Hoe compleet zijn complete metingen van kaonfotoproductie?

Transcriptie

1 Faculteit Wetenschappen Vakgroep Fysica en Sterrenkunde Voorzitter: Prof. Dr. D. Ryckbosch Hoe compleet zijn complete metingen van kaonfotoproductie? door Tom Van Cuyck Promotor: Prof. Dr. J. Ryckebusch Begeleider: T. Vrancx Masterproef voorgelegd tot het behalen van de academische graad van Master in de Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 0 0

2

3 Voorwoord Ik zou deze masterproef willen beginnen met een dankwoord aan degene die geholpen hebben om deze thesis tot stand te laten komen. Allereerst wil ik mijn promotor, Jan Ryckebusch, van harte bedanken voor de mogelijkheid om deze masterproef te doen, maar ook voor de hulp bij de problemen die zich in de loop van het jaar stelden. Daarnaast wil ik mijn begeleider, Tom, bedanken voor al zijn hulp. Voor het onder de knie krijgen van de monsterlijke code strangecalc, voor de hulp bij al mijn problemen en voor het nauwkeurig nalezen van mijn tekst. Verder nog een dankwoord voor Maarten, voor alle hulp bij L A TEX, GNUplot en Linux. Daarnaast wil ik Benjamin, Jonathan, Willem en Camille bedanken voor de vele ontspannende babbels en ping-pong wedstrijdjes - behalve zelfstandig werken, heb ik in dit thesisjaar zeker ook stukken beter leren ping-pongen. Verder wil ik nog de mensen van de fysicasa en de rest van mijn klasgenoten bedanken voor de vijf mooie jaren in de fysica. Tenslotte wil ik nog mijn familie bedanken, omdat ik van hen de mogelijkheid gekregen heb om fysica te studeren. Bedankt! Tom Van Cuyck, juni 0 iii

4

5 Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie. Tom Van Cuyck, juni 0 v

6

7 Inhoudsopgave Voorwoord Toelating tot bruikleen Inhoudsopgave iii v vii Inleiding. De fotoproductie van een pseudoscalaire meson of kaonfotoproductie..... Inhoud strangecalc Spinobservabelen 5. Differentiële werkzame doorsnede Stokesvector Uitbreiding inclusief hyperonpolarisatie Niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede Enkelvoudige polarisatieobservabelen Dubbele-polarisatieobservabelen Spinobservabelen in het geroteerde assenstelsel Gepolariseerde ifferentiële werkzame doorsnede CGLN-representatie Heliciteitsrepresentatie Transversiteitsrepresentatie Enkelvoudige asymmetrieën Dubbele asymmetrieën Spinobservabelen op een relativistische manier 9 3. Transversiteitsrepresentatie Heliciteitsrepresentatie vii

8 viii Inhoudsopgave 4 Regge-plus-resonantie model Regge-plus-resonantie model Isobarmodel Reggemodel Regge-plus-resonantie model Transversiteitsamplitudes Reggepropagator voor het K + (494) Reggetraject Relatieve fases Informatieëntropie Shannonentropie Verklaring van de definitie van de Shannonentropie Axiomatische opbouw van de Shannonentropie Continue entropie Verband tussen Shannonentropie en continue entropie De normale distributie uit het principe van maximale entropie Differentiële werkzame doorsnede als PDF Informatiewinst van complete metingen Informatiewinst Numerieke bepaling van de entropieën Bepaling van de norm van de amplitudes Complete metingen Conclusie A Polarisatieobservabelen 87 A. Definities van polarisatieobservabelen A. Observabelen in de CGLN-representatie A.3 Observabelen in de heliciteitsrepresentatie A.4 Observabelen in de transversiteitsrepresentatie B Transversiteitsamplitudes 95 C Complete metingen 0 Bibliografie 09 Lijst van figuren Lijst van tabellen 5

9 Hoofdstuk Inleiding 8 CHAPTER. INTRODUCTION Figure.5 An intuitive overview of the process γp K + Y 0 : a photon (γ) brings a proton(p) into Figuur.: Schematische voorstelling an excited state, or nucleon resonance (N van de reactie p(γ, K + )Λ. Figuur overgenomen uit [] ). A strange quark-antiquark pair (s s) materialises out of the sea of virtual q q-pairs in the resonance, leading to its decay into two strange particles: a kaon (K) and a hyperon (Y). In this case, the hyperon can be either a Λ or Σ 0 hyperon, both of which have a Het quark standaardmodel content of uds. Up, is down een theorie and strange uit de quarks deeltjesfysica are respectively waarin coloured de krachten red, blueen anddeeltjes yellow; die an antiquark is drawn with a dashed border. alle materie vormen, worden beschreven. Volgens het standaardmodel worden de elementaire deeltjes in twee categorieën ingedeeld: de leptonen en de quarks. De vier fundamentele.3 The strange channels krachten worden beschreven door de uitwisseling van bosonen. De hadronische fysica gebruikt echter andere, effectieve vrijheidsgraden. De belangrijkste The so-called open strangeness channels that will be covered in this work consist of a kaon and a hyperon taak van in the de hadronische final state. This fysica is any is het of the resonantiespectrum following reactions: van het nucleon beschrijven, en hierbij zijn de quarks en gluonen van het standaardmodel niet meer de aangewezen vrijheidsgraden. γ ( ) p K + Λ γ ( ) n K 0 Λ Het constituent quark γ ( ) model p K beschrijft + Σ 0 nucleonen als eenγ ( ) gebonden n K 0 Σtoestand 0 van drie effectieve of constituent quarks. γ ( ) p Deze K 0 Σ + kunnen gezien wordenγ als ( ) nnaakte K + Σquarks. aangekleed met (.) een wolk van gluonen en quark-antiquark paren. Men kan het nucleon dan onderzoeken The constituent quark content of the kaons in the final state is u s (K + ) and d s (K 0 ); that of the door deze quark-antiquark paren te final-state hyperons is uds (Λ), uus (Σ + onderzoeken. Als een foton met voldoende energie ), uds (Σ 0 ) and dds (Σ ). Fig..5 features a cartoon that intuitively interageert explains met het hownucleon these particles kan éénare vancreated deze quark-antiquark through photoproduction paren materialiseren off the proton. en zo ontstaan er nieuwe deeltjes. De reactie die in dit werk besproken zal worden, de p(γ, K + )Λ These reactions are said to produce open strangeness because they require a virtual strange quark-antiquark reactie, wordt weergegeven pair to be created in Figuur, giving.. rise to a strange meson and hadron in the final state. It is therefore a reaction that is particularly sensitive to the strangeness content of the quark-antiquark sea of the nucleon and its excited states. This work will not cover the reactions on the right hand side of (.), i.e. kaon production on the neutron. Strangeness photoproduction from a free neutron target is still beyond the known experimental techniques, so this reaction can only be realised by means of a deuteron target. Taking into account the deuteron wave function, the increased complexity of the kinematics and the final state interactions is a tall order, and we will not address this matter here. A detailed account of a relativistic formalism for the description of KY production on the deuteron is given in Ref. [9].

10 .. De fotoproductie van een pseudoscalaire meson of kaonfotoproductie. De fotoproductie van een pseudoscalaire meson of kaonfotoproductie Als de vier amplitudes bij een bepaalde massamiddelpuntsenergie en verstrooiingshoek bee y = e y' ex' De verstrooiingsamplitude van de reactie wordt volledig bepaald door vier complexe amplitudes, die afhankelijk zijn van de massamiddelpuntsenergie en de verstrooiingshoek. Met twee fotonpolarisatietoestanden, twee proton spineigentoestanden en twee lambda spineigentoestanden zijn er in totaal acht matrixelementen, maar rotatie-invariantie en pariteits- z' -k behoud reduceren dit aantal tot vier. e q e x meson e y = e y' ex' ez' q meson e z nucleon lab cm nucleon foton E lab ɣ foton k e x -k (a) Labstelsel baryon e baryon z -q (b) Massamiddelpuntsstelsel Figuur k.: De -q reactie p(γ, K + )Λ in het labstelsel en het massamiddelpuntsstelsel. Het foton γ is de beam, het initiële nucleon p is de target, het meson is het kaon K en het hyperon Λ, is de recoil. paald zijn is alles over de reactie gekend. In dit werk zullen we onderzoeken hoe we de (genormeerde) transversiteitsamplitudes kunnen bepalen. Dit zijn de complexe amplitudes uitgedrukt in de transversiteitsbasis. De reactie zal onderzocht worden door het meten van de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede en de spin- of polarisatieobservabelen. Deze spinobservabelen zijn asymmetrieën van de gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede in een punt, waarbij één of twee deeltjes gepolariseerd zijn. De targetasymmetrie T bijvoorbeeld is het verschil tussen de gepolariseerde differentiële werkzame doorsneden met de target gepolariseerd in de y- en de ( y)-richting. Bij enkelvoudige spinobservabelen is de beam, de target of de recoil gepolariseerd en bij de dubbele spinobservabelen zijn twee van de drie deeltjes gepolariseerd: de beam-target, beam-recoil en target-recoil spinobservabelen. Een complete set van spinobservabelen is een set van observabelen die toelaat om ondubbelzinnig de vier complexe amplitudes te bepalen. In dit werk zullen we deze wiskundig complete sets onderzoeken, om te concluderen dat deze niet volstaan om de amplitudes te

11 Hoofdstuk. Inleiding 3 bepalen. De reden hiervoor is de experimentele fout op de meting van de observabelen. Tot op heden zijn enkel de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede, de enkelvoudige spinobservabelen en de beam-recoil observabelen gemeten. Resultaten voor alle spinobservabelen zijn echter op komst van nieuwe experimenten, die zullen toelaten de complexe amplitudes volledig te bepalen. Tabel.: Eigenschappen van de deeltjes in de reactie p(γ, K + )Λ Naam Symbool J P Quark samenstelling foton γ proton p uud kaon K + 0 us lambda Λ + + uds. Inhoud In Hoofdstuk worden de spinobservabelen van de reactie p(γ, K + )Λ besproken. Vertrekkende van de gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede worden de enkelvoudige en dubbele spinobservabelen gedefinieerd. Deze observabelen worden daarna uitgedrukt in drie verschillende representaties: de CGLN-, de heliciteits- en de transversiteitsrepresentatie. Daar de uitdrukkingen in de transversiteitsrepresentatie niet consistent zijn met die gevonden in de literatuur worden deze in Hoofdstuk 3 volgens een andere methode afgeleid. In dit hoofdstuk worden de uitdrukkingen op een relativistische wijze afgeleid, in tegenstelling tot het vorige. Ook ditmaal komen de uitdrukkingen niet overeen met die gevonden in de literatuur. Er wordt wel beargumenteerd dat de uitdrukkingen in dit werk de enige correcte zijn. De reactie p(γ, K + )Λ wordt het best beschreven met het Regge-plus-resonantie model, daarom wordt dit model in Hoofdstuk 4 eerst kort toegelicht. Aangezein we zullen trachten de transversiteitsamplitudes te bepalen uit metingen van de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede en verschillende polarisatieobservabelen, worden de transversiteitsamplitudes in dit hoofdstuk eerst zelf onderzocht.

12 4.3. strangecalc Om finaal de transversiteitsamplitudes te extraheren uit een meting van de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede en verschillende polarisatieobservabelen, wordt in Hoofdstuk 5 gestart met een meting van de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede. Hierbij wordt ook de informatiewinst besproken die hiermee gepaard gaat. Tenslotte worden in Hoofdstuk 6 de metingen van één of meerdere observabelen gesimuleerd, om zo de genormeerde transversiteitsamplitudes te kunnen bepalen. Er wordt geconcludeerd dat een complete set van observabelen niet volstaat om deze amplitudes te bepalen. Samen met de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede en de drie enkelvoudige spinobservabelen is een minimum van zeven dubbele polarisatieobservabelen nodig om de amplitudes met een aanvaardbare nauwkeurigheid te bepalen..3 strangecalc Voor alle simulaties in dit werk werd gebruik gemaakt van het programma strangecalc. Dit is de code van de theoretische medium-energie-fysica groep aan de Universiteit Gent. Voor elke simulatie werd gebruik gemaakt van het model RPR-0. Met het programma kan de reactie p(γ, K + )Λ gesimuleerd worden, en zo kunnen bij elke massamiddelpuntsenergie en verstrooiingshoek de observabelen én de transversiteitsamplituden bepaald worden. De output van dit programma wordt dus enerzijds gebruikt om de metingen te simuleren en anderzijds om de resultaten voor de amplituden uit de simulaties te vergelijken met de echte resultaten.

13 Hoofdstuk Spinobservabelen We beschouwen de fotoproductie van een pseudoscalair meson, namelijk de reactie p(γ, K + )Λ. Om de gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede van deze reactie te bepalen, volgen we de werken van Fasano, Tabakin en Saghai [] en Sandorfi [3]. We zullen de gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede uitdrukken in functie van de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede en 5 spinobservabelen. Deze spinobservabelen zullen daarna uitgedrukt worden in drie verschillende representaties: de CGLNrepresentatie (Chew-Goldberger-Low-Nambu), de heliciteitsrepresentatie en de transversiteitsrepresentatie. Het probleem zal op twee manieren benaderd worden. In dit hoofdstuk vertrekken we vanuit een niet-relativistisch standpunt. Uit de fysische symmetrieën waaraan de transitiematrix moet voldoen, volgen op natuurlijke wijze, de spinobservabelen uitgedrukt in de CGLN-amplitudes. Door een relatie tussen de CGLN- en de heliciteitsamplitudes af te leiden kunnen we de spinobservabelen ook in de heliciteitsrepresentatie uitdrukken. Tenslotte zullen we vertrekkende van de definities van de spinobservabelen de observabelen proberen uitdrukken in de transversiteitsrepresentatie. De gevonden resultaten hiervoor zijn echter niet consistent met die gevonden in de literatuur. In het volgende hoofdstuk wordt vertrokken van de Diracspinoren, en zullen we een poging doen om op een relativistische wijze de spinobservabelen in de transversiteitsrepresentatie uit de literatuur terug te vinden. Door een relatie tussen de heliciteits- en transversiteitsamplitudes af te leiden kunnen we de observabelen opnieuw in de heliciteitsrepresentatie uitdrukken, ditmaal op een relativistische wijze afgeleid. Het assenstelsel wordt gedefinieerd als in Ref. [3] en weergegeven in Figuur.. De richting van de fotonimpuls k in het massamiddelpuntssysteem definieert de z-as. De y-as wordt gedefinieerd als: e y = ( k q)/ k q, met q de mesonimpuls, zodat deze as loodrecht op 5

14 6.. Differentiële werkzame doorsnede het reactievlak staat. De x-as tenslotte kan gedefinieerd worden als e x = e y e z. Het e x e z -vlak is het reactievlak in het massamiddelpuntssysteem. De fotonimpuls q en de mesonimpuls liggen in het reactievlak en maken in het massamiddelpuntssysteem een hoek θ cm, gemeten van k naar q, die de vertrooiingshoek genoemd wordt. Observabelen die een gepolariseerd hyperon bevatten, kunnen uitgedrukt worden in een geroteerd assenstelsel, waarbij de z -as gedefinieerd is als de richting van de kaonimpuls in het massamiddelpuntssysteem. De y -as valt samen met de y-as en de x -as wordt opnieuw bepaald via: e x = e y e z. De hoek tussen de z-as en de z -as is dus gelijk aan de verstrooiingshoek θ cm. De energie van het inkomende foton is gelijk aan ω, de energie van het proton, het Λ en het K zijn respectievelijk gelijk aan E p, E Λ en E K. De differentiële werkzame doorsnede en alle spinobservabelen en amplituden zijn afhane y = e y' ex' ez' q meson cm nucleon foton k -k e x baryon -q e z Figuur.: Het gebruike massamiddelpuntssysteem. kelijk van de massamiddelpuntsenergie en verstrooiingshoek, maar voor de eenvoud van notatie zullen we deze afhankelijkheid niet expliciet neerschrijven.. Differentiële werkzame doorsnede Om de differentiële werkzame doorsnede uit te drukken in functie van de niet-gepolariseerde werkzame doorsnede en 5 spinobservabelen maken we gebruik van dichtheidsmatrices [4]. Beschouwen we een ensemble van N toestanden i, met i {,,..., N}, en met P i de waarschijnlijkheid dat een toestand i voorkomt, dan wordt de dichtheidsoperator

15 Hoofdstuk. Spinobservabelen 7 gedefinieerd als: ρ N i P i i. (.) i= Kiezen we een set van orthogonale basisvectoren n, dan wordt de dichtheidsmatrix in de {n} representatie gedefinieerd als: ρ nn n ρ n = N n i P i i n. (.) i= Om de differentiële werkzame doorsnede uit de drukken in functie van de spinobservabelen, beschouwen we nu het initiële nucleon met een spin in een willekeurige richting en noteren deze toestand als α. Kiezen we nu als set van basisvectoren de spineigentoestanden van het nucleon m s, langs een willekeurige as, dan kunnen we deze toestand dan uitdrukken als: α = m s m s α. (.3) m s Hier werd gebruik gemaakt van de compleetheidsrelatie = m s m s m s, die geldt voor een set van orthogonale basisvectoren. Hierbij wordt gesommeerd over de twee mogelijke spintoestanden van het nucleon m s, up + en down. We nemen aan dat de toestand α voorkomt met een waarschijnlijkheid P α. Op analoge wijze beschouwen we de hyperontoestand β : β = m s m s m s β, (.4) en de fotontoestand g : g = λ λ λ g, (.5) waarbij m s de spineigentoestanden van het hyperon langs een willekeurige as zijn, en λ de heliciteitstoestanden van het foton. Dit zijn de twee toestanden van het foton met tegengestelde heliciteit. Aangezien het foton langs de z-as beweegt zijn deze heliciteitstoestanden van het foton gelijk aan de spintoestanden van het foton langs de z-as. P β en P g worden gedefinieerd als de waarschijnlijkheden dat de toestanden β en λ voorkomen. De differentiële werkzame doorsnede voor een gepolariseerd nucleon, gepolariseerd foton en niet-gepolariseerd hyperon wordt dan bepaald door de amplitude van de reactie m s F g α, (F g wordt verder gedefinieerd), te vermenigvuldigen met zijn complex toegevoegde, en uit te middelen over de initiële foton- en nucleontoestanden en te sommeren over de finale

16 8.. Differentiële werkzame doorsnede hyperontoestanden : (B,T,0) dσ dω = ρ 0 m s,α,g = ρ 0 P α P g m s F g α, (.6) m s F g α P α P g α F g m s, (.7) m s,α,g = ρ 0 m s F λ m s m s α P α α m s λ g P g g λ m s,m s,m s,λ,λ,α,g = ρ 0 m s F λ m s, (.8) m s,m s,m s,λ,λ m s F λ m s m s ρ N m s λ ρ γ λ m s F λ m s, (.9) = ρ 0 Tr(Fρ N ρ γ F ). (.0) De factor ρ 0 = q / k is de verhouding van het finale kaonimpuls en het initiële fotonimpuls. Op de voorlaatste lijn (.9) zijn ρ N en ρ γ de dichtheidsoperatoren van het nucleon en het foton. Deze zijn gedefinieerd als: ρ N α ρ γ g α P α α, (.) g P g g. (.) Voor de eenvoud van notatie hebben we de bijhorende dichtheidsmatrices in (.0) met hetzelfde symbool genoteerd. Uit de context zal altijd blijken of we het hebben over de dichtheidsmatrix of de dichtheidsoperator. De overgang van (.7) naar (.8) werd mogelijk gemaakt door de (niet-relativistische) definitie van F λ : F λ = J ɛ λ, (.3) waarbij J de niet-relativistische fotonstroom is en ɛ λ de polarisatievector van het foton. Voor de polarisatievector van het foton geldt []: ɛ g = λ ɛ λ λ g, (.4) en hiermee krijgen we voor F g : F g = λ F λ λ g. (.5) Om aan te duiden dat we de differentiële werkzame doorsnede bepalen met een gepolariseerd nucleon, gepolariseerd foton en niet-gepolariseerd hyperon, maken we gebruik van een superscript (B, T, R). Hierbij zegt e.g. een B dat de beam gepolariseerd is en e.g. R = 0 zegt dat de recoil niet gepolariseerd is.

17 Hoofdstuk. Spinobservabelen 9 Indien we de polarisatievectoren van het nucleon en het foton respectievelijk voorstellen door P N en P γ, dan kunnen de dichtheidsmatrices ρ N en ρ γ uitgedrukt worden als [4]: ρ N = [ + P ] N σ, (.6) ρ γ = [ + P ] γ σ. (.7) Hierin is σ = (σ x, σ y, σ z ), met σ x, σ y en σ z de Paulimatrices en een bij eenheidsmatrix... Stokesvector Zij e B een willekeurige richting, dan wordt de polarisatievector van een baryon B gedefinieerd als P B = ( p B + p B ) eb waarin p B ± de waarschijnlijkheid is om het baryon met polarisatievector in de richting ± e B waar te nemen. Voor het foton wordt de polarisatievector gegeven door de Stokesvector. Deze is gedefinieerd als P γ = (p γ p γ ) e, met e een willekeurige polarisatierichting. De richting e is een polarisatierichting orthogonaal aan e voor lineaire polarisatie, en een tegengestelde heliciteitstoestand voor circulaire polarisatie. De getallen p γ en p γ zijn de waarschijnlijkheden om een foton gepolariseerd in de richtingen e en e te observeren. De dichtheidsmatrix van een foton (.7) geeft nu: ( ) ρ γ = + Pz γ Px γ ipy γ. (.8) Px γ + ipy γ Pz γ Om een verband tussen de Stokesvector en de polarisatie van een foton aan te tonen, beschouwen we de volgende uitdrukking: λ,λ F λ λ ρ γ λ F λ. (.9) Gebruik makend van de definitie van F λ (.3), kan de bovenstaande uitdrukking geschreven kan worden als: J i J j ρij. (.0) i,j Hierbij wordt gesommeerd over de drie Cartesische componenten: i, j {x, y, z} en hebben we ρ ij ingevoerd als: ρ ij λ,λ ɛ i λ λ ρ γ λ ɛ j λ, (.)

18 0.. Differentiële werkzame doorsnede waarbij ɛ i λ de i-de component van de vector ɛ λ is. Deze uitdrukking voor ρ ij komt van pas om de verschillende fotonpolarisatietoestanden aan te duiden. Gaan we bijvoorbeeld uit van P γ = ± e z dan krijgen we: ( ) 0 ρ γ,(r) = 0 0 en ( ) 0 0 ρ γ,(l) = 0 voor P γ = + e z, (.) voor P γ = e z. (.3) Met het subscript (r) en (l) van de matrix ρ γ duiden we aan welke polarisatievector gebruikt werd. Het subscript (r) staat voor de polarisatievector P γ = + e z en het subscript (l) staat voor de polarisatievector P γ = e z. Hiermee kunnen we ρ ij uitdrukken als: waarin ɛ ± de circulaire polarisatievectoren van het foton zijn: ρ ij (r) = ɛ i +ɛ j +, (.4) ρ ij (l) = ɛ i ɛ j, (.5) ɛ + = (, i, 0), (.6) ɛ = (, i, 0). (.7) Gebruik makend van deze circulaire polarisatievectoren zien we dus dat de keuze voor de Stokesvector P γ = ± e z overeenkomt met circulaire polarisatie (c) en we noemen de twee verschillende toestanden P γ = + e z : rechtshandig (r) en P γ = e z : linkshandig (l). Eveneens vinden we uit de definitie van de Stokesvector: Dit geeft: ρ γ,(c) = ρ γ,(r) ρ γ,(l), (.8) ( ) ( ) =, (.9) ( ) 0 =. (.30) 0 λ ρ γ λ (c) = λδ λ,λ. (.3) Werken we nu het geval met P γ = ± e x uit, dan vinden we: ( ) ρ γ,( ) = voor P γ = + e x, (.3)

19 Hoofdstuk. Spinobservabelen en ( ) ρ γ,( ) = voor P γ = e x. (.33) De subscripten ( ) en ( ) staan respectievelijk voor de polarisatievectoren P γ = + e x en P γ = e x. Hiermee kunnen we ρ ij uitdrukken als: ρ ij ( ) = δ ij δ iy, (.34) ρ ij ( ) = δ ij δ ix. (.35) We zien dus dat dit overeenkomt met een fotonpolarisatie loodrecht op het reactievlak ( ) en parallel met het reactievlakvlak ( ). Dit duiden we aan met lineaire polarisatie en hiervoor krijgen we: ( ) 0 ρ γ,(lineair) = ρ γ,( ) ρ γ,( ) =. (.36) 0 Dit geeft dus: λ ρ γ λ (lineair) = δ λ, λ. (.37) Het derde geval met P γ = ± e y geeft: ( ) ρ γ,( π/4) = i i en ( ) ρ γ,(+π/4) = i i voor P γ = + e y, (.38) voor P γ = e y. (.39) De subscripten ( π/4) en (+π/4) staan respectievelijk voor de polarisatievectoren P γ = + e y en P γ = e y. De bijhorende ρ ij worden dan: ρ ij ( π/4) = ɛ i βɛ j β, (.40) ρ ij (+π/4) = ɛ i αɛ j α, (.4) met ɛ α = (,, 0), (.4) ɛ β = (,, 0). (.43) We merken op dat de polarisatievector ɛ α in het xy-vlak ligt met een hoek θ = π/4 tussen de polarisatievector en de x-as. Analoog maakt de polarisatievector ɛ β een hoek θ = π/4

20 .. Differentiële werkzame doorsnede met de x-as. Dit komt dus overeen met oblique polarisatie. We krijgen dan in het geval van oblique polarisatie: ( ) 0 i ρ γ,(oblique) = ρ γ,( π/4) ρ γ,(+π/4) =. (.44) i 0 Dit geeft tenslotte: λ ρ γ λ (oblique) = iλδ λ, λ. (.45) We vatten dit alles samen in Tabel.. Tabel.: Polarisatievector van een foton Polarisatie P γ λ ρ γ λ heliciteit + (r) + e z λδ λ,λ heliciteit (l) e z lineair θ = π/ ( ) + e x δ λ, λ lineair θ = 0 ( ) e x lineair θ = π/4 + e y iλδ λ, λ lineair θ = +π/4 e y.. Uitbreiding inclusief hyperonpolarisatie Aangezien later ook hyperonpolarisatie voorkomt bij de spinobservabelen, breiden we de theorie verder uit inclusief recoilpolarisatie. Hiervoor worden in (.9) twee extra compleetheidsrelaties ingevoerd die sommeren over alle hyperontoestanden : (B,T,R) dσ dω = ρ 0 m s,m s,m s,λ,λ P β m s F λ m s m s ρ N m s λ ρ γ λ m s F λ m s, (.46) = ρ 0 m s,m s,m s m s,β,λ,λ m s β P β β m s m s F λ m s m s ρ N m s = ρ 0 λ ρ γ λ m s F λ m s, (.47) m s,m s,m s,m s,λ,λ m s ρ Λ m s m s F λ m s m s ρ N m s λ ρ γ λ m s F λ m s, Het superscript (B, T, R) duidt nu aan dat het gaat om de differentiële werkzame doorsnede met gepolariseerde beam, gepolariseerd target en gepolariseerde recoil

21 Hoofdstuk. Spinobservabelen 3 = ρ 0 Tr(ρ Λ Fρ N ρ γ F ). (.48) Door het invoeren van de factor P β, werd hier uitgemiddeld over de finale toestanden terwijl er eigenlijk gesommeerd moet worden over finale toestanden. Aangezien er twee mogelijke toestanden zijn, nl. up en down, zorgt dit voor een fout van een factor. Hiermee kunnen we rekening houden door de dichtheidsmatrix van het hyperon te definiëren als: [ ρ Λ = + P ] Λ σ. (.49)..3 Niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede Om de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede te bepalen, vertrekken we van (.0). Voor de dichtheidsmatrices ρ N en ρ γ geldt: ρ N =, (.50) ρ γ =. (.5) We vinden dus dat: (0,0,0) dσ = ρ 0 dω 4 Tr(FF ) = ρ 0 I (0,0,0), (.5) waarbij we I (0,0,0) 4 Tr(FF ) gedefinieerd hebben 3. We merken op dat voor een foton die langs de z-as beweegt, we F λ kunnen schrijven als: Hierin zijn J λ de sferische componenten van J waarvoor geldt: F λ = J ɛ λ = J λ. (.53) J (r) = J x + ij y, (.54) J (l) = J x ij y, (.55) waarin J x en J y de x- en y-componenten van de stroom J zijn. De uitdrukkingen voor J x en J y worden gegeven in Sectie.. Via (.9) vinden we dan de differentiële werkzame doorsnede voor niet-gepolariseerde toestanden: (0,0,0) dσ dω = ρ 0 m s,m s,m s,λ,λ m s F λ m s m s ρ N m s λ ρ γ λ m s F λ m s (.56) 3 Merk op dat de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede, en dus ook I (0,0,0), afhankelijk is van de massamiddelpuntsenergie en de verstrooiingshoek maar dat we dit hier niet expliciet neerschrijven.

22 4.. Differentiële werkzame doorsnede = ρ 0 4 = ρ 0 4 = ρ 0 4 m s F λ m s m s F λ m s, (.57) m s,m s,λ m s J λ m s m s J λ m s, (.58) m s,m s,λ m s,m s ( m s J (r) m s m s J (r) m s, ) + m s J (l) m s m s J (l) m s ), (.59), (.60) = ρ 0 (J 4 Tr (r) J (r) + J (l)j (l) = ρ 0 4 Tr ( ) J x J x + J y J y. (.6) Hierbij hebben we op de eerste lijn gebruik gemaakt van λ ρ γ λ = δ λ,λ en m s ρ N m s = δ m s,m, en op de laatste lijn werd gebruik gemaakt van de definities (.54) en (.55). s..4 Enkelvoudige polarisatieobservabelen Er zijn drie verschillende enkelvoudige polarisatieobservabelen of polarisatie-asymmetrieën, nl. Σ, T en P, waarin respectievelijk enkel de beam, de target en de recoil gepolariseerd zijn. Als voorbeeld van een enkelvoudige polarisatieobservabele, werken we de targetasymmetrie T uit. Voor een ongepolariseerd foton en hyperon, i.e. ρ γ = / en ρ Λ = (merk op dat we bij de definitie van ρ Λ de factor / hebben laten wegvallen) en een nucleon met een willekeurige polarisatievector P N vinden we uit (.0): waarbij: (0, P dσ N,0) dω = ρ ( [ 0 4 Tr F + P ] ) N σ F, (.6) = dσ dω (0,0,0) ( + P N T ), (.63) T Tr ( F σf ) Tr (FF ). (.64) Gaan we nu uit van een nucleon gepolariseerd langs de y-as i.e. P N = ± e y, dan krijgen we voor de werkzame doorsnede: ς (0,±y,0) dσ (0,±y,0) dω = dσ (0,0,0) ( ± T y ), (.65) dω waarbij we voor de eenvoud de notatie ς (0,±y,0) ingevoerd hebben. Men kan aantonen dat enkel de y-component van T verschilt van 0, m.a.w. T x = 0 en T z = 0. Hiertoe definiëren

23 Hoofdstuk. Spinobservabelen 5 we: T T y = ς(0,+y,0) ς (0, y,0). (.66) ς (0,+y,0) + ς (0, y,0) De rechterterm in deze uitdrukking toont welke metingen uitgevoerd moeten worden om de observabele te meten. Hiervoor verwijzen we naar [] en [3]. Aangezien we deze targetasymmetrie later nog willen uitdrukken in CGLN-amplitudes definiëren we voor de eenvoud: Werken we dit nu verder uit dan geeft dit: ˆT T I (0,0,0) = 4 Tr ( Fσ y F ). (.67) ˆT = m 4 s F λ m s m s σ y m s m s F λ m s, (.68) m sm sm s λ = m 4 s J λ m s m s σ y m s m s J λ m s, (.69) m sm sm s λ = ( m 4 s J (r) m s m s σ y m s m s J (r) m s m sm sm s ) + m s J (l) m s m s σ y m s m s J (l) m s, (.70) = ) (J 4 Tr (r) σ y J (r) + J (l)σ y J (l). (.7) De recoilasymmetrie is op volledig analoge wijze af te leiden en om de fotonasymmetrie uit te werken, merken we op dat voor fotonen die lineair gepolariseerd zijn geldt dat λ σ γ z λ = +δ λ, λ. De definities van de enkelvoudige spinobservabelen worden samengevat in Tabel A....5 Dubbele-polarisatieobservabelen Er bestaan drie soorten dubbele-polarisatieobservabelen: de beam-target-, beam-recoil- en target-recoilasymmetrieën, waarbij respectievelijk de beam en het target, de beam en de recoil, en het target en de recoil gepolariseerd zijn. Van elke soort dubbele-polarisatieobservabele zijn er vier varianten, waarbij de polarisatieassen telkens verschillend zijn. Hier werken we als voorbeeld de beam-targetasymmetrie uit: voor een gepolariseerd foton en nucleon, met willekeurige polarisatievectoren, krijgen we uit formule (.0): ( P dσ γ, P N,0) dω = ρ ( [ 0 4 Tr F + P ] [ N σ + P ] ) γ σ F, (.7) = dσ dω (0,0,0) ( + P N T + P γ Σ + P N i P γ j CBT ij ), (.73)

24 6.. Differentiële werkzame doorsnede waarbij we in de vierde term de Einstein sommatieconventie gebruikt hebben, en de volgende definitie ingevoerd hebben: C BT ij Tr ( Fσ i σ j F ). (.74) Tr (FF ) T is de targetasymmetrie zoals hierboven gedefinieerd en Σ is de fotonasymmetrie, waarvan enkel de x-component verschilt van nul en die gedefinieerd is in Tabel A.. Nemen we nu aan dat het nucleon volgens de x- of de z-as gepolariseerd is, i.e. P N = e x of P N = e z en het foton circulair of oblique gepolariseerd is, i.e. P γ = e z respectievelijk P γ = e y, dan kunnen we vier verschillende beam-targetobservabelen definiëren: Ê EI (0,0,0) = 4 Tr ( Fσ z σ z F ), (.75) ˆF F I (0,0,0) = 4 Tr ( Fσ x σ z F ), (.76) Ĝ GI (0,0,0) = 4 Tr ( Fσ z σ y F ), (.77) Ĥ HI (0,0,0) = 4 Tr ( Fσ x σ y F ). (.78) Om deze asymmetriën later uit te drukken in CGLN-, heliciteits- en transversiteitsamplitudes werken we deze uitdrukkingen verder uit. Voor bvb. de beam-targetasymmetrie Ê vertrekken we van (.75) en dit geeft: Ê = m 4 s F λ m s m s σ z m s λ σ z λ m s F λ m s, (.79) m s,m s,m s,λ,λ = m 4 s J λ m s m s σ z m s λ σ z λ m s J λ m s, (.80) m s,m s,m s,λ,λ = ( m 4 s J (r) m s m s σ z m s m s J (r) m s m s,m s,m s ) m s J (l) m s m s σ z m s m s J (l) m s, (.8) = ) (J 4 Tr (r) σ z J (r) J (l)σ z J (l). (.8) In de tweede lijn hebben we gebruik gemaakt van de eigenschap λ σ z λ = λδ λ,λ die geldt voor circulair gepolariseerde fotonen. Voor de beam-targetobservabele ˆF gebruiken we een analoge methode. Voor oblique gepolariseerde fotonen kunnen we de eigenschap λ σ γ y λ = iλδ λ, λ gebruiken en op volledig analoge wijze vinden we dan de twee beam-targetobservabelen voor

25 Hoofdstuk. Spinobservabelen 7 oblique gepolariseerde fotonen Ĝ en Ĥ. Gaat men uit van een gepolariseerde beam, gepolariseerde recoil en niet-gepolariseerde target dan krijgt men de beam-recoilobservabelen {Ĉx, Ĉz, Ôx, Ôz} en gaat men uit van een niet-gepolariseerde beam en een gepolariseerde target en recoil dan krijgt men de targetrecoilobservabelen { ˆT x, ˆT z, ˆL x, ˆL z }. Om de dubbele polarisatieobservabelen experimenteel te bepalen verwijzen we opnieuw naar [] en [3]. Hierin staan de experimenteel meetbare grootheden die nodig zijn om de observabelen te bepalen. Dit wordt samen met de definities van alle polarisatieobservabelen samengevat in Tabel A.. Opmerking In Ref. [] wordt de target-recoilasymetrie ˆT x gegeven als: ˆT x T x I (0,0,0) = i 4 Tr ( σ x [ Jy σ x J x + J x σ x J y]), (.83) en analoog voor de andere drie target-recoilasymetrieën. Dit geeft als resultaat echter ˆT x = 0. De correcte definitie is: ˆT x T x I (0,0,0) = i ( ]) 4 Tr σ x [J (r) σ x J (r) + J (l)σ x J (l). (.84)..6 Spinobservabelen in het geroteerde assenstelsel In sommige gevallen worden de dubbele polarisatieobservabelen in het geroteerde assenstelsel bepaald. In dat geval is de recoil niet gepolariseerd langs de x- of z-as maar langs de x - of z -as. De definities van e.g. T x en T z worden dan gegeven door: Vergelijk dit met de definities van T x en T z : T x = ς(0,+x,+x ) ς (0,+x, x ) ς (0,+x,+x ) + ς (0,+x, x ), (.85) T z = ς(0,+x,z ) ς (0,+x,z ) ς (0,+x,z ) + ς (0,+x, z ). (.86) T x = ς(0,+x,+x) ς (0,+x, x), ς (0,+x,+x) + ς (0,+x, x) (.87) T z = ς(0,+x,z) ς (0,+x,z). ς (0,+x,z) + ς (0,+x, z) (.88) Aangezien de baryon-polarisatievector transformeert als een normale drievector, ziet men dat de relaties tussen deze vier observabelen gegeven worden door [3]: ( ) ( ) ( ) T x cos θ cm sin θ cm T x =, (.89) T z sin θ cm cos θ cm T z

26 8.. Differentiële werkzame doorsnede Een gepolariseerde recoil komt voor in de beam-recoil- en target-recoilobservabelen en men kan de relaties tussen de observabelen in normale en de geroteerde basis algemeen uitdrukken als: ( A x A z ) = ( cos θ cm sin θ cm sin θ cm cos θ cm ) ( A x A z ), A {C, O, T, L}. (.90)..7 Gepolariseerde ifferentiële werkzame doorsnede Als we nu deze bespreking op analoge wijze uitbreiden tot het geval waarbij het foton, het nucleon én het baryon gepolariseerd zijn, dan krijgen we voor de differentiële werkzame doorsnede [3]: ( P dσ γ, P N, P Λ ) dω = ρ 0 Tr(ρ Λ Fρ N ρ γ F ), (.9) ( [ = ρ 0 Tr + P ] Λ σ F [ + P ] [ N σ + P ] ) γ σ F, ( = (0,0,0) dσ [ P γ l 4 dω P y N Py Λ cos(θ)] +ˆΣ [ ] P γ l cos(θ) + Py N Py Λ + ˆT [ Py N P γ l P y Λ cos(θ)] + ˆP [ Py Λ P γ l P y N cos(θ) ] +Ê [ Pc γ Pz N P γ l P x N Py Λ sin(θ)] +Ĝ [ P γ l P ] z N sin(θ) + Pc γ Pz N Py Λ + ˆF [ Pc γ Px N + P γ l P z N sin(θ) ] +Ĥ [ P γ l P ] x N sin(θ) Pc γ Pz N Py Λ +Ĉx [ P γ c P Λ x P γ l P N y P Λ x sin(θ)] [ +Ĉz P γ c Pz Λ + P γ l P y N Px Λ [ sin(θ)] +Ôx P γ l P x Λ sin(θ) + P ] γ c Py N Pz Λ [ +Ôz P γ l P x Λ sin(θ) P ] γ c Py T Px Λ [ +ˆL x P N z Px Λ + P γ l P x N Pz Λ [ cos(θ)] +ˆL z P N z Pz Λ P γ l P x N Px Λ cos(θ)] + ˆT [ x P N x Px Λ P γ l P z N Pz Λ cos(θ)] + ˆT z [ P N x P Λ z + P γ l P N z P Λ x cos(θ)] ). (.9)

27 Hoofdstuk. Spinobservabelen 9 Hierin worden met de subscripten de componenten van de polarisatie- en Stokesvectoren aangeduid. Met het substript x, y en z worden de x-, y- en z-component van de nucleon-polarisatievector bedoeld. Analoog duiden de substripten x, y en z de x -, y - en z -component van de hyperon-polarisatievector in het geroteerde assenstelsel aan. Met de subscripts c en l worden de componenten van de foton-polarisatievector voor circulaire en oblique polarisatie aangeduidt, respectievelijk de z- en de y-componenten van de Stokesvector, zie Subsectie... Opmerking In literatuur is men niet altijd consistent met de definities van de observabelen, e.g. tussen Refs. [] en [5] is er een tekenverschil in de definitie de beamtargetobservabele Ê. Voor meer details over deze tekenverschillen verwijzen we naar de paper van Sandorfi [3], die deze uitgebreid heeft bestudeerd.. CGLN-representatie We definiëren de verstrooiingsoperator S, of ook S-matrix, als de unitaire operator die de initiële toestand i transformeert in de finale toestand f : S i = f. (.93) Definiëren we nu de transitie- of T -matrix als: S = + it, (.94) dan kan de amplitude M fi van de reactie worden bepaald uit de transitiematrix van de reactie: M fi ( ɛ λ, σ Λ, σ N, k, q) = f T i, (.95) = k, q, σ Λ T k, q, ɛ λ, σ N, (.96) met σ Λ en σ N de spin van het Λ hyperon en het proton en ɛ λ de polarisatievector van het foton. We willen nu de algemene vorm van dit matrixelement bepalen, hiervoor maken we gebruik van de algemene invariantieprincipes waaraan de transitiematrix moet voldoen. A. M fi is invariant onder rotaties in de configuratieruimte. B. Door het gedrag van M fi onder de (unitaire) pariteitsoperator P te onderzoeken vindt men: M fi ( ɛ λ, σ Λ, σ N, k, q) = k, q, σ Λ T k, q, ɛ λ, σ N (.97)

28 0.. CGLN-representatie = k, q, σ Λ P PT P P k, q, ɛ λ, σ N (.98) = η K η Λ η N k, q, σ Λ T k, q, ɛ λ, σ N. (.99) Hierin staat η K voor de intrinsieke pariteit van het kaon (η K = ), η Λ voor die van het hyperon (η Λ = +) en η N voor die van het nucleon (η N = ). Bovendien werd gebruik gemaakt van P P = en P T P = T, aangezien T invariant is onder de pariteitsoperator. We krijgen dus: M fi ( ɛ λ, σ Λ, σ N, k, q) = M fi ( ɛ λ, σ Λ, σ N, k, q). (.00) C. Aangezien we de fotoproductie van een pseudoscalair meson bespreken, kunnen we dit matrixelement schrijven als: M fi ( ɛ λ, σ Λ, σ N, k, q) = k, q, σ Λ T k, q, ɛ λ, σ N, (.0) = m s F λ m s, (.0) = m s J j m s ɛ j λ, (.03) j met j {x, y, z}. In deze uitdrukking staat λ voor de fotonheliciteit, m s voor de initiële nucleon-spintoestanden, m s voor de finale spintoestanden van het hyperon en J j voor de componenten van de fotonstroom. D. Tenslotte weten we nog dat in het geval van een reëel foton geldt dat ɛ λ k = 0. Uit (.0) en de eigenschappen volgt nu dat F λ uit scalaire termen moet bestaan (A), die enkel afhankelijk zijn van σ, ɛ λ, p en k. Uit (B) volgt dat deze scalaire termen een oneven pariteit moeten hebben en uit (C) dat ze lineair moeten zijn in ɛ. Men kan hiermee aantonen dat F λ geschreven kan worden als [6]: F λ = if ( σ ɛ λ ) + f ( σ q)( σ k) ɛ λ k q + if 3 ( σ k)( q ɛ λ ) k q ( σ q)( q ɛ λ ) + if 4 (.04). q Hierin zijn f, f, f 3 en f 4 de CGLN amplitudes, waarbij we voor de eenvoud de energie- en hoekafhankelijkheid weggelaten hebben. De factoren i zijn louter het gevolg van een conventie die we aangenomen hebben. Er kan aangetoond worden dat alle andere combinaties die voldoen aan A-D lineaire combinaties zijn van de termen die optreden in (.04) 4. Uit (.04), samen met definitie (.3), vinden we dan: ( q J = i f f k ) k q q σ + f k k q + i (f σ k + f 3 ) k q q + if 4 4 Gebruik hiervoor de eigenschap ( σ A)( σ B) = A B + i σ ( A B) σ q q. (.05) q

29 Hoofdstuk. Spinobservabelen We kunnen J dus schrijven als: J x = Aσ x + Bσ z, (.06) J y = C + Dσ y, (.07) J z = 0, (.08) waarbij: A = i ( f f cos(θ) + f 4 sin (θ) ), (.09) B = i sin(θ) (f + f 3 + f 4 cos(θ)), (.0) C = f sin(θ), (.) D = i (f f cos(θ)). (.) Maken we nu gebruik van formule (.6) en vullen we J x en J y in zoals hierboven gegeven dan krijgen we een uitdrukking voor de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede in functie van de CGLN-amplitudes. Op dezelfde wijze kunnen we de enkelvoudige en dubbele asymmetrieën uitdrukken in functie van de CGLN-amplitudes. Voor e.g. de enkelvoudige asymmetrie ˆT vertrekken we van (.7), samen met de definities van J (r) (.54) en J (l) (.55) en vullen we de hierboven afgeleide uitdrukkingen voor J x (.06) en J y (.07) in. Voor de dubbele polarisatieobservabele Ê vertrekken we van de uitdrukking (.8) en voeren we dezelfde procedure uit. Op deze wijze kunnen alle enkelvoudige en dubbele polarisatieobservabelen uitgedrukt worden in CGLN-amplitudes. De volledige lijst met uitdrukkingen wordt gegeven in Tabel A.. Merk op dat in de tabel de uitdrukkingen voor de beam-recoil- en target-recoilobservabelen weergegeven zijn in de geroteerde basis..3 Heliciteitsrepresentatie Nu we de uitdrukkingen van de spinobservabelen in de CGLN-representatie hebben kunnen we deze makkelijk uitdrukken in de heliciteitsrepresentatie. Hiervoor leiden we de relaties tussen de CGLN- en de heliciteitsamplitudes af. Om deze relaties af te leiden definiëren we de heliciteitsamplitudes eerst. De heliciteitstoestand van het initiële nucleon (target) wordt gegeven door kλ en die van het finale hyperon (recoil) wordt gegeven door qλ, waarbij λ en λ de heliciteiten van het nucleon respectievelijk het hyperon zijn. Maken we nu gebruik van de verkorte notatie, waarbij we de impuls weglaten, qλ J (r) kλ R λ J (r) λ T, dan kunnen we de

30 .3. Heliciteitsrepresentatie heliciteitsamplitudes definiëren als: H R + J (r) T, (.3) H R + J (r) + T, (.4) H 3 R J (r) T, (.5) H 4 R J (r) + T. (.6) We hebben hier opnieuw voor de eenvoud de afhankelijkheid van de massamiddelpuntsenergie en verstrooiingshoek weggelaten. Willen we de spinobservabelen nu uitdrukken in deze heliciteitsamplitudes dan hebben we het verband nodig tussen een heliciteitstoestand en een spintoestand. Deze zijn gegeven door []: λ T = ζ λ d / m s, λ (0) m s (.7) m s λ R = ζ λ d / m s, λ (θ cm ) m s. (.8) m s De functie d j m,m (θ cm ) is de kleine Wigner-d-matrix, nl. Wigner-d-matrix voor het geval ϕ = 0. De vier matrixelementen die hier gebruikt zullen worden zijn gegeven door: ( ) d / θ +/,+/ (θ) = d/ /, / (θ) = cos, (.9) ( ) d / θ /,+/ (θ) = d/ +/, / (θ) = sin. (.0) De fase ζ λ is gedefinieerd als: ζ λ ( ) / λ. (.) Met deze relaties vinden we dan e.g.: R λ J λ λ T = m s,m s d / m s, λ (0)d / m s, λ (θ cm) m s J λ m s. (.) Gebruikt men deze relaties, samen met de definities van J (r) (.54) en J (l) (.55), dan kan men de volgende uitdrukkingen voor de heliciteitsamplitudes afleiden []: H R + J (r) T = + R J (l) + T, (.3) H R + J (r) + T = R J (l) T, (.4) H 3 R J (r) T = R + J (l) + T, (.5) H 4 R J (r) + T = + R + J (l) T. (.6)

31 Hoofdstuk. Spinobservabelen 3 Als we nu formule (.) toepassen op de definities van de heliciteitsamplitudes en gebruik maken van (.06) - (.) en de definities van J (r) (.54) en J (l) (.55) dan vinden we: H = i (f 3 f 4 ) sin(θ cm ) sin H = i sin ( θcm H 3 = i (f 3 + f 4 ) sin(θ cm ) cos H 4 = i cos ( θcm ( θcm ), (.7) )), (.8) ) ( ( f + f + (f 3 + f 4 ) cos θcm ) ( θcm ) ( ( f f + (f 4 f 3 ) sin θcm Lossen we dit stelsel op naar f, f, f 3 en f 4 dan krijgen we: f = f = ( ( i (H4 ) θ cm H sec ( ( i (H ) θ cm H 4 sec f 3 = i csc(θ cm) (H csc ( θ cm ( ) ( f 4 = (H i θ cm csc H 3 sec ), (.9) )). (.30) ) + ( H H 3 ) csc ( ) + ( H H 3 ) csc ( + H 3 sec θ cm ( )) θ cm )), θ cm θ cm )) )). (.3),, Substitueren we deze resultaten voor f, f, f 3 en f 4 in de resultaten voor de observabelen uitgedrukt in de CGLN-amplitudes, dan krijgen we de observabelen uitgedrukt in de heliciteitsamplitudes. Definieren we daarna de genormeerde heliciteitsamplitudes h i (i =,, 3, 4) als: h i = Hi H + H + H 3 + H 4, (.3) dan kunnen de observabelen uitgedrukt worden in genormeerde heliciteitsamplitudes. De resultaten voor de observabelen uitgedrukt in genormeerde heliciteitsamplitudes zijn gegeven in Tabel A.3. Merk op dat in de tabel de beam-recoil en target-recoil uitdrukkingen in de geroteerde basis zijn gegeven. Deze uitdrukkingen zijn consistent met die gegeven in Ref. [].

32 4.4. Transversiteitsrepresentatie.4 Transversiteitsrepresentatie Tenslotte willen we de observabelen uitdrukken in de transversiteitsamplitudes, deze zijn als volgt gedefinieerd: b y + J y + y = + M +, (.33) b y J y y = M, (.34) b 3 y + J x y = + M, (.35) b 4 y J x + y = M +. (.36) Opnieuw werd voor de eenvoud van notatie de afhankelijkheid van de massamiddelpuntsenergie en de verstrooiingshoek weggelaten. In de linkse notatie staan de ± y -kets voor de nucleon spineigentoestanden langs de y-as, de ± y -bra s voor de spineigentoestanden van het hyperon langs de y-as en J x en J y voor de x- en y-componenten van de fotonstroom. De rechtse manier van noteren is de notatie uit Ref. [7], die we voor de duidelijkheid ook tonen. In deze notatie zijn de bra s ± de eigentoestanden van het hyperon langs de y-as zijn, en zijn de kets ± en ± directe producten van de nucleon-eigentoestanden langs de y-as ± en de foton-polarisatietoestanden langs de x-as en langs de y-as. De meest voor de hand liggende methode om de observabelen uit te drukken in de transversiteitsamplitudes is door een relatie te bepalen tussen de heliciteitsamplitudes en de transversiteitsamplitudes, zoals werd gedaan voor de overgang van CGLN-amplitudes naar heliciteitsamplitudes. Dit zal in het volgende hoofdstuk gedaan worden voor het relativistische geval, maar in het niet-relativistische geval levert dit geen eenvoudige uitdrukkingen op. We zullen daarom een andere methode hanteren die vertrekt van de definities van de observabelen..4. Enkelvoudige asymmetrieën Om de enkelvoudige asymmetrieën uit te werken vertrekken we van hun definities zoals gegeven in Tabel A.: Σ = ς(y,0,0) ς (x,0,0), ς (y,0,0) + ς (x,0,0) (.37) T = ς(0,+y,0) ς (0, y,0), ς (0,+y,0) + ς (0, y,0) (.38) P = ς(0,0,+y) ς (0,0, y), ς (0,0,+y) + ς (0,0, y) (.39)

33 Hoofdstuk. Spinobservabelen 5 (B,T,R). waarbij we opnieuw gebruik gemaakt hebben van de verkorte notatie ς (B,T,R) = dσ dω Als voorbeeld van een enkelvoudige asymmetrie, wordt de beamasymmetrie Σ uitgewerkt. We werken eerst ς (y,0,0) uit door uit te middelen over de niet-gepolariseerde nucleontoestanden α en te sommeren over de niet-gepolariseerde hyperon toestanden β. Dit geeft: ς (y,0,0) = ς (y,α,β), (.40) α,β = ( ς (y,+y,+y) + ς (y,+y, y) + ς (y, y,+y) + ς (y, y, y)), (.4) = ρ ( 0 y + J y + y + }{{} y J y + y + }{{} y + J y y + }{{} y J y y ), }{{} b 0 0 b = ρ 0 ( b + b ), (.4) Voor ς (x,0,0) vindt men dan op een volkomen analoge manier: ς (x,0,0) = ( ς (x,+y,+y) + ς (x,+y, y) + ς (x, y,+y) + ς (x, y, y)), (.43) = ρ ( 0 y + J x + y + }{{} y J x + y + }{{} y + J x y + }{{} y J x y ), (.44) }{{} 0 b 4 b 3 0 = ρ 0 ( b3 + b 4 ). (.45) De beam asymmetrie in de transversiteitsbasis wordt dus gegeven door: Σ = b + b b 3 b 4 b + b + b 3 + b 4. (.46) Introduceren we nu de genormeerde transversiteitsamplitudes a i (i =,, 3, 4), gedefinieerd als: a i = dan zorgt dit ervoor dat Σ kan geschreven worden als: b i b + b + b 3 + b 4, (.47) Σ = a + a a 3 a 4. (.48) Gebruikt men een analoge prodecure voor de overige twee enkelvoudige asymmetrieën T en P, dan vindt men de volgende uitdrukkingen: T = a a a 3 + a 4, (.49) P = a a + a 3 a 4. (.50)

34 6.4. Transversiteitsrepresentatie.4. Dubbele asymmetrieën Van de dubbele asymmetrieën zullen we als voorbeeld de beam-recoilassymetrie C x uitwerken. We starten van de vereenvoudigde definitie van C x uit Tabel A.: C x = ς(r,0,+x) ς (r,0, x). (.5) ς (r,0,+x) + ς (r,0, x) Om dit uit de drukken in transversiteitsamplitudes, middelen we eerst uit over het nietgepolariseerde nucleon, dit geeft: ς (r,0,+x) = ( ς (r,+y,+x) + ς (r, y,+x)), (.5) = ρ ( 0 x + J (r) + y ) + x + J (r) y, (.53) met J (r) de fotonstroom voor rechts-circulaire polarisatie. De uitdrukkingen voor de fotonstromen voor circulaire polarisatie: (r) en (l), en oblique polarisatie: (+π/4) en ( π/4), voldoen aan: J (r) = (J x + ij y ), (.54) J (l) = (J x ij y ), (.55) J (+π/4) = (J x + J y ), (.56) J ( π/4) = (J x J y ). (.57) Gebruik makende van de uitdrukking voor J (r), krijgt men dan: ς (r,0,+x) = ρ ( 0 x + J x + y + i x + J y + y ) + x + J x y + i x + J y y (.58) 4 Als we dit in transversiteitsamplitudes willen uitdrukken, hebben we een verband nodig tussen de ± x, ± y en ± z kets. Deze worden, in het niet-relativistische geval, gegeven door [4]: + x = ( + z + z ), (.59) x = ( + z z ), (.60) + y = ( + z + i z ), (.6) y = ( + z i z ), (.6)

35 Hoofdstuk. Spinobservabelen 7 en hieruit volgt: + x = i x = + i ( + y + i y ), (.63) ( + y i y ), (.64) + z = ( + y + y ), (.65) z = i ( + y y ). (.66) We gebruiken dus (.63) om in (.58) de x + bra uit te drukken in functie van de y ± bra s. Dit resulteert in: ς (r,0,+x) = ρ ( 0 y + J x + y i y J x + y + i y + J y + y + y J y + y 8 = ρ 0 8 } {{ } 0 } {{ } b 4 } {{ } b } {{ } 0 + y + J x }{{} y i y J x }{{} y + i y + J y }{{} y + y J y }{{} y ), b 3 0 ( i(b b 4 ) + b + b 3 ). (.67) Een analoge berekening voor ς (r,0, x) levert het volgende op: ς (r,0, x) = ρ 0 8 Dit resulteert in de volgende uitdrukking voor C x : 0 b ( i(b + b 4 ) b b 3 ). (.68) C x = b b 4 + b b 4 b b 3 b b 3 b + b + b 3 + b 4, = R{a a 4 a a 3}. (.69) Analoge berekeningen kunnen nu uitgevoerd worden om de uitdrukkingen van de andere beam-recoilasymmetrieen (C z, O x, O x ), de beam-targetasymmetrieen (E, F, G, H), en de target-recoil asymmetrieen (T x, T z, L x, L z ) in termen van de genormeerde transversiteitsamplitudes a, a, a 3, en a 4 uit te drukken. Deze worden gegeven in Tabel A.4. Opmerking De afgeleide uitdrukkingen voor de observabelen uitgedrukt in genormeerde transversiteitsamplitudes zijn niet consistent met die gevonden in de literatuur. Ter vergelijking worden in Tabel A.4 ook de uitdrukkingen uit Refs. [5] en [7] gegeven. In het volgende hoofdstuk zal blijken dat de formules die het verband geven tussen de ± x, ± y en ± z kets verschillend zijn in het relativistisch geval. Dit blijkt echter nog niet voldoende om de resultaten uit de literatuur te reproduceren.

36

37 Hoofdstuk 3 Spinobservabelen op een relativistische manier In het vorige hoofdstuk werden de spinasymmetrieën uitgedrukt in CGLN-, heliciteits- en transversiteitsamplitudes. De uitdrukkingen voor de observabelen in de transversiteitsrepresentatie kwamen echter niet overeen met die gevonden in de literatuur. In dit hoofdstuk zullen we daarom, op een relativistische wijze, de asymmetrieën uitdrukken in de transversiteitsbasis, in een poging om de uitdrukkingen in de literatuur terug te vinden. Door relaties af te leiden tussen de transversiteitsamplitudes en de heliciteitsamplitudes zullen we de asymmetrieën opnieuw uitdrukken in de heliciteitsbasis. Er zal echter blijken dat de relativistische uitdrukkingen voor de observabelen in de transversiteitsrepresentatie opnieuw niet consistent zijn met die gevonden in de literatuur. Noch zijn ze consistent met de niet-relativistische uitdrukkingen uit het vorige hoofdstuk. De relativistische uitdrukkingen in de heliciteitsrepresentatie in dit hoofdstuk zijn wél consistent met de niet-relativistische uitdrukkingen in de heliciteitsrepresentatie uit het vorige hoofdstuk. Er wordt opnieuw gebruik gemaakt van de kinematische variabelen zoals gedefiniëerd in Hoofdstuk. De viervectoren van het foton, proton, kaon en Λ worden in het massamiddelpuntsstelsel gegeven door: k γ = (ω, k), p K = (E K, q), (3.) k p = (E p, k), p Λ = (E Λ, q), (3.) 9

38 Transversiteitsrepresentatie 3. Transversiteitsrepresentatie Om de spinobservabelen in de transversiteitsrepresentatie uit te drukken, op een relativistische wijze, vertrekken we van de Diracspinoren. Voor een deeltje met massa m, viermomentum p = (E, p) en met een spin met richting bepaald door de polaire hoeken (θ, φ), zijn de spinoren gedefinieerd als: ( ) (E + m) u ± (p, θ, φ) = s ± (θ, φ). (3.3) E + m p σ Verder zijn de spinrotatiematrices s + (θ, φ) (spin up) en s (θ, φ) (spin down) gedefinieerd als: s + (θ, φ) = s (θ, φ) = ( cos ( ) ) θ e iφ sin ( ), (3.4) θ ( e iφ sin ( )) θ cos ( θ In wat volgt zullen we gebruik maken van de volgende notaties: ). (3.5) ± x u ± (p, π/, 0), (3.6) ± y u ± (p, π/, π/), (3.7) ± z u ± (p, 0, 0). (3.8) Gebruik makende van de definitie van de spinoren (3.3) kunnen de volgende relaties aangetoond worden: + x = i ) ( + y + y, (3.9) ) ( + y y, (3.0) x = + i + z = ( + y i y ), (3.) z = ( i + y y ). (3.) Merk op dat deze relaties verschillen met die uit het vorige hoofdstuk. Nu we de relaties tussen de ± x, ± y en ± z kets hebben, kunnen we een methode volgen die identiek is aan de methode om de niet-relativistische uitdrukkingen van de asymmetrieën te bepalen uit Sectie.4. Start men van de definities van de observabelen uit Tabel A., en maakt men gebruik van

39 Hoofdstuk 3. Spinobservabelen op een relativistische manier 3 de formules (3.9)-(3.), dan kan men de asymmetrieën uitdrukken in functie van de genormeerde transversiteitsamplitudes. De uitdrukkingen voor de enkelvoudige asymmetrieën zijn identiek aan die in het niet relativistische geval. Om de dubbele asymmetrieën af te leiden maken we gebruik van de relativistische relaties tussen de ± x, ± y en ± z kets. Voor e.g. de beam-recoilasymmetrie vullen we (3.9) in in formule (.58) en werken we dit verder uit. De resultaten voor deze uitdrukkingen worden gegeven in Tabel A.4. Opmerking De relativistische uitdrukkingen voor de observabelen uitgedrukt in genormeerde transversiteitsamplitudes zijn niet consistent met die gevonden in de literatuur, noch met de niet-relativistische uitdrukkingen uit Sectie.4. Al deze uitdrukkingen worden in Tabel A.4 samen weergegeven. Om na te gaan welke van de drie reeksen uitdrukkingen de correcte zijn, gebruiken we strangecalc. Dit programma kan de observabelen berekenen, rechtstreeks uit hun definitie, nl. door het verschil van de twee matrixelementen te bepalen. Voor e.g. Σ moeten de matrixelementen ς (y,0,0) en ς (x,0,0) bepaald worden. Zie Tabel A. voor de definities van de observabelen. Tevens kan het programma de transversiteitsamplitudes zelf bepalen. Gebruiken we deze informatie om te analyseren welke van de drie uitdrukkingen de correcte zijn, dan vinden we dat de relativistische uitdrukkingen die afgeleid werden in dit hoofdstuk de correcte zijn. De niet-relativistische uitdrukkingen uit het vorige hoofdstuk zijn fout aangezien het probleem relativistisch moet benaderd worden. De reden waarom de uitdrukkingen in de literatuur fout zijn kunnen we niet geven aangezien we in de literatuur nergens een afleiding voor de uitdrukkingen gevonden hebben. 3. Heliciteitsrepresentatie De heliciteitsamplitudes werden gedefinieerd in Sectie.3, en voor de eenvoud herhalen we de definities hier: H R + J (r) T, (3.3) H R + J (r) + T, (3.4) H 3 R J (r) T, (3.5) H 4 R J (r) + T. (3.6) Hierin staan ± T en ± R voor de target- en recoilheliciteitseigentoestanden respectievelijk en J (r) is gedefinieerd als (.54). Aangezien de target langs de ( z)-as beweegt en de recoil

40 3 3.. Heliciteitsrepresentatie langs de ( z )-as, hebben we dat: ± T = ± z, (3.7) = u ± (p T, π, 0), (3.8) ± R = ± z, (3.9) = u ± (p R, π θ cm, π), (3.0) waarin p R en p T respectievelijk de vier-momenta van de recoil en de target zijn. Uit de definities van de spinoren (3.3), de rotatiematrices (3.4) en (3.5), de x-,y- en z-eigenkets (3.6)-(3.8) en de T - en R-eigenkets (3.8) en (3.0), kan men de volgende relaties afleiden: + T = ( i + y y ), (3.) T = ( + y i y ), (3.) + R = ( ie iθcm/ + y e iθcm/ y ), (3.3) R = ( e iθcm/ + y ie iθcm/ y ). (3.4) Uit deze uitdrukkingen voor ± T relaties aantonen: en ± R, en de definitie van J (l) kan men de volgende H = R + J (r) T = R J (l) + T, (3.5) H = R + J (r) + T = + R J (l) T, (3.6) H 3 = R J (r) T = + R + J (l) + T, (3.7) H 4 = R J (r) + T = R + J (l) T. (3.8) De tekens aan de rechterkant zijn echter tegengesteld aan die uit Ref. []. Aangezien in [] geen afleiding gevonden werd voor deze relaties vermoeden we dat deze tekenverschillen hun oorsprong vinden in de Jacob en Wick conventie voor de pariteit van het foton die ze aangenomen hebben. Door combinatie van de definities van de transversiteitsamplitudes, de heliciteitsamplitudes, J (r) en J (l), en de vergelijkingen (3.)-(3.4) krijgt men: H = H = i ( ) e iθcm/ (b b 3 ) e iθcm/ (b + b 4 ), (3.9) ( ) e iθcm/ (b + b 3 ) + e iθcm/ (b b 4 ), (3.30)

41 Hoofdstuk 3. Spinobservabelen op een relativistische manier 33 H 3 = i H 4 = Oplossen van dit stelsel naar b, b, b 3, en b 4 geeft dan: ( ) e iθcm/ (b b 3 ) + e iθcm/ (b + b 4 ), (3.3) ( ) e iθcm/ (b + b 3 ) e iθcm/ (b b 4 ). (3.3) b = e iθcm/ ( H i (H + H 3 ) H 4 ), (3.33) b = e iθcm/ ( H + i (H + H 3 ) H 4 ), (3.34) b 3 = e iθcm/ ( H + i (H H 3 ) + H 4 ), (3.35) b 4 = e iθcm/ ( H i (H H 3 ) + H 4 ). (3.36) Gaan we voor beide amplituden over op de genormeerde variant, dan vinden we dat: a = ) (h e iθcm/ i (h + h 3 ) h 4, (3.37) a = ) (h eiθcm/ + i (h + h 3 ) h 4, (3.38) a 3 = ) (h e iθcm/ + i (h h 3 ) + h 4, (3.39) a 4 = ) (h eiθcm/ i (h h 3 ) + h 4. (3.40) Maakt men nu gebruik van de observabelen in functie van de genormeerde transversiteitsamplitudes, Tabel A.4, en de relaties tussen de genormeerde transversiteitsamplitudes en de genormeerde heliciteitsamplitudes (3.37)-(3.40), dan kan men de uitdrukkingen voor de observabelen in de heliciteitsrepresentie bepalen. Deze uitdrukkingen zijn gegeven in Tabel A.3. We merken op dat de beam-recoil- en de target-recoilobservabelen opnieuw weergegeven zijn in het geroteerde assenstelsel. Het verband tussen de observabelen A x en A z in het geroteerde assenstelsel en die in het niet-geroteerde assenstelsel A x en A z, wordt gegeven door (.90). De uitdrukkingen voor de observabelen uitgedrukt in genormeerde heliciteitsamplitudes zijn identiek aan die uit Ref. []. Eventuele tekenverschillen met de literatuur worden verklaard in Ref. [3]. Aangezien we in dit hoofdstuk uit een relativistisch standpunt zijn vertrokken en we uit de transversiteitsrepresentatie de heliciteitsrepresentatie afgeleid hebben is dit een extra argument dat erop wijst dat de relativistische transversiteitsrepresentatie uit dit hoofdstuk de correcte is.

42

43 Hoofdstuk 4 Regge-plus-resonantie model In de voorgaande hoofdstukken werd de gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede uitgedrukt in functie van de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede en 5 verschillende spinobservabelen. De niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede en de spinobservabelen zelf konden we telkens uitdrukken in functie van vier amplitudes: de CGLN-, heliciteits- of transversiteitsamplitudes. De amplitude van de reactie p(γ, K + )Λ is dus voor elke energie s en voor elke hoek θ cm bepaald door vier complexe amplitudes. In Hoofdstuk 6 zullen we onderzoeken hoe we deze amplitudes kunnen bepalen uit metingen van de spinobservabelen, meer specifiek zullen we proberen om de genormeerde transversiteitsamplitudes te bepalen. In dit hoofdstuk onderzoeken we daarom eerst de genormeerde transversiteitsamplitudes met behulp van het programma strangecalc. We zullen onderzoeken hoe de amplitudes variëren in functie van de massamiddelpuntsenergie en de verstrooiingshoek. Omdat de complexe amplitudes op een fase na bepaald zijn zullen we ook de drie relatieve fases tussen de verschillende amplitudes onderzoeken, de absolute fases van de amplitudes hebben geen betekenis. We starten dit hoofdstuk met het Regge-plus-resonantie (RPR) model. Dit is het theoretische model dat gebruikt wordt om in strangecalc de reactie te modelleren. Gebruik makende van het RPR-model zullen we dan ook de patronen in de genormeerde transversiteitsamplitudes verklaren. 4. Regge-plus-resonantie model Voor we naar het Regge-plus-resonantie model zelf kijken, bespreken we eerst de twee modellen waaruit het opgebouwd is: het isobar model en het Reggemodel. Hiervoor starten 35

44 Regge-plus-resonantie model we met een bespreking van de kinematica van de reactie. Voor de reactie p(γ, K + )Λ hebben we de volgende vier-momenta in het massamiddelpuntsstelsel: k γ = (ω, k), p K = (E K, q), (4.) k p = (E p, k), p Λ = (E Λ, q), (4.) met ω = k, E p = m p + k, E K = m K + q en E Λ = m Λ + q, waarin m p, m K en m Λ de massa s van het proton, het kaon en het Λ zijn. Uit energiebehoud krijgt men: ω + m p + k = m K + q + m Λ + q. (4.3) Deze vergelijking geeft q in functie van ω, de reactie is dus enkel afhankelijk van de verstrooiingshoek θ cm en de inkomende fotonenergie ω. Het is dikwijls handiger de observabelen uit te drukken in functie van de drie Lorentzinvariante Mandelstamvariabelen. Deze zijn gedefinieerd als: en zijn verbonden via: s = (k γ + k p ), t = (k γ p K ), u = (k γ p Λ ), (4.4) s + t + u = k γ + m p + m K + m Λ = m p + m K + m Λ, (4.5) daar k γ = 0. De Mandelstamvariabele s is gelijk aan het kwadraat van de totale massamiddelpuntsenergie van de reactie: s = W = (ω + E p ). Hieruit volgt dat de drempelenergie s voor de reactie, gegeven wordt door de som van de massa van K + (m K + = MeV, Ref. []) en de massa van Λ (m Λ = MeV, Ref. []), en is MeV in het model RPR-0. Uit de definitie van t kan men nog het volgende verband tussen t en cos(θ cm ) aantonen: t = k γ k γ q K + q K, (4.6) = ω k ωe k + k q cos (θ cm ) + EK q, (4.7) = k q cos (θ cm ) k m K + q + m K. (4.8) We zien dus dat {s, t} en { s, cos(θ cm )} equivalente sets van variabelen zijn. Bij het weergeven van figuren zullen we echter gebruik maken van de laatste omdat dit de variabelen zijn waarin experimenteel gemeten wordt. De differentiele werkzame doorsnede van de reactie p(γ, K + )Λ wordt gegeven door []: dσ dσ (s, t) = dω π d cos(θ cm ) = q 64π ω (ω + E p ) M λ i,λ f λ, (4.9) λ,λ i,λ f

45 Hoofdstuk 4. Regge-plus-resonantie model 37 met λ, λ i en λ f de foton-, proton- en Λ-polarisaties. Met de sommatie wordt bedoeld: uitmiddelen over de initiële en/of sommeren over de finale polarisaties die niet geobserveerd worden. De kwadratische amplitude heeft de vorm: M λ i,λ f λ = ( ) ( ) ū λ f Λ (p Λ)T µ ɛ µ λ uλ i p (k p ) ū λ i p (k p )T ν ɛ ν λ u λ f Λ (p Λ), (4.0) met T µ de truncated current, waarvan de spinoren van de externe proton en hyperon velden zijn verwijderd. T µ is gedefinieerd als γ 0 (T µ ) γ 0 en ɛ µ λ is de fotonpolarisatie-vier-vector. 4.. Isobarmodel Behalve bij zeer hoge energieën, waar QCD perturbatief kan benaderd worden, zijn quarks en gluonen niet de ideale bouwstenen voor een hadronische theorie. Betere vrijheidsgraden zijn bijvoorbeeld de constituent quarks: quarks aangekleed met een wolk van gluonen en quark-antiquark paren. Omdat deze bouwstenen niet uit de fundamentele veldentheorieën volgen, noemt men dit effectieve vrijheidsgraden. Welke effectieve vrijheidsgraden men gebruikt hangt af van de energie-intervallen die men probeert te beschrijven. Net boven de drempelenergie van de p(γ, K + )Λ reactie vertoont de totale werkzame doorsnede duidelijke structuren, een teken van individuele N resonanties, geëxiteerde toestanden van de nucleonen. Een methode om dit de modelleren is de hadronen zelf als effectieve vrijheidsgraden te gebruiken, dit vormt de basis van het isobarmodel. Voor de theoretische beschrijving van de p(γ, K + )Λ reactie wordt dus gebruik gemaakt van een effectieve-veldentheorie, waarbij voor de interacties gebruik gemaakt wordt van effectieve Lagrangianen. Elke hadron wordt dus beschouwd als een fundamentele bouwsteen met eigenschappen als massa, lading, spin en eventueel een breedte. 4.. Reggemodel Een tekortkoming van het isobar model is dat het niet goed werkt bij energieën ver boven de drempelenergie, (bijvoorbeeld s 3 GeV voor p(γ, K + )Λ). Om deze reden wordt het energiegebied van de reactie opgesplitst in het resonantiegebied, met s 3 GeV, en het achtergrondgebied, met s 3 GeV. Het resonantiegebied start vanaf de drempelenergie en bevat het gebied waarin de resonante en achtergrondcontributies een significante bijdrage leveren aan de totale werkzame doorsnede. Het achtergrondgebied start waar de individuele resonanties practisch geen bijdrage meer leveren tot de totale werkzame doorsnede en loopt tot een hogere energie. Figuur 4. geeft een schematische weergave van de

46 cross section are gradually washed out as the number of overlapping states grows. By the time the photon energy has increased beyond a few GeV, all visible traces of individual N s have vanished. Under those circumstances, the amplitude can be described by a pure background model. The latter can be explained through the duality hypothesis 38 which roughly states that, on average, the sum of all contributing 4.. Regge-plus-resonantie N resonances equals model the sum of all possible K - or Y -trajectory exchanges. Figure. illustrates the above totale situation. werkzame doorsnede, met een aanduiding van beide gebieden. Figuur Figure. 4.: Schematic Schematische representation representatie of the vantotal de totale KY photoproduction p(γ, K + )Λ werkzame crossdoorsnede section as als a function functie of the incoming photon energy (in the lab frame). In the resonance region, up to a few GeV, van de inkomende fotonenergie. In het resonantiegebied kunnen duidelijke structurenresonant gezien worden (N ) contributions die een tekentake zijnpart van in resonante the reaction contributies. dynamics. Figuur At higher overgeno- ener- the measured observables exhibit specific structures. This indicates that both background (K and/or Y ) and gies, the presence men uit of [4] a large number of overlapping N s results in a smooth falloff with energy. The corresponding amplitude may be modeled assuming only background diagrams. Om de reactie beter te beschrijven in het achtergrondgebied gebruikt men het Reggemodel, zie Refs. [3] en [4]. In het Reggemodel zijn de effectieve vrijheidsgraden niet meer de individuele hadronen, maar families van hadronen, de zogenaamde Reggetrajecten. De leden van de Reggetrajecten hebben dezelfde kwantumgetallen zoals vreemdheid en isospin maar hebben een verschillende totale spin. In tegenstelling tot uitwisseling van individuele hadronen in het isobar model, beschouwt het Reggemodel de uitwisseling van Reggetrajecten als intermediaire toestanden. De Reggetrajecten worden beschreven door de functie α(t) die een lineair verband beschrijft tussen de spins en de gekwadrateerde massa s van de leden: α x (t) = α x,0 + α x(t m x), (4.) met m x en α x,0 de massa en de spin van de eerste materialisatie van het Reggetraject en α x de richtingscoëficiënt van het traject. Bij het afleiden van de Reggeamplitude moet echter onderscheid gemaakt worden tussen twee Reggetrajecten met verschillende signatuur ζ. Er worden telkens twee Reggetrajecten

47 with m and α the mass and spin of the trajectory s first materialization X, can be Hoofdstuk 4. Regge-plus-resonantie model 39 verkregen met een verschillende signatuur ζ; α ζ=+ (t) en α ζ= (t). Het traject met ζ = + verbindt de deeltjes met even spin (J = 0,, 4,...) en het traject met ζ = verbindt de deeltjes met oneven spin (J =, 3,...). In het geval van p(γ, K + )Λ blijkt echter dat de trajecten met verschillende signatuur ontaard zijn en beide trajecten kunnen dan samengevoegd worden tot één Reggetraject. De verschillende trajecten worden genoemd naar de eerste materialisaties en voor de p(γ, K)Λ reactie, zijn de twee Reggetrajecten, de K + (494) en K + (89) trajecten: ) α K + (494)(t) = 0.7 GeV (t m K + (494), (4.) ).4 Beyond the resonance α K + (89)(t) region: = the Regge GeV model (t m K + (89), (4.3) 36 en deze worden weergegeven in Figuur K 4 *(045) α(t) 3 K *(430) K 3 *(780) K (770) K 3 (30) K*(89) K (70) 0 K(494) t (GeV ) Figure Figuur.9 Chew-Frautschi 4.: De K + (494) plots en for K + the (89) K(494) Reggetrajecten. and K (89) trajectories. Figuur overgenomen The meson uit masses [4] are from the Particle Data Group [4]. In het geval van de uitwisseling van een Reggetraject wordt de Reggeamplitude gegeven door squared [4]: masses of the hadronic trajectory members are linear to a very good approximation. Figure.9 illustrates this point by showing the J versus m plots (Chew- ( ) αζ(t) Frautschi plots) for the trajectories s M ζ=± with K(494) and K (89) as lightest members, or Regge (s, t) = C β ζ (t) + ζe iπαζ (t) first materializations. s 0 sin (πα ζ (t)) Γ( + α ζ (t)). (4.4) DezeSince vergelijking we aimstelt at developing twee verschillende a consistent Reggeamplitudes descriptionvoor of the metp(γ verschillende ( ), K)Y observables signatuur ζ in= and ±. above De onbekenden the resonance in deze region, amplitude, we opt C to enembed β(t), kan themen Regge bepalen formalism door deinto amplitude a treelevel deeffective-lagrangian reactie γp KΛ te vergelijken model [5]. met This dieapproach van de reactie was used γk bypλ, Guidal, zie Refs. Laget [3] and en van Vanderhaeghen in their treatment of high-energy electromagnetic π and K production [0, 37, 38]. In such a framework, it turns out that the amplitude for t-channel exchange of a linear kaon trajectory α X (t) = α X,0 + α X (t m X), (.7)

48 Regge-plus-resonantie model [4]. De constante s 0 is een vrij te bepalen schalingsconstante. De Reggepropagator wordt gegeven door de Reggeamplitude te delen door β ζ (t): P ζ=± Regge (s, t) = ( s s 0 ) αζ(t) + ζe iπαζ (t) sin (πα ζ (t)) πα ζ Γ( + α ζ (t)) De bovenstaande vergelijking geeft opnieuw twee Reggepropagatoren. (4.5) Door optellen of aftrekken van de twee propagatoren met verschillende signatuur, krijgt men een Reggepropagator met een constante of roterende fase: ( ) { α(t) s P Regge (s, t) = sin (πα(t)) s 0 e iπα(t) } πα Γ( + α(t)) (4.6) Maken we gebruik van de volgende twee eigenschappen van de gammafuncties, dan kunnen we de Reggepropagator nog vereenvoudigen: Dit geeft voor de propagator: ( ) { α(t) s P Regge (s, t) = π sin(πz) = Γ( z)γ(z), (4.7) Γ(z + ) = zγ(z). (4.8) s 0 e iπα(t) } α Γ( α(t)) (4.9) α(t) Aangezien t voor de reactie p(γ, K + )Λ een negatieve grootheid is, volgt uit vgl. (4.) dat ook α(t) een negatieve grootheid zal zijn. De eerste factor in de Reggepropagator zal dus een zeer klein getal zijn bij grote s en t. De gammafunctie daarentegen zal een zeer groot getal zijn. propagatoren: Voor de twee Reggetrajecten K + (494) en K + (89) krijgt men de volgende P K+ (494) Regge (s, t) = P K + (89) Regge (s, t) = ( ) { αk s + (494) (t) s 0 e iπα(t) ( ) { αk s + (89) (t) s 0 e iπα(t) } α K + (494) α K + (494)(t) Γ ( α K + (494)(t) ), (4.0) } α K + (89) α K + (89)(t) Γ ( α K + (89)(t) ).(4.) 4..3 Regge-plus-resonantie model Voor het isobar model van p(γ, K + )Λ kan men de beste resultaten verwachten bij s 3 GeV. Het Reggemodel werkt bij hoge energieen s 3 GeV. Het model dat het volledige energieïnterval beslaat is het Regge-plus-resonantie model en bestaat uit de uitwisseling Reggetrajecten, samen met enkele dominante resonanties uit het isobarmodel, zie Ref. [4].

49 Hoofdstuk 4. Regge-plus-resonantie model 4 4. Transversiteitsamplitudes Figuur 4.3 toont de genormeerde transversiteitsamplitude a in functie van s en cos(θ cm ). Dit werd gedaan voor het model RPR-0. De figuur toont de norm en het reëel deel van de genormeerde transversiteitsamplitude a, in het resonantiegebied en in het volledige gebied. In Bijlage B worden het imaginair deel van a, en de norm, het reëel deel en het imaginair deel van de overige drie genormeerde transversiteitsamplitudes weergegeven. In het achtergrondgebied zijn duidelijke patronen zichtbaar, deze zullen we verklaren door te kijken naar de Reggepropagator. Kijken we naar de totale werkzame doorsnede, Figuur 4., dan zien we dat deze nadert naar 0 bij hoge energieën. We verwachten dus ook dat de amplitudes zullen naderen naar 0 bij hoge energieën. Dit is niet te zien in Figuur 4.3 aangezien hier de genormeerde transversiteitsamplitudes geplot zijn. Deze zijn genormeerd op de differentiële werkzame doorsnede, en voor de genormeerde transversiteitsamplitudes geldt dat a i. Een derde punt dat opvalt is dat er geen amplitude is die de reactie domineert. Alle vier de amplitudes hebben een grootte van dezelfde orde. Verder merken we op dat de amplitudes zeer sterk fluctueren in functie van s en cos(θ cm ). Aangezien deze figuren gemaakt zijn met een model merken we op dat er in de praktijk afwijkingen van dit model zullen ontstaan. We verwachten echter wel dat in de praktijk ook grote fluctuaties zullen zijn. In Hoofdstuk 6 zullen we, door het meten van de differentiële werkzame doorsnede en enkele goed gekozen spinobservabelen, proberen om in elk punt { s, cos(θ cm )} de genormeerde transversiteitsamplitudes te bepalen. Houden we nu rekening met de beperkte nauwkeurigheid waarmee de hoekafhankelijkheid van de spinobservabelen bepaald wordt, dan merken we op dat het geen triviale opgave zal zijn om de genormeerde transversiteitsamplitudes te bepalen uit een meting van de spinobservabelen. Bij energiën rond de piek van de totale werkzame doorsnede s.8 GeV is de variatie van de amplitudes in functie van cos(θ cm ) nog relatief traag, maar bij hogere energieën s.0 GeV lijkt het uit deze figuren zelf onmogelijk om de amplitudes nauwkeurig te bepalen zolang de cos(θ cm )-afhankelijkheid van de spinobservabelen in bins met binbreedte 0. bepaald wordt. In Hoofdstuk 6 zal blijken dat het bepalen van de norm van de amplitudes haalbaar is, maar dat de moeilijkheid ligt in het bepalen van de relatieve fases tussen de verschillende amplitudes. Daarom zullen we verder in dit hoofdstuk de relatieve fases tussen de am- De hoekafhankelijkheid wordt gebind volgens cos(θ cm ), in bins met breedte 0., zie Ref. [5].

50 4 4.. Transversiteitsamplitudes plitudes bekijken, maar eerst zullen we een poging doen om de patronen te verklaren die voorkomen in het hoge-energiegebied van de amplitudes. (a) a in het resonante gebied (b) a in het volledige gebied (c) < a in het resonante gebied (d) < a in het volledige gebied Figuur 4.3: De norm en het re eel deel van a in functie van cos(θcm ) en 4.. s. Reggepropagator voor het K + (494) Reggetraject Om de patronen van de transversiteitsamplitudes in het achtergrondgebied te verklaren, kijken we naar het strangecalc-model met enkel het K + (494)-Reggetraject. Voor dit pad

51 Hoofdstuk 4. Regge-plus-resonantie model 43 werd de roterende fase genomen [4], de propagator van vgl. (4.9) wordt dan: ( ) αk P K+ (494) s + (494) (t) α Regge (s, t) = e iπα K + (494) (t) K + (494) s 0 α K + (494)(t) Γ ( α K + (494)(t) ), (4.) met α K + (494)(t) gegeven door (4.) en s 0 = MeV. Zoals hierboven reeds vermeld is t een negatieve grootheid voor de reactie, en dus is α K + (494)(t) ook een negatieve grootheid. Daar de drempelenergie gelijk is aan s = MeV, is de eerste factor een zeer klein getal. We bekijken daarom de Briggse logaritme ( van de absolute ) waarde ( van het ) reëel en R het imaginair deel van de propagator: log 0 P K+ (494) Regge en log0 I P K+ (494). Regge Dit wordt weergegeven in Figuur 4.4. We zien hier al dezelfde patronen ontstaan als bij de genormeerde transversiteitsamplitudes bij hoge energie. (a) log 0 R ( P K+ (494) Regge ) (b) log0 I ( P K+ (494) Regge Figuur 4.4: De propagator van het K + (494) Regge-pad. De patronen bij hoge energie blijven bestaan hoewel ze niet goed zichtbaar zijn op de figuur. ) De figuren van deze K + (494)-Reggepropagator kunnen we nu vergelijken met het reëel en het imaginair deel van de genormeerde transversiteitsamplitudes voor het strangecalcmodel met enkel het K + (494) Reggetraject. Het reëel en imaginair deel van a voor dit model worden weergegeven in Figuur 4.5. We merken op dat de Reggepropagator zeer sterk varieert, over verschillende grootteorden, terwijl de amplitudes liggen tussen en. De oorzaken voor deze grote variatie zijn de factoren (s/s 0 ) α(t) en Γ( α(t)) die voorkomen in de Reggepropagator. We zien wel opnieuw dezelfde patronen ontstaan, de Reggepropagator kan dus de patronen verklaren.

52 Transversiteitsamplitudes + K (494) (a) < a + K (494) (b) = a Figuur 4.5: Het re eel deel en het imaginair deel van de genormeerde transversiteitsamplitude a in functie van cos(θcm ) en s voor enkel het K + (494)-Reggetraject. (a) cos πα(t)k + (494) (b) sin παk + (494) (t) Figuur 4.6: Het re eel deel en het imaginair deel van de fasefactor e iπαk + (494) (t). Kijken we naar de K + (494)-Reggepropagator, vgl. (4.), dan zien we dat de factor die verantwoordelijk is voor de patronen in de amplitudes de fasefactor is, e iπαk + (494) (t). Het re eel en het imaginair deel van deze fasefactor worden weergegeven in Figuur 4.6. De patronen die we zien in de genormeerde transversiteitsamplitudes van het volledige

53 Hoofdstuk 4. Regge-plus-resonantie model 45 RPR-0-model zullen dus een gevolg zijn van de verschillende fasefactoren van de verschillende Reggetrajecten. 4.. Relatieve fases Omdat later zal blijken dat de bepaling van de relatieve fases tussen de verschillende amplitudes niet eenvoudig is, bespreken we hier hoe gevoelig deze fases zijn aan s en cos(θ cm ). Aangezien de vier complexe amplidudes op een fase na bepaald zijn kunnen we deze vrijheid gebruiken om het argument van a op 0 te zetten. We krijgen dan voor de vier genormeerde transversiteitsamplitudes: a = a e iα a, a = a e iα a e iθ, (4.3) a 3 = a 3 e iα 3 a 3 e iθ 3, a 4 = a 4 e iα 4 a 4 e iθ 4. (4.4) Hierbij hebben we de relatieve fases θ = α α, θ 3 = α 3 α en θ 4 = α 4 α gedefinieerd. In Bijlage B worden in Figuur B.5 de relatieve fases gegeven in functie van s en cos(θ cm ). We merken op dat de overgang van de relatieve fase van π naar +π op deze figuur een discontinuiteit lijkt, maar dit eigenlijk niet is. Uit de figuren blijkt dat bij energieën rond de piek in de totale werkzame doorsnede,.8 GeV, de verandering relatieve fases relatief traag verloopt. Dit wordt verduidelijk in Figuur 4.7 waar voor de energie s = 777 MeV de 4 amplitudes worden uitgezet in het complexe vlak. De waarden van cos(θ cm ) in de figuur, liggen in een gebied dat binnen de experimentele binbreedte op cos(θ cm ) valt. We verwachten dus dat voor lage energieën, de variatie van de relatieve fases onder cos(θ cm ) geen onoverkomelijk probleem zal vormen om de relatieve fases, met een aanvaardbare nauwkeurigheid, te bepalen uit een meting van de spinobservabelen. Bij hogere energiën ontstaan er echter plaatsen waar de relatieve fases, binnen een gebied van 0. op cos(θ cm ), soms al over meer dan π varieren. Dit wordt verduidelijkt in Figuur 4.8, waarbij we echter wel een extreem voorbeeld gegeven hebben bij s = 5500 MeV. We merken in deze figuur tevens de snelle verandering van de norm van a op. Deze snelle variatie van de relatieve fases zal het onmogelijk maken om bij hogere energieen de relatieve fases te bepalen uit metingen van de spinobservabelen zolang van deze observabelen de cos(θ cm )-afhankelijkheid niet nauwkeuriger bepaald kan worden.

54 Transversiteitsamplitudes cos(θ cm ) = cos(θ cm ) = cos(θ cm ) = cos(θ cm ) = cos(θ cm ) = 0 0 cos(θ cm ) = cos(θ cm ) = cos(θ cm ) = 0 cos(θ cm ) = cos(θ cm ) = cos(θ cm ) = 0 cos(θ cm ) = 6 Figuur 4.7: De verandering van de amplitudes bij s = 777 MeV voor verschillende waarden van cos(θ cm ). Hierin wordt a in het rood weergegeven, a in het blauw, a 3 in het zwart en a 4 in het groen.

55 Hoofdstuk 4. Regge-plus-resonantie model cos(θ cm ) = -6 0 cos(θ cm ) = - 0 cos(θ cm ) = cos(θ cm ) = -5 0 cos(θ cm ) = - 0 cos(θ cm ) = cos(θ cm ) = -4 0 cos(θ cm ) = -0 0 cos(θ cm ) = cos(θ cm ) = -3 0 cos(θ cm ) = cos(θ cm ) = Figuur 4.8: De verandering van de amplitudes bij s = 5500 MeV voor verschillende waarden van cos(θ cm ). Hierin wordt a in het rood weergegeven, a in het blauw, a 3 in het zwart en a 4 in het groen.

56

57 Hoofdstuk 5 Informatieëntropie Tot nu toe werden de differentiële werkzame doorsnede, de spinobservabelen en de amplitudes besproken. Het finale doel van dit werk zal zijn om de vier complexe amplitudes te bepalen uit metingen van de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede en enkele goed gekozen spinobservabelen. In dit hoofdstuk starten we met de meting van de differentiële werkzame doorsnede. We zullen een poging doen om te kwantificeren hoe groot de informatiewinst is wanneer een meting van de differentiële werkzame doorsnede gedaan wordt. De informatiewinst zullen we kunnen bepalen door gebruik te maken van de informatie- of Shannonentropie. We beginnen dit hoofdstuk daarom met een bespreking van de Shannonentropie en de continue variant hiervan, en werken enkele voorbeelden en eigenschappen uit. Daarna zullen we, door de differentiële werkzame doorsnede als probabiliteitsdistributie te gebruiken, de informatiewinst van een meting van de differentiële werkzame doorsnede kwantificeren. 5. Shannonentropie In een werk over informatietheorie door Shannon [6] werd de entropie ingevoerd als een manier om informatie te meten. Als X een gebeurtenis is met n mogelijke uitkomsten {x, x..., x n } en de kans op een gebeurtenis x i gelijk is aan p xi, dan wordt de informatieof Shannonentropie gedefinieerd als: H = i p xi log p xi, (5.) Met differentiële werkzame doorsnede wordt de niet-gepolariseerde werkzame doorsnede bedoeld, als we het over de gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede hebben zullen we dit duidelijk vermelden. De kans op een gebeurtenis is genormeerd: i p x i =. 49

58 Shannonentropie waarbij gesommeerd wordt over alle gebeurtenissen x i. De keuze van de basis van de logaritme is in principe vrij maar we hebben hier gekozen voor de logaritme met grondtal omdat de informatie zo uitgedrukt kan worden in bits. Aangezien in dit werk enkel over de informatie- of Shannonentropie gesproken zal worden, en niet over andere entropieën zoals de Gibbsentropie, zullen we hier soms voor de eenvoud de verkorte term entropie gebruiken. Uit de context zal telkens blijken over welke entropie het gaat. Volgens (5.) is de entropie dimensieloos, daar de waarschijnlijkheid p xi op een gebeurtenis x i dimensieloos is. Tevens heeft de absolute waarde van de entropie geen betekenis, enkel het verschil tussen twee entropieen. We definiëren daarom de informatiewinst als het verschil tussen twee entropieën: I = H H. (5.) 5.. Verklaring van de definitie van de Shannonentropie Gebruik makende van de onzekerheid van een set van uitkomsten kan men de definitie van de Shannonentropie verduidelijken. Stel dat we een gebeurtenis X hebben met n mogelijke uitkomsten {x, x..., x n } met gelijke waarschijnlijkheid p xi = /n. De onzekerheid u voor deze set van n uitkomsten wordt gedefinieerd als: u(n) = log n. (5.3) De keuze voor de logaritmische functie log is in de eerste plaats ingegeven door de vereiste u() = 0. Bovendien garandeert de log functie de additieve eigenschap. Inderdaad, stel dat men twee onafhankelijke processen heeft met respectievelijk n en m uitkomsten. Het totale aantal uitkomsten bedraagt dan nm en de onzekerheid hiervan wordt gegeven door: u = log nm = log n + log m. (5.4) Op deze manier mogen onzekerheden van onafhankelijke processen opgeteld worden. Voor het geval van de uniforme verdeling kan (5.3) ook geschreven worden als: u i = log p xi = log p xi. (5.5) Voor niet uniforme verdelingen definiëren we op volledig analoge manier de onzekerheid: u i log p xi. (5.6) Nu kunnen we de verwachtingswaarde van de onzekerheid u bepalen, waarin staat voor de verwachtingswaarde: u = i p xi u i = i p xi log p xi. (5.7)

59 Hoofdstuk 5. Informatieëntropie 5 De verwachtingswaarde van de onzekerheid is dus gelijk aan de Shannonentropie. Het bovenstaande verklaart waarom informatieëntropie en -onzekerheid door elkaar gebruikt worden. 5.. Axiomatische opbouw van de Shannonentropie We kunnen de definitie van de informatie-entropie ook verklaren aan de hand van een axiomatische opbouw [7]. We moeten eerst een maat bepalen voor de informatie die we uit een invividueel evenement x halen. Stel dat de gebeurtenis x voorkomt met waarschijnlijkheid p x. De informatie van het evenement x mag enkel afhangen van de waarschijnlijkheid p x dat het evenement plaatsvindt en niet van het resultaat zelf. De informatie wordt dus uitgedrukt in functie van p x. Daar bovenop moet de informatie I(p) voldoen aan de volgende axioma s:. Informatie is een niet-negatieve grootheid: I(p) 0.. Als een gebeurtenis waarschijnlijkheid heeft bevat ze geen informatie: I() = Als we twee onafhankelijke gebeurtenissen hebben is de informatie die we halen uit het observeren van de twee evenementen gelijk aan de som van de informatie uit de afzonderlijke evenementen: I(p p ) = I(p ) + I(p ). 4. We willen dat de informatie een continue functie is van p, een kleine verandering in de waarschijnlijkheid geeft een kleine verandering in de informatie. Uit het derde axioma halen we nu de volgende eigenschap: I(p ) = I(p) + I(p) = I(p). (5.8) Uit inductie volgt dan, met n N: I(p n ) = ni(p). (5.9) Het vierde axioma, dat zegt dat de informatie een continue functie moet zijn, geeft dan, met a R en a 0: I(p a ) = ai(p). (5.0) Een functie die aan deze eigenschappen voldoet, en aan I(p) 0 met p, is: I(p) = log b p, (5.)

60 5 5.. Continue entropie met b een willekeurig grondtal voor de logaritme. De verwachtingswaarde van de informatie geeft dan de informatieëntropie: H = i p xi log b p xi. (5.) Aangezien de entropie een verwachtingswaarde is van de informatie I(p) 0, geldt voor de entropie zelf ook H Continue entropie Daar in dit werk dikwijls met continue variabelen gewerkt wordt, hebben we een continue variant nodig van de entropie. Zij p(x) een waarschijnlijkheidsdistributie dan is de continue entropie H c die hiermee overeenkomt: H c = p(x) log (H 0 p(x)) dx, (5.3) = p(x) log p(x)dx log (H 0 ). (5.4) H 0 is een constante met dimensie /[p(x)], zodat het argument van de logaritme dimensieloos is. Willen we nu dat de continue entropie dimensieloos is, dan kiezen we als dimensie voor de PDF (probability density function, p(x)) /[x]. M.a.w. de dimensie van de constante H 0 is [x]. In het vervolg zullen we H 0 altijd de waarde geven zodat de tweede term in vgl. (5.4) wegvalt. Er is echter een verschil tussen de Shannonentropie en deze continue variant, de continue entropie kan namelijk negatief zijn. Om dit in te zien, beschouwen we een uniforme distributie tussen 0 en /. Daar p(x) genormeerd moet zijn is p(x) = tussen 0 en /. Via (5.4) berekenen we dan de continue entropie, dit geeft: H c = / 0 log dx = log =. (5.5) We kunnen nu als voorbeeld de continue entropie bepalen voor enkele bekende verdelingsfuncties: de uniforme verdeling, de normale of Gaussische verdeling en de Dirac-deltaverdeling. We beginnen met de uniforme verdeling: stel dat tussen 0 en n een bepaald proces uniform verdeeld is. Uit de normering van de PDF volgt dan dat p(x) = /n tussen 0 en n en p(x) = 0 daarbuiten. Berekening van de continue entropie levert dan het volgende op: H c = n 0 n log n dx = log n = log n. (5.6)

61 Hoofdstuk 5. Informatieëntropie 53 Aangezien bij een uniforme verdeling de informatie minimaal is, is de entropie van een uniforme verdeling maximaal en daarom is dit een ideale referentieëntropie om informatiewinst te bepalen. De informatiewinst zal dan ook altijd groter dan 0 zijn. We bepalen nu de entropie van een normale verdeling. Stel dat een meting gedaan wordt van een bepaalde grootheid x. Als resultaat van de meting vindt men een waarde µ en de onzekerheid hierop is δ x, nl. δ x = (x µ). Hiermee bedoelt men dat x Gaussisch verdeeld is met verwachtingswaarde µ en standaardafwijking δ x, i.e. de verdeling van x wordt gegeven door: p(x) = Als men nu hiervoor de entropie bepaalt dan krijgt men: e (x µ) δx. (5.7) πδ x H c = log πe + log δ x. (5.8) De entropie van een Dirac-deltaverdeling kunnen we hiermee gemakkelijk bepalen als we gebruik maken van de eigenschap dat een Dirac-deltaverdeling de limiet van een normale verdeling is waarin de standaardafwijking naar 0 gaat: δ(x µ) = lim δx 0 Hiermee vindt men voor de entropie van de Dirac-deltaverdeling: e (x µ) δx. (5.9) πδ x H c = log πe + lim δx 0 (log δ x ) =. (5.0) Stel dat men van de gaussisch-verdeelde grootheid x een tweede meting doet en dat de onzekerheid verkleint tot δ x. De informatiewinst wordt dan gegeven door: I = H c H c = log ( δx δ x ), (5.) en is dimensieloos. Stel nu dat voor de onzekerheid van de tweede meting geldt: δ x = δ x /, dan is informatiewinst gelijk aan bit. We zullen dus nooit absolute entropieën gebruiken maar zullen we altijd spreken over informatiewinst (uitgedrukt in bits) ten opzichte van een referentieëntropie: e.g. de entropie van een uniforme verdeling. Door gebruik te maken van de entropie van een uniforme verdeling, die een maximale entropie heeft, zal de informatiewinst ook altijd positief zijn. Uit (5.8) zien we dat de continue entropie van een waarschijnlijkheidsdistributie die een smallere piek (kleine δ x ) heeft, kleiner is dan de entropie van een waarschijnlijkheidsdistributie met een bredere piek (grote δ x ). Aangezien een meting met een kleine standaardafwijking meer informatie bevat dan een meting met een grote standaardafwijking kunnen we de entropie ook nog zien als ontbrekende informatie of onzekerheid.

62 Continue entropie 5.. Verband tussen Shannonentropie en continue entropie Om een verband te leggen tussen de Shannonentropie (H) en de continue entropie (H c ) gebruiken we de Riemannsom als een benadering voor de integraal. We verdelen het interval [, + ] in equidistante subintervallen [i, (i + ) ], met breedte en i Z. Stel nu dat x i het midden van het interval [i, (i + ) ] is, dan is de integraal van de functie f(x) gelijk aan: + f(x)dx = lim + 0 i= f(x i ). (5.) Definiëren we nu: H = + i= ( )( ) f(x i ) log f(x i ), (5.3) en schrijven we dit verder uit: H = + i= f(x i ) log f(x i ) + i= f(x i ) log. (5.4) Als we de limiet 0 van deze uitdrukking nemen, dan kunnen we gebruik maken van (5.). Stellen we nu dat de functie f(x) een PDF is, die genormeerd is, dan geldt: lim Op analoge wijze krijgen we: lim + 0 i= + 0 i= f(x i ) = f(x i ) log f(x i ) = We krijgen dus voor uitdrukking (5.4): lim H = 0 wat tot het finaal resultaat leidt: f(x)dx = (5.5) f(x) log f(x)dx. (5.6) f(x) log f(x)dx lim 0 (log ), (5.7) H c = lim 0 [H + log ]. (5.8)

63 Hoofdstuk 5. Informatieëntropie De normale distributie uit het principe van maximale entropie Stel dat een gebeurtenis X verdeeld is volgens een onbekende distributie p(x). De verwachtingswaarde en standaardafwijking zijn respectievelijk µ en δ x, en de distributie is genormeerd. Als we hierop het principe van maximale entropie toepassen dan zullen we de normale distributie vinden [8]. Kiezen we opnieuw H 0 = dan hebben we: H c (p(x)) = = δx = p(x) log p(x)dx, (5.9) p(x)dx, (5.30) p(x)(x µ) dx. (5.3) We moeten nu de entropie maximaliseren, hiervoor stellen we de Lagrangiaan op voor het probleem met Lagrangemultiplicatoren α en β: L = + p(x) log p(x)dx ( +α + p(x)dx ) ( + β δx + p(x)(x µ) dx ) (5.3) Om dit te maximaliseren moeten we de Lagrangiaan variëren naar p(x), dit geeft: δl = + ( δp(x) log p(x) + ) ln + α + β(x µ) dx. (5.33) Minimalisatie van de actie zegt dat δl moet gelijk zijn aan nul voor elke δp(x). Aangezien δp(x) willekeurig is geldt: ( ) log p(x) = ln + α + β(x µ). (5.34) Zetten we de logaritme met grondtal om in de natuurlijke logaritme, dan wordt dit: ( ) ln p(x) = ln ln + α + β(x µ), (5.35) ) = ( + α + β (x µ). (5.36) Waarbij we de factor ln voor de eenvoud opgenomen hebben in de Lagrangemultiplicatoren. Dit geeft voor p(x): p(x) = e α β (x µ). (5.37)

64 Differentiële werkzame doorsnede als PDF Lossen we deze vergelijking nu op onder de voorwaarden (5.30) en (5.3), dan geeft dit: p(x) = e (x µ) δx (5.38) πδ x We zien dus dat uit een familie van distributies met verwachtingswaarde µ en standaardafwijking δ x, de Gaussische distributie de distributie is met maximale entropie. 5.3 Differentiële werkzame doorsnede als PDF Nu we de informatieëntropie besproken hebben, kunnen we dit toepassen op de reactie p(γ, K + )Λ. We willen de informatiewinst kwantificeren die bekomen wordt door de differentiële werkzame doorsnede te meten. We zullen hier werken met het model RPR-0 en gebruik maken van de entropie om de informatiewinst te kwantificeren. Experimenteel worden de observaties dikwijls gedaan bij vaste s en wordt de differentiële werkzame doorsnede bepaald in functie van cos(θ cm ). Om de entropie te bepalen zoeken we nu een PDF die deze eigenschappen weerspiegelt. De genormeerde differentiële werkzame doorsnede kan bij elke energie s gezien worden als een waarschijnlijkheidsdichtheid: p ( Ω s ) = = dσ dω cm) s) + dσ dω cm) s) d cos(θ cm ), (5.39) σ( dσ ( cos(θcm ) s ). s) dω (5.40) p (Ω s) dω is dan bij elke massamiddelpuntsenergie de waarschijnlijkheid dat het recoil verstrooid wordt in de ruimtehoek [Ω, Ω+dΩ]. Aangezien experimenteel enkel de cos(θ cm )- afhankelijkheid van de differentiële werkzame doorsnede bepaald wordt, gaan we over op de PDF in functie van cos(θ cm ). We maken gebruik van de eigenschap dat de waarschijnlijkheid binnen een gebied invariant is onder verandering van variabelen: Door dit verder uit te werken krijgen we dan: p ( Ω s ) dω = p ( cos(θ cm ) s ) d cos(θ cm ). (5.4) p ( cos(θ cm ) s ) = p(ω dω s) d cos(θ cm ), (5.4) = σ( dσ s) dω ( cos(θcm ) s ) πd cos(θ cm ) d cos(θ cm ), (5.43)

65 Hoofdstuk 5. Informatieëntropie 57 = π σ( dσ ( cos(θcm ) s ). (5.44) s) dω We hebben dus bij elke energie s een PDF gecreëerd in functie van cos(θ cm ). Deze moet echter opnieuw genormeerd worden, dit geeft: p ( cos(θ cm ) s ) = + dσ (cos(θ dω cm) s) dσ (cos(θ dω cm) s) d cos(θ cm ). (5.45) Met deze PDF kunnen we dan de entropie bepalen. We willen hiermee dan de informatiewinst kwantificeren, die bekomen wordt door het meten van de differentiële werkzame doorsnede. Als referentieëntropie gebruiken we de entropie in het geval geen meting gedaan werd. Als we geen meting van de differentiële doorsnede gedaan hebben, hebben we geen informatie over de hoekafhankelijkheid van dσ. Deze wordt dus uniform verondersteld, dit dω geeft dan voor de PDF (5.45): p ( cos(θ cm ) s ) =. (5.46) Bepalen we voor deze PDF via vgl. vgl. (5.4) de referentieëntropie, dan vinden we: H ref = + ( ) log d cos(θ cm ), (5.47) = log () =. (5.48) Willen we nu de entropie van een meting van de differentiële werkzame doorsnede bepalen, dan merken we op dat de definitie van de PDF (5.45) van een continue differentiële werkzame doorsnede uitgaat. Bij een meting wordt de differentiële werkzame doorsnede echter voor een eindig aantal punten cos(θ i cm) bepaald. In dit geval wordt de PDF 3 : p ( cos(θ i cm) s ) = j dσ dω (cos(θi cm) s) ( cos(θ j cm ) ). (5.49) s dσ dω Nu hebben we alle benodigdheden om de informatiewinst te bepalen als een meting gedaan wordt van de differentiële werkzame doorsnede. Deze informatiewinst bepalen we in functie van de energie s. Als voorbeeld kan de informatiewinst nu bepaald worden voor drie verschillende gevallen. Eerst wordt de informatiewinst voor het volledige RPR-0-model bepaald, dan voor het model met enkel de resonanties en tenslotte voor het model met enkel de Reggetrajecten. In Figuur 5. wordt eerst de absolute entropie gegeven, en in 3 We hebben hier bewust niet gekozen voor een discrete benadering van de integraal uit vgl. (5.45) omdat dit niet de gewenste eigenschappen oplevert.

66 Differentiële werkzame doorsnede als PDF Figuur 5. wordt dan de informatiewinst gegeven. In de berekeningen werd ervan uitgegaan dat de differentiële werkzame doorsnede voor 00 verschillende cos(θcm)-bins i punten bepaald werd. Later zullen we de invloed van het aantal meetpunten onderzoeken RPR-0 Resonanties Reggetrajecten Entropie s / (MeV) Figuur 5.: Entropie in functie van s in het resonantiegebied, voor het volledige model, het model met enkel de resonanties en het model enkel de achtergrond. We zien dus in de figuren dat de meting van de differentiële werkzame doorsnede in het resonantiegebied rond de 0.9 bit informatiewinst oplevert. In Figuur 5. ligt de informatiewinst van de Reggetrajecten boven de informatiewinst van het model RPR-0. De verklaring hiervoor is dat in het volledige model meer details te beschrijven zijn dan in het model met enkel achtergrond. In het model RPR-0 zijn er 7 vrije parameters, in het model met enkel Reggetrajecten zijn er slechts 4 vrije parameters. Er zijn dus meer meetpunten nodig zijn om dezelfde informatiewinst te halen. Hierdoor zal voor hetzelfde aantal bins, de informatiewinst voor de achtergrond altijd groter zijn dan die voor het volledige model.

67 Hoofdstuk 5. Informatieëntropie RPR-0 Resonanties Reggetrajecten 0.89 Informatiewinst s / (MeV) (a) Informatiewinst in het resonantiegebied RPR-0 Resonanties Reggetrajecten Informatiewinst s / (MeV) (b) Informatiewinst in het resonantie- en het achtergrondgebied. Figuur 5.: Informatiewinst ten opzichte van de uniforme distributie, in functie van s. De figuren tonen de informatiewinst voor het volledige model, het model met enkel de resonanties en het model met enkel de achtergrond.

68 Differentiële werkzame doorsnede als PDF Een tweede opmerking is dat vanaf 3500 MeV beide curves samenvallen. Dit betekent dat de resonanties hier geen significante bijdrage meer leveren, het model bestaat hier uitsluitend uit achtergrond. Dit is ook de reden waarom er na 500 MeV bijna geen verandering in informatiewinst is in de resonantiecurve. Voor Figuren 5. en 5. werd een PDF met 00 bins in cos(θ cm ) gebruikt. In experimentele RPR-0, 00 bins Resonanties, 00 bins Reggetrajecten, 00 bins RPR-0, 0 bins Resonanties, 0 bins Reggetrajecten, 0 bins Informatiewinst s / (MeV) Figuur 5.3: Informatiewinst van het volledige model, enkel de resonanties en enkel de achtergrondcontributies in functie van s, en voor verschillende bingrootte s. werken, e.g. [5], worden er echter slechts 0 bins gebruikt om de hoekafhankelijkheid van de differentiële werkzame doorsnede te bepalen, we vergelijken daarom de informatie die bekomen wordt door de meting van een differentiële werkzame doorsnede in 0 en 00 bins, zie Figuur 5.3. In de figuur zien we dat in het resonantiegebied de informatiewinst altijd groter is als we meer bins gebruiken om de hoekafhankelijkheid te beschrijven, zoals we zouden verwachten. Aangezien de huidige experimentele instellingen de hoekafhankelijkheid van de reactie in 0 bins bepalen, kunnen we kijken welke informatie nog te winnen is door de hoekafhankelijkheid preciezer te bepalen. We bepalen de informatiewinst in functie van het aantal bins. Dit wordt weergegeven in Figuur 5.4.

69 Hoofdstuk 5. Informatieëntropie 6 Informatiewinst MeV Bins (a) Informatiewinst bij 650 MeV. Informatiewinst MeV Bins (b) Informatiewinst bij 850 MeV. Figuur 5.4: Informatiewinst in functie van het aantal bins. We zien dat de informatiewinst in functie van het aantal bins eerst snel stijgt en daarna alsmaar trager toeneemt. Een verdubbeling van de huidige nauwkeurigheid van 0 bins, zal echter nog een significante vermeerdering in informatiewinst veroorzaken. De informatiewinst kan ook bepaald worden voor de RPR-modellen met enkel de individuele resonanties. De eigenschappen: spin, pariteit, massa en breedte van de resonanties worden weergegeven in Tabel 5.. De eerste twee resonanties in deze tabel zijn de twee Reggetrajecten zoals besproken in Hoofdstuk 4. De overige resonanties zijn de N - resonanties uit het isobar model, de geëxiteerde toestanden van het nucleon. De informatiewinst voor de RPR-0-modellen met enkel deze individuele resonanties, wordt weergegeven in Figuur 5.5, waarbij telkens ter verduidelijking ook de vorm van de totale werkzame doorsnede weergegeven is. De informatiewinst werd berekend met de experimenteel haalbare 0 bins. De informatiewinst van alle resonanties blijkt te schommelen tussen 7 en 0.6 bits in het resonantiegebied. Deze informatiewinst komt qua grootte overeen met de informatiewinst voor het volledige model, en het model met enkel resonanties in het resonantiegebied. We hebben hierboven de informatiewinst van de individuele resonanties bekeken, nu gaan we even dieper in op de waarschijnlijkheidsdistributies van deze resonanties zelf. In Figuur 5.6 worden de waarschijnlijkheidsdistributies p(θ cm s) voor drie resonanties weerge-

70 Differentiële werkzame doorsnede als PDF Tabel 5.: De resonanties in het model rpr0. Naam J P Massa (MeV) Breedte (MeV) K + (494) K + (89) m-p (895) / S (535) / S (650) / P 3 (70) 3/ P 3 (900) 3/ m-d 3 (895) 3/ F 5 (680) 5/ F 5 (900) 5/ geven, een spin-/, een spin-3/ en een spin-5/ resonantie. De PDF van de m-p (895) (J P = / + ) resonantie vertoont de structuur van een dipool, een piek bij voorwaartse verstrooiing, en de PDF van de S (680) (J P = 5/ + ) resonantie vertoont de structuur van een quadrupool, twee verschillende pieken. Tenslotte kunnen we nog kijken naar de informatie en de PDF van een denkbeeldige resonantie. Hiervoor worden de koppelingsconstanten van de bestaande resonanties aangepast. De Lagrangianen van de resonanties bevatten koppelingsconstanten. De spin-/ resonanties hebben slechts één effectieve koppelingsconstante en de spin-3/ en spin-5/ resonanties hebben twee verschillende koppelingsconstanten. We noteren deze twee koppelingsconstanten als G en H. We kunnen nu bestaande resonanties aanpassen door hun koppelingsconstanten aan te passen, we gebruiken hiervoor de m-p (895) en de F 5 (680) resonanties. Voor de denkbeeldige resonanties vermenigvuldigen we eenmaal beide koppelingsconstanten met een factor, en vermenigvuldigen daarna slechts één van de koppelingsconstanten met die factor. De koppelingsconstanten worden weergegeven in Tabel 5. en de resultaten in Figuur 5.7. Bij de m-p (895) resonantie zorgt het veranderen van de koppelingsconstanten enkel voor een verandering in de absolute waarde van de totale werkzame doorsnede en geen verandering in de vorm, de informatiewinst blijft dan ook onveranderd. De reden hiervoor is dat de m-p (895) resonantie slechts één effectieve koppelingsconstante heeft, zodat enkel

71 Hoofdstuk 5. Informatieëntropie 63 de grootte van de totale werkzame doorsnede kan veranderen. Bij de F 5 (680) resonantie verandert ook de vorm van de totale werkzame doorsnede met een verandering in de informatieëntropie tot gevolg. Tabel 5.: De koppelingsconstanten van de m-p (895) en de F 5 (680) resonantie en de bijhorende aangepaste resonanties. Naam Bijnaam G ( 4π) H ( 4π) m-p (895) N N N F 5 (680) N N N

72 Differentiële werkzame doorsnede als PDF S (535) resonance S (680) resonance m-p (895) resonance m-d 3 (895) resonance P 3 (70) resonance Informatiewinst Totale werkzame doorsnede Informatiewinst Informatiewinst s / (MeV) (a) De informatie van alle resonanties s / (MeV) (b) De m-p (895) resonantie Informatiewinst Totale werkzame doorsnede Informatiewinst Totale werkzame doorsnede Informatiewinst Informatiewinst s / (MeV) s / (MeV) (c) De S (535) resonantie (d) De S (680) resonantie Informatiewinst Totale werkzame doorsnede 0.6 Informatiewinst Totale werkzame doorsnede Informatiewinst 9 85 Informatiewinst s / (MeV) s / (MeV) (e) De P 3 (70) resonantie (f) De m-d 3 (895) resonantie Figuur 5.5: Informatiewinst voor de verschillende resonanties. Ter vergelijking wordt ook de vorm van de totale werkzame doorsnede gegeven.

73 Hoofdstuk 5. Informatieëntropie 65 cos(θ cm ) s / (MeV) (a) p(θ cm s) van de m-p (895) resonantie. cos(θ cm ) s / (MeV) (c) p(θ cm s) van de m-d 3 (895) resonantie p(θ cm s / ) p(θ cm s / ) MeV 690 MeV 779 MeV cos(θ cm ) (b) p(θ cm s) van de m-p (895) resonantie, bij verschillende s MeV 75 MeV 903 MeV cos(θ cm ) (d) p(θ cm s) van de m-d 3 (895) resonantie, bij verschillende s MeV 700 MeV 78 MeV cos(θ cm ) p(θ cm s / ) s / (MeV) (e) p(θ cm s) van de F 5 (680) resonantie cos(θ cm ) (f) p(θ cm s) van de F 5 (680) resonantie, bij verschillende s. Figuur 5.6: p(θ cm s) van de resonanties m-p (895) en F 5 (680).

74 Differentiële werkzame doorsnede als PDF 3.5 m-p (895) N- N m-p (895) N- N-3 Totale werkzame doorsnede.5 Informatiewinst s / (MeV) (a) De totale werkzame doorsnede van de m- P (895) resonantie en zijn varianten s / (MeV) (b) De informatie van de m-p (895) resonantie en zijn varianten. Totale werkzame doorsnede F 5 (680) N3- N3-3 Informatiewinst F 5 (680) N3- N s / (MeV) (c) De totale werkzame doorsnede van de F 5 (680) resonantie en zijn varianten s / (MeV) (d) De informatie van de F 5 (680) resonantie en zijn varianten. Figuur 5.7: Het verschil in informatiewinst van de m-p (895) en F 5 (680) resonantie als de koppelingsconstanten worden aangepast. Ter verduidelijking wordt ook de totale werkzame doorsnede gegeven.

75 Hoofdstuk 6 Informatiewinst van complete metingen In Hoofdstuk 5 werd de informatiewinst bepaald als bij een bepaalde massamiddelpuntsenergie s de differentiële werkzame doorsnede van de reactie p(γ, K + )Λ gemeten wordt. In dit hoofdstuk zullen we proberen om in elk punt { s, cos(θ cm )} de vier complexe amplitudes van de reactie p(γ, K + )Λ te bepalen, en de informatiewinst kwantificeren die hiermee gepaard gaat. Eens de vier complexe amplitudes in elk punt gekend zijn, is alles over de reactie geweten. We starten dit hoofdstuk met een meting van één polarisatieobservabele en kwantificeren de informatiewinst die hiermee gepaard gaat. We baseren ons hiervoor op het artikel van Ireland [7]. Daarna breiden we dit uit naar een meting van meerdere polarisatieobservabelen. We zullen proberen om aan de hand van een meting van de differentiële werkzame doorsnede en de drie enkelvoudige polarisatieobservabelen de norm van de amplitudes te bepalen. Tenslotte onderzoeken we de zogenaamde complete set van metingen en trachten we door het meten van de differentiële werkzame doorsnede en een complete set van spinobservabelen de relatieve hoeken tussen de verschillende amplitudes te bepalen. 6. Informatiewinst De kaonfotoproductiereactie is volledig bepaald als we de vier complexe amplitudes van de reactie kennen. Hier zullen we de transversiteitsamplitudes gebruiken, maar in principe is de basis van de amplitudes vrij te kiezen. Later zal echter blijken waarom we gekozen Ook hier wordt de niet-gepolariseerde differentiële werkzame bedoeld. 67

76 Informatiewinst hebben voor de transversiteitsamplitudes. In totaal hebben we dus acht onafhankelijke vrijheidsgraden die de reactie bepalen. De amplitudes zijn echter op een constante fase na bepaald; dit vermindert het aantal effectieve vrijheidsgraden tot zeven. Deze vrijheid kunnen we nu gebruiken om alle amplitudes met een zelfde fase te vermenigvuldigen. In het geval van de genormeerde transversiteitsamplitudes, kunnen we zo het argument van a op 0 te zetten: a = a e iα a, a = a e iα a e iθ, (6.) a 3 = a 3 e iα 3 a 3 e iθ 3, a 4 = a 4 e iα 4 a 4 e iθ 4, (6.) met de relatieve fases die gedefinieerd zijn als θ = α α, θ 3 = α 3 α en θ 4 = α 4 α. Voor de gewone en de genormeerde transversiteitsamplitudes gelden de volgende relaties: dσ ( θ cm, ) s dω = b + b + b 3 + b 4, (6.3) = a + a + a 3 + a 4. (6.4) De relatie voor de genormeerde transversiteitsamplitudes onderstelt echter impliciet dat een meting van de differentiële werkzame doorsnede uitgevoerd werd. De zeven vrijheidsgraden van de complexe transversiteitsamplitudes liggen dus op een 6-sfeer, waarvan de straal bepaald wordt door de differentiële werkzame doorsnede. In het geval van de genormeerde transversiteitsamplitudes liggen de zeven vrijheidsgraden op een 6-sfeer met eenheidsstraal. In totaal hebben we na de meting van de differentiële werkzame doorsnede dus nog zes onafhankelijke vrijheidsgraden. Als geen meting uitgevoerd werd, is er niets geweten over de amplitudes. Door een meting van de differentiële werkzame doorsnede uit te voeren, weten we dat voor de genormeerde transversiteitsamplitudes relatie (6.4) geldt. De getallen x i, met x i {R(a ) = a, R(a ), I(a ), R(a 3 ), I(a 3 ), R(a 4 ), I(a 4 )}, liggen dus uniform verdeeld over een eenheids 6-sfeer. Vertalen we dit naar een PDF, dan krijgen we voor de uniforme verdeling over het oppervlak van een eenheids 6-sfeer 3 : Voor deze PDF kan de entropie bepaald worden via (5.4): ( 5 5 H 6 sfeer = 6π log 3 6π 3 p({x i }) = 5 6π 3. (6.5) ) d{x i } = log ( 5 6π 3 ). (6.6) Met een 6-sfeer wordt een 6-dimensionaal boloppervlak in een 7-dimensionale ruimte bedoeld. 3 De oppervlakte van de eenheids 6-sfeer is gelijk aan 6π 3 /5.

77 Hoofdstuk 6. Informatiewinst van complete metingen 69 Stel nu dat we een meting doen; dit kan gezien worden als het comprimeren van de uniforme PDF tot een beperkt gebied van de {x i }-ruimte. Als voorbeeld stellen we dat het meten van één of meerdere observabelen resulteert in een multidimensionele Gaussische PDF. De entropie van een n-dimensionale Gauss wordt gegeven door: H g = n log (πe) + log c ij, (6.7) waarin c ij de determinant van de covariantiematrix is. Aangezien we in totaal zes onafhankelijke vrijheidsgraden hebben, krijgen we een 6-dimensionale Gaussische PDF. Nemen we voor de eenvoud aan dat de covarianties allemaal dezelfde zijn en gelijk zijn aan de variantie (δ ), dan vinden we: H meting = 3 log (πe) + 6 log δ, (6.8) dit geeft voor de informatiewinst: I = H 6 sfeer H meting, (6.9) ( ) 6π 3 = log 3 log 5 (πe) 6 log δ. (6.0) Stel dat men de amplitudes wil bepalen met nauwkeurigheid δ = 0.05, dan komt dit overeen met een informatiewinst van 9 bits. 6. Numerieke bepaling van de entropieën In de vorige sectie werd ervan uitgegaan dat de PDF van de getallen x i gekend was. De bepaling van deze PDF is echter verre van triviaal. Daarom wordt hier een methode beschreven om de entropie, en dus ook de informatiewinst van een meting, te bepalen zonder dat p({x i }) gekend moet zijn. Sample points van de getallen x i worden ad random gegenereerd met een uniforme dichtheid over de 6-sfeer. Het aantal sample punten N 0 moet groot genoeg zijn om een representatieve steekproef te bekomen. Voor elk punt op de eenheids 6-sfeer worden de spinobservabelen bepaald volgens de relativistische uitdrukkingen uit Tabel A.4. Eens de spinobservabelen bepaald zijn voor elk punt, kan men een meting van een spinobservabele simuleren. Hiervoor wordt elk punt gewogen volgens de PDF van de gemeten observabele. We stellen eerst dat de meting van een spinobservabele een uniforme PDF oplevert binnen een bepaald interval en dat de PDF nul is buiten dat interval. Als er geen meting gedaan werd is de PDF uniform over het n-dimensionale oppervlak S 0

78 Bepaling van de norm van de amplitudes waarin de observabelen kunnen liggen, hiervoor geldt: p{x i } = /S 0. De entropie hiervan wordt gegeven door: ( ) H = log S d{x i } = log 0 S (S 0 ). (6.) 0 Als nu het oppervlak door een meting verkleint van S 0 naar S dan is de informatiewinst gelijk aan: ( ) S0 I = log (S 0 ) log (S ) = log S (6.) Aangezien de punten uniform verdeeld zijn over het oppervlak S 0, kunnen we dit ook schrijven als: ( ) N0 I = log (N 0 ) log (N ) = log N waarbij N 0 het aantal punten is in S 0, en N het aantal punten in S. (6.3) Deze methode kan ook eenvoudig gebruikt worden voor een Gaussische PDF met gemiddelde µ en standaardafwijking δ. Voor de uniforme PDF werden de punten in S 0 gewogen volgens een PDF die gelijk is aan binnen het oppervlak S, en die gelijk is aan 0 buiten het oppervlak. Stel dat R een random getal is, getrokken uit een normale verdeling, met gemiddelde 0 en standaardafwijking δ. Voor elk van de N 0 sample punten {x i } bepalen we het verschil tussen de waarde die de observabele heeft voor dat punt, en de experimenteel gemeten waarde van de observabele. Als dit verschil kleiner is dan een random getal R aanvaarden we het punt, anders verwerpen we het. Het aantal overgebleven punten is gelijk aan N en de informatiewinst wordt opnieuw gegeven door (6.3). Om een informatiewinst van 9 bits te bekomen moet het aantal punten dus verminderen met een factor Bepaling van de norm van de amplitudes In deze sectie zullen we proberen om in elk punt { s, cos(θ cm )} de norm van de genormeerde transversiteitsamplitudes te bepalen door de drie enkelvoudige polarisatieobservabelen te meten. We maken hierbij impliciet gebruik van de meting van de differentiële werkzame doorsnede door ervan uit te gaan dat de amplitudes op een eenheids 6-sfeer liggen. We bekijken eerst hoeveel informatie we winnen door een meting te doen van één enkelvoudige polarisatieobservabele. Alle observabelen hebben een waarde die ligt tussen en, en een realistische experimentele standaardafwijking voor de bepaling van een enkelvoudige observabele is 0.05 δ 0. [5, 0, ]. Hier zullen we uitgaan van δ = 0.05.

79 Hoofdstuk 6. Informatiewinst van complete metingen 7 Simuleren we nu een meting van een enkelvoudige observabele, dan blijkt dat de informatiewinst onafhankelijk is van de keuze van de observabele. De informatiewinst varieert wel met de waarde van de observabele. Er is dus geen enkelvoudige polarisatieobservabele die een maximale informatiewinst zal opleveren, de informatiewinst hangt af van de gemeten waarde van de observabele. Kijken we als voorbeeld naar de meting van de recoil observabele P, Figuur 6., dan valt dit duidelijk in te zien. In de figuur zijn de groene punten de waarden voor P die corresponderen met de N 0 uniform verdeelde punten {x i }. De rode punten zijn de N punten die voldoen aan een meting van P = 0.45 met standaardafwijking δ = Voor P < hebben we een informatiewinst van 4.3 bits. Voor P 0.7 wordt de informatiewinst 5 bits, en voor P 0.9 wordt de informatiewinst zelfs 6 bits. Een meting van P = 0 zal dus een minimale informatiewinst opleveren en een meting van P zal maximale informatiewinst opleveren N 0 N P Figuur 6.: Simulatie van de meting van de recoil observabele P met gemiddelde P = 0.45 en standaardafwijking Dit geeft een informatiewinst van 4.39 bits. In totaal werden sample points gegenereerd. De voorgaande simulatie werd gedaan bij een arbitraire waarde van P. Met het programma strangecalc en het model RPR-0 kunnen bij elke massamiddelpuntsenergie

80 Bepaling van de norm van de amplitudes en verstrooiingshoek de spinobservabelen van het meetpunt bepaald worden. Dit kan nu gebruikt worden om de informatiewinst bij een vaste verstrooiingshoek uit te zetten in functie van s. Door bij elke energie de waarde van P te bepalen met strangecalc en een meting van die P -waarde te simuleren kunnen we de informatiewinst uitzetten. Dit wordt weergegeven in Figuur 6. voor een arbitraire verstrooiingshoek waarvoor geldt: cos(θ cm ) =. In de figuur is duidelijk te zien dat de maximale informatiewinst bereikt wordt bij de grootste waarden van P. We merken verder op dat de strangecalc-curve van P de curve is waaruit we bij elke energie s de waarde van P getrokken hebben. Het is dus logisch dat de meetpunten exact op die curve liggen. 0.8 strangecalc Simulatie P Informatiewinst s / (MeV) s / (MeV) Figuur 6.: In de bovenste figuur: simulatie van de meting van de recoil observabele P bij cos(θ cm ) = en vergelijking met het resultaat van strangecalc. In de onderste figuur wordt de informatiewinst gegeven. Om de norm van de amplitudes te bepalen, kijken we naar de uitdrukkingen van de differentiële werkzame doorsnede en de enkelvoudige asymmetriën. Dit zijn lineaire vergelijkingen in de gekwadrateerde normen van de transversiteitsamplitudes. Dit betekent dat

81 Hoofdstuk 6. Informatiewinst van complete metingen 73 een meting van de differentiële werkzame doorsnede en de drie enkelvoudige assymetrieën toelaat de norm van de transversiteitsamplitudes te bepalen. Dit is de reden waarom we voor de (genormeerde) transversiteitsamplitudes gekozen hebben. Hetzelfde kan bereikt worden met de genormeerde heliciteitsamplitudes maar dan moeten de differentiële werkzame doorsnede en drie dubbel gepolariseerde observabelen gemeten worden: E, C z en L z, zie Tabel A.3. Het probleem hiermee is dat nog niet al deze dubbel gepolariseerde observabelen experimenteel bepaald werden. De standaardafwijkingen van diegene die wel al bepaald werden is groter dan die van enkelvoudig gepolariseerde observabelen. Om deze redenen kijken we daarom naar de meting van de drie enkelvoudig gepolariseerde observabelen en proberen we de norm van de genormeerde transversiteitsamplitudes te bepalen. Opnieuw gebruik makend van het programma strangecalc met het model RPR-0, kunnen we nu voor elke massamiddelpuntsenergie en verstrooiingshoek de observabelen én de amplitudes van een meetpunt bepalen. We simuleren dan een meting van de drie enkelvoudige observabelen en proberen hieruit de norm van de amplitudes te bepalen. Deze resultaten worden daarna vergeleken met de norm van de amplitudes berekend met strangecalc. De resultaten van twee arbitraire simulaties worden grafisch weergegeven in Figuur 6.3 en samengevat in Tabel 6.. Tabel 6.: Meting van de differentiële werkzame doorsnede en de drie enkelvoudige amplitudes Meetpunt s cos (θcm ) P Σ T MeV a a a 3 a 4 I strangecalc Simulatie 0.9 ± ± ± ± Meetpunt s cos (θcm ) P Σ T MeV a a a 3 a 4 I strangecalc Simulatie 0.39 ± ± ± ±

82 Bepaling van de norm van de amplitudes Uit de resultaten van deze twee simulaties volgt dat uit een simultane meting van de differentiële werkzame doorsnede en drie enkelvoudige polarisatieobservabelen met een standaardafwijking van δ = 0.05 op elke observabele, een informatiewinst van.5 bits behaald wordt. De waarden voor de norm van de amplitudes uit de simulatie komen eveneens overeen met die berekend via strangecalc. Uit een meting van de differentiële werkzame doorsnede en de drie enkelvoudig gepolariseerde observabelen kunnen we dus de norm van de genormeerde transversiteitsamplitudes bepalen. De relatieve fases van de amplitudes volgens deze methode bepalen is echter niet mogelijk, zoals blijkt uit de figuur. Dit is echter al duidelijk als men kijkt naar de definities van de observabelen. In de volgende sectie zullen we een poging doen om deze relatieve fases te bepalen. De twee bovenstaande simulaties werden gedaan bij s = 800 MeV. Nu kunnen we nog onderzoeken hoe deze de bepaling van de normen varieert in functie van s. Hiervoor worden met strangecalc, bij een bepaalde verstrooiingshoek, de drie enkelvoudige polarisatieobservabelen uitgezet in functie van s. Deze observabelen worden dan gebruikt om een meting te simuleren en hiermee de norm van de amplitudes te bepalen. In Figuur 6.4 wordt het resultaat van deze simulatie weergegeven. Bij twee verschillende verstrooiingshoeken worden de normen a, a, a 3 en a 4 weergegeven in functie van s. Kijken we ook naar bvb. Figuur 4. dan merken we op dat de norm a in het gesimuleerde gebied zeer snel fluctueert. De bepaling van de norm in functie van s, bij de twee arbitraire verstrooiingshoeken, is echter zeer nauwkeurig. We verwachten dus dat de bepaling van de norm van de amplitudes volgens de bovenstaande methodes bij elke verstrooiingshoek en bij elke massamiddelpuntsenergie zeer nauwkeurig zal werken. Tenslotte kunnen we nog de informatiewinst uitzetten in functie van s. Dit wordt voor de twee arbitraire verstrooiingshoeken weergegeven in Figuur 6.5. De informatiewinst schommelt in gans het gebied rond.5 bits informatiewinst, met uitwijkingen tot.5 bits. De pieken en dalen in informatiewinst zijn punten waar alle observabelen samen grote en respectievelijk kleine absolute waarden aannemen. Uitgaande van het bovenstaande verwachten we opnieuw dat bij elke verstrooiingshoek en massamiddelpuntsenergie de meting van de drie enkelvoudige polarisatieobservabelen, met een standaardafwijking δ = 0.05 op elke observabele, een informatiewinst rond.5 bits zal opleveren. Uit de bovenstaande analyse blijkt dat met het gebruikte algoritme, we uit een meting van de differentiële werkzame doorsnede en de drie enkelvoudige polarisatieobservabelen, de norm van de transversiteitsamplitudes kunnen bepalen. Wiskundig is dit dan ook equivalent het oplossen van een stelsel van vier vergelijkingen met vier onbekenden. Het nut van het algoritme zal blijken in de volgende sectie waar het stelsel wiskundig niet meer op

83 Hoofdstuk 6. Informatiewinst van complete metingen P Σ T a a θ a a 4 θ 3 (a) s = MeV, cos(θ cm ) = 0.7. Informatiewinst P Σ T a a θ a a 4 θ 3 (b) s = MeV, cos(θ cm ) =. Informatiewinst.65. Figuur 6.3: Simulatie van twee metingen. De groene punten zijn alle sample punten, de rode zijn de sample punten binnen het meetgebied. In totaal werden sample points gegenereerd.

84 Bepaling van de norm van de amplitudes strangecalc Simulatie strangecalc Simulatie 0.6 a a s / (MeV) s / (MeV) strangecalc Simulatie strangecalc Simulatie a a s / (MeV) s / (MeV) (a) cos(θ cm ) = 0.7 a strangecalc Simulatie a strangecalc Simulatie s / (MeV) s / (MeV) a strangecalc Simulatie a strangecalc Simulatie s / (MeV) s / (MeV) (b) cos(θ cm ) = Figuur 6.4: Bepaling van de norm van de amplitudes in functie van s, bij twee verschillende hoeken, a.d.h.v. de exacte resultaten voor de enkelvoudige polarisatieobservabelen. De resultaten van de simulatie worden vergeleken met de resultaten uit strangecalc.

85 Hoofdstuk 6. Informatiewinst van complete metingen 77 te lossen is. Informatiewinst Informatiewinst s / (a) cos(θ cm ) = s / (b) cos(θ cm ) = Figuur 6.5: Informatiewinst voor de bepaling van de norm van de amplitudes in functie van s, bij twee verschillende hoeken. Bij het simuleren van de metingen werd altijd uitgegaan van de exacte waarden van de enkelvoudige polarisatieobservabelen. In het experimentele geval zal deze meting echter niet exact zijn maar zal er een afwijking ontstaan van de echte waarde. We simuleren daarom nog een meting van de drie enkelvoudige polarisatieobservabelen, waarbij elke experimenteel gemeten observabele afwijkt van de echte waarde volgens een normale distributie met δ = De resultaten worden gegeven in Figuur 6.6. Uit de figuur blijkt dat met een realistische (doch optimistische) fout op de enkelvoudige polarisatieobservabelen, het nog steeds mogelijk is om de norm van de genormeerde transversiteitsamplitudes te bepalen, met een aanvaardbare nauwkeurigheid.

86 Bepaling van de norm van de amplitudes a strangecalc Simulatie a strangecalc Simulatie s / (MeV) s / (MeV) strangecalc Simulatie strangecalc Simulatie a a s / (MeV) s / (MeV) (a) cos(θ cm ) = 0.7 a strangecalc Simulatie a strangecalc Simulatie s / (MeV) s / (MeV) a strangecalc Simulatie a strangecalc Simulatie s / (MeV) s / (MeV) (b) cos(θ cm ) = Figuur 6.6: Bepaling van de norm van de amplitudes in functie van s, bij twee verschillende hoeken. De resultaten van de simulatie worden vergeleken met de resultaten uit strangecalc.

87 Hoofdstuk 6. Informatiewinst van complete metingen Complete metingen Een complete set van observabelen, is een set van observabelen die ondubbelzinnig de vier normen en drie relatieve fases van de amplitudes kan bepalen. De absolute fases van de amplitudes kan onmogelijk bepaald worden. In totaal moeten dus zeven getallen bepaald worden. Zoals in de voorgaande sectie is aangetoond, is een meting van de differentiële werkzame doorsnede en de drie enkelvoudige observabelen voldoende om de vier normen te bepalen. Er rest ons enkel nog de bepaling van de drie relatieve fasen. Ditmaal zijn de vergelijkingen niet lineair en baseren we ons op andere werken die bepaald hebben welke sets wiskundig compleet zijn. Volgens Barker [5] zijn de differentiële werkzame doorsnede, de drie enkelvoudige observabelen, plus vijf dubbele observabelen, waarvan er hoogstens drie van dezelfde soort 4 mogen zijn, nodig om alle amplitudes ondubbelzinnig te bepalen. Volgens Chiang en Tabakin [9] zijn vier goed gekozen dubbele observabelen voldoende. Een complete set die voldoet aan de regels van Barker is bvb. {F, G, L x, E, L z } en één die voldoet aan de regels van Chiang en Tabakin is bvb. {F, G, L x, T x }. De keuze van de complete sets is in principe vrij zolang is voldaan aan de voorwaarden van Barker of aan Chiang en Tabakin. De hier gebruikte sets worden weergegeven in Tabel 6.. Tabel 6.: De gebruikte (complete) sets. Set { dσ dω x} Set Chiang en Tabakin { dσ dω x, T x } Set 3 Barker { dσ dω x, L z } Set 4 { dσ dω x, L z, T x } In het volgende zullen we nagaan of een meting van de hierboven omschreven complete sets voldoende is om de vier amplitudes ondubbelzinnig te bepalen. Experimenteel gezien zijn de dubbele asymmetrieën moeilijker te bepalen dan de enkelvoudige asymmetrieën. Een realistische experimentele standaardafwijking op de bepaling van de dubbele observabelen is in het meest optimistische geval δ = 0. [, ]. Om de informatiewinst van de complete sets te bepalen, gaan we ervan uit dat we de 4 Met soorten worden de beam-target-, beam-recoil- en target-recoilasymmetriën bedoeld.

88 Complete metingen enkelvoudige observabelen al gemeten hebben. We zorgen er ditmaal echter voor dat we in totaal N = punten hebben die voldoen aan de meting van de drie enkelvoudige observabelen. Op deze punten voeren we dan metingen van de dubbele polarisatieobservabelen uit. Het aantal punten dat aan deze metingen voldoet is N. De informatiewinst van het meten van de dubbele observabelen voor punten waarvan de enkelvoudige observabelen al bepaald zijn is dan: ( ) N I e = log N log N = log, (6.4) N waarbij het subscript e aanduidt dat we de enkelvoudige metingen als referentie gebruiken. De informatiewinst van meting van de enkelvoudige én de dubbele observabelen is: ( ) N0 I = log N 0 log N = log. (6.5) N We simuleren nu voor de twee arbitraire meetpunten 5 uit de vorige sectie een meting van de verschillende sets van dubbele polarisatieobservabelen. De resultaten van deze simulaties worden numeriek gegeven in Tabel 6.3 en grafisch in Figuur 6.7. De figuur geeft in het groen de punten die voldoen aan de meting van de drie enkelvoudige observabelen, en in het rood de punten die voldoen aan de metingen van de verschillende sets. De informatiewinst voor de meetpunten wordt gegeven in Tabel 6.4. We kunnen hieruit de volgende conclusies trekken. Zoals in de vorige sectie al beschreven werd, tonen de groene punten aan dat een meting van de differentiële werkzame doorsnede en de drie enkelvoudige observabelen ons reeds in staat stelt de normen van de vier genormeerde transversiteitsamplitudes te bepalen. Breiden we de meting uit met dubbele polarisatieobservabelen dan merken we op dat hoe meer dubbele polarisatieobservabelen gemeten zijn, hoe nauwkeuriger de norm van de amplitudes bepaald zijn. Vergelijken we set, en 3 met de resultaten van strangecalc dan zien we dat deze sets van observabelen ons niet in staat stellen de relatieve fases te bepalen. Hoewel sets en 3 wiskundig compleet zijn, en theoretisch dus voldoende zijn om de amplitudes te bepalen, blijkt dit praktisch niet voldoende om de fases te bepalen. Rekening houdend met de experimentele fouten is het meten van een wiskundig complete set dus niet voldoende om de complexe amplitudes te bepalen. 5 De twee meetpunten werden gekozen met behulp van Figuur B.5 zodat er geen extreme fluctuaties in de relatieve fases optreden in de onmiddelijke omgeving van het meetpunt.

89 Hoofdstuk 6. Informatiewinst van complete metingen 8 Tabel 6.3: Meting van de (complete) sets. Meetpunt cos(θcm) s P Σ T E F G L x Lz Tx MeV a a a3 a4 θ θ3 θ4 Ie strangecalc Set 0.7 ± ± ± ± ± ± ± Set 0.0 ± ± ± ± ± 0.65 ± ± Set ± ± ± ± ± ± ± Set ± ± ± ± ± ± ± Meetpunt cos(θcm) s P Σ T E F G L x Lz Tx MeV a a a3 a4 θ θ3 θ4 Ie strangecalc Set 0.39 ± ± ± ± ± ± ± Set 0.39 ± ± ± ± ± ± ± Set ± ± ± ± ±.64 ± ± Set ± ± ± ± ± ± ±

90 Complete metingen P - Set P - Set P - Set P - Set a - Set a - Set a - Set a - Set 4 θ - Set θ - Set θ - Set 3 θ - Set 4 (a) P, a en θ voor meetpunt P - Set P - Set P - Set P - Set a - Set a - Set a - Set a - Set 4 θ - Set θ - Set θ - Set 3 θ - Set 4 (b) P, a en θ voor meetpunt. Figuur 6.7: Meting van verschillende sets van observabelen. De groene punten zijn alle sample punten die voldoen aan de meting van de enkelvoudige observabelen, de rode zijn de sample punten die voldoen aan alle metingen van een bepaalde set.

91 Hoofdstuk 6. Informatiewinst van complete metingen 83 Enkel set 4 is in staat om, hoewel nog steeds met een relatief grote fout, de relatieve fases Tabel 6.4: Informatiewinst voor de verschillende (complete) sets. Meetpunt Set Set Set 3 Set 4 N N N I Meetpunt Set Set Set 3 Set 4 N N N I tussen de amplitudes correct te bepalen. Kijken we naar de informatiewinst die deze set oplevert dan zien we dat deze set, die de ondubbelzinnige bepaling van de amplitudes toelaat, een informatiewinst van meer dan 6 bits oplevert. Uit het voorgaande volgt dat de theoretische complete sets niet altijd voldoende zijn om in het experimentele geval de vier normen en drie relatieve fases ondubbelzinnig te bepalen. Er waren zes dubbele polarisatieobservabelen nodig om ze te bepalen. In het volgende willen we nagaan of er betere of slechtere sets van observabelen zijn. De gebruikte sets van dubbele observabelen worden gegeven in Tabel 6.5. De eerste vier zijn de sets die reeds gedefinieerd waren, sets 5 tot 0 zijn sets van zes dubbele observabelen en de laatste vier sets bevatten 7 dubbele observabelen. Voor de twee meetpunten 6 worden opnieuw N = sample punten gegenereerd die voldoen aan de meting van de enkelvoudige polarisatieobservabelen. Daarna wordt de meting van de verschillende sets van observabelen uitgevoerd. De resultaten voor de relatieve fases tussen de amplitudes en de informatiewinst worden numeriek weergegeven in Tabel C. en Tabel C.3. Voor meetpunt worden de resultaten van de relatieve fases nog eens grafisch weergegeven in Figuren C.-C.3. Uit de resultaten blijkt dat een meting van de drie enkelvoudige observabelen en zes dub- 6 Alle waarden voor de amplitudes en de polarisatieobservabelen voor beide meetpunten worden samengevat in Tabel C.

92 Complete metingen bele observabelen een informatiewinst oplevert die schommelt tussen 5 bits en 7 bits. Meten we zeven dubbele polarisatieobservabelen dan krijgt men zelf meer dan 7 bits aan informatiewinst. Verder is de informatiewinst opnieuw afhankelijk van de gemeten waarden van de polarisatieobservabelen. Als een meting van een set voor meetpunt bvb. slechts 5 bits oplevert, dan kan dezelfde set voor meetpunt toch 7 bits informatiewinst opleveren. Zie hierbij bvb. set 8, 9 en 4. Tenslotte blijkt dat ook de bepaling van de relatieve fases sterk kan verschillen voor verschillende meetpunten. Set 3 bvb. bepaalt voor meetpunt de relatieve fases zeer nauwkeurig terwijl er voor meetpunt zeer grote standaardafwijkingen ontstaan. Tabel 6.5: De sets van dubbele observabelen. Setnummer Polarisatieobservabelen Setnummer Polarisatieobservabelen {F, G, L x } 3 {E, F, T x, T z, O x, O z } {F, G, L x, T x } 4 {E, F, C x, C z, O x, O z } 3 {E, F, G, L x, L z } 5 {G, H, T x, T z, C x, C z } 4 {E, F, G, L x, L z, T x } 6 {G, H, T x, T z, O x, O z } 5 {E, F, G, H, L x, L z } 7 {G, H, C x, C z, O x, O z } 6 {E, F, L x, L z, T x, T z } 8 {E, F, G, C x, C z, O x } 7 {E, F, L x, L z, C x, C z } 9 {L x, L z, T x, C x, C z, O x } 8 {E, F, L x, L z, O x, O z } 0 {E, F, G, L x, L z, C x } 9 {G, H, L x, L z, T x, T z } {E, F, L x, L z,, T z, C x, C z } 0 {G, H, L x, L z, C x, C z } {E, F, L x, L z, C x, C z, O x } {G, H, L x, L z, O x, O z } 3 {E, F, G, L x, T x, C x, O x } {E, F, T x, T z, C x, C z } 4 {E, F, G, L z, T z, C z, O z } We kunnen hieruit dus concluderen dat er geen betere of slechtere sets van observabelen zijn om de relatieve fases van de amplitudes te bepalen. Verder lijkt een minimum van zes dubbele polarisatieobservabelen nodig om de relatieve fases te bepalen. Als er meer dan zes dubbele polarisatieobservabelen gemeten werden, kan men een meting van alle observabelen simuleren, maar men kan bvb. ook verschillende sets van zes observabelen vormen en die metingen simuleren om de relatieve fases te bepalen. Achteraf kan dan nog het gewogen gemiddelde genomen worden van de verschillende resultaten, waarbij

93 Hoofdstuk 6. Informatiewinst van complete metingen 85 gewogen wordt over de standaardafwijking van de individuele resultaten, om de relatieve fases zo nauwkeurig mogelijk te bepalen. Passen we deze techniek toe op de simulaties voor meetpunt en meetpunt en nemen we het gewogen gemiddelde van alle sets met zes of zeven dubbele polarisatieobservabelen, dan krijgen voor meetpunt : θ =.33 ± 0., θ 3 = 6 ± 0. en θ 4 =.80 ± 0.3. Voor meetpunt krijgen we: θ =.07 ± 0.08, θ 3 =.60 ± 0.09 en θ 4 = 0.35 ± Net zoals in de vorige sectie, werd voor de simulaties tot nu toe gebruik gemaakt van de exacte waarden voor de enkelvoudige en dubbele polarisatieobservabelen. Om de experimentele metingen beter te benaderen gaan we daarom opnieuw uit van gemeten waarden voor de observabelen die Gaussisch afwijken van de exacte waarden. Omdat de bepaling van de enkelvoudige observabelen stukken nauwkeuriger is, maken we voor de eenvoud toch gebruik van de exacte waarden voor de enkelvoudige observabelen. Voor de dubbele polarisatieobservabelen kiezen we voor een Gaussische afwijking met δ = 0.. De resultaten voor de verschillende sets voor de twee meetpunten worden weergegeven in Tabel C.4 en Tabel C.5. Nemen we opnieuw het gewogen gemiddelde van alle sets met zes of zeven dubbeke polarisatieobservabelen, dan krijgen we voor meetpunt : θ =.±0.37, θ 3 = 0.73 ± 0.39 en θ 4 =.89 ± 0.9. Voor meetpunt krijgen we: θ =.06 ±, θ 3 =.6 ± 0.4 en θ 4 = 0.3 ± 0.0. We zien dus dat in het experimentele geval de relatieve fases tussen de amplitudes nog relatief goed bepaald kunnen worden. De reden hiervoor is dat we meer polarisatieobservabelen meten dan theoretisch nodig zijn. Deze extra observabelen reduceren de fout op de bepaling van de relatieve fases zeer sterk. Verder merken we op dat ook de informatiewinst gemiddeld met zo n bits gestegen is. Door de afwijkingen van de exacte waarden, worden meer sample punten verworpen wat tot een verhoging van de informatiewinst leidt. 6.5 Conclusie We kunnen dus concluderen dat, in het geval van een experimentele fout van δ = 0.05 op de enkelvoudige polarisatieobservabelen en δ = 0. op de dubbele polarisatieobservabelen, de vier normen en de drie relatieve fases van de genormeerde transversiteitsamplitudes bepaald kunnen worden met het hier beschreven algoritme. Om over te gaan op de (normale) transversiteitsamplitudes b i, hoevel we enkel de normen a i te vermenigvuldigen met de wortel van de differentiële werkzame doorsnede in dat punt. De relatieve fases zijn dezelfde.

94 86 Hoofdstuk 6. Informatiewinst van complete metingen De bepaling van de normen van de genormeerde transversiteitsamplitudes was reeds mogelijk uit een meting van de differentiële werkzame doorsnede en de drie enkelvoudige polarisatieobservabelen. Breiden we de meting uit met dubbele polarisatieobservabelen dan wordt de bepaling alleen maar nauwkeuriger. Ook de relatieve fases tussen de transversiteitsamplitudes zijn te bepalen via het gebruikte algoritme. Dit zal echter enkel lukken in de gebieden waar de relatieve fases niet al te snel fluctueren, zoals beschreven in Sectie 4.. Wil men een aanvaardbare nauwkeurigheid, dan zijn hiervoor wel metingen van minimum zeven dubbele polarisatieobservabelen nodig. Als er slechts zes dubbele polarisatieobservabelen gemeten zijn is er een kans dat de relatieve fases nauwkeurig bepaald worden. De kans is echter even groot dat de fout zeer groot is. Daarom stellen we dat minimum zeven dubbele polarisatieobservabelen gemeten moeten worden. Hiermee kan men dan één set van zeven en zes sets van zes dubbele polarisatieobservabelen vormen. Het gewogen gemiddelde van deze resultaten zal het echte resultaat relatief nauwkeurig benaderen. Met simulaties met acht of meer dubbele polarisatieobservabelen moet opgelet worden. Door de experimentele afwijkingen is het mogelijk dat alle sample punten verworpen worden. Dit is opnieuw op de lossen door verschillende sets van zeven dubbele polarisatieobservabelen te maken en dit te simuleren. Verder kan in de toekomst nog onderzocht worden wat de invloed van de fout op de dubbele polarisatieobservabelen is omtrent de bepaling van de relatieve fases. Misschien was onze fout te optimistisch en is een realistische experimentele standaardafwijking δ = 0., wat misschien tot een minimum van acht dubbele polarisatieobservabelen leidt. Of misschien verkleint in de toekomst de fout op de dubbele observabelen ook tot δ = 0.05 en is een meting van zes dubbele polarisatieobservabelen voldoende, om dan uit de verschillende sets van vijf observabelen de relatieve fases te bepalen.

95 Bijlage A Polarisatieobservabelen A. Definities van polarisatieobservabelen We gebruiken de volgende vereenvoudigde notatie voor de differentiële werkzame doorsnede: ς (B,T,R) dσ (B,T,R), (A.) dω hierbij staan B, T en R voor de polarisatie van de beam, target en recoil. Een 0 in het superscript staat voor een niet-gepolariseerde toestand. Rechts- en links-circulair gepolariseerde fotonen worden met B = r, respectievelijk B = l aangeduid. De fotonpolarisatie loodrecht op en parallel met het verstrooiingsvlak worden met B = en B = aangeduid en het label B = t betekent oblique polarisatie (lineaire polarisatie met een hoek θ = π/4 tussen de polarisatievector en de x-as). De labels T, R = x, y, z en T, R = x, y, z staan voor de polarisatierichtingen van het nucleon en het hyperon in hun respectievelijke assenstelsels. Voor de niet-gepolariseerde differentiële werkzame doorsnede krijgen we: ς (0,0,0) = ρ 0 4 Tr(FF ) = ρ 0 I (0,0,0), (A.) I (0,0,0) = 4 Tr(FF ). (A.3) Voor de definities van dubbele polarisatieobservabelen maken we gebruik van de volgende symmetriëen die volgen uit pariteitsinvatiantie: ς (r,+,0) = ς (l,,0), ς (r,,0) = ς (l,+,0), ς (r,0,+) = ς (l,0, ), ς (r,0, ) = ς (l,0,+), ς (0,+,+) = ς (0,, ), ς (0,+, ) = ς (0,,+), ς (+π/4,+,0) = ς ( π/4,,0), ς (+π/4,,0) = ς ( π/4,+,0), ς (+π/4,0,+) = ς ( π/4,0, ), ς (+π/4,0, ) = ς ( π/4,0,+). 87

96 88 Bijlage A. Polarisatieobservabelen Hierbij wordt met de labels + en de polarisatie van de baryonen ten opzichte van een algemene polarisatie-as bedoeld, de labels ±π/4 betekenen lineaire fotonpolarisatie met een hoek ±π/4 ten opzichte van de x-as. Tabel A.: Definities van polarisatie observabelen. Tabel overgenomen uit Ref. []. Type Observabele Definitie Definitie ( ς (0,0,+y) ς (0,0, y) Tr σy FF ) Enkelvoudig P ς (0,0,+y) + ς (0,0, y) Tr ((FF ) ς (,0,0) ς (,0,0) Tr Fσx F ) Σ ς (,0,0) + ς (,0,0) Tr ((FF ) ς (0,+y,0) ς (0, y,0) Tr Fσy F ) T ς (0,+y,0) + ς (0, y,0) Tr ( (FF ) ς (r,+z,0) ς (r, z,0) Tr Fσz σ z F ) Beam-target E ς (r,+z,0) + ς (r, z,0) Tr ( (FF ) ς (r,+x,0) ς (r, x,0) Tr Fσx σ z F ) F ς (r,+x,0) + ς (r, x,0) Tr ( (FF ) ς (t,+z,0) ς (t, z,0) Tr Fσz σ y F ) G ς (t,+z,0) + ς (t, z,0) Tr ( (FF ) ς (t,+x,0) ς (t, x,0) Tr Fσx σ y F ) H ς (t,+x,0) + ς (t, x,0) Tr ( (FF ) ς (r,0,+x) ς (r,0, x) Tr σx Fσ z F ) Beam-recoil C x ς (r,0,+x) + ς (r,0, x) Tr ( (FF ) ς (r,0,+z) ς (r,0, z) Tr σz Fσ z F ) C z ς (r,0,+z) + ς (r,0, z) Tr ( (FF ) ς (t,0,+x) ς (t,0, x) Tr σx Fσ y F ) O x ς (t,0,+x) + ς (t,0, x) Tr ( (FF ) ς (t,0,+z) ς (t,0, z) Tr σz Fσ y F ) O z ς (t,0,+z) + ς (t,0, z) Tr ( (FF ) ς (0,+x,+x) ς (0,+x, x) Tr σx Fσ x F ) Target-recoil T x ς (0,+x,+x) + ς (0,+x, x) Tr ( (FF ) ς (0,+x,+z) ς (0,+x, z) Tr σz Fσ x F ) T z ς (0,+x,+z) + ς (0,+x, z) Tr ( (FF ) ς (0,+z,+x) ς (0,+z, x) Tr σx Fσ z F ) L x ς (0,+z,+x) + ς (0,+z, x) Tr ( (FF ) ς (0,+z,+z) ς (0,+z, z) Tr σz Fσ z F ) L z ς (0,+z,+z) + ς (0,+z, z) Tr (FF )

97 Bijlage A. Polarisatieobservabelen 89 De definities van de polarisatieobservabelen worden gegeven in Tabel A.. Door verschillende definities voor de assenstelsels zijn er tussen verschillende werken tekenverschillen ontstaan tussen sommige observabelen e.g. de uitdrukking voor E in Ref. [] is identiek, op een teken na, aan die in Ref. [3]. Voor deze inconsistenties in de definities van de observabelen verwijzen we naar Refs. [3] en [9]. Opmerking In Ref. [] wordt voor de eenvoud gebruik gemaakt van volgende notatie: ˆT T I (0,0,0) = T 4 Tr ( FF ), (A.4) en analoog voor de andere observabelen. Hiermee krijgt men voor ˆT : ˆT = 4 Tr ( Fσ y F ) (A.5) = σ(0,+y,0) σ (0, y,0) σ (0,+y,0) + σ (0, y,0) σ(0,0,0). (A.6) Het probleem is dat σ (0,+y,0) + σ (0, y,0) en σ (0,0,0) verschillen met een factor, aangezien er bij de eerste gesommeerd wordt over de nucleontoestanden terwijl er bij de tweede uitgemiddeld wordt over de nucleontoestanden. Dit wordt in Ref. [3] opgelost met de volgende notatie: ˆT T σ 0, (A.7) waarbij σ 0 = (σ + σ )/ voor observabelen waarbij er enkel beam- en/of targetpolarisatie is en σ 0 = (σ + σ ) voor observabelen waarbij er recoilpolarisatie is. A. Observabelen in de CGLN-representatie De definities van de CGLN-amplitudes worden gegeven in Sectie.. werkzame doorsnede uitgedrukt in CGLN-amplitudes wordt gegeven door: ( I (0,0,0) = R f + f cos(θ cm )f f + sin (θ cm ) De differentiële [ ] ) f3 + f 4 + f 4 f + f 3 f + cos(θ cm )f 4 f3 (A.8) De observabelen uitgedrukt in functie van de CGLN-amplitudes worden dan gegeven in Tabel A..

98 90 Bijlage A. Polarisatieobservabelen Tabel A.: Observabelen uitgedrukt in CGLN amplitudes, waarbij we voor de eenvoud de scatteringshoek θcm geschreven hebben als θ. Tabel overgenomen uit Ref. []. Type Observabele Observabele uitgedrukt in CGLN amplitudes Enkelvoudig ˆP sin(θ) I ([f + f3 + cos(θ)f4] f + f (cos(θ)f3 + f4) + sin(θ) f 3 f4 sin(θ) ˆΣ ( ) R f3 + f4 + [f f4 + f f3 + cos(θ)f 3 f4] ( ) ˆT sin(θ) I f f3 f f4 + cos(θ) [f f4 f f3] sin(θ) f 3 f4 ( ) Beam-target Ê R f + f cos(θ)ff + sin (θ) [ff 4 + ff 3 ] ) ˆF sin(θ)r ( f [f + f3 + cos(θ)f4] f [f + f4 + cos(θ)f3] ) Ĝ sin (θ)i ( ff 4 + ff 3 ) Ĥ sin(θ)i (f [f + f3 + cos(θ)f4] f [f + f4 + cos(θ)f3] ) Beam-recoil Ĉx sin(θ)r ( f f + ff 3 ff 4 + cos(θ) [ff 4 ff 3 ] ) Ĉz R ( ff + cos(θ) [ f + f ] sin (θ) [ff3 +ff 4 ] ) Ôx sin(θ)i( ff 3 ff 4 + cos(θ) [ff 4 ff 3 ] ) Ôz sin (θ)i ( ff 3 + ff 4 ) (θ) Target-recoil ˆTx sin R ( ) cos(θ) [ f3 + f4 ] + [f3f 4 + ff 3 + ff 4 ] ˆTz sin(θ)r ( sin (θ) [ f4 f3 ] + ff 4 ff 3 + cos(θ) [ff 3 ff 4 ] ) ˆLx ( f sin(θ)r f + ff 4 ff 3 + cos(θ) [ff 3 ff 4 ] + sin (θ) [ f4 f3 ] ˆLz R (ff cos(θ) [ f + f ] + sin (θ) [ cos(θ) ( f 3 + f4 ) + ff 3 + ff 4 + f3f 4 ] ) )

99 Bijlage A. Polarisatieobservabelen 9 A.3 Observabelen in de heliciteitsrepresentatie De vier heliciteitsamplitudes voor fotoproductie van pseudoscalaire mesonen zijn als volgt gedefinieerd, waarbij we voor de eenvoud de hoekafhankelijkheid hebben weggelaten: H + J, H + J +, H 3 J, H 4 J +. De differentiële werkzame doorsnede in functie van de heliciteitsamplitudes wordt gegeven door: I (0,0,0) = ( H + H + H 3 + H 4 ) (A.9) Om de uitdrukkingen voor de observabelen te vereenvoudigen worden de genormeerde heliciteitsamplitudes h i (i =,, 3, 4) ingevoerd als: h i = H i I(θ cm ) = Hi H + H + H 3 + H 4. (A.0) De volledige lijst van observabelen in de genormeerde heliciteitsrepresentatie wordt gegeven in Tabel A.3.

100 9 Bijlage A. Polarisatieobservabelen Tabel A.3: Observabelen uitgedrukt in genormeerde heliciteitsamplitudes. Tabel overgenomen uit Ref. []. Type Observabele Observabele uitgedrukt in heliciteitsamplitudes Enkelvoudig P I (h h 3 + h h 4) Σ R (h h 4 h h 3) T I (h h + h 3 h 4) Beam-target E ( h h + h 3 h 4 ) F R (h h + h 3 h 4) G I (h h 4 + h h 3) H I (h h 3 h h 4) Beam-recoil C x R (h h 3 + h h 4) C z ( h + h h 3 h 4 ) O x I (h h h 3 h 4) O z I (h h 4 h h 3) Target-recoil T x R (h h 4 + h h 3) T z R (h h h 3 h 4) L x R (h h 3 h h 4) L z ( h h h 3 + h 4 )

101 Bijlage A. Polarisatieobservabelen 93 A.4 Observabelen in de transversiteitsrepresentatie De vier transversiteitsamplitudes voor fotoproductie van pseudoscalaire mesonen zijn als volgt gedefinieerd: b + J y +, b J y, b 3 + J x, b 4 J x +. De differentiële werkzame doorsnede in functie van de transversiteitsamplitudes wordt gegeven door: I (0,0,0) = ) ( b + b + b 3 + b 4 (A.) 4 Om de uitdrukkingen voor de observabelen te vereenvoudigen worden de genormeerde transversiteitsamplitudes a i (i =,, 3, 4) ingevoerd als: a i = b i I (0,0,0) = b i b + b + b 3 + b 4. (A.) In dit werk werden de observabelen uitgedrukt in de transversiteitsamplitudes volgens een relativistische en een niet-relativistische theorie. Het enige verschil tussen de relativistische en de niet-relativistische theorie zijn verschillende relaties tussen de ± x, ± y en ± z kets. De volledige lijst van observabelen in functie van de genormeerde transversiteitsamplitudes wordt gegeven in Tabel A.4, en ter vergelijking worden ook de uitdrukkingen uit Ref. [7] weergegeven. In Hoofdstuk 3 wordt geargumenteerd dat de relativistische uitdrukkingen de enige correcte zijn in het geval van de reactie p(γ, K + )Λ. Opmerking Een verklaring voor het verschil tussen de uitdrukkingen gevonden in de literatuur en de uitdrukkingen afgeleid in dit werk kan niet gegeven worden, daar de afleiding van de uitdrukkingen in de literatuur nergens werd teruggevonden.

102 94 Bijlage A. Polarisatieobservabelen Tabel A.4: Observabelen uitgedrukt in genormeerde transversiteitsamplitudes, volgens een relativistische en een nietrelativistische theorie. Ter vergelijking worden in de rechtse kolom de uitdrukkingen uit Ref. [7] weergegeven. Type Observabele Relativistisch Niet-relativistisch Literatuur [7] Enkelvoudig P a a + a3 a4 a a + a3 a4 a a + a3 a4 Σ a + a a3 a4 a + a a3 a4 a + a a3 a4 T a a a3 + a4 a a a3 + a4 a a a3 + a4 Beam-target E R { } aa 3 aa 4 I { } aa 3 + aa 4 R { } aa 3 + aa 4 F I { } aa 3 + aa 4 R { } aa 3 aa 4 I { } aa 3 aa 4 G I { } aa 3 aa 4 R { } aa 3 + aa 4 I { } aa 3 + aa 4 H R { } aa 3 + aa 4 I { } aa 3 aa 4 R { } aa 3 aa 4 Beam-recoil Cx I { } aa 4 + aa 3 R { } aa 4 aa 3 I { } aa 4 aa 3 Cz R { } aa 4 aa 3 I { } aa 4 + aa 3 R { } aa 4 + aa 3 Ox R { } aa 4 + aa 3 I { } aa 4 aa 3 R { } aa 4 aa 3 Oz I { } aa 4 aa 3 R { } aa 4 + aa 3 I { } aa 4 + aa 3 Target-recoil Tx R { } aa + a3a 4 R { } aa a3a 4 R { } aa a3a 4 Tz I { } aa + a3a 4 I { } aa a3a 4 I { } aa a3a 4 Lx I { } aa a3a 4 I { } aa + a3a 4 I { } aa + a3a 4 Lz R { } aa a3a 4 R { } aa + a3a 4 R { } aa + a3a 4

103 Bijlage B Transversiteitsamplitudes Figuur 4.3 toont de norm en het reëel deel van de genormeerde transversiteitsamplitude a in functie van s en cos(θ cm ). Figuur B. toont het imaginair deel van a en Figuren B.-B.4 tonen de norm, het reëel deel en het imaginair deel van de andere drie genormeerde transversiteitsamplitudes, a, a 3 en a 4, en dit opnieuw in twee aparte gebieden: het resonantie gebied en het achtergrond gebied. In Figuur B.5 worden tenslotte de relatieve fases θ, θ 3 en θ 4 weergegeven in functie van s en cos(θcm ). Al deze figuren werden gemaakt met strangecalc voor het model RPR-0. (a) I { a } in het resonante gebied (b) I { a } in het volledige gebied Figuur B.: Het imaginair deel van de transversiteitsamplitude a in functie van cos(θ cm ) en s. 95

104 96 Bijlage B. Transversiteitsamplitudes (a) a in het resonante gebied (b) a in het volledige gebied (c) < a in het resonante gebied (d) < a in het volledige gebied (e) = a in het resonante gebied (f ) = a in het volledige gebied Figuur B.: De norm, het re eel deel en het imaginair deel van de transversiteitsamplitude a in functie van cos(θcm ) en s.

105 Bijlage B. Transversiteitsamplitudes 97 (a) a3 in het resonante gebied (b) a3 in het volledige gebied (c) < a3 in het resonante gebied (d) < a3 in het volledige gebied (e) = a3 in het resonante gebied (f ) = a3 in het volledige gebied Figuur B.3: De norm, het re eel deel en het imaginair deel van de transversiteitsamplitude a3 in functie van cos(θcm ) en s.

106 98 Bijlage B. Transversiteitsamplitudes (a) a4 in het resonante gebied (b) a4 in het volledige gebied (c) < a4 in het resonante gebied (d) < a4 in het volledige gebied (e) = a4 in het resonante gebied (f ) = a4 in het volledige gebied Figuur B.4: De norm, het re eel deel en het imaginair deel van de transversiteitsamplitude a4 in functie van cos(θcm ) en s.

107 Bijlage B. Transversiteitsamplitudes 99 (a) θ in het resonante gebied (b) θ in het volledige gebied (c) θ 3 in het resonante gebied (d) θ 3 in het volledige gebied (e) θ 4 in het resonante gebied (f) θ 4 in het volledige gebied Figuur B.5: De relatieve fases tussen de transversiteitsamplitudes θ, θ 3 en θ 4.ten opzichte van a.