Oplossingen voorbeeldexamen

Transcriptie

1 Oplossingen voorbeeldexamen Theorie: Gehler Formuleer de meest eenvoudige vorm van het eigenwaardeprobleem waarmee men het schranken van het portaal, horend bij nevenstaande figuur, kan bestuderen door toepassing van de methode van Gehler, waarbij de normaalkrachtvervorming verwaarloosd wordt. Stel daarbij de stabiliteitsparameter ε = 0 voor alle staven. Bepaal ten slotte de schrankbelasting door oplossing van het eigenwaardeprobleem. restart; We geven de knopen een kenletter A, B, C, D in wijzerzin beginnend vanaf de linker inklemming. Vermits ε = 0 mag gesteld worden voor alle staven, hebben we de stabiliteitsfuncties Γ en Λ niet nodig en werken we met de stijfheid K = 2EI/. Bij het schranken ondergaan de stijlkoorden een wenteling ψ en ondergaan de knopen B en C eenzelfde hoekverdraaiing φ. Als je dat laatste niet meteen inziet, schrijft u het wentelingsevenwicht van de knopen B en C en vergelijkt deze betrekkingen. We voeren fictieve destabiliserende krachten ψp in, werkend naar links, ter hoogte van de knopen B en C en werken dan verder volgens een eerste orde theorie. Schrijf eerst een paar Gehlerkoppels. MAB:=2*EI/*(2*phi[A]+phi[B]-3*psi); MAB := 2 EI 2 φ A Cφ B K3 ψ (1.1) MBA:=2*EI/*(2*phi[B]+phi[A]-3*psi); MBA := 2 EI 2 φ B Cφ A K3 ψ (1.2) phi[a]:=0; φ A := 0 (1.3) MBC:=2*EI/*(2*phi[B]+phi[C]);

2 De dwarskrachten in de stijlen zijn even groot VAB:=-(MBA+MAB)/; 2 EI 2 φ B K3 ψ phi[c]:=phi[b]; MBC := 2 EI 2 φ B Cφ C φ C :=φ B C 2 EI φ B K3 ψ VAB :=K Nu schrijven we de vergelijkingen die het wentelingsevenwicht van de knoop B en het translatieevenwicht van de spantregel BC uitdrukken. Deze vormen het eigenwaardeprobleem. eq1:=mba+mbc=0; 2 EI 2 φ B K3 ψ 6 EI φ B eq1 := C = 0 phi[b]:=solve(eq1,phi[b]); eq2:=2*vab-2*p*psi=0; φ B := 3 5 ψ (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) eq2 := 84 EI ψ (1.9) 5 2 K2 P ψ = 0 Vergelijking (1.9) heeft de triviale oplossing ψ = 0, waarmee we de grondtoestand of onuitgeknikte stand terugvinden. Daarin zijn we niet geïnteresseerd. Niet-triviale schrankvormen worden gevonden door aan ψ een willekeurige waarde te geven, bijvoorbeeld ψ = 1. psi:=1; ψ := 1 (1.10) Pcr:=solve(eq2,P); Oefening Kippen Pcr := 42 5 Gegeven een gewalst HE160 A profiel met een lengte l = 3 m. Er zijn kipsteunen ter plaatse van de opleggingen en op l/3 van het linkersteunpunt. Op l/3 van het linkersteunpunt grijpt een puntkracht Qk = 200 kn aan (variabele belasting). Deze puntkracht wordt in het lijf ingeleid. De staalsoort is S355. De kenmerken van de doorsnede zijn: h = 152 mma = 38,77 cm2it = 12,19 cm4 b = 160 mmiy = 1673 cm4iw = 31, cm6 tw = 6 mmwel,y = 220,1 cm3 tf = 9 mmwpl,y = 245,1 cm3 r = 15 mmiz = 615,6 cm4 EI 2 (1.11) Controleer of de balk bezwijkt door kip (de sterkte tegenover lokaal plooien of afschuiving moet niet onderzocht worden).

3 restart; Bepaal de klasse van de doorsnede h:=152.*mm;b:=160.*mm;tf:=9.*mm;tw:=6.*mm;r:=15.*mm;fy:=355.* N/mm^2; h := 152. mm b := 160. mm tf := 9. mm tw := 6. mm r := 15. mm fy := 355. N (2.1) mm 2 Flens slankheid_flens:=(b/2-tw/2-r)/tf; slankheid_flens := (2.2) epsilon:=sqrt(235*n/mm^2/fy); ε := (2.3) if slankheid_flens <= 9*epsilon then print("klasse flens is 1") end if; "Klasse flens is 1" (2.4) ijf slankheid_lijf:=(h-2*tf-2*r)/tw; slankheid_lijf := (2.5) if slankheid_flens <= 72*epsilon then print("klasse lijf is 1") end if; "Klasse lijf is 1" (2.6) Construeer het buigend momentendiagram Qk:=200000*N;:=3000.*mm; Qk := N := mm RA:=Qk*2*/3/;x:=xi*; RA := N x := ξ mm M:=piecewise(xi<=1/3,RA*x,xi 1/3,RA*x-Qk*(x-/3)); (2.7) (2.8) (2.9)

4 M := N ξ mm ξ% N ξ mmk N ξ mmk mm plot(m/(n*mm),xi=0..1); 1 3!ξ (2.9) 1.2# # # # # # ξ Mk:=eval(M,xi=1/3); Mk := N mm (2.10) Bepaal elastische kritieke kipbelasting. Vermits de afstand tussen de centrale kipsteun en deze aan de randen het grootst is vooor het rechter deel, is dit veld het meest aan kip onderhevig. k:=1.;kw:=1.;e:=210000*n/mm^2;nu:=0.3;g:=e/2/(1+nu);iz:=615.6* cm^4;cm:=10*mm;iw:=31.41*10^3*cm^6;it:=12.19*cm^4; k := 1. kw := 1.

5 C1:=1.879; k:=2/3*;zg:=0; E := N mm 2 ν := 0.3 G := N mm 2 Iz := mm 4 cm := 10 mm Iw := mm 6 It := mm 4 C1 := k := mm zg := 0 (2.11) (2.12) (2.13) Mcr:=C1*evalf(Pi^2)*E*Iz/k^2*sqrt((Iw/Iz+k^2/evalf(Pi^2)*G* It/E/Iz)/mm^2)*mm; Mcr := N mm (2.14) Wpl:=245.1*cm^3;Mpl:=Wpl*fy; Wpl := mm 3 Mpl := N mm lambda:=sqrt(mpl/mcr); λ := Gebruik kipkromme a alpha:=0.21;phi:=0.5*(1+alpha*(lambda-0.2)+lambda^2);chi:=1/ (phi+sqrt(phi^2-lambda^2)); α := 0.21 φ := χ := MRd:=chi*Mpl; MRd := N mm if 1.5*Mk/MRd <= 1 then print("de kipsterkte is toereikend") else print("er is een kipprobleem") end if; "Er is een kipprobleem" Opmerking: de opmerkzame lezer zal opwerpen dat we het kipprobleem eigenlijk niet hoefden te onderzoeken vermits Md Mpl! Oefening excentrisch samengedrukte staven (2.15) (2.16) (2.17) (2.18) (2.19)

6 Een gewalst profiel HEA 280 profiel (materiaal S275) is in de rekentoestand onderhevig aan een drukkracht Nd = 1250 kn. Deze drukkracht grijpt excentrisch aan zoals op bovenstaande figuur is getekend. Dezelfde randvoorwaarden zijn van toepassing in het xy- als in het xz-vlak. De afstand tussen de ondersteuningen bedraagt l = 5 m. Bepaal de maximaal toelaatbare waarde van e en onderzoek of daarmee alle sterktevoorwaarden vervuld zijn als torsieknik en ruimtelijke knik niet te duchten zijn. Neem ook aan dat de doorsnede tot klasse 1 of 2 behoort. De karakteristieken van de doorsnede zijn: A = 97,26 cm² Iy = cm4wpl,y = cm³ Iz = cm4wpl,z = 518,1 cm³ restart; E:=21000*kN/cm^2;fy:=27.5*kN/cm^2;:=500*cm;Iy:=13670*cm^4;Iz:= 4763*cm^4; Bereken de Eulerlasten Pcry:=evalf(Pi^2)*E*Iy/^2; kn E := cm kn fy := cm 2 := 500 cm Iy := cm 4 Iz := 4763 cm 4 (3.1) (3.2)

7 Pcry := kn Pcrz:=evalf(Pi^2)*E*Iz/^2; Pcrz := kn A:=97.26*cm^2;Npl:=A*fy;lambda:=sqrt(Npl/Pcry); A := cm 2 Npl := kn λ := Bepaal de ideële vormfout bij knik om de sterke as. Gebruik knikkromme b alpha:=0.34;phi:=0.5*(1+alpha*(lambda-0.2)+lambda^2);chi:=1/ (phi+sqrt(phi^2-lambda^2)); α := 0.34 φ := χ := NRdy:=chi*A*fy;Wply:=1112*cm^3; NRdy := kn Wply := 1112 cm 3 eq:=fy=nrdy/a+nrdy*w0/(1-nrdy/pcry)/wply;w0:=solve(eq,w0); 27.5 kn kn kn w0 eq := cm 2 = cm 2 C cm 3 w0 := cm Nd:=1250*kN; Nd := 1250 kn Sterktetoets bij buiging om de y-as M1:=Nd*2*e;M2:=Nd*e;psi:=M2/M1; M1 := 2500 kn e M2 := 1250 kn e ψ := 1 2 beta:= *(1+psi)^2; β := Meff:=beta*M1; Meff := kn e eq:=nd/a+(meff+nd*w0)/(1-nd/pcry)/wply=fy;e:=solve(eq,e); kn kn ec kn cm eq := cm 2 C cm kn = cm 2 e := cm Toets van de meest belaste dwarsdoorsnede Md:=Nd*2*e; Md := kn cm Mply:=Wply*fy; Mply := kn cm (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) (3.14)

8 nu:=nd/npl; ν := a:=(a-2*28*cm*1.3*cm)/a; a := MNyRd:=Mply*(1-nu)/(1-0.5*a); MNyRd := kn cm test:=md/mnyrd; test := OK: hier is aan voldaan Onderzoek nog knik om de z-as. Gebruik knikkromme c lambda:=sqrt(npl/pcrz);alpha:=0.49;phi:=0.5*(1+alpha* (lambda-0.2)+lambda^2);chi:=1/(phi+sqrt(phi^2-lambda^2)); λ := α := 0.49 φ := χ := NRdz:=chi*A*fy; NRdz := kn if Nd/NRdz <= 1 then print("kniksterkte om de zwakke as OK") else print("pas ontwerp aan") end if; "Kniksterkte om de zwakke as OK" Oefening plooien van plaatvelden (3.15) (3.16) (3.17) (3.18) (3.19) (3.20) (3.21) a = 3000 mm b = 1500 mm t = 15 mm fy = 355 MPa σ = 150 MPa τ = 80 MPa ψ = 1/3 Het plaatveld is voorzien van een starre langsverstijver met Wl = mm³ en een starre

9 dwarsverstijver met It = mm4 en Wt = mm³. De dwarsverstijver heeft een open doorsnede. Onderzoek of de plaat plooit. restart; Vermits er een starre dwarsverstijver en een starre langsverstijver is, hoeven we enkel het deelveld in de rechter (of linker) bovenhoek te bekijken. fy:=355.*mpa;e:=210000*mpa;nu:=0.3;t:=15.*mm; fy := 355. MPa E := MPa ν := 0.3 t := 15. mm a1:=3000.*mm/2;b1:=1500*mm/2;alpha:=a1/b1; a1 := mm b1 := 750 mm α := sigma[1]:=150.*mpa;tau[1]:=80.*mpa;sigma[eff]:=sqrt((sigma[1] /MPa)^2+3*(tau[1]/MPa)^2)*MPa; σ 1 := 150. MPa τ 1 := 80. MPa (4.1) (4.2) σ eff := MPa sigma[2]:=sigma[1]/3; σ 2 := MPa sigma[3]:=(sigma[1]+sigma[2])/2;psi:=sigma[3]/sigma[1]; σ 3 := MPa (4.3) (4.4) ψ := ksigma:=8.2/(1.05+psi); ksigma := ktau:=5.34+4/alpha^2; ktau := sigma[0,cr]:=ksigma*e*evalf(pi^2)/(12*(1-nu^2))*(t/b1)^2; σ 0, cr := MPa tau[0,cr]:=ktau*e*evalf(pi^2)/(12*(1-nu^2))*(t/b1)^2; τ 0, cr := MPa xi:=1/((1+psi)*sigma[1]/(4*sigma[0,cr])+sqrt(((3-psi)/4*sigma [1]/sigma[0,cr])^2+(tau[1]/tau[0,cr])^2)); ξ := sigma[eff,cr,ideëel]:=xi*sigma[eff]; σ eff, cr, ideëel := MPa lambda:=sqrt(fy/sigma[eff,cr,ideëel]); λ := test:=0.8*fy; (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) (4.9) (4.10) (4.11) (4.12) (4.13)

10 test := MPa eta:=(20+sqrt(25-15*lambda^4))/(25+lambda^4); η := sigma[eff,cr]:=eta*fy; σ eff, cr := MPa mu[tau]:=1.05;mu[sigma]:= *(1+psi); µ τ := 1.05 (4.13) (4.14) (4.15) µ σ := mu:=sqrt(((mu[sigma]*sigma[1]/sigma[0,cr])^2+(mu[tau]*tau[1] /tau[0,cr])^2)/((sigma[1]/sigma[0,cr])^2+(tau[1]/tau[0,cr])^2)) ; µ := if sigma[eff]/(mu*sigma[eff,cr]) <= 1 then print("het plaatveld plooit niet") end if; "Het plaatveld plooit niet" (4.16) (4.17) (4.18)