens de tweede wet van Newton geldt dat de som van de krachten, werkend op het snede-oppervlak, gelijk aan nul is. Dus p 2al σ o 2hl = 0 σ o = a h p (b) De omtrek van het vat neemt toe van 2πa 0 tot 2πa. De omtreksrek bedraagt dus ɛ o = (a a 0 )/a 0 De omtreksspanning bedraagt dan σ o = Eɛ o = E(a a 0 )/a 0 (c) Uit (a) en (b) volgt: σ o = a pa p = Eɛ ɛ = h Eh (d) Bij een incompressibele vloeistof leidt verschil tussen in- en uitstroom van het vaatsegment tot een verandering van het volume van het segment: V = v(x)a t v(x + x)a t = A x ofwel: A = (v(x) v(x + x))a t x (e) Herschrijven van het antwoord uit (d) geeft, gebruik makend van de volumestroom q = Av: A t = q(x) q(x + x) x Na het nemen van de limieten voor t 0 en x 0 volgt: da dt = dq dx (f) Voor een incompressibele vloeistof leidt behoud van massa tot gelijkheid van de volumestromen q door de twee oppervlakken, dus: q 1 = q 2 v 1 A 1 = v 2 A 2 v 2 = v 1 A 1 A 2 (g) De stroming moet wrijvingsloos, incompressibel, zijn en stationair zijn. (h) Bernoulli levert: 1 2 ρv2 1 + p 1 + ρgh 1 = 1 2 ρv2 2 + p 2 + ρgh 2 Omdat h 1 = h 2 volgt: p 1 p 2 = 1 2 ρ ( ) v2 2 v1 2 11
5. Antwoorden: (a) De tweede wet van Newton levert: ΣF x = ma x k 1 x k 2 x = m d2 x dt 2 d2 x dt 2 + k 1 + k 2 m x = 0 (b) Uit vergelijking met de standaard trillingsvergelijking volgt: (c) Er geldt: ω 2 = k 1 + k 2 m x(t) = A sin(ωt + φ) v(t) = Aω cos(ωt + φ) a(t) = Aω 2 sin(ωt + φ) T = 2π ω = 2π m k 1 + k 2 Invullen van x(t) en a(t) in de trillingsvergelijking toont aan dat deze oplossing voldoet. (d) Uit v(0) = 0 volgt φ = π/2. Vervolgens volgt uit x(0) = A dat A = x 1. (e) De potentiële energie is gelijk aan: U = 1 2 (k 1 + k 2 )x 2 Deze is maximaal als x maximaal is, dus voor: sin(ωt + φ) = ±1 ωt + φ = kπ + π 2 (f) De kinetische energie is gelijk aan: E = 1 2 mv2 Deze is maximaal als v maximaal is, dus voor: t = 1 ω cos(ωt + φ) = ±1 ωt + φ = kπ t = 1 ( φ + kπ) ω (g) De krachten F 1 en F 2 in beide veren zijn gelijk: F = F 1 = k 1 x 1 = F 2 = k 2 (x x 1 ) Elimineren van de verplaatsing x 1 levert: F = k 1k 2 k 1 + k 2 x De tweede wet van Newton levert dan: k 1k 2 x = m d2 x k 1 + k 2 dt 2 d2 x dt 2 + 1 m en dus geldt: T = 2π ω = 2π m(k 1 + k 2 ) k 1 k 2 k 1 k 2 x = 0 k 1 + k 2 ( π 2 φ + kπ ) 12
Antwoorden: (a) F pees (x) = du dx = a ( e x/b 1 ) { ( a e x/b 1 ) e x/b x 0 e x/b 0 x < 0 Bij samendrukken, dus voor x < 0, zal een pees, net als een elastiekje, gaan kronkelen : je kunt er dan geen energie in opslaan. (b) Er wordt maar één pees tegelijkertijd opgerekt. De tweede wet van Newton levert dan: a ( e x/b 1 ) e x/b = m d2 x dt 2 x 0 a ( e x/b 1 ) e x/b = m d2 x dt 2 x < 0 (c) Voor x b kan de uitdrukking uit (a) geschreven worden als: F pees (x b) { a b x x 0 0 x < 0 De vergelijking uit (b) wordt hiermee: d 2 x dt 2 + a bm x = 0 Dit is een trillingsvergelijking voor een trilling met ω = a/(bm) 13