Repetitie Berecon III - november 2011

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Repetitie Berecon III - november 2011"

Roel Baert
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Repetitie Berecon III - november Potentiële energie: methode van Ritz restart; v:=a+b*x+c*x^2+d*x^3+e*x^4; v := acb xcc x 2 Cd x 3 Ce x 4 alpha:=diff(v,x);chi:=diff(alpha,x); α := bc2 c xc3 d x 2 C4 e x 3 χ := 2 cc6 d xc12 e x 2 eq1:=eval(v,x=0)=0;eq2:=eval(alpha,x=0)=0;eq3:=eval(v,x=l)=0; eq4:=eval(chi,x=l)=0; eq1 := a = 0 eq2 := b = 0 eq3 := acb LCc L 2 Cd L 3 Ce L 4 = 0 eq4 := 2 cc6 d LC12 e L 2 = 0 a:=solve(eq1,a);b:=solve(eq2,b);c:=solve(eq3,c);d:=solve(eq4,d) ; a := 0 b := 0 c :=KL dce L (1.1) (1.2) (1.3) vf:=eval(v,x=l/2); d :=K 5 2 e L vf := 1 8 e L4 (1.4) (1.5) W:=int(1/2*EI*chi^2,x=0..L)+F*vF; W := 9 10 EI e2 L 5 C 1 8 F e L4 eq:=diff(w,e); eq := 9 5 EI e L5 C 1 8 F L4 (1.6) (1.7) e:=solve(eq,e); (1.8)

2 vf; e :=K 5 72 K F L EI F L 3 EI (1.8) (1.9) 2 Potentiële energie: kritieke belasting Leg de stand van de staaf vast door middel van een veralgemeende coördinaat, zijnde de staafverdraaiing over de hoek θ. Gelineariseerde bifurcatietheorie wil zeggen: (i) schrijf de vervormingen als lineaire functies van θ en (ii) weerhou in de uitdrukking van W enkel termen in θ die niet van een hogere graad zijn dan de tweede macht. (i) impliceert dat we de verlenging (of verkorting) van de translatieveer mogen bepalen in de onderstelling dat de verplaatsingen klein zijn, dat het bovenste punt van de schoorstaaf zich horizontaal verplaatst over de afstand 2Lθ en dat het onderste punt van die staaf zich dus evenveel verplaatst (anders behoudt de staaf zijn lengte niet). Daarmee is de verlenging (of verkorting) van de translatieveer meteen bekend. (ii) impliceert dat wij de verticale verplaatsing van het aangrijpijngspunt van P, namelijk 3L - 3L. cosθ mogen schrijven als 3L - 3L.(1-θ²/2). restart; uveer:=2*l*theta; uveer := 2 L θ (2.1) vp:=3*l*(1-1+theta^2/2); (2.2)

3 k:=k/l^2; vp := 3 2 L θ2 k := K L 2 (2.2) (2.3) W:=1/2*K*theta^2+1/2*k*uveer^2-P*vP; W := 5 2 K θ2 K 3 2 P L θ2 eq:=diff(w,theta)=0; eq := 5 K θk3 P L θ = 0 theta:=1;pcr:=solve(eq,p); θ := 1 Pcr := 5 K 3 L (2.4) (2.5) (2.6) 3 Wringing met belemmerde welving We kiezen een kromlijnige coördinaat die vertrekt vanaf de rechterbovenhoek. We nemen een assenkruis yz waarvan de y-as samenvalt met de symmetrieas en de z-as samenvalt met de lijfplaten. Het dwarskrachtencentrum bevindt zich op de afstand y0 van de oorsprong. restart;t:=1*cm;a:=5*t;

4 t := cm a := 5 cm (3.1) Welvingsfunctie Uit het werkcollege leren we dat deze voor een profiel met een symmetrieas keersymmetrisch is ten opzichte van de symmetrieas. Indien we daar van meet af aan rekening mee houden, wordt het rekenwerk gehalveerd. psi[1]:=psi[0];z[1]:=3*a; ψ 1 :=ψ 0 z 1 := 15 cm psi[2]:=psi[1]-3*a*2*a;z[2]:=3*a; ψ 2 :=ψ 0 K150 z 2 := 15 cm psi[3]:=psi[2]-y0*2*a;z[3]:=a; ψ 3 :=ψ 0 K150 K10 y0 cm z 3 := 5 cm psi[4]:=psi[3]+(a-y0)*2./2*a;eq:=psi[4]=0;z[4]:=0; ψ 4 :=ψ 0 K150 K10 y0 cmc cmky0 cm eq :=ψ 0 K150 K10 y0 cmc cmky0 cm = 0 psi[5]:=-psi[3]; psi[6]:=-psi[2]; z 4 := 0 ψ 5 :=Kψ 0 C150 C10 y0 cm ψ 6 :=Kψ 0 C150 psi[7]:=-psi[1]; ψ 7 :=Kψ 0 psi[0]:=solve(eq,psi[0]); ψ 0 := 125. C15. y0 cm (3.1.1) (3.1.2) (3.1.3) (3.1.4) (3.1.5) (3.1.6) (3.1.7) (3.1.8) We hoeven dus ψtds = 0 niet meer te onderzoeken om ψ[0] te bepalen. Deze werd gevonden door uit te drukken dat ψ[4] = 0! We drukken nu uit dat ψztds = 0 om y0 te bepalen en houden weer rekening met de keersymmetrie (zie factor 2 in volgende). eq:=2*t/6*simplify((2*a*(psi[1]*(2*z[1]+z[2])+psi[2]*(2*z[2]+ z[1]))+2*a*(psi[2]*(2*z[2]+z[3])+psi[3]*(2*z[3]+z[2]))+a*sqrt (2.)*(psi[3]*(2*z[3]+z[4])+psi[4]*(2*z[4]+z[3]))))=0; eq := cm4 C y0 cm 3 = 0 (3.1.9) y0:=solve(eq,y0); y0 :=K cm (3.1.10)

5 psi[1]; psi[2]; psi[3]; psi[4]; K K (3.1.11) (3.1.12) (3.1.13) (3.1.14) Oplossing van de differentiaalvergelijking (staat in cursus eigenlijk, formule (20)) phi:=t/git*(-tanh(lambda*l)/lambda-exp(-lambda*(l-x))/(2* lambda*cosh(lambda*l))+exp(lambda*(l-x))/(2*lambda*cosh (lambda*l))+x); φ := T K tanh λ L λ phi1:=diff(phi,x); K 1 2 Kλ LKx e λ cosh λ L C 1 2 GIt Kλ LKx e cosh λ L K 1 2 e λ LKx cosh λ L e λ LKx λ cosh λ L T K 1 2 C1 φ1 := GIt phi2:=diff(phi1,x); T K 1 Kλ LKx λ e C 1 λ e λ LKx 2 cosh λ L 2 cosh λ L φ2 := GIt phi3:=diff(phi2,x); T K 1 λ 2 Kλ LKx e K 1 λ 2 e λ LKx 2 cosh λ L 2 cosh λ L φ3 := GIt It:=8*a*t^3/3+2*a*sqrt(2.)*t^3/3; It := cm 4 (3.2.1) (3.2.2) (3.2.3) (3.2.4) (3.2.5) Iw:=2*t/6*(2*a*(psi[1]*(2*psi[1]+psi[2])+psi[2]*(2*psi[2]+psi [1]))+2*a*(psi[2]*(2*psi[2]+psi[3])+psi[3]*(2*psi[3]+psi[2])) +a*sqrt(2.)*(psi[3]*(2*psi[3]+psi[4])+psi[4]*(2*psi[4]+psi[3] ))); Iw := cm 6 (3.2.6) E:=21000*kN/cm^2;nu:=0.3;G:=E/2/(1+nu); kn E := Cx

6 ν := kn G := GIt:=G*It;EIw:=E*Iw; GIt := kn EIw := kn cm 4 L:=250*cm; T:=50*kN*cm; L := 250 cm T := 50 kn cm lambda:=sqrt(git/eiw*cm^2)/cm;t:=50*kn*cm; λ := cm T := 50 kn cm (3.2.7) (3.2.8) (3.2.9) (3.2.10) Maximale hoekverdraaiing phi_max:=eval(phi,x=l); phi_max := Maximale welfnormaalspanning sigma_max:=e*psi[1]*eval(phi2,x=0*cm); kn sigma_max := Welfschuifspanning in 1 tau_max:=-e*eval(phi3,x=0)*(psi[1]+psi[2])/2*2*a; kn tau_max := (3.3.1) (3.4.1) (3.5.1) 4 Ruimtelijke knik

7 restart;t:=1.*cm;a:=10*t;l:=200*cm;lk:=0.7*l;e:=21000*kn/cm^2; nu:=0.3;g:=e/2/(1+nu); t := 1. cm a := 10. cm L := 200 cm Lk := cm kn E := G := ν := kn (4.1) Ligging van het zwaartepunt en positie van het dwarskrachtencentrum ten opzichte van het zwaartepunt A:=7*a*t; A := 70. S:=4*a*t*a/2; S := 200. cm 3 yg:=s/a; yg := cm y0:=yg *cm; y0 := cm (4.1.1) (4.1.2) (4.1.3) (4.1.4)

8 Bepaling van de traagheidsmomenten; de torsieconstante en de welfconstante zijn bekend uit voorgaande Iy:=t*(3*a)^3/12+2*a*t*(3/2*a)^2+2*a*t*(a/2)^2;EIy:=E*Iy; Iy := cm 4 EIy := kn Iz:=4*a^3/12*t+4*a*t*(yG-a/2)^2+3*a*t*yG^2;EIz:=E*Iz; Iz := cm 4 EIz := kn Iw := *cm^6;EIw:=E*Iw;It:=4*a*t^3/3+3*a*t^3/3; GIt:=G*It; Iw := cm 6 EIw := kn cm 4 It := cm 4 GIt := kn I0:=Iy+Iz+A*y0^2;z0:=0; I0 := cm 4 z0 := 0 (4.2.1) (4.2.2) (4.2.3) (4.2.4) Opstellen van de vergelijking voor de kritieke belastingen Ny:=evalf(Pi^2)*EIy/Lk^2;Nz:=evalf(Pi^2)*EIz/Lk^2;Nt:=A/I0* (GIt+evalf(Pi^2)*EIw/Lk^2); Ny := kn Nz := kn Nt := kn eq:=i0/a*(n-ny)*(n-nt)-y0^2*n^2=0; eq := NK kn NK kn K N 2 = 0 N:=solve(eq,N); N := kn, kn Ncr:= *kN; Ncr := kn (4.3.1) (4.3.2) (4.3.3) (4.3.4)

9 Kniksterkte fy:=35.5*kn/cm^2;lambda:=sqrt(a*fy/ncr);alpha:=0.49; 35.5 kn fy := λ := α := 0.49 phi:=0.5*(1+alpha*(lambda-0.2)+lambda^2);chi:=1/(phi+sqrt (phi^2-lambda^2)); φ := NbRd:=chi*A*fy; χ := NbRd := kn (4.4.1) (4.4.2) (4.4.3)

Vergelijkbare documenten

Oplossing examen AJ ste zittijd. Theorie - potentiële energie

Oplossing examen AJ ste zittijd. Theorie - potentiële energie Oplossing examen AJ 1-13 - 1ste zittijd Theorie - potentiële energie Neem de x-as naar boven met oorsprong ter hoogte van de voet. De uitwijking v positief naar links; EI = buigstijfheid van de staaf.