Appendix A: oplossingen van de opgaven

Transcriptie

1 Appendi A: oploingen vn de opgven A. Lineire lgebr Bij prgrf. J- 6N K O K-7O ) ) = K 9O K O L -P J N K O K O b) = K-O K O L P J N K O KO c) = KO K O L 9P ) ) ( c) = 66 b) ( b) (c + d) = 6 c) ( + b c) (c + d) = 6 ) = ; b = ; c = ; d = 78 Bij prgrf. ) A = - f p ; B = f -p; C = - e - 8 o ) Symmerich: B, C, E. Scheefymmerich: A, D. ) We onbinden de vierkne mri A l volg: A = (A + A) + (A A ) = (A + A ) + (A A ) = B + C Z [ \ Z [ \ B i ymmerich, C drenegen cheefymmerich: B C B = (A + A ) = (A + A) = (A + A ) = B B: ymmerich C = (A A ) = (A A) = (A A ) = C C: cheefymmerich ) ) e 9 o b) e o c) f - -9 p d) - e o

2 Appendi A: oploingen vn de opgven ) ) e o b) f - -8 p c) De uidrukking A C + B i nie gedefinieerd: A en C zijn (,)-mrice, B i drenegen een (,)-mri. 6) ) A A = A = A B = f p ; B B = B = f f p ; B A = f - - -p; A B B A b) De mriproducen A A = A en B B = B ( mchen ) ben nie. J A B = K 8 e o K ; B A = K K L 9N O 8O - -O O 8 P De mrice A B en B A zijn nie vn hezelfde ype en kunnen du nie gelijk zijn. p 7 7) ) A B = e o ; (A - B) C = e 9 9 b) B C = f p ; A (B C) = e o 7 o c) A (B C) = e o 6 d) (A B) = 7 f - 9 p Bij prgrf. ) ) de A = b) de B = c) de C = ) ) b) 6 c) ) ) λ =,6, λ =,6 b) λ =, λ =, λ =

3 A. Lineire lgebr ) ) de A bev wee evenredige kolommen (de e kolom i ml de e kolom). b) de B bev een nulvecor (de e kolom). c) de C bev wee idenieke rijen (de e en e rij). d) de D bev wee evenredige rijen (de e rij i ml de e rij). ) ) de A = ( ) b) de A = ) ) Onwikkelen nr de e rij: de A = b) Onwikkelen nr de e kolom: de A = - - = = 66 = 6 ( ) = = 8 ( ) = = ( 7) 9 = 6 7) ) A i een (onder)driehoekmri: de A = ( ) = b) B i een digonlmri: de B = = 8 8) ) Bij de e rij word ml de e rij opgeeld. De nieuwe deerminn bev dn wee gelijke rijen (de e en e rij): A = 6 8 = = - - b) Bij de e kolom ellen we weeml de e kolom op en we krijgen een deerminn me wee evenredige kolommen (de e en e kolom): A = - - Z [ \ Z [ \ Z [ \ Z [ \ 8 Z [ \ = Z [ \ Z [ \ - - Z [ \ =

4 Appendi A: oploingen vn de opgven 9) ) de C = de (A B) = (de A) (de B) = ( ) ( ) = b) de C = de (A B) = (de A) (de B) = 68 8 = 6 ) Door e onwikkelen nr de e rij krijgen we: M = r F = ( Nm) e + ( Nm) e + ( Nm) e = ) Er geld: b c = - -6 = - f p Nm ) ) We ellen bij de e, e en e kolom ml, ml rep. 6 ml de e kolom op en onwikkelen vervolgen nr de e rij: de A = = = Z [ \ b) We ellen eer bij de e kolom ml en bij de e kolom ml de e kolom op en onwikkelen dn nr de e rij: de A = = Nu ellen we bij e kolom ml de e kolom op en onwikkelen nr de e rij: de A = = ( ) = 96-9 Z [ \ 8 Bij prgrf. ) de A = 9 A i regulier. de B = B i ingulier. de C = (onwikkelen nr de e kolom) C i ingulier. ) ) de A = A i regulier. b) de A = A i regulier. A in { - co { = e o A, - = e o co { in { -,,

5 A. Lineire lgebr c) de A = A i regulier. d) de A = 6 A i regulier. A = f p A = f p ) A A = e o = E, de A = B B = e o = e o = E, de B = ) De mri A kn nie orhogonl zijn, omd zijn rij en kolomvecoren nie genormeerd zijn. B en C zijn drenegen orhogonle mrice: B B 9 = f p = f p = E, C C = f p = E ) A = A = e - o 6) A A = f p = E, B B = f p = E 7) De kolomvecoren = f p, = - f p en = f p zijn genormeerd en orhogonl: = + + =, = (- ) + + = = (- ) + + (- ) = 6 - = fp f p = ( + + ) = - = fp f p = ( + + ) = = f p f p = ( + ) = Op dezelfde mnier kunnen we bewijzen d de rijvecoren een orhonorml yeem vormen.

6 6 Appendi A: oploingen vn de opgven A A = / / -/ / / -/ 6 / 6 -/ 6 f p, de A = 8) Rg (A) =. Argumenie: omd de A = i A ingulier en du Rg (A) <. Er i een vn nul verchillende onderdeerminn me wee rijen, bijvoorbeeld: D = = 8 Rg (A) = Rg (B) =. Argumenie: B i vn he ype (, ), drom kn Rg (A) hoogen gelijk n zijn. Schrppen we in B de e kolom, dn krijgen we een vn nul verchillende onderdeerminn me drie rijen: 7-6 = Rg (B) = Rg (C) =. Argumenie: C i vn he ype (, ). Drom geld Rg (C). Alle onderdeerminnen me drie rijen worden nul, er i echer één vn nul verchillende onderdeerminn me wee rijen (we chrppen de e en e rij en de e kolom): = Rg (C) = Rg (D) =. Argumenie: D i vn he ype (, ), drom geld Rg (D). Er i een onderdeerminn me wee rijen die vn nul verchil (we chrppen de e kolom): - = Rg (D) = 9) De mri word me behulp vn de ngegeven elemenire omvormingen in de rpeziumvorm gebrch. ) Rij word me rij verwield. Bij de e rij word ml en bij de e rij ml de e rij opgeeld. Bij de e rij word, ml de e rij opgeeld, drn word de e rij door, gedeeld. De mri heef nu de rpeziumvorm: - f p Rg (A) = b) Bij de e rij word ml en bij de e rij ml de e rij opgeeld. Rij door en rij door delen. Bij de e rij word ml en bij de e rij ml de e rij opgeeld. De kolommen en verwielen. De mri heef nu de rpeziumvorm: J -N K O K O K O Rg (B) = K O L P nulrij

7 A. Lineire lgebr 7 c) Bij de e rij word ml de e rij opgeeld. Bij de e rij word nu ml de e rij opgeeld. De mri heef nu de rpeziumvorm: f p Rg (C) = d) Bij de e, e en e rij ellen we repecievelijk, en ml de eere rij op. De e rij word door gedeeld. Vn de e en e rij word de e rij fgerokken. De e rij word vn de e fgerokken. De mri heef nu de rpeziumvorm: J - N K O K -6 O K -O Rg (D) = K O L P nulrij ) We verwielen de e en e rij We ellen bij de e, e, e en e rij repecievelijk,, en ml de e rij op. Eer word vn de e rij de e rij, drn vn de e rij de e rij fgerokken. De e rij word door gedeeld en vervolgen me de e rij verwield. Bij de e rij word 7 ml en bij de e rij 6 ml de e rij opgeeld. We ellen bij de e rij ml, en bij de e rij ml de e rij op. De e rij word vn de e fgerokken. De mri heef nu de rpeziumvorm: J - N K O K - - -O K - O Rg (A) = K O K O L P A i du een reguliere mri. Bij prgrf. ) De ngevulde coëfficiënenmri (A c) word in de rpeziumvorm gebrch. He elel lineire vergelijkingen i nu een recurief elel en word ucceievelijk opgelo. ) (A c) = = 6 f p = nulrij Oploing: =, =

8 8 Appendi A: oploingen vn de opgven b) (A c) = = f p = 8 Oneindig veel oploingen ( = λ i de prmeer): + = 7 6 = λ, = λ, = λ, = λ (λ R ) J - - K K c) (A c) = K - -9 K L - N O O 8O O -P Oploing: =, =, =, = = + + = 9 = 8 = ) Door elemenire rij-omvormingen kn de ngevulde coëfficiënenmri in de volgende rpeziumvorm gebrch worden: J K K (A c) = K K L - - N O O O O - P Rg (A) =, Rg (A c) = en du Rg (A c) Rg (A). He elel i nie oplobr. ) De coëfficiënenmri A krijg door elemenire rij-omvormingen de volgende rpeziumvorm: J - N K O K - -O K O Rg (A) = K O L P nulrij Du i r = n =, d wil zeggen he homogene elel heef lleen de rivile oploing. ) He homogene elel i nie-rivil oplobr, l geld r < n =. De coëfficiënenmri A kn door elemenire rij-omvormingen in de volgende rpeziumvorm gechreven worden: J K K K K L N O -O O O P Rg (A) = nulrijen r =, n =, d wil zeggen r < n. He elel i du nie-rivil oplobr. He recurieve elel vergelijkingen i: + + = = Oploing ( = λ i de prmeer): = λ, = λ, = λ (λ R )

9 A. Lineire lgebr 9 ) De coëfficiënenmri A word n de elemenire rij-omvormingen: - - f p Rg (A) = nulrij r =, n =, d wil zeggen r < n. He elel i du nie-rivil oplobr. He recurieve elel i: + = = Oploing ( = λ i de prmeer): = λ, = λ, = λ (λ R ) 6) De coëfficiënendeerminn moe elken nul worden: ) λ =, λ = b) De coëfficiënendeerminn word weeml cher elkr nr de e rij onwikkeld: λ =, λ = (de beide overige oploingen zijn oegevoegd comple). 7) We brengen de ngevulde coëfficiënenmri door elemenire omvormingen in de rpeziumvorm: ) + + = f p + = = Oploing: = = = (rivile oploing) J N + + = K O K - - O + = b) K O + = K O L P = Oploing: = = = = (rivile oploing) 8) Op de ngevulde coëfficiënenmri (A c) pen we de volgende elemenire omvormingen oe: f p Z Z Z f p f p Rg (A) =, Rg (A c) = He elel vergelijkingen i nie-oplobr omd Rg (A c) Rg (A).

10 Appendi A: oploingen vn de opgven 9) De ngevulde coëfficiënenmri word elken in de rpeziumvorm gebrch. ) = f p = 8 = Rg (A) = Rg (A c) = He elel heef precie één oploing: =, = 8, =. J K K - b) K -8 K L c) - N O -O O O P = + = 8 = = Rg (A) = Rg (A c) = He elel heef precie één oploing: =, =, =, =. J K K K K L - N O O O O nulrijen P Rg (A) = Rg (A c) = He elel kn opgelo worden, de verzmeling oploingen bev n r = prmeer (we kiezen en en ellen = λ en = μ). He recurieve elel luid: J K K d) K K K L + = + = Oploing: = λ + μ, = λ +, = λ, = μ (λ, μ R ) N O O -O O - O P + = = 9 = = 8 = Rg (A) = Rg (A c) = He elel heef precie één oploing: =,87, =,, =, =,6, =,7. ) He vierkne elel i jui dn eenduidig oplobr l de coëfficiënendeerminn een vn nul verchillende wrde heef. ) D = 8, D =, D =, D = Oploing: =, =, = b) D = 98, D = 6, D =, D = 8 Oploing: =, =, = c) D = 6, D = 9, D = 9 7 Oploing: =, = 6 d) D = 68, D =, D = 96, D = 88 Oploing: =, = 7, =

11 A. Lineire lgebr ) I + I + I I = (knooppunregel) _ I + 6 I = b I + 6 I = ` (mregel) I + 6 I = b Oploing: I =, A, I =, A, I =, A, I =, A ) A = $ C = $ 7 f p, B = f p - - $ f -6 - ) ) He elel vecoren bev de nulvecor (c = ) b) en c zijn collineir (niprllel ): c =. c) kn worden gechreven l lineire combinie vn en : = d) He nl vecoren (n = ) i groer dn de dimenie vn de ruime (m = ) wrui ze fkomig zijn (in R zijn miml wee lineir onfhnkelijke vecoren mogelijk). ) ) de A = de ( ) = = Rg (A) = n = vecoren zijn lineir onfhnkelijk b) de A = de ( b c) = = Rg (A) = n = vecoren zijn lineir onfhnkelijk c) De mri A = ( b) = bijvoorbeeld f = (e rij in A weggereep) p p bezi een weerijige onderdeeminn die ongelijk nul i, Zodoende i Rg (A) = en vnwege Rg (A) = n = zijn de vecoren en b lineir onfhnkelijk.

12 Appendi A: oploingen vn de opgven J N K O K 9O ) De mri A = de ( b c) = K O word me behulp vn de ondernde elemenire K O L P rij-omvormingen in de rpeziumvorm gebrch: rij en rij omwielen bij de e rij word -ml de e rij opgeeld en bij de e rij ml de e rij bij de e rij word -ml de e rij opgeeld De mri nu in de rpeziumvorm: J N K O K O K O Rg (A) = K O nulrijen L P Du: Rg (A) =, n = Rg (A) < n de vecoren zijn lineir fhnkelijk. Vecor c l lineire combinie vn en b: c = + b 6) de A = de ( b c) = - = Rg (A) < Du: Rg (A) < n = de vecoren zijn lineir fhnkelijk en du complnir. 7) de A = de ( ) = -m - m = λ + λ Voorwrde: r < n = de A = λ =, λ = 8) ) de A = b) de A = - = de vecoren zijn lineir onfhnkelijk - - = de vecoren zijn lineir fhnkelijk Bij prgrf j 6 - j ) ) A + B + C = e o + j - j + j b) A (B C) = - j - j e + 8j 7 + j c) A (B C) = 6 - j - 8j - j f 7+ j + j + j p 6-8j o 7+ 8j

13 A. Lineire lgebr ) ) A A = A + 6j + j j 8 = e o, A B = e o 6 + 9j 9-j - j --j B A = e o, B - + j - + B = B + j = e 6j - + j + 9j o + 9j b) De mriproducen ( mchen ) A A = A en B B = B ben nie. 6 + j A B = e o, B 6- j + A = 8j ) de A =, de B =, de C = j ) ) A* = b) A* = - j + j -j ) A* = j - j + j - j - j -j + j - j - j f p, A = (A*) = f - j + j - j + j - j + j f 6+ j + j 7-8j - j - j - j - j + j f p, A = (A*) = e f p, A = (A*) = f- j Du: A = A A: hermiich + j + j B* = - j + j - j - j j f p, B = (B*) = f + j Du: B = B B: hermiich j - + j C* = e o, C = (C*) j = e + j j - + j Du: C = C C: cheefhermiich D* = -j - j - -j 8 - j --j -8 - j -j f p, D = (D*) = f Du: D = D D: cheefhermiich p + j - j o j - + j -j + j p + j + j - j - j + j - j -j - --j - j + j - j o + j -j -8 -j - - 6) A = e o + j e o A: cheefhermiich; de A = - cheef- ymmerich ymmerich B = e * * - o + j e o B: hermiich; de B = 8 p - j - j p - j 8 - j -j p ) ymmerich * cheefymmerich

14 Appendi A: oploingen vn de opgven C = D = f cheefymmerich f 7) de A = ymmerich j j p + j - - p C: cheefhermiich; de C = j - f ymmerich - - p + j f p D: hermiich; de D = 7 cheefymmerich j - j = j j = Al A uniir zou zijn, dn moe de A = + of zijn. A i drom nie uniir. 8) A* = fj - + j - + j + j - j - A = (A*) = f + j - + j A A = f p = f B* = * * p j + j - j - j e o, B = (B*) = -j - + j B B = e o = e - - p p = E A: uniir o = E B: uniir -j C* = e o, C = (C*) -j = e o -j -j C C = e Z [ \ Z [ \ o = E C: uniir -j -j e o - + j Bij prgrf 7 ) ) de (A λe) = -m - - m = ( λ) ( λ) = λ =, λ = Eigenvecoren: u = b) de (A λe) = - m Eigenvecoren: u = e o, u = e o - - m = λ = λ / = ± e o, u = e o -

15 A. Lineire lgebr c) de (A λe) = - m Eigenvecoren: u = - m = ( λ) ( λ) = λ =, λ = 6 e o, u 7 - = e o - -m ) de (A λe) = - m = ( λ) ( λ) 8 = λ / = ± Eigenvecoren: u = e o, u = e o - de (B λe) = -m -j j - m = λ = λ / = ± Complee eigenvecoren: u = e o, u j = e o -j de (C λe) = -m - - m = ( λ) + = λ / = ± j Complee eigenvecoren: u = e o, u -j = e o j ) ) eigenwrden: λ =, λ = Sp (A) = λ + λ =, de A = λ λ = 6 b) eigenwrden: λ =, λ = Sp (A) = λ + λ =, de A = λ λ = c) eigenwrden:λ / = ± Sp (A) = λ + λ =, de A = λ λ = ) ) de (A λe) = - m - - m = m λ λ λ + = λ =, λ =, λ = Eigenvecoren: u = b) de (B λe) = - -m - - f p, u = - m = - m λ + λ λ = λ / =, λ = Eigenvecoren: u = - f p, u = - f p, u = f p, u = f - - f p p

16 6 Appendi A: oploingen vn de opgven c) de (C λe) = - m - m - λ λ + λ = λ =, λ / = Eigenvecoren: u = - - = - m f p, u = f p, u = - f p d) de (D λe) = -m - - m - = - m λ 8λ + λ 6 = λ / =, λ = Eigenvecoren: u = ) de (A λe) = - m b b - m - f p, u = = b - m λ ( + b) λ ( b) λ + b + b = - f p, u = - f Me behulp vn he Horner-chem kunnen we bewijzen d λ = + b een oploing vn deze krkeriieke vergelijking i. Ui de eere gereduceerde polynoom leiden we de overige eigenwrden λ = b en λ = + b f. 6) ) de (A λe) = - m - -m - - = - m λ λ + λ = λ =, λ / = ± j Sp (A) = λ + λ + λ =, de A = λ λ λ = b) de (A λe) = - m - - m = - -m λ λ + λ + = λ / = ±, λ = Sp (A) = λ + λ + λ =, de A = λ λ λ = c) de (A λe) = - m - m = - m λ 9λ + λ 7 = λ / =, λ = 7 Sp (A) = λ + λ + λ = 9, de A = λ λ λ = 7 p

17 A. Lineire lgebr 7 7) de (A λe) = 7 - m 6 - m = - m λ 8λ + 99λ 6 = λ =, λ = 6, λ = 9 Eigenvecoren: u = - - f p, u = f p, u = f p De eigenvecoren zijn orhogonl: u u = u u = u u = De drui gevormde mri X = (u u u ) = (X X = E). - - f p i drom orhogonl 8) de (A λe) = - m -m - - m - - = - m ( λ) (λ + ) = λ / =, λ / = ± j 9) de (A λe) = - -m m = - -m λ + λ λ 7 = λ =, λ =, λ = 6 Eigenvecoren: u = - f p, u = f p, u = - - = 8 u, u, u zijn lineir onfhnkelijk - - Sp (A) = λ + λ + λ =, de A = λ λ λ = 7 ) A: λ =, λ =, λ = 8 (onderdriehoekmri) A: λ =, λ =, λ =, λ = (digonlmri) A: λ =, λ =, λ = (bovendriehoekmri) - f p In lle drie gevllen geld: eigenwrden = hoofddigonlelemenen ) De yeemmri i een (onder)driehoekmri. De eigenwrden zijn zodoende: λ = k, λ = k, λ =

18 8 Appendi A: oploingen vn de opgven ) ) de (A λe) = - m Eigenvecoren: u = - m = λ = λ / = ± e o, u = e o - b) de (A λe) = - m = ( λ) ( λ) = - - m λ + λ 6 = λ =, λ = Eigenvecoren: u = c) de (A λe) = e o, u - = - -m - λ λ = λ =, λ = 6 Eigenvecoren: u = ) de (A λe) = - m b e o - = ( λ) ( λ) 6 = - m e o, u = e o - b - m = (α λ) β = (α λ) = β λ = α β, λ = α + β de (B λe) = - m -, -, - m = ( λ), = ( λ) =, λ =,, λ =, -m ) de (A λe) = - - -m - = - m λ + 9λ = λ =, λ / = ± j -m ) ) de (A λe) = - m = - m λ λ = λ / =, λ = Eigenvecoren: u = b) de (A λe) = - m - f p, u = - m - = - m ( λ) (λ λ + ) = λ =, λ / = ± Eigenvecoren: u = - f p, u = f p, u = f p, u = f- f p p

19 A. Fourierreeken 9 - m 6) de (A λe) = - m = - m λ 6λ + 9λ = λ / =, λ = - m - de (B λe) = - - m - = - - m λ λ + 6λ 6 = λ =, λ =, λ = 6 - m de (C λe) = b - m = ( λ) β = - m ( λ) [λ ( + b) λ + b = λ =, λ / = ( + b ± ( - b) + 8 ) - m - - m - 7) de (A λe) = = - - m - - m λ λ + 8λ 6λ = λ =, λ // = - m j 8) de (A λe) = = ( λ) ( λ) = -j - m λ λ = λ =, λ = Eigenvecoren: u = e o j, u j = e o A. Fourierreeken Bij prgrf. ) = r b n = r (π ) d = π, n = r ( f() i een even funcie; n N*) r (π ) co (n) d = n f() = π co co ( ) co ( )... c $ + $ + $ + m ) = r b n = r r d = π, n = r r in (n) d = n r co (n) d = (n N*) (n N*) f() = π `in + $ in ( ) + $ in ( ) +... j

20 Appendi A: oploingen vn de opgven ) = r -r r d = r r d = π Z r n n =,,,... n = r r co (n) d = r r co (n) d = [ voor -r n =,, 6,... \ b n = ( f() i een even funcie; n N*) f() = r r ) c n = r -r = r e r- = e e r r c $ co + $ co ( ) + $ co ( ) +... m e e j n d = r ( -jn) r -(- jn) r -r - e - jn + jn ( ) n + n -r r e ( jn) d = Opmerking: e ± j nπ = co (nπ) ± j in (nπ) = ( ) n f() = e r- e r -r * / n =- ( ) n = r + jn [e e j n e π e j nπ = + n * + jn ( ) n e j nπ + n Bij prgrf. ) = r n = r r/ -r/ -r/ û co d = r/ u r û co co (n) d = Z u n = = [ voor n =,, 7,... ( ) n + - u n =,, 6,... r( n- )( n+ ) \ b n = (even funcie; n N) u() = u u + r co + u r ` $ co( ) - $ co ( ) + $ co ( 6) j $ $ $ 7

21 A. Fourierreeken Z ) y() = [ \ y r r y + y voor r y y r n = (oneven funcie; n N) b n = r r/ > y r in (n) d + r/ r/ r π π π y c- + y m r in (n) d + Z n + 8y r ( ) y + c y r - - $ $ n =,,,... r n m in (n) d G = [ voor r/ \ n = 6,,,... 8y y() = c $ in- $ in ( ) + $ in ( ) m r Z u ) u() = / [ u voor, = d + u d > H / û \ / u r r n = $ co n d u$ co n d > ` j + ` j H = / Z u - $ n =,,,... r n = [ voor n = \, 6,,... / u r r b n = $ in n d u$ in n d > ` j + ` j H u u() = û r = u r / Z [ \ = û u rn (n N*) c $ co( ~ ) + $ co ( ~ ) + $ co ( ~ ) +... m ` in( ~ ) + $ in ( ~ ) + $ in ( ~ ) +... j ) y() = y + y ( < ) y = $ - + y d c m = y, n = y $ c- + y m $ co ` r n j d =

22 Appendi A: oploingen vn de opgven b n = y $ c- + y m $ in ` r n j d = y r n y() = y y r ) Periode: = (n N*) 8 in( ~ ) + $ in ( ~ ) + $ in ( ~ ) +... B r, n = $ y $ in ` r j d = ~ Z n =,,,... n = $ r y $ in` co j$ ` n r j d = [ voor y - $ n = 6,,,... r ( n- )( n+ \ ) b n = y() = ( y() i een even funcie; n N*) y y r r 8 $ co( ~ ) + $ co ( ~ ) + $ co (6 ~ ) +... B $ $ $ 7 y r A. Differenil en inegrlrekening voor funcie vn meerdere vribelen Bij prgrf. ) ) y, R (grij ngegeven in figuur A-) b), y (lichgrij ngegeven gebied in figuur A-), y (donkergrij ngegeven gebied in figuur A-) y y y = Figuur A- Figuur A. c) y, y, R (grij ngegeven in figuur A-) d) + y (grij ngegeven in figuur A-)

23 A. Differenil en inegrlrekening voor funcie vn meerdere vribelen y y y = y = Figuur A- Figuur A- ) S = `,, j, Sy = `, -, j, Sz = `,, j, A lig in he vlk, B boven he vlk, C en D onder he vlk. ) ) Figuur A- b) Figuur A-6 c) Figuur A-7 y C= C= C=8 C= C=6 C= C= 6 y C= Figuur A- Figuur A-6 y z C = z = y C = C = C = y Figuur A-7 Figuur A-8 ) Omwenelingvlk: z = - - y, + y (een hlve bol me rl R =, zie figuur A-8). Doornijding me he, y-vlk: een cirkel me rl R =. Doornijding me he, z repecievelijk he y, z-vlk: een hlve cirkel me rl R =.

24 Appendi A: oploingen vn de opgven Bij prgrf. ) ) z = ( y), z y = ( y), z = 8 ( y), z yy = ( y), z y = z y = 8 ( y) b) w u = 6 in (uυ), w υ = 6u in (uυ), w uu = 8υ co (uυ), w uυ = w υu = 6υ in (uυ) 8uυ co (uυ), w υυ = 8u co (uυ) c) z = - y + y = ( + y )( - y ) = y + y z =, z y =, z =, z y = z y =, z yy = d) z r = ( + rφ) e rφ, z φ = r e rφ, z r r = φ ( + rφ) e rφ, z r φ = z φ r = r ( + rφ) e rφ, z φφ = r e rφ - y e) z r =, z y = - y, z = - y z y = z y = y ( - y), z yy = ( - y) y ( - y), f) z = e + y +, zy = e + y + y, z = e + y, z y = z y = e + y, z y = e + y + y y g) z = + y, z y = + y y - y z =, z ( + y = z y = y ) ( + y ) h) z = + y y, z y = + y,, - + y y z =, z ( + y = z y = y ) ( + y ) y, z yy = ( + y ) - y, z yy = ( + y ) i) u = ( + ), u = ( + ), u = ( + ) -, u = u = ( ), u + = ( + ) j) z = co ( + φ), z φ = co ( + φ), z = in ( + φ), z φ = z φ = in ( + φ), z φφ = in ( + φ) ) z = (, ) = 6, z y = (, ) =,9, z y = (, ) =,, z yy = (, ) = 66,, z y = (, ) =

25 A. Differenil en inegrlrekening voor funcie vn meerdere vribelen ) ) z y = z y = co ( y) + y b) z y = z y = z y = in ( y) + y ( -y - z ) + ( y - - z ) + ( z - -y ) ) Δu = / ( + y + z ) = ) z = (, ) =, z y = (, ) = 6) z + yz y = y e /y + y c- y / e y $ m = 7) ) zo = z o + z y yo = y e y + e = e in b) zo = z o + z y yo = (ln y) co + ( in ) = co y ln (co ) co c) zo = z o + z y yo = in (y) + co (y) = = in ( ) co ( ) 8) Prmeer:, prmeervergelijkingen: =, y = zo () = z o + z y yo = y + co ( y) = co ( y) co ( ) 9) Prmeer:, prmeervergelijkingen: =, y = zo () = z o + z y yo = + + y + = y +, zo ( = ) = + ) ) zo = z o + z y yo = cy + m + y b) z = + = +, zo = + = + ) ) z = + y b) P = (,, 8), z = y + ) ) dz = ( y e y ) d + ( e y ) dy + b) dz = ( - ) c) dz = -y-y ( - y) -8- d + dy ( - ) d + + y-y ( - y) d) du = y z + + d + y + y + z dy + z + y + z dz ) O(r, h) = πrh + πr, dr = Δr =, cm, dh = Δh =, cm do = dy O O dr + dh = (πh + πr) dr + πr dh r h ΔO do = 9,96 cm, ΔO ec = 9,96 cm

26 6 Appendi A: oploingen vn de opgven ) dr = r r r d+ y dy + zdz d + dy + dz = y z + y + z d = Δ =,, dy = Δy =,, dz = Δz =,, Δr dr =,, Δr ec =, ) V (r, r i, h) = π (r r i ) h dv = V r dr + V r i dr i + V dh = πr h dr h πr i h dr i + π (r r i ) dh 6) d = ΔV dv =,7 cm, ΔV ec = 7,8 cm (fnme vn he volume!) dl + dc = L C r LC (C dl + L dc ) Voor L = L, C = C en dl = ΔL, dc = ΔC, d = Δ geld dn bij bendering: Δ = r LC (C ΔL + L ΔC ) Procenuele verndering ( = π LC ): D = c DL + DC m = ( % + %) = % L C De rillingduur neem f me %. 7) De gelinerieerde funcie in de omgeving vn he werkpun P = (,, ): z = + y. Benderingwrde: z = ; ece funciewrde: z =,7 8) ΔI di = c I m ΔR R + c I m ΔR R + ` I j ΔU = U U = c- m ΔR + - U R+ R c m ΔR + c m ΔU = R R R R = ` A, j ΔR X ` A, j ΔR X + ` A, j ΔU V 9) ΔW dw = W W Δb + Δh = h b h Δb + 6 bh Δh Procenuele verndering: D W D D = + W bb = % % = % hh ) ) y'(p) = ( + y -) y ( + y + ) `- j` + - j b) y'(p ) = = ` + + j

27 A. Differenil en inegrlrekening voor funcie vn meerdere vribelen 7 + y ) P = (, ),, y' =, y'(p) =, rklijn: y = + y ) Snijpunen: S = (, ), S / = (, ± ) + y'(p) =, y'(s ) = n α y - = α =, y'(s / ) = n α / = 8 α / = 7,9-6 ) y' = 8y Horizonle rklijnen in de punen P / = (, ± ) en P / = (, ± ). ) ) An de noodzkelijke voorwrden i op vier plen voldn: (, ) : Δ = < geen ereem (, ) : Δ = < geen ereem (, ) : Δ = > en z (,) = < mimum (, ) : Δ = > en z (,) = > minimum Eremen: mimum P = (,, ), minimum P = (,, ) b) Ui de noodzkelijke voorwrden volgen wee punen: (, ) : Δ = > en z (, ) = > minimum (, ) : Δ = e < geen ereem Ereem: minimum P = (,, ) c) De noodzkelijke voorwrden reuleren in he pun (, ): (, ) : Δ = > en z (, ) = < mimum Ereem: mimum P = (,, 7) d) De noodzkelijke voorwrden reuleren in he pun (, ): (, ) : Δ = > en z (, ) = > minimum Ereem: minimum P = (,, ) e) De noodzkelijke voorwrden reuleren om e beginnen in wee punen: (, ) : Δ = 9 < geen ereem (,,,8) : Δ = 7 > en z (,,,8) =, > minimum Ereem: minimum P = (,,,8,,8)

28 8 Appendi A: oploingen vn de opgven ) Oppervlk-funcie: A = A (, y) = y Rndvoorwrde: φ (, y) = b + y b = (vergelijking vn de ellip) Hulpfuncie: F (, y, λ) = A (, y) + λ φ (, y) = y + λ (b + y b ) F = y + λb = λ elimineren y = b F y = + λ y = F λ = b + y b = Mimum: =, y = b, A m = b r 6) Mneloppervlk: M = πr, = in b, h = r n b rr M = M (r, β ) = in b Rndvoorwrde: V = πr rr h = $ n b rr = φ (r, β ) = $ n b = rr Hulpfuncie: F (r, β, λ) = M (r, β ) + λ φ (r, β ) = + λ c rr - m in b $ n b _ rr rr F r = + λ in b = b n b b λ elimineren co ` β = β =,6 rr $ co b+ mrr b F β = = in b b rr F λ = = $ n b Minimum: β =,6, d.w.z. α = 7,, r =,89 dm, M min = 9, dm 7) Hulpfuncie: F (, y, λ) = + y + λ ( + y ) F = + λ = λ elimineren = y F y = + λy = F λ = + y = Mimum: = y =, zm = Minimum: = y =, zmin = 8) In he nijpun S = (, ) geld: y' () y' () = Rndvoorwrde: b = of φ (, b) = b = Oppervlk A: A = A (, b) = - e d + e b d = + b Hulpfuncie: F (, b, λ) = A (, b) + λ φ (, b) = + b + λ (b )

29 A. Differenil en inegrlrekening voor funcie vn meerdere vribelen 9 _ F = + λb = b b ` λ elimineren = b F b = b + λ = b b F λ = b Minimum: = b =, A min = 9) Oppervlk-funcie: A = A (, y) = y Rndvoorwrde: U = + y = conn = c φ (, y) = + y c = Hulpfuncie: F (, y, λ) = A (, y) + λ φ (, y) = y + λ ( + y c) F = y + λ = λ elimineren = y F y = + λ = F λ = + y c = Mimum: = y = c/, A m = c /6 ) Afnd: d = d (, y, z) = + y + z Rndvoorwrde: φ (, y, z) = + y + z = Hulpfuncie: F (, y, z, λ) = d (, y, z) + λ φ (, y, z) = = + y + z + λ ( + y + z ) _ F = + λ = b + y + z b y b F y = + λ = ` + y + z b z b F z = + λ = + y + z b : y : z = : : = z, y = z F λ = + y + z = Minimum: =, y =, z =, d min = Oploing: vn lle punen in he vlk heef he pun P = (,, ) de kleine fnd o de oorprong. ) = c in α, =, cm Δ m = c D c + D = in Δc + c co Δα =,6 cm,7 cm Meereul: = (, ±,7) cm ) = 6,8 m Δ m = C D C + Meereul: = (6,8 ±,8) m r D L = ( ) L LC L D C + C D L =,8 m

30 Appendi A: oploingen vn de opgven ) ) R = (97, ±,9) Ω, R = (, ±,9) Ω b) R = 9,6 Ω ΔR m = R DR R + R DR R = R DR + R DR ( R+ R) Meereul: R = (9,6 ±,) Ω ) ) b = (8, ±,) cm, h = (, ±,7) cm b) W = cm ΔW m = W b W D b + h Meereul: W = ( ±,) cm =, Ω D h = h D b + bh D h =, cm 6 ) m = m (R, ϱ) = ϱv = πϱr m = 9, g 9,6 kg Δm m = m R m D R + D = πϱr ΔR + πr Δϱ = 8, g,8 kg ϱ ϱ Meereul: m = (9,6 ±,8) kg Bij prgrf. ) ) b) 77 ) Snijpunen vn de krommen: / = ±, y y = co (figuur A-9) A =, = co y= - dy d =,7 Figuur A-9,, y = ) Snijpunen vn de krommen: =, = (figuur A-) y A = =- y= dy d = 6 y = y = + 6 Figuur A-

31 A. Differenil en inegrlrekening voor funcie vn meerdere vribelen ) Volgen figuur A-: A = r { { = r = r dr dφ = π y r = f Figuur A- ) Volgen figuur A-: A = r/, { e { = r/ r = r dr dφ =, y r = e,f f = p Figuur A- f = p 6) Volgen figuur A-: A = r/ $ in ( { ) { = r = r dr dφ = y r = in( f) Figuur A- 7) Snijpunen vn de krommen: =, = (figuur A-) ) A = - + = y=- 6 b) S = 6 y S = dy d = = y=- = y=- dy d =, - + y dy d =, Figuur A- y y = ( ) y =

32 Appendi A: oploingen vn de opgven 8) Deel vn he vlk: zie figuur -6 A = r co { { = r = + r dr dφ = π, S = r y S = (op grond vn de ymmerie) r co { { = r = + r co φ dr dφ = 6 9) Snijpunen vn de krommen: / = ± (figuur A-) A = = y=- - dy d = 8 S = (op grond vn de ymmerie) y y = y S = 8 = y=- - y dy d =,6 Figuur A- y = ) A = dy d + =- y= = y = S = > y S = > dy d + dy d = =- y= = y = y dy d + =- y= = y = dy d y dy d > > 6 = = ) Volgen figuur A-6: A = = ln y=, -, dy d =,7, S = 7, = ln y=, -, dy d =, y S = 7, = ln y=, -, y dy d =,7 ) Volgen figuur A-7: A = r { = r dr dφ = π, S = r r = + co { r { = r = + co { r co φ dr dφ =, y S = r r { = r 6 in φ dr dφ = r =,9 r = + co {

33 A. Differenil en inegrlrekening voor funcie vn meerdere vribelen y y r = y = ln = r = + co f y =,, f = p f = Figuur A-6 Figuur A-7 ) I = r/ R { = r = r in φ dr dφ = 6 r R, I y = I = 6 r R (op grond vn de ymmerie) I p = I + I y = 8 r R ) Snijpunen vn de krommen: = π/, b = π/ ) A = r/ = co y =, dy d =,68 b) S = (op grond vn de ymmerie) y S = c) I = 68, r/ = y =, r/ = co I p = I + I y =,9 co y =, y dy d =,698,7 y dy d =,6, I y = r/ = co y =, dy d =,7 ) I = > = y = y dy d + b = y = y dy d > = (7 + b) I y = > = y = dy d + b = y = dy d > = ( + b ) I p = I + I y = (8 + b + b ) 6) I p = r { = co ( { / ) r = r dr dφ = =,77

34 Appendi A: oploingen vn de opgven 7) ) Vergelijking vn de cirkel in poolcoördinen: r = r(φ) = R co φ `- r r { j I = I y = r/ R $ co { { = r = r/ R $ co { { = r = I p = I + I y = π R r in φ dr dφ = r R r co φ dr dφ = π R r b) De - i een door he zwrepun: I = R. De y- loop op een fnd d = R evenwijdig n de door he zwrepun: I y = I S + A d r = R + π R = π R De z- loop op een fnd d = R evenwijdig n de door he zwrepun: I p = I S + A d r = R + π R = π R 8) Volgen opgve i I = I y = 8 r R en I p = r R. Ui figuur A-8 volg voor de die door he zwrepun S = `, Rj g volgen de elling vn Seiner: r De door he zwrepun S : I = I S + A y S I S =, R y De door he zwrepun S y (= y-): r I y = I Sy I Sy = R R 8 De door he zwrepun S p (evenwijdig n de z-) I p = I Sp + A y S I Sp =, R Figuur A-8 S y S y S = p R S 9) ) r b) ) Vergelijking vn de ellip: b + z = b. Voor r krijgen we hierui de vergelijking vn de ellipoïde: b r + z = b b z = ± r -

35 A. Differenil en inegrlrekening voor funcie vn meerdere vribelen (he bovene en he ondere begrenzingvlk, die de grenzen vn de inegrie nr z opleveren). He op he, y-vlk geprojeceerde domein i de cirkel me rl : r, φ π. Op grond vn de ymmerie geld dn: V = r { = r = b r - r dz dr dφ = π b z = ) De cirkel + z = R g voor r over in de bol r + z = R, d wil zeggen z = ± R - r. He bovene begrenzingvlk i z = R - r, he ondere begrenzingvlk i he ple vlk z = R h, evenwijdig n he, y-vlk. De projecie vn he bolegmen op he, y-vlk i een cirkel me rl R, wrvoor volgen figuur - geld: R + (R h) = R, d wil zeggen R = Rh - h. V = r Rh - h { = r = R - r z= R-h He zwrepun S = (,, z S ): z S = rh ( R- h) r dz dr dφ = r h (R h) r Rh - h { = r = R - r z= R-h ( R- h) zr dz dr dφ = ( R- h) ) Vergelijking vn de (roerende) cirkel: ( R) + z = r. Voor r krijgen we hierui de vergelijking vn de oru: (r R) + z = r z = ± r -( r-r) De projecie vn de oru op he, y-vlk geef de ring volgen figuur A-9 me een binnene rl r i = R r en een buiene rl r = R + r. V = r R+ r { = r= R-r r ( r- R) z = r dz dr dφ = y R + r = π R r R r Figuur A-9 ) Sel d de hoeveelheid wer m zich geheel in he zwrepun S = (,, z S ) bevind in pl vn verdeeld over de hlve bol. Voor de minimum-rbeid (hefrbeid!) geld dn: W min = mg z S (g = 9,8 m/ : vernelling vn de zwrekrch).

36 6 Appendi A: oploingen vn de opgven Berekening vn he zwrepun ) We beren on op opgve (bolegmen). Voor h = R i he egmen precie een hlve bol, wrvn he zwrepun zich op een fnd 8 R vn he middelpun vn de bol bevind. He zwrepun vn de gevulde hlve bol lig du R = m boven he 8 8 lge pun. Zodoende geld voor de z-coördin vn he zwrepun: 9 z S = m + m = m =,87 m 8 8 b) Berekening vn de z-coördin vn he zwrepun ui een drievoudige inegrl: z S = 8 r r { = r = z= r Berekening vn de minimle rbeid rz dz dr dφ =,87 (in m) Ui de hoeveenheld wer m = ϱ ` rr j = 68,7 kg volg: W min = mg z S = Nm ) V kegel = πr h. Volgen figuur -7 i dn: z S = rr H r - H ( r - R ) R R { = r = z = zr dz dr dφ = H ) Volgen figuur A-: V = r 9 { = r = z= r z S = 8, 6r r r dz dr dφ = 8,6 π { = r = z= r 6) ) Volgen figuur -76: 9 zr dz dr dφ =, z Figuur A- z = r 9 r J = ϱ r R { = r = z = R - r r dz dr dφ = πϱr b) Volgen ) vinden we voor he mrgheidmomen vn een hele bol en opziche vn een dimeer (ymmerie-): J S = πϱr = mr (m m = ϱ πr De fnd vn de ymmerie- o de rklijn i d = R. De elling vn Seiner lever dn voor he op de rklijn berokken mrgheidmomen J : J = J S + mr = mr + mr = 7 mr

37 A. Gewone differenilvergelijkingen 7 7) J = ϱ r R H { = r= R z = r dz dr dφ = πϱh (R R ) 8) ) R =, R = R J = πϱh R = mr b) Volgen Seiner (de fnd vn de mnellijn o de ymmerie- i d = R): J M = J S + md = mr + mr = mr 9) Volgen figuur -7: J = ϱ r - H ( r - R ) R R { = r = z = r dz dr dφ = πϱh R = mr A. Gewone differenilvergelijkingen Opmerking: C, C, C, C,... en K, K, K, K,... zijn eed reële connen (di geld voor he gehele hoofduk ). Bij prgrf. ) y en y' worden in de differenilvergelijking ingevuld en voldoen n deze vergelijking. 6 De oploing i de kromme door P: y = + ) y, y' en y'' worden in de differenilvergelijking ingevuld en voldoen n deze vergelijking. De funcie y i een lgemene oploing, omd zij wee onfhnkelijke connen (prmeer) bev. ) Door u C () e differeniëren en vervolgen de funcie en hr fgeleide in e vullen in de differenilvergelijking krijgen we de ideniei u = u. ) () = co, υ() = in Bij prgrf. ) ) Richingveld: zie figuur A- (geekend i he e kwdrn. He veld i piegelymmerich en opziche vn de -). Oploing: y = C b) Richingveld: zie figuur A- (geekend zijn he e en e kwdrn. He veld i piegelymmerich en opziche vn de -). Oploing: y = C e

38 8 Appendi A: oploingen vn de opgven y = = = = = = 8 Figuur A- y = = = = Figuur A- ) ) Subiuie: u = y ; oploing: y = ln C b) Subiuie: u = + y + ; oploing: y = n ( + C ) y c) Subiuie: u = ; oploing: y = ln C (C ) d) Subiuie: u = y ; oploing: y = rcn (C) y ) Subiuie: u = ; lgemene oploing: y = ± $ ln C (C ); priculiere oploing: y p = $ ln e

39 A. Gewone differenilvergelijkingen 9 ) ) y = + C b) y = C + c) y = + C- + C d) y = rcco ` C + j ) ) Algemene oploing: y = C e in ; priculiere oploing: y p = π e in C b) Algemene oploing: y = + ; priculiere oploing: y p = + c) Algemene oploing: y = - + C priculiere oploing: y p = - + y 6) ) Subiuie: u = ; lgemene oploing: y = ln C ; priculiere oploing: y p = ln e b) Scheiden vn de vribelen: y = ± $ e + C priculiere oploing: y p = $ e + e - 7) ) Scheiden vn de vribelen: () = b ( - b) k $ e - b ( - b) k b) Voor > b en volg: lim () = b. " De recie kom drom o ilnd l lle omen vn he ype B verbruik zijn. 8) ) υ() = C e - k m + mg k mg b) υ p () = `y - j k e m - k + mg k (figuur A-) v mg k k m + mg v = v e k mg k v Figuur A- c) υ m = lim υ p () = " mg k

40 Appendi A: oploingen vn de opgven - 9) u C () = u e RC ( ) ) () = ( L ) e + L (figuur A-) Eindemperuur: E = lim () = L " He lichm neem de emperuur L vn de lngromende luch n. = ( ) e L + L L Figuur A- ) ) ( y ) d + ( + ) dy = y ( y ) = ( + ) = ece differenilvergelijking u = y, u y = + u = ( y ) + y + C + C Oploing: u = conn y = + b) y (y ) = = ece differenilvergelijking u = y, u y = u = y + C Oploing: u = conn y = C c) (e y + in ) d + (e + y) dy = - y (e y + in ) = (e + y) = e ece differenilvergelijking u = e y + in, u y = e + y u = e y + y co + C Oploing (in impliciee vorm): u = conn e y + y co = C

41 A. Gewone differenilvergelijkingen ) ) [( + ) y d + ( + ) dy = y [( + ) y =, ( + ) = nie ec y λ() [( + ) y = λ() ( + ) - λ'() = + C λ() λ() = ( + ) Inegrerende fcor (we ellen C = ): λ() = ( + ) y Du: u =, u ( + y = ) + y u = + Oploing: u = conn y = C + C + + C b) y ( + y) =, = nie ec y λ() + y) = λ() λ() = λ'() λ() = C e Inegrerende fcor (we ellen C = ): λ() = e Du: u = ( + y) e, u y = e u = e y + ( + ) e + C Oploing: u = conn y = C e + ) ) Lineir, homogeen b) Nie-lineir ( y -erm) c) Lineir, nie-homogeen d) Lineir, nie-homogeen e) Nie-lineir ( y' y -erm) f) Nie-lineir ( y -erm) g) Lineir, nie-homogeen h) Nie-lineir ( y -erm) i) Lineir, nie-homogeen j) Lineir, nie-homogeen k) Nie-lineir ( y' y -erm) l) Lineir, nie-homogeen ) y : oploing vn de homogene differenilvergelijking; y: oploing vn de nie-homogene differenilvergelijking ) y = C e -, y = C e - + C b) y = +, y = (+ ) $ e + C + C in - $ co + C c) y =, y = C + C d) y =, y = co co e) y = C e in, y = C e in f) y = C, y = + C

42 Appendi A: oploingen vn de opgven ) Algemene oploing: i() = C e co + co + Priculiere oploing: i p () = e + co + co + 6) y: lgemene oploing; y p : priculiere oploing ) y = C + in, y p = + in b) y = C co co, y p = co co C c) y = + ln, yp = + ln 7) ) y = C e b) y = C e c) y = C e - 8 d) y = C e b e) n = C e λ f) y = C e 6 g) i = C e - R L h) y = C e 9 i) y = C e - j) u = C e 8) ) y = C e, y = C e ( +) e b) Anze o de oploing vn y p : y p = ( + b) e y p = ( +) e y = y + y p = C e ( +) e 9) ) y = C e, nze: y p = + b y p = y = y + y p = C e + b) y = C e, nze: y p = A e y p = 7 e y = y + y p = C e + 7 e c) y = C e, nze: y p = A e (de oringfuncie en y zijn vn hezelfde ype!) y p = e y = y + y p = ( + C ) e d) y = C e, nze: y p = A in + B co y p = 7 in 7 co y = y + y p = C e 7 in 7 co

43 A. Gewone differenilvergelijkingen e) y = C e 9 9, nze: y p = A in + B co y p = 6 in 6 co y = y + y p = C e in 6 co f) y = C e 6, nze: y p = A e 6 (he oringlid en y zijn vn hezelfde ype!) y p = e 6 y = y + y p = ( + C ) e 6 ) ) Scheiden vn de vribelen: y = n ` C + j b) Scheiden vn de vribelen: y = C e co c) Scheiden vn de vribelen: y = C e d) Vriie vn de connen: y = (ln ) + C e) Scheiden vn de vribelen: y = C e f) Zoeken vn een priculiere oploing: (nze: y p = A in + B co + A in () + B co ()) y = y + y p = C e + in + co + in () + co () ) ) Zoeken vn een priculiere oploing (nze: y p = + b + c + d ) y = y + y p = C e Priculiere oploing: y =,8 e b) Zoeken vn een priculiere oploing (nze: y p = A e, omd he oringlid en y vn hezelfde ype zijn) y = y + y p = ( + C ) e Priculiere oploing: y = ( + ) e c) Zoeken vn een priculiere oploing (nze: y p = A in + B co ) y = y + y p = C e in co Priculiere oploing: y = e in co

44 Appendi A: oploingen vn de opgven ) Oploing vn de homogene vergelijking: i = C e - R L ) Anze: i p = conn = i p = u, i = i R + i p = C e - R u L + R Priculiere oploing: i = R u b) Anze: i p = A + B i p = R R L i = i + i p = C e - R L L + R R ` - - e R L j ( ) (figuur A-) L Priculiere oploing: i = R e R ` - L - j + ( ) R v i u R i = u R R e L F k v v = v F k e k m + F k Figuur A- Figuur A-6 ) υ homogeen = C e - k F m, υ p = k (nze: υ p = conn) υ() = υ homogeen + υ p = C e - k F m + k Priculiere oploing: υ() = ` F y - j k e - k F m + k ( ) (figuur A-6) F Eindnelheid: υ E = lim υ() = " k ) i = C e, nze: i p = A in () + B co () i p = in () co () i = i + i p = C e + in () co () Priculiere oploing: i = (e + in () co ()) i : eponenieel fnemende gelijkroom; i p : wielroom me periode = π

45 A. Gewone differenilvergelijkingen ) υ = C e -, nze: υ p = conn = υ p = Kû υ = υ + υ p = C e - + Kû Priculiere oploing: υ = Kû c e m ( ) (figuur A-7) ) ) u C = K e RC, nze: u Cp = conn = u Cp = u u C = u C + u Cp = K e - RC b) Priculiere oploing: u C = u c -e - RC m ( ) (figuur A-8) v ^ Ku u u ^ v = Ku e u = u e RC Figuur A-7 Figuur A-8 7) υ = C e -, nze: υ p = A in (ω + φ) υ p = KDE~ + ( ~ ) υ = υ + υ p = C e - + in ` ~ + rcn ` jj ~ KDE~ + ( ~ ) in ` ~ + rcn ` jj ~ N floop vn een zekere inlingerfe krijgen we een inuvormig uigngignl me dezelfde periode = r l he ingngignl. Ampliude A en fe? zijn drbij frequenie- ~ fhnkelijke grooheden (de zogenmde frequeniereponie). 8) Door de ubiuie u = y, u' = yy' (keingregel!) g de differenilvergelijking over in de lineire differenilvergelijking u' u = ( + )., Oploing: y = ± C$ e Bij prgrf. ) ) Conne coëfficiënen, nie-homogeen b) Vribele coëfficiënen, homogeen c) Conne coëfficiënen, homogeen d) Conne coëfficiënen, nie-homogeen e) Vribele coëfficiënen, nie-homogeen f) Conne coëfficiënen, homogeen

46 6 Appendi A: oploingen vn de opgven ) () = g + υ + = (,9 m ) + ( m ) + m υ() = g + υ = (9,8 m ) + m ) Eer onen we door invullen in de differenilvergelijking n, d y () en y () (priculiere) oploingen vn de differenilvergelijking zijn. Zij vormen een fundmeneel elel vn de differenilvergelijking, omd de bereffende deerminn vn Wronki vn nul verchil: W( y, y ) = e ) y() = e (, + j) = e, (co () + j in ()) i een oploing vn de differenilvergelijking, zol we door invullen kunnen verifiëren. Drom zijn ook he reële deel y () = e, co () en he imginire deel y () = e, in () oploingen vn de differenilvergelijking, die omd W( y, y ) = e zelf een reëel fundmeneel elel vn de differenilvergelijking vormen. ) Eer onen we door invullen in de differenilvergelijking n, d en oploingen vn de differenilvergelijking zijn. Zij zijn lineir onfhnkelijk, omd hun deerminnen vn Wronki vn nul verchillen: W(, ) = e. De lgemene oploing vn de differenilvergelijking kn drom l een lineire combinie () = C + C = e (C in + C co ) worden voorgeeld. 6) ) λ =, λ =, y = C e + C e b) λ / =, = (C + C ) e c) λ / = ± j, = e (C in () + C co ()) d) λ / = ± j, φ = C in () + C co () e) λ / = ± j, y = e (C in () + C co ()) f) λ =,, λ =, q = C e, + C e g) λ / =, = (C + C ) e h) λ / =, y = (C + C ) e 7) ) λ / = ± j, y = e (C in + C co ) Priculiere oploing: y = π e ( in + co ) b) λ =, λ = 6, y = C e + C e 6 Priculiere oploing: y = 6 (e e 6 ) c) λ / =,, = (C + C ) e, Priculiere oploing: = (, + ) e,

47 A. Gewone differenilvergelijkingen 7 8) ) He periodieke grengevl reed op l de krkeriieke vergelijking wee gelijke (reële) oploingen heef: λ + pλ + = λ / = p ± p * p = (omd p > ) - p = 8 b) Algemene oploing: = (C + C ) e - Priculiere oploing: = [( ) + e - ( ) (figuur A-9) = [( ) + e, Figuur A-9 9) y() = F 6EI (l ) ( l ) ) Er geld =, b =. De krkeriieke vergelijking λ + λ + = heef de weevoudige oploing λ / =. ) b = y p = + + b) b = y p = c) c =, j ß = j: noch, noch j zijn oploingen vn de krkeriieke vergelijking y p = A e + B co + C in d) c = : i een weevoudige oploing vn de krkeriieke vergelijking y p = A e e) c =, j ß = j: + j i geen oploing vn de krkeriieke vergelijking y p = e [( + ) in () + (b + b ) co () f) c =, j ß = j: + j i geen oploing vn de krkeriieke vergelijking y p = e [A in + B co ) ) y = C e + C e, y p = + b + c y p = y = y + y p = C e + C e

48 8 Appendi A: oploingen vn de opgven b) y = C e + C e, y p = + b + c + d y p = y = y + y p = C e + C e c) = (C + C ) e, p = A e p = e = + p = (C + C ) e + e d) y = C e + C e, y p = A e y p =, e y = y + y p = C e + C e, e e) = (C + C ) e p = A in () + B co () p = in () = + p = (C + C ) e + in () f ) y = C e + C e y p = + b + c y p = y = y + y p = C e + C e g) = C e + C e p = ( + b) in + (c + d ) co p = ( in + co ) = + p = C e + C e ( in + co ) h) y = (C + C ) e 6, y p = A e 6 y p =, e 6 y = y + y p = (, + C + C ) e 6 i) y = C in () + C co () y p = [A in () + B co () + + b + c + C e y p = co () + + e y = y + y p = C in () + `C - j co () + + e j) y = (C + C ) e y p = ( + b + c) e + d + e + A in + B co y p = ` - + j 8 e + in y = y + y p = (C + C ) e + ` - + j 8 e + in

49 A. Gewone differenilvergelijkingen 9 ) ) = e (C in + C co ), p = 9 in + 9 co = + p = e (C in + C co ) + 9 in + 9 co Priculiere oploing: = e ` $ in- $ co j in + 9 co b) y = e (C in ( ) + C co ( )), y p = e y = y + y p = e (C in ( ) + C co ( )) + e Priculiere oploing: y = e ` $ in( ) - co( ) $ j + e c) = e [C in () + C co (), p = in () co () = + p = e [C in () + C co () in () co () Priculiere oploing: = e [,76 in (),8 co (),976 in (), co () ) y = (,99,98 +,998) e,998 e +,9 ) ) p 6, = = C e,7 + C e,7 Priculiere oploing: =,7 (e,7 + e,7 ) =,7 coh (,7) ( in, in m) b) ( ) =, = rcoh =, (in ) 7, Bij prgrf. ) ) () =, in () + co () b) () = in + co y c) () = in () ) ) rillingvergelijking: p ω = (ω = c/m) ω = 9,, f =,, =,69 b) () = C in (ω ) + C co (ω ) (ω = 9, )

50 Appendi A: oploingen vn de opgven c) () =, m in (9, ) (figuur A-) m, =, m in(9, ),,69 Figuur A- d) (, ) =, m, υ(, ) = o (, ) =,7 m/ (, ) = p (, ) =,9 m/ ) ) φ() = C in c g m + C l co c g m l b) ω = g, f = l r g l, = π g l c) φ() = φ co c g m l ) ) () = e 6 co () b) () = 7 7 e, in ` 7 j c) () = e [ in () + co () ) ) rillingvergelijking: p + 6 o + 6 = Oploing: () = e 8 [C in (8 ) + C co (8 ) b) ω d = 8 =,86, f d =,, d =, c) () = e 8 [, in (8 ) +, co (8 ) (figuur A-) m,,,,,, Figuur A-

51 A. Gewone differenilvergelijkingen 6) ) Algemene oploing: () = (C + C ) e, Priculiere oploing: () = (, + ) e, b) Algemene oploing: () = (C + C ) e, Priculiere oploing: () = (, + ) e, 7) ) He periodieke grengevl reed op l δ = ω : δ = ω b m = c m b = cm = 6 kg/ Voor d > ω, d wil zeggen b > 6 kg/ gedrg he yeem zich periodiek. b) rillingvergelijking:, p + 6 o + 8 = Algemene oploing: () = (C + C ) e 6 Priculiere oploing: () = (, +,) e 6 (figuur A-), = (, +,) e 6,,,,, Figuur A- 8) ) () = e e b) () = e, + 6 e,8 c) () = e e 9) δ = ω = R L = LC i = A ` e = e ( ) (figuur A-) j i A,,, Figuur A-, 6 m

52 Appendi A: oploingen vn de opgven 6 ) () =, m ` - e - - e j ( ) (figuur A-) m, =, m 6 e e Figuur A-,,, ) () = m [ co (ω ) ( ) (figuur A-) c m c = m [ co( ) c v p v p v Figuur A- ) ) Algemene oploing: () = e [C in () + C co () +,76 in (), co () Sionire oploing (figuur A-6): () =,76 in (), co () =,76 in (,9),76 =,76 in(,9),76,7 Figuur A-6 = p

53 A. Gewone differenilvergelijkingen b) Algemene oploing: () = (C + C ) e, in +, co Sionire oploing (figuur A-7): () =, in +, co =, in ( +,77), =, in( +,77),77, = p Figuur A-7 ) ) rillingvergelijking in complee vorm: p + o + = e j ω j (ω φ) Complee nze voor een priculiere oploing: p = A e Algemene oploing (in reële vorm): () = e [C in () + C co () + A in (ω φ) me A = ( - ~ ) + ~ en Z ~ rcn c m - ~ φ = [ r / voor ~ ~ = ~ rcn c m + r - \ ~ ~ b) Sionire oploing: () = A in (ω φ) Reonniekromme A = A(ω): figuur A-8 Frequeniereponie φ = A(φ): figuur A-9 A m,,, A = A( v),, v r = v Figuur A-8

54 Appendi A: oploingen vn de opgven f p p/ f = f( v) v r = v Figuur A-9 c) A (ω = ) =,6, φ (ω = ) =,66 () =,6 m in (,66) m,6 (figuur A-) =,6m in(,66) Figuur A-,66,6 = p ) d i d di = + 6 i = 7, d co () Oploing vn de homogene differenilvergelijking (die nel o nul nder): - - i () = C $ e + C $ e Sionire oploing (figuur A-): ( ) i() i p () = A in ( 9 ) + A co ( ) i A, =, A in ( +,),88, = pm m Figuur A-

55 A. Gewone differenilvergelijkingen Bij prgrf. ) Door invullen in de differenilvergelijking bewijzen we eer d y, y en y (priculiere) oploingen vn de differenilvergelijking zijn. Ze vormen een fundmeneel elel vn de differenilvergelijking omd hun deerminn vn Wronki ongelijk n nul i: W( y, y, y ) = 6 e ) ) λ =, λ =, λ =, y = C e + C e + C e b) λ =, λ / = ± j, y = C + C in + C co c) λ / =, λ = 6, = (C + C ) e + C e 6 d) λ // =, y = (C + C + C ) e e) λ =, λ / = ± j, y = C e + e [C in () + C co () f ) λ / =, λ =, y = (C + C ) e + C e ) We bewijzen eer door invullen in de differenilvergelijking d y, y en y (priculiere) oploingen vn de differenilvergelijking zijn. Ze zijn lineir onfhnkelijk omd hun Wronki-deerminn ongelijk n nul i: W( y, y, y ) = e Algemene oploing: y = C e + e [C in () + C co () ) ) λ / = ±, λ / = ± j, = C e + C e + C in + C co b) λ =, λ =, λ / = ± j y = C + C e + e (C in + C co ) c) λ // =, λ =, y = (C + C + C ) e + C e d) λ / = j, λ / = j, υ = (C + C ) in () + (C + C ) co () ) ) λ =, λ / = j, λ / = j = C + (C + C ) in + (C + C ) co () b) λ // =, λ / =, y = C + C + C + (C + C ) e c) λ =, λ / = + j, λ / = j y = C e + e [(C + C ) in () + (C + C ) co () d) λ / =, λ =, λ / = ± j y = (C + C ) e + C e + C in () + C co () 6) ) λ =, λ / =, y = C e + (C + C ) e Priculiere oploing: y = 9 e + `- + j 9 e b) λ =, λ =, λ =, = C e + C e + C e Priculiere oploing: = (e e ) = inh

56 6 Appendi A: oploingen vn de opgven c) λ / = ± j, λ / = ± j = C in + C co + C in () + C co () Priculiere oploing: = 9 co + co () d) λ =, λ / = ± j, λ / = ± j y = C + C in + C co + C in () + C co () Priculiere oploing: y = co + co () 7) Er geld = = =. De krkeriieke vergelijking λ + λ + λ + = heef de oploingen λ = en λ / = ± j. ) = y p = + b b) = y p = + b + c + d c) c = ; i geen oploing vn de krkeriieke vergelijking y p = A e. d) c = ; i een enkelvoudige oploing vn de krkeriieke vergelijking y p = A e e) β = ; j β = j i geen oploing vn de krkeriieke vergelijking y p = A in () + B co () f ) β = ; j β = j i een enkelvoudige oploing vn de krkeriieke vergelijking y p = (A in + B co ) g) g() = g () + g () + g () g () = e, g () = in (), g () = co g () = e c = ; i een enkelvoudige oploing vn de krkeriieke vergelijking y p = A e g () = in (); β = ; j β = j i geen oploing vn de krkeriieke vergelijking y p = B in () + C co () g () = co ; β = ; j β = j i een enkelvoudige oploing vn de krkeriieke vergelijking y p = (D in + E co ) Anze in zijn geheel: y p = y p + y p + y p = A e + B in () + C co () + (D in + E co ) 8) ) y = C + (C + C ) e Anze: y p = A in + B co y p = co b) y = (C + C + C ) e Anze: y p = + b + A e y p = + e y = y + y p = (C + C + C ) e + + e

57 A. Gewone differenilvergelijkingen 7 c) = C + C in + C co Anze: p = ( + b + c) = + b + c p = 8 = + p = C + C in + C co + 8 d) y = (C + C ) e + C e Anze: y p = ( + b) A e = (A + ba) e = (α + β) e y p = ( + ) e y = y + y p = (C + C ) e + ( + + C ) e α β " " 9) ) y = (C + C ) in + (C + C ) co Anze: y p = (A in + B co ) + b + c y p = in + y = y + y p = (C + C ) in + (C + C ) co + b) y = C + C + (C + C + C ) e Anze: y p = + A in + B co y p = + co y = y + y p = C + C + (C + C + C ) e + + co ) ) λ =, λ / = ± ( = ) Anze: y p = ( + b) = + b y p = b) λ =, λ / = ± j ( = ) Anze: y p = A e + y p = 8 e + c) λ / =, λ = Anze: y p = A in + B co y p =,7 in, co d) λ / = j, λ / = j Anze: p = ( + b) A e = (A + ba) e = (α + β) e p = ` + j e " " α β e) λ / = ±, λ =, λ / = ± j Anze: y p = A e + B in + C co + + b + c y p = e + in ) ) y = C + C in () + C co () Anze: y p = ( + b) = + b y p = + y = y + y p = C + C in () + C co () + + Priculiere oploing: y = co () + +

58 8 Appendi A: oploingen vn de opgven b) y = C e + C e + C e Anze: y p = A in + B co y p = in co y = y + y p = C e + C e + C e + in co Priculiere oploing: y = e + e + in co c) = C e + C e + C in + C co Anze: p = A e p = e = + p = C e + C e + C in + C co + e Priculiere oploing: = e in + e d) υ = C + C e + C e + C in + C co Anze: υ p = ( + b) = + b υ p = υ = υ + υ p = C + C e + C e + C in + C co Priculiere oploing: υ = co ) y = C + C + C in (α ) + C co (α ) (α = F/EI) Anze: y p = A in ( β ) + B co ( β ) ( β = π/l) y p = K b ( b - ) in ( β ) (voor α β ) K y = y + y p = C + C + C in (α ) + C co (α ) + in ( β ) b ( b - ) Q Ql Priculiere oploing: y = in ( β ) = b ( b - )EI r ( r EI - Fl ) $ in ` r j l Bij prgrf 6 ) Ece oploing: y = e ( ) + y (Euler) y (Runge-Ku) y ec,,,9,99 67,99 67,,8,87 6,87 6,,78,78 67,78 66,,7,7 6,7 6 ),,,,, y,7 9, 8,68 7, 8,78 6

59 A. Gewone differenilvergelijkingen 9 ) Eere berekening (kleine pgrooe) me h =,: y (Euler) y (Runge-Ku),,,,,7 7,,8 6,9 6,7 77, 6, 6,99 68 De eere berekening lever du de volgende uikomen: Volgen Euler: y(,) =,9 6 Volgen Runge-Ku: y(,) =,99 68 weede berekening (groe pgrooe) me h =,: Volgen Euler: y(,) =,9 Volgen Runge-Ku: y(,) =,99 68 Sching vn de fou: Volgen Euler: Δy k,9 6,9 =, 9, Volgen Runge-Ku: Δy k (,99 68,99 68) = ) Ece oploing: y = e + e Berekening bij bendering volgen Runge-Ku: y y ec y' y' ec,,9 69,9 69,9 98,9 96,,7 7,7 78,67 86,67 88,,8 8,8 8, 8, ) ) Ece oploing (zie opgve bij prgrf.): = e co (), υ = o = e [ in () + co () (,) =,78,78, υ(,) = o (,) =,99 69,996 b) Oploing bij bendering volgen Runge-Ku: (,) =,78,78, υ(,) = o (,) =,99 7,997 6) {p + in φ =, φ() =, {o () = Oploing bij bendering volgen Runge-Ku: φ(,) =,99 8,998, {o (,) =,99 8,99 Voor kleine hoeken hebben we de lineire differenilvergelijking {p + φ =. Deze bezi voor de beginwrden φ() =, {o () = de priculiere oploing φ = in. Du i: φ(,) = in, =,99 8,998, {o (,) = co, =,99,99

60 6 Appendi A: oploingen vn de opgven Bij prgrf.7 ) ) de (A λe) = - -m - = λ ( λ) + = - m λ + λ + = λ / = ± j y = e (C in + C co ) y = e [( C + C ) in (C + C ) co b) de (A λe) = - m = (C + C ) e, - m = ( λ) = λ / = = C e c) de (A λe) = -m -6 - m = λ + 6 = λ / = ± j y = C in () + C co (), y = [C co () C in () d) de (A λe) = 7 -m - = (7 λ) ( λ) + = - - m λ λ + = λ / = ± j y = e [C in () + C co () y = e [(C + C ) in () (C C ) co () - -m - e) de (A λe) = = ( λ) ( λ) + = 6 - m λ + = λ / = ± j = C in ( ) + C co ( ) = [ ( C + C ) in ( ) (C C ) co ( ) f ) de (A λe) = 6 -m - = (6 λ) ( λ) + 6 = - m λ 7λ + = λ =, λ = y = C e + C e, y = C e + C e ) ) de (A λe) = -m - = ( λ) (8 λ) + = 8 - m λ λ + 6 = λ / = 6 y = (C + C ) e 6, y = (C + C + C ) e 6