Relativistische effecten in de elektromagnetische wisselwerking met gebonden protonen

Transcriptie

1 Relativistische effecten in de elektromagnetische wisselwerking met gebonden protonen Bart Van Overmeire real part of the Glauber Phase He 50 3 θ o ) r fm) Promotor: Prof. dr. J. Ryckebusch Scriptiebegeleider: lic. P. Lava Scriptie ingediend tot het behalen van de graad van Burgerlijk Natuurkundig Ingenieur Academiejaar Universiteit Gent Faculteit Toegepaste Wetenschappen Vakgroep Subatomaire en Stralingsfysica Voorzitter: Prof. dr. K. Heyde

2 Voorwoord Allereerst wil ik mijn promotor, prof. dr. Jan Ryckebusch, en mijn thesisbegeleider, lic. Pascal Lava, van harte bedanken voor de enthousiaste begeleiding, voor de antwoorden op al mijn vragen en voor het grondig en geduldig nalezen van dit werk. Daarnaast gaat ook een woord van dank naar mijn ouders en mijn broer voor hun steun en interesse. En tenslotte wil ik vooral mijn vriendin Barbara bedanken omdat ze zo ongelooflijk lief is. De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de scriptie te kopiren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie. 28 mei 2003 i

3 ii Relativistische effecten in de elektromagnetische wisselwerking met gebonden protonen Bart Van Overmeire Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van Burgerlijk Natuurkundig Ingenieur Academiejaar Promotor: Prof. dr. J. Ryckebusch Scriptiebegeleider: lic. P. Lava Universiteit Gent Faculteit Toegepaste Wetenschappen Vakgroep Subatomaire en Stralingsfysica Vakgroepsvoorzitter: Prof. dr. K. Heyde Theoretische Intermediaire-Energie Fysica Samenvatting In deze thesis worden elektron-geïnduceerde proton-uitstoot A e, e p) reacties bestudeerd. Door de eigenschappen van deze uitgestoten protonen te meten bijvoorbeeld zijn snelheid en spin) kan men informatie bekomen over hoe protonen zich in de kern gedragen. Bij de huidige generatie van experimenten zijn de kinematische condities zodanig dat een relativistische benadering zich opdringt. Speciale aandacht gaat dan ook uit naar het opstellen van een relativistisch model voor de golffuncties en voor de elektromagnetische stroomoperator. Zo wordt voor de beschrijving van de finale golffunctie van het uitgestoten proton een relativistische formulering van de Glauber veelvoudige-verstrooiingsmethode uitgewerkt. De relativistische effecten in de beschrijving van de finale-toestandsinteracties die het proton ondergaat op zijn weg uit de kern, blijken echter verwaarloosbaar te zijn. Sommige A e, e p) observabelen werkzame doorsneden, responsfuncties, polarisatie-observabelen) vertonen daarentegen wel duidelijke relativistische effecten. In het bijzonder is de links-rechts asymmetrie A LT een zeer interessante observabele voor het onderzoek naar effecten van relativistische oorsprong. Trefwoorden: relativistische modellen, elektron-geïnduceerde proton-uitstootreacties, Glauber veelvoudige-verstrooiingstheorie, elektromagnetische vormfactoren.

4 Inhoudsopgave Voorwoord Overzicht Inhoudsopgave i ii iii Inleiding 2 A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek 6 2. Exclusieve elektronenverstrooiing aan kernen De elektronentensor Ongepolariseerde elektronenverstrooiing Gepolariseerde elektronenverstrooiing Besluit De nucleaire tensor A e, e p) B reacties A e, e p) B reacties A e, e p) B en A e, e p) B reacties Kinematische afhankelijkheid in de responsfuncties Contractie van de elektronentensor met de nucleaire tensor Overzicht: werkzame doorsnede en responsfuncties e, e p) reacties: ongepolariseerde elektronen en ongepolariseerde hadronen e, e p) reacties e, e p) reacties Eigenschappen van de responsfuncties Glaubertheorie Inleiding Semi-klassieke of eikonale benadering Niet-relativistische Glaubertheorie Relativistische formulering van Glaubertheorie iii

5 INHOUDSOPGAVE iv 3.4. Relativistische Dirac-eikonale benadering Proton-nucleon verstrooiing Gerelativiseerde versie van de Glauber veelvoudige-verstrooiingsmethode A e, e p) reacties en gerelativiseerde Glaubertheorie Glauber A e, e p) overgangsmatrixelementen Glauberparameters De elektromagnetische stroomoperator Elektromagnetische stroomoperator voor fysische nucleonen Niet-relativistische reductie van de elektromagnetische stroomoperator Vormfactoren van het nucleon Elastische elektronenverstrooiing: de Rosenbluth formule Elektromagnetische vormfactoren van het nucleon Experimentele bepaling bij lage Q Experimentele bepaling bij hoge Q Interpretatie van de vormfactoren Dubbele polarisatietechniek Mediummodificatie van de proton vormfactoren Numerieke resultaten De Glauberfase G Relativistische effecten in de 4 He e, e p) responsfuncties De getransfereerde polarisatie P Besluit 77 A Notaties, definities en conventies 79 A. Metriek A.2 Levi-Civita symbool en tensor A.3 Paulimatrices A.4 Diracmatrices A.5 Trace identiteiten A.6 Lorentz viervectoren A.7 Diracspinoren B Fysische interpretatie van de profielfunctie 83 B. Diffractieverstrooiing: de Fraunhoferbenadering B.2 De profielfunctie

6 INHOUDSOPGAVE v C Greense functie corresponderend met de eikonale golffunctie 87 D De Glauber FSI operator 89 D. De nul-drachtbenadering in de z-richting E Bepaling van de Glauberfase 92 F De elektromagnetische stroomoperator: berekeningen 95 F. Niet-relativistische reductie van de elektromagnetische stroomoperator F.. Nuttige betrekkingen F..2 Algemene formule F..3 Tijdscomponent F..4 Ruimtelijke componenten Bibliografie 0 Lijst van figuren 09 Lijst van tabellen 0

7 Hoofdstuk Inleiding Kernfysica is de studie van de atoomkernen en heeft als hoofdbetrachting te komen tot een beter begrip van de krachten tussen nucleonen, de structuur van de kernen en de manier waarop die kernen met elkaar en met andere subatomaire deeltjes interageren. Deze drie onderwerpen zijn onderling sterk met elkaar verbonden. De atoomkern vormt een veeldeeltjessysteem van protonen en neutronen, dat bij elkaar gehouden wordt door de sterke kernkracht. Traditionele kernmodellen zoals het nucleaire schillenmodel veronderstellen dat de nucleonen onafhankelijk van elkaar bewegen in een soort gemiddelde potentiaal, die de sterke interactie van het nucleon met het omringend kernmedium de overige nucleonen) beschrijft. Dit onafhankelijk deeltjesbeeld independent particle model, IPM) is eigenlijk een gevolg van het feit dat de bindingsenergie per nucleon onafhankelijk is van het aantal nucleonen in de kern en het blijkt inderdaad zo te zijn dat zeer veel nucleaire eigenschappen binnen dit relatief eenvoudig één-deeltjesbeeld kunnen verklaard worden. Een aantal nucleaire structuureigenschappen blijft echter onverklaard binnen het naïeve IPM-kernbeeld. Zo vallen de bezettingswaarschijnlijkheden van de één-deeltjesniveaus aanzienlijk kleiner uit dan men zou verwachten in een gemiddeld-veldmodel []. Om de kern volledig te doorgronden, is het dus nodig om over meer kennis te beschikken van de onderliggende mechanismen die verantwoordelijk zijn voor de sterke nucleaire kracht. Deze sterke interactie ontstaat door uitwisseling van gluonen, die de ijkbosonen zijn van een lokale SU 3) c kleursymmetrie, tussen de quarks die het nucleon opbouwen. Een beter inzicht in de kwantumchromodynamica QCD, de SU 3) Yang-Mills ijktheorie van de sterke interacties) zal uiteindelijk ook leiden tot een beter begrip van de sterke kernkracht, en vice versa. Een veelzijdig instrument om de rijkdom aan nucleaire en nucleonische eigenschappen te onderzoeken is elektronenverstrooiing aan kernen. Enkele redenen om juist een dergelijk type van probe te verkiezen om de atoomkern te bestuderen zijn:

8 . Inleiding 2 Figuur.: Schematische representatie van de e, e N) reactie. Het elektron wisselt een foton uit met de kern en dat foton stoot een nucleon uit de kern dat FSI s ondergaat terwijl het de kern verlaat. Het verstrooid elektron en het nucleon worden samen gedetecteerd exclusieve elektronenverstrooiing). De overige hadronen in de finale toestand blijven ongeobserveerd. Het elektron interageert slechts zwak met de kern, nl. via de elektromagnetische wisselwerking. Hierdoor heeft het elektron een grote vrije weglengte en kan het het inwendige van de kern aftasten. Een hadronische probe daarentegen interageert sterk met de kern en verstoort dus in grote mate de target. Bovendien zal een hadronische probe slechts het oppervlak van de kern grondig aftasten. Probes die gebruikmaken van de zwakke interactie zoals neutrino s), leiden dan weer tot veel kleinere werkzame doorsneden, wat de toepasbaarheid van dergelijke experimenten sterk beperkt. Ten tweede wordt de elektromagnetische interactie nagenoeg perfect begrepen via het formalisme van kwantumelektrodynamica QED). Bijgevolg zijn de onzekerheden in het modelleren van het reactieproces beperkt tot het nucleaire of hadronische) deel van de interactie. En tenslotte kunnen bij elektronenverstrooiingsexperimenten de energie ω en de impuls q via het uitgewisseld virtueel foton overgedragen op de kern) onafhankelijk van elkaar gevarieerd worden, zolang het virtueel foton ruimteachtig is q 2 ω 2 > 0). Deze kinematische flexibiliteit geeft meer vrijheid en diversiteit aan de experimenten en levert aldus een groot voordeel ten opzichte van experimenten waarbij reële fotonen als elektromagnetische probe worden gebruikt. In deze thesis wordt gewerkt rond exclusieve A e, e p) reacties of voluit e + A i e + A-) f + p). Een schets van deze reactie wordt gegeven in figuur.. Dit zijn reacties

9 . Inleiding 3 waarbij een kern aangestoten wordt door een elektron zodat die kern na absorptie van een virtueel foton een proton uitstuurt. Door de eigenschappen van deze uitgestoten protonen te meten energie en spin) kan men informatie bekomen over hoe protonen zich in de kern gedragen. In het geval van exclusieve elektronenverstrooiing worden, naast de energie en/of impuls) van het initiële en finale elektron, eveneens de eigenschappen energie en in sommige gevallen ook de spin) van het uitgestoten deeltje gemeten. De impuls van de residuele dochterkern wordt echter niet gemeten, enkel de deeltjes ejectielen) uitgestoten door de targetkern worden dus gedetecteerd samen met het finale elektron. Een exclusief proces geeft dus een verfijnder beeld van de optredende reactie dan een inclusief proces waarbij enkel het verstrooid elektron waargenomen wordt. Vermits een extra detector nodig is om het uitgestoten proton waar te nemen, is de experimentele realisatie wel moeilijker en duurder. De e, e p) reactie verloopt nu als volgt: wanneer een elektron een virtueel foton uitwisselt met een atoomkern, kan dit foton geabsorbeerd worden door een proton, waardoor deze laatste genoeg energie kan verkrijgen om de kern te verlaten. Op zijn weg uit de kern ondervindt dit proton hinder van de andere nucleonen, met andere woorden het kan aan deze nucleonen verstrooien. Het geheel van interacties dat het proton aangaat met het kernmedium vooraleer de kern effectief te verlaten, wordt aangeduid met de term finale-toestandsinteracties final-state interactions, FSI). Deze FSI hebben als gevolg dat het pad van het proton verstoord wordt, dat zijn momentum en energie, en zelfs zijn spin aangetast kunnen worden. In het ideale geval zou men bij de theoretische behandeling van het A e, e p) probleem een microscopische Hamiltoniaan gebruiken voor de beschrijving van zowel de nucleaire gebonden toestand als de in het algemeen vrij ingewikkelde hadronische finale toestand. Een dergelijke microscopische Hamiltoniaan zou naast een relativistische beschrijving van de nucleaire dynamica ook een minimale koppeling met het foton bevatten, zodat de initiële toestand, de finale toestand en de elektromagnetische stroomoperator alledrie consistent samen zouden behandeld worden op een microscopische en relativistische manier. In de praktijk is een consistente berekening van de nucleaire grondtoestand en de finale hadronische verstrooide toestand echter zeer moeilijk en, vooral voor middel)zware kernen, is het dan ook onwaarschijnlijk dat een consistente, volledig microscopische en dus relativistische behandeling uitgewerkt zal worden in de nabije toekomst. Bijgevolg is men in de praktijk gedwongen om de modellering van A e, e p) processen op te splitsen in drie afzonderlijke delen, namelijk de berekening van de grondtoestand, de berekening van de finale hadronische toestand en de behandeling van de elektromagnetische stroomoperator. Alhoewel de benaderingen die doorgevoerd worden in deze verschillende deelproblemen niet volledig consistent zijn, kan men door elk onderdeel zo goed mogelijk uit te werken toch de essentiële fysische kenmerken in de theoretische beschrijving van exclusieve

10 . Inleiding 4 elektronenverstrooiing inbouwen. Voor de relativistische golffunctie van de initiële nucleaire grondtoestand de gebonden atoomkern) wordt uitgegaan van relativistische mean-field modellen met golffuncties in de Slater-determinantvorm IPM) waarbij de relativistische gebonden-toestand één-deeltjesgolffuncties meestal bepaald worden in de Hartreebenadering van het σω model [2, 3]. Het σω model is een relativistische kwantumveldentheorie voor nucleonen beschreven door een veld ψ) die interageren met pionen π s), vectormesonen ρ s en ω s) en scalaire mesonen σ s). Het model wordt meestal opgelost in de Hartreebenadering, die neerkomt op het vervangen van de scalaire en vectormeson veldoperatoren door hun corresponderende verwachtingswaarde meer details kunnen gevonden worden in [4]). De finale toestand wordt berekend door gebruik te maken van Glauber veelvoudige-verstrooiingstheorie. Voor de eigenlijke interactie van het foton met de atoomkern zijn verschillende beschrijvingen mogelijk, elk met hun eigen consequenties voor de modellering. In deze thesis wordt uitgegaan van de meest verspreide methode de zogenaamde cc2 interactie) voor de elektromagnetische stroomoperator. Met de komst van steeds meer gesofisticeerde versnellers en detectoren, verschuift het A e, e p) onderzoek naar steeds hogere energieën, waar nieuwe fysische fenomenen op de voorgrond treden. Het gebied van onderwerpen dat met deze elektron-geïnduceerde protonuitstootreacties onderzocht wordt, is sinds de jaren 990 dan ook sterk uitgebreid. Waar A e, e p) reacties sinds de jaren 970 toegepast werden voor de studie van het nucleair gemiddeld-veldmodel de limieten van het IPM) [] en van het belang van korte- en langedrachtcorrelaties in kernen [5], worden deze heden ten dage vooral gebruikt als een experimenteel hulpmiddel om inzicht te verkrijgen in relativistische effecten in kernen [6] en in mogelijke mediummodificaties van de eigenschappen van protonen en neutronen wanneer die zich in een dicht hadronisch medium zoals de kern bevinden [7, 8]. Daarnaast wordt ook bekeken bij welke afstandsschaal hadronische dan wel partonische quarks en gluonen) vrijheidsgraden een rol gaan spelen in het gedrag van kernen. Hierbij is het onderzoek naar het fenomeen van color transparency CT) belangrijk [9, 0]. Binnen de context van exclusieve e, e p) reacties voorspelt CT dat bij voldoende hoge waarden van Q 2 q µ q µ waarbij q µ de impuls-viervector overgedragen door het virtueel foton is) het aangestoten proton op een anomaal zwakke manier met de toeschouwer-nucleonen in de targetkern zal interageren []. Het is evident dat A e, e p) berekeningen in dit kader binnen een volledig relativistisch schema dienen te gebeuren. Een volledig relativistische formulering van het probleem heeft daarenboven het voordeel dat spin op een natuurlijke manier in de theorie ingebouwd wordt. De bedoeling van deze thesis is dan ook om een relativistisch model te ontwikkelen voor de beschrijving van A e, e p) processen. Aandacht wordt in het bijzonder besteed aan de rol van relativiteit in de beschrijving van de finale-toestandsinteracties en van de elektromagnetische

11 . Inleiding 5 stroomoperator en in de verschillende A e, e p) observabelen. De indeling van deze thesis is als volgt. In hoofdstuk 2 wordt het A e, e p) formalisme grondig uitgewerkt en worden de relevante observabelen besproken. De verschillende methodes die toelaten de FSI in rekening te brengen bij de beschrijving van de golffunctie van het uitgestoten proton, worden behandeld in hoofdstuk 3. Zowel de eikonale methode als de Glauber veelvoudige-verstrooiingstheorie komen aan bod, samen met de relativistische uitbreiding. Hoofdstuk 4 is gewijd aan de elektromagnetische stroomoperator die de foton-proton interactie beschrijft. In hoofdstuk 5 wordt dieper ingegaan op de vormfactoren van het nucleon, waarover met behulp van e, e p) metingen informatie kan bekomen worden. De verschillende resultaten worden voorgesteld in hoofdstuk 6. Tot slot volgt er in een laatste hoofdstuk een besluit.

12 Hoofdstuk 2 A e, e p ) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek 2. Exclusieve elektronenverstrooiing aan kernen Een van de fundamentele problemen van nucleaire fysica is het volledig begrijpen van de elektromagnetische structuur van de kern. In het bijzonder, is het van belang om alle individuele elektromagnetische multipool-vormfactoren voor een gegeven nucleaire transitie te kennen, vermits deze grootheden het compleetste inzicht in de elektromagnetische structuur van die transitie bieden. Elektronenverstrooiing aan kernen vormt reeds vele jaren een lonende aanpak om de nucleaire elektromagnetische vormfactoren experimenteel te bepalen. De basis voor de studie van elektronenverstrooiing wordt gevormd door de kwantumelektrodynamica die de elektromagnetische interactie van spin- 2 leptonen beschrijft. De voorspellingen die volgen uit deze fundamentele theorie van QED, komen perfect overeen met de experimentele waarnemingen. Bijgevolg kan bij elektronenverstrooiing aan nucleonen en kernen verondersteld worden dat het leptonisch deel van het proces goed gekend is. Zoals reeds vermeld in de inleiding zijn de onzekerheden in de modellering van de reactie dus beperkt tot het nucleaire deel van de reactie, namelijk de elektron-nucleon elektron-kern) vertex en de fysica die de structuur en de dynamica van het nucleon de kern) beheerst. Bovendien is de elektromagnetische koppeling, die gekarakteriseerd wordt door de fijnstructuurconstante α e 2 / c) /37, relatief zwak zodat men perturbatierekening kan toepassen, waarbij enkel de laagste orde elektromagnetische processen in rekening worden gebracht. Deze laagste orde één-foton-uitwisseling benadering one-photon-exchange approximation, OPEA) levert voldoende nauwkeurige en vrij makkelijk te interpreteren resultaten. In deze thesis worden enkel één-foton-uitwisseling bijdragen beschouwd samen met vlakke-golf elektronen, men spreekt van de vlakke-golf Bornbenadering plane-wave Born approximation, PWBA). Het meer algemene geval distorted-wave 6

13 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek 7 Born approximation, DWBA), dat het gebruik van vervormde distorted ) inkomende en uitgaande elektrongolven impliceert, werd in het verleden intensief onderzocht [2, 3, 4, 5]. De belangrijkste verschillen ten opzichte van het PWBA-formalisme zijn de effecten van de Coulombdistortie van de invallende en verstrooide) elektrongolffuncties en de correcties voor meervoudige harde-foton-uitwisseling [6, 7]. Voor lichte trefkernen is de invloed van deze zogenaamde Coulombdistortie-effecten vrij klein en dus verwaarloosbaar. De correcties ten gevolge van hogere orde foton-uitwisseling bijdragen kunnen ook in acht genomen worden [8, 9, 20], maar er werd aangetoond dat deze correcties ruwweg omgekeerd evenredig zijn met de energie van het invallend elektron en bijgevolg is het verwaarlozen van deze hogere orde bijdragen gerechtvaardigd in het gebied van intermediaire tot hoge energie Q 2 > GeV/c) 2 ). Daarenboven is een formele opsplitsing van de werkzame doorsnede in de verschillende structuurfuncties enkel mogelijk wanneer voor de elektrongolven uitgegaan wordt van een vlakke-golf raamwerk en zijn binnen de PWBA-context de elektromagnetische vormfactoren direct gerelateerd met de Fouriertransforms van de elektromagnetische stroom matrixelementen. In het verleden werden elektronenverstrooiingsexperimenten uitgevoerd met ongepolariseerde bundels, simpelweg omdat de technologie ontbrak om elektronenbundels te polariseren en die polarisatie te meten. Met ongepolariseerde elektronenbundels kunnen twee vormfactoren gehaald worden uit p e, e ) inclusieve) werkzame doorsneden elektronenverstrooiing aan protonen), die respectievelijk overeen stemmen met de longitudinale en transversale polarisatie van het geabsorbeerd virtueel foton. Deze separatie staat bekend als de Rosenbluth decompositie zie hoofdstuk 5, formule 5.3) en ook [2]). Het gebruik van gepolariseerde elektronenbundels en/of targets bij exclusieve verstrooiing aan samengestelde systemen, waarbij één of meer) deeltjes gedecteerd worden samen met het verstrooide elektron, laat toe om bijkomende informatie over de targetkern te bekomen. Enkele technische ontwikkelingen leidden tot het grotere belang van elektronpolarisatie-experimenten in nucleaire fysica. Zo maakt de beschikbaarheid van experimentele elektronenverstrooiingsfaciliteiten met hoge bundelintensiteiten deze verstrooiingsexperimenten en de analyse van polarisatie-vrijheidsgraden veel gemakkelijker dan vroeger. Bij A + e B + e + p processen kunnen zowel de invallende als de verstrooide elektronenbundels gepolariseerd zijn, net zoals de hadronen in het in- en uitgangskanaal. Het reactieformalisme uitgewerkt in dit hoofdstuk is gebaseerd op het werk van Donnelly en Raskin [22, 23] en de door hen geïntroduceerde conventies voor de A e, e p) B kinematiek en observabelen worden ook hier gevolgd. De impuls-viervectoren van het invallend en verstrooid elektron worden aangeduid met K e µ ɛ, k) en K µ e ɛ, k ), waarbij k en k de impulsen drievectoren) van het initieel en finaal elektron zijn en ɛ en ɛ hun overeenkomstige energieën. De elektronimpulsen k en k definiëren het lepton-verstrooiingsvlak. De impulstransfer viervector

14 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek 8 e y e x scattering plane K' µ ε',k') µ K f E f,k f) φ f h=- + q µ ω,q ) K µ ε',k) θ e µ K E,k ) A- A- A- θ f e z reaction plane Figuur 2.: Kinematiek van het exclusieve A e, e p) B verstrooiingsproces. Het verstrooiingsvlak is gedefinieerd door de elektronimpulsen k en k. Het xyz coördinatensysteem is zodanig gekozen dat de z-as gericht is volgens de impulstransfer q en de y-as volgens k k. Het verstrooiingsvlak valt dan samen met het xz-vlak en het reactievlak is gedefinieerd door k p en q. De elektronheliciteit h = + en h = komt overeen met de spin die parallel respectievelijk antiparallel ten opzichte van de elektronenbundel is georiënteerd. overgedragen op het nucleair systeem door het geabsorbeerd virtueel foton, wordt gegeven door q µ = K e µ K µ e = K µ A + Kµ p K µ A, waar Kµ A E A, k A ), K µ A E A, k A ) en K p µ E p, k p ) de impuls-viervectoren zijn van de trefkern, de residuele kern en het uitgestoten proton. Dit komt overeen met q µ = ω, q) waarbij de impulstransfer q = k k = k A + k p k A en de energietransfer ω = ɛ ɛ = E A + E p E A op de standaardmanier gedefinieerd zijn. Het assenkruis wordt als volgt gedefinieerd: de z-as ligt evenwijdig met de impulstransfer q en de y-as is gericht volgens k k dus loodrecht op het verstrooiingsvlak). Het hadron-reactievlak is gedefinieerd door k p en q, zoals in figuur 2.. Er wordt gewerkt in natuurlijke eenheden = c = en de Bjorken-Drell conventie [24] voor de ruimte-tijd metriek, de γ matrices en de Diracspinoren wordt gevolgd zie appendix A). Dit betekent dat de normeringsvoorwaarde voor de elektron Dirac vlakke golven, gekenmerkt door een vier-impuls K µ en een spintoestand S µ, luidt ūk µ, S µ )uk µ, S µ ) =. 2.) We beschouwen nu processen waarbij een elektron verstrooit aan een kern, de uitstoot van één enkel nucleon teweeg brengt en de residuele kern in een welbepaalde discrete toestand achterlaat. Het Feynmandiagram corresponderend met het laagste orde één-foton-uitwisseling) proces is weergegeven in figuur 2.2, samen met de gepaste factoren bekomen via de Feynmanregels [25, 24]) overeenkomend met de lijnen en vertices. De inkomende en uitgaande

15 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek 9 e' f> u K',S') e K A- p K f -ieγ µ id Q) F µν iej ν K A-,K f,k A) u K,S) e K A e i> elektronspinoren u e en ū e zijn gelabeld met de overeenkomstige impuls-viervectoren K en K en spins S en S. De elektronlading wordt gegeven door e zodat e > 0) en voor de vier-impulstransfer wordt de gebruikelijke conventie Q 2 q µ q µ 0 ingevoerd. Het virtueel foton wordt voorgesteld door de propagator D F Q) µν = g µν /Q 2. De differentiële verstrooiing werkzame doorsnede voor A + e A ) + e + p processen kan in het laboratoriumstelsel k A = 0 en E A = M A ) geschreven worden als [22, 23, 24] dσ = β m e ɛ if M fi 2 m e d 3 k M A d 3 ka M p d 3 kp ɛ 2π) 3 E A 2π) 3 E p 2π) 3 2π) 4 δ 4) K µ e + K µ A Kµ e K µ p K µ A ), 2.2) Figuur 2.2: Laagste orde Feynmandiagram voor het exclusieve A e, e p) B verstrooiingsproces. J ν is het matrixelement van de elektromagnetische nucleaire stroomoperator tussen de initiële en finale hadronische toestanden. waar β = k /ɛ = v e de relatieve) snelheid van het invallend elektron is en waar overeenstemt met het gepaste gemiddelde over de initiële toestanden en de som over de finale if toestanden. Verder zijn m e, M A, M A en M p de massa s van het elektron, de trefkern, de residuele kern en het proton. Er wordt aangenomen dat alle deeltjestoestanden genormeerd zijn op [24]. Aangezien in de hele paragraaf enkel in het labstelsel gewerkt wordt, zullen de werkzame doorsneden niet expliciet als dusdanig gelabeld worden. Door toepassing van de Feynmanregels [25, 24],

16 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek 0 vindt men dat het invariant matrixelement M fi overeenstemmend met het beschouwde proces in laagste orde, zie figuur 2.2) gegeven wordt door ) M fi = id F Q) µν ūe K e, S ) ieγ µ ) u e K e, S) ) ū f +ieγ ν ) u i ) = ie2 ūe Q 2 K e, S )γ µ u e K e, S) ) ū f Γ µ u i ) = ie ) ɛɛ /2 Q 2 j e Ke, S ; K e, S ) µ J µ K A, K p ; K A ). 2.3) fi m 2 e Hierbij is de elektromagnetische stroom voor het elektron gelijk aan j e Ke, S ; K e, S ) ) m 2 /2 µ = e e ɛɛ ū e K e, S )γ µ u e K e, S) 2.4) en kan de nucleaire elektromagnetische stroom in de impulsruimte J µ K A, K p ; K A ) fi = J µ Q) fi geschreven worden als J µ Q) fi = ū f Γ µ u i 2.5) met Γ µ de elektromagnetische vertexfunctie voor het nucleon en u i, u f de nucleonspinoren. Indien het proton een puntvormig Diracdeeltje was, dan zou Γ µ = γ µ de Dirac γ-matrix). Voor een fysisch nucleon moet dit echter vervangen worden door vergelijking 4.8) Γ µ = F Q 2 ) γ µ + i 2M p F 2 Q 2 ) σ µν q ν. 2.6) Dit laatste wordt grondiger besproken in paragraaf 4.. Het invariant matrixelement 2.3) heeft dus de typische structuur M fi [fotonpropagator] [ elektron stroom ] [ proton stroom ]. In de eigenlijke experimenten wordt de impuls van de residuele kern verkregen door terugstoot, recoil ) niet gemeten in tegenstelling tot die van het elektron en het uitgestoten proton exclusieve elektronenverstrooiing). Deze terugstoot-impuls kan geëlimineerd worden uit vergelijking 2.2) door de integratie over k A uit te voeren. Dit leidt tot d 3 k = k 2 dk dω e, k = k en analoog voor kp ) dσ = m2 em p M A kɛ E p E A 2π) 5 M fi 2 k 2 dk kpdk 2 p dω e dω p δ ɛ + M A ɛ ) E p E A. 2.7) if Om nu de deltafunctie, die energiebehoud uitdrukt, uit te integreren integratie over k p ) wordt de eigenschap δ fp)) = l δ p p l ) f/ p p=pl 2.8)

17 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek gebruikt waarbij fp l ) = 0. In dit geval is f k p ) = ɛ + M A ɛ k 2 p + M 2 p k k k p ) 2 + M 2 A, 2.9) wat toelaat 2.7) te herschrijven als een vijfvoudige differentiële werkzame doorsnede d 5 σ dɛ dω e dω p = m2 em p M A 2π) 5 M A k k p k f rec M fi 2, 2.0) waarbij de hadronische terugstootfactor gegeven wordt door f rec = E A E A + E p q k ) p E A kp 2 = + ωk p qe p cos θ p M A k p 2.) met θ p de hoek tussen k p en q zie figuur 2.). if Het gekwadrateerd invariant matrixelement M fi kan geschreven worden als if M fi 2 = 4πα)2 Q 2 ) 2 η e Ke, S ; K e, S ) µν W µν Q), 2.2) waar de elektronentensor η e K e, S ; K e, S) µν gedefinieerd is als η e Ke, S ; K e, S ) µν [ūe K e, S )γ µ u e K e, S) ] [ūe K e, S )γ ν u e K e, S) ] 2.3) if en de nucleaire tensor W µν Q) fi, die alle informatie bevat over de nucleaire structuur en dynamica, als W µν Q) fi if J µ fi J ν fi. 2.4) Deze tensoren van rang 2 worden dus bepaald door bilineaire combinaties van de matrixelementen van de elektron- en nucleaire elektromagnetische stroomoperatoren. Hierbij is J µ fi = A J R M R ), K p E p, k p )m s Ĵ µ A0 +, g.s.) 2.5) het matrixelement van de elektromagnetische stroomoperator Ĵ µ, met A0 +, g.s.) de grondtoestand van de even-even trefkern en A J R M R ) de discrete toestand waarin de residuele kern achterblijft. De werkzame doorsnede 2.0) kan dan uitgedrukt worden als d 5 σ dɛ = α2 m 2 em p M A k k p dω e dω p 2π 3 M A kq 2 ) 2 f rec η e Ke, S ; K e, S ) µν W µν Q) fi. 2.6) Op deze manier worden de elektron- en nucleaire componenten in de werkzame doorsnede gescheiden.

18 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek De elektronentensor In het meest algemene geval kunnen zowel de initiële als de finale elektronenspins bepaald worden. Deze situatie waarin invallende en verstrooide elektronen beide gepolariseerd zijn, wordt behandeld in het werk van Donnelly en Raskin [22]. Aangezien het veel moeilijker is om de polarisatie van het verstrooide elektron te meten dan om een gepolariseerde elektronenbundel te verkrijgen, wordt in deze thesis enkel de situatie beschouwd waarbij de finale elektronenpolarisatie niet gemeten wordt. In wat volgt, wordt de elektronentensor gedetailleerd besproken: in paragraaf 2.2. wordt het geval van ongepolariseerde elektronenverstrooiing uitgewerkt en in paragraaf worden gepolariseerde invallende elektronen beschouwd Ongepolariseerde elektronenverstrooiing Als de elektronenspins niet geobserveerd worden, dan herleidt het elektronendeel 2.3) van M fi 2 zicht tot uitgemiddeld over de initiële en gesommeerd over de finale spinprojecties) ηe ongepol K e ; K e ) µν [ūe K e, S )γ µ u e K e, S) ] [ūe K e, S )γ ν u e K e, S) ]. 2.7) 2 S,S Gebruikmakende van de eigenschappen van de Diracspinoren en gamma-matrices zie appendix A) kan de complexe toevoeging in 2.7) weggewerkt worden, hetgeen leidt tot η ongepol e K e ; K e ) µν = 2 T r S,S ū e K e, S)γ µ u e K e, S )ū e K e, S )γ ν u e K e, S). 2.8) Hierbij staat T r voor het spoor trace ). Met behulp van de spinoridentiteit A.39) wordt dit ηe ongepol K e ; K e ) µν = { } 2 T r K e + m e K e + m e γ µ γ ν. 2.9) 2m e 2m e Gebruikmakende van de trace eigenschappen uit appendix A.5 levert dit ηe ongepol K e ; K e ) µν = { Keµ 2m 2 K e ν + K e µk eν g µν Ke K e m 2 e)} e 2.20) voor ongepolariseerde elektronenverstrooiing. Deze tensor heeft de volgende eigenschappen:. Lorentz tensor van rang 2, 2. symmetrisch onder verwisseling van de indices µ ν, 3. evenredig met het product van twee polaire vectoren: j eµ, j eν, 4. wegens stroombehoud q µ j eµ = 0): q µ ηe ongepol K e ; K e ) µν = ηe ongepol K e ; K e ) µν q ν = )

19 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek Gepolariseerde elektronenverstrooiing De situatie waarbij met gepolariseerde elektronen gewerkt wordt, is ietwat ingewikkelder. Zoals reeds vermeld wordt de polarisatie van het verstrooide elektron niet gemeten. De invallende elektronenbundel wordt nu echter wel gepolariseerd met zijn spin gekarakteriseerd door de spin viervector S µ. Deze spin viervector moet voldoen aan de vereisten S S = en S K e = 0 [24,26]. In vergelijking 2.8) moet nu net na de factor γ ν de spinprojectie-operator + γ 5 S) /2 tussengevoegd worden, zodat toepassen van de compleetheidsrelatie voor de Diracspinoren A.39) leidt tot η e K e ; K e, S) µν = 6m 2 T r {γ µ K e + m e ) γ ν + γ 5 S) K e + m e )} e [ ] ηe ongepol K e ; K e ) 2 µν + ηe gepol K e ; K e, S) µν. 2.22) Hierbij is η ongepol e K e ; K e ) µν de elektronentensor uit vergelijking 2.20) en vindt men door uitwerking van de trace met behulp van de identiteiten uit appendix A.5) dat ηe gepol K e ; K e, S) µν = 2m 2 iɛ µναβ m e S α q β. 2.23) e Dit bijkomende deel van de elektronentensor bevat alle afhankelijkheid van de elektronenspin, is antisymmetrisch onder de verwisseling van de indices µ ν en voldoet op zichzelf aan de vereiste van stroombehoud q µ η gepol e K e ; K e, S) µν = 0. In het geval van algemene elektronenpolarisatie wordt de spinrichting van het invallend elektron bepaald door de spin drievector s = hs cos ζ u L + sin ζ u ), 2.24) waarbij u L een eenheidsvector evenwijdig aan de elektronimpuls k is en u een eenheidsvector in het vlak loodrecht op k is u = cos η u S + sin η u N. 2.25) De drie orthogonale eenheidsvectoren L longitudinaal, S zijdelings, N normaal) zijn weergegeven in figuur 2.3. Verder is h = ±, stelt ζ de hoek voor tussen de spin s en de impuls k en is s een positieve grootheid. De bijkomende hoek η is vereist om de oriëntatie van de spinvector ten opzichte van k ondubbelzinnig vast te leggen. Uit de voorwaarden S S = en S K e = 0 volgt dat s = s = β 2 cos 2 ζ = γ cos 2 ζ + γ 2 sin 2 ζ, 2.26) S 0 = hβs cos ζ, 2.27) waarbij β = k/ɛ = m e /ɛ) 2 en γ = / β 2 = ɛ/m e de gebruikelijke relativistische factoren zijn. In het geval van zuiver longitudinaal gepolariseerde elektronen geldt dat ζ = 0

20 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek 4 Figuur 2.3: Coördinatensysteem voor de elektronenspin: u L evenwijdig aan k, u N loodrecht op het elektronverstrooiingsvlak u N k k ) en u S = u N u L in de zijwaartse richting. en bijgevolg wordt de spin viervector S µ vermenigvuldigd met m e dit product komt voor in vergelijking 2.23)) gegeven door m e S µ = hɛ β, u L ). 2.28) Zuiver transversaal gepolariseerde elektronen leiden dan weer tot ζ = π/2 en m e S µ = γ hɛ 0, u ). 2.29) De transversale polarisatie-effecten worden dus ten opzichte van de longitudinale polarisatieeffecten onderdrukt met een factor /γ. In de meeste experimenten in nucleaire of deeltjesfysica is de elektronenenergie zeer groot ten opzichte van de elektronenmassa zodat ɛ m e of γ. In situaties waar enkel de invallende elektronenbundel gepolariseerd is, worden bijgevolg voortaan enkel zuiver longitudinaal gepolariseerde elektronen beschouwd. Alle resultaten worden afgeleid in de extreem relativistische limiet ERL) voor de elektronen: m e 0, β, γ, 2.30) zodat K e µ ɛ, u L ), m e S µ ) L hɛ, u L ) = hk e µ. 2.3)

21 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek 5 In de ERL herleidt h = ± zich dus tot de elektronenheliciteit s k h = s. 2.32) k De twee bijdragen tot de elektronentensor 2.20) en 2.23) worden onder deze voorwaarden 2.30) en 2.3) 2m 2 eη ongepol e K e ; K e ) µν K eµ K e ν + K e µk eν g µν K e K e, 2.33) 2m 2 eη gepol e K e ; K e, S) µν ihɛ µναβ K α e K β e. 2.34) Deze zijn vergelijkbaar qua grootteorde, aangezien ze beide gekarakteriseerd worden door het product van de elektron-energieën ɛɛ Besluit De elektronentensor en dus ook de algemene werkzame doorsnede voor de verstrooiing van willekeurig gepolariseerde elektronen aan kernen bevatten twee soorten termen :. termen zonder h, die ook voorkomen als er geen sprake is van elektronenpolarisatie, en 2. termen met h, die enkel voorkomen wanneer de invallende elektronenbundel gepolariseerd is. Deze termen geven aanleiding tot een elektronenverstrooiing werkzame doorsnede van de vorm d 5 ) h σ dɛ = Σ fi + h fi, 2.35) dω e dω p fi waarbij fi verwijst naar een transitie van een initiële nucleaire toestand met label i naar een finale hadronische toestand met label f de finale nucleaire toestand samen met de emissie van een proton). In nucleaire en deeltjesfysica zijn enkel longitudinaal gepolariseerde elektronen van praktisch belang en herleidt h zich tot de elektronenheliciteit in de ERL. De eerste term Σ fi is onafhankelijk van de elektronenpolarisatie en bevat de elektronen-afhankelijkheid van het type ten gevolge van het symmetrisch deel ηe ongepol K e ; K e ) µν van de elektronentensor). De tweede term fi bevat de termen van het type 2 ten gevolge van het antisymmetrisch deel η gepol e K e ; K e, S) µν van de elektronentensor). In feite is Σ fi de over de elektronenspin uitgemiddelde werkzame doorsnede d 5 σ ) ongepol fi = 2 { d 5 σ ) + + d 5 σ ) } = Σ fi fi fi 2.36) en is fi de elektronenpolarisatie verschil-werkzame doorsnede d 5 σ ) gepol = { d 5 σ ) + d 5 σ ) } = fi 2 fi fi fi. 2.37) Zoals reeds vermeld wordt de spin van de verstrooide elektronen niet gemeten. In het meest algemene geval waarbij de invallende én de verstrooide elektronen gepolariseerd zijn, treden vier soorten termen op [22].

22 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek 6 De effectieve elektronentensor 2.22) waar termen evenredig met q µ of q ν weggelaten werden, aangezien deze toch niet bijdragen tot de contractie van de elektronentensor met de nucleaire tensor wegens stroombehoud q µ J µ fi = 0) wordt met behulp van 2.20) en 2.23) gegeven door 4m 2 eη e K e ; K e, S) eff µν = K eµk e ν + K e µk eν g µν Ke K e m 2 e) ime ɛ µναβ q α S β, 2.38) waar K e K e m 2 e = 2 Q2. Voor longitudinaal gepolariseerde elektronen in de ERL is de elektronenspin S = hk e /m e zodat 4m 2 eη e K e ; K e, S) ERL µν = K eµ K e ν + K e µk eν 2 g µνq 2 ihɛ µναβ K α e K β e, 2.39) waarbij enkel het antisymmetrisch deel van de tensor lineair) afhangt van de initiële elektronenheliciteit. Vermits η eµν een hermitische tensor is zie vergelijking 2.3)), zijn zijn symmetrische en antisymmetrische delen zuiver reëel en zuiver imaginair, respectievelijk. 2.3 De nucleaire tensor In de vorige paragraaf bleek dat de elektronentensor geschreven kan worden onder de vorm η eµν = η S eµν + η A eµν, 2.40) waarbij S en A verwijzen naar het symmetrisch en antisymmetrisch deel van de tensor onder verwisseling van de indices µ ν. De nucleaire tensor kan eveneens uitgedrukt worden als de som van een symmetrische en een antisymmetrische tensor W µν = W µν S + W µν A. 2.4) Een algemene vorm voor deze nucleaire tensor kan geconstrueerd worden uit de beschikbare impuls- en spin-viervectoren door gebruik te maken van eenvoudige argumenten Lorentzijkinvariantie, stroom- en pariteitsbehoud) A e, e p) B reacties Beschouwen we eerst het geval van A e, e p) B reacties waar de invallende elektronenbundel e gepolariseerd is, maar de trefkern A dat niet is en waar de spins van het finale elektron e, het uitgestoten proton p en de residuele kern B niet waargenomen worden. In dit geval dient de nucleaire tensor opgebouwd te worden uit de drie lineair onafhankelijke viervectoren q, K p en K A, de vier onafhankelijke Lorentzscalairen Q 2, q K p, q K A en K p K A die met deze viervectoren kunnen geconstrueerd worden, en de tensor g µν van rang 2 [27,28,22]. Het feit dat maar drie onafhankelijke viervectoren beschikbaar zijn, sluit een scalair die lineair is in de totaal antisymmetrische tensor ɛ µνρσ, uit. Tensoren van rang 2 geconstrueerd met de beschikbare

23 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek 7 viervectoren en lineair in ɛ µνρσ zijn dan weer in tegenspraak met een elektromagnetische stroom die voldoet aan pariteitsbehoud. Tenslotte leveren scalairen of tensoren die bilineair zijn in ɛ µνρσ, geen bijkomende lineaire onafhankelijke grootheden. De bedoeling is dus om W µν S en W µν A uit te schrijven in termen van de onafhankelijke viervectoren uit het probleem. In plaats van { q µ, K p µ, K A} µ gebruiken we het equivalente stel {q µ, V µ, V µ 2 } waar V µ K µa M + Kµ A ) qµ A Q 2 q µ, V µ 2 K p µ + Kµ p q µ ) Q 2 q µ 2.42) bij constructie voldoen aan de eigenschap q V = q V 2 = 0. Aangezien W µν een rang-2 tensor moet zijn, levert dit de volgende expansies W µν A W µν S = W g µν + W 2 q µ q ν + W 3 V µ V ν + W 4 V µ 2 V ν 2 + W 5 q µ V ν + V µ qν ) +W 6 q µ V ν 2 + V µ 2 qν ) + W 7 V µ V ν 2 + V µ 2 V ν ), 2.43) = iw 8 q µ V ν V µ qν ) + iw 9 q µ V ν 2 V µ 2 qν ) + iw 0 V µ V ν 2 V µ 2 V ν ). 2.44) De scalaire responsfuncties W i hangen hierbij af van de hierboven vermelde scalairen W i = W i Q 2, q K p, q K A, K p K A ), i =,..., ) Tenslotte is het zo dat W µν bilineair is in matrixelementen van de stroomoperator en dat deze elektromagnetische stromen behouden grootheden zijn, q µ J µ fi = 0. Dit leidt dus tot de beperkingen q µ W µν S = 0 = W W 2 Q 2) q ν W 5 Q 2 V ν W 6 Q 2 V ν 2, 2.46) q µ W µν A = 0 = iw 8Q 2 V ν iw 9 Q 2 V ν 2, 2.47) zodat W W 2 Q 2 = 0, W 5 = 0, W 6 = 0, W 8 = 0 en W 9 = 0, gebruikmakende van de lineaire onafhankelijkheid van q ν, V ν en V 2 ν. Voor het symmetrisch deel van de nucleaire tensor levert dit W µν S = W g µν + qµ q ν ) + W 3 V µ V ν + W 4 V µ 2 V 2 ν + W 7 V µ V 2 ν + V µ 2 V ν ), 2.48) Q 2 waarin vier onafhankelijke responsfuncties optreden. De antisymmetrische tensor wordt W µν A = iw 0 V µ V ν 2 V µ 2 V ν ), 2.49) waarin een vijfde responsfunctie verschijnt. Wanneer de targetkern gepolariseerd is, zal in het antisymmetrisch deel van de nucleaire tensor nog een zesde responsfunctie optreden.

24 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek A e, e p) B reacties Het algemeen formalisme voor elektronenverstrooiingsreacties A e, e p) B waarbij de invallende elektronenbundel e gepolariseerd is en de polarisatie van het uitgaande nucleon p gemeten wordt, wordt in detail besproken in referenties [4, 29, 30, 23, 3, 28]. De nucleaire tensor moet niet alleen transformeren als een hermitische tensor van rang 2 zie definitie 2.4)), daarenboven moet voldaan zijn aan stroom- en pariteitsbehoud en is de afhankelijkheid van S p de spin viervector van het ejectiel) ten hoogste lineair. Deze laatste algemene eigenschap is een direct gevolg van het spin- 2 karakter van het uitgestoten proton en is makkelijk in te zien wanneer de asymptotische toestand van het ejectiel beschreven wordt door de vrije Diracvergelijking. In dat geval kan de uitdrukking 2.4) A0 +, g.s.) Ĵ µ A JR M R ), K p E p, k p )m s W µν = if herschreven worden als A J R M R ), K p E p, k p )m s Ĵ ν A0 +, g.s.) 2.50) W µν = ūk p, S p )Ŵ µν uk p, S p ), 2.5) waar de informatie over het uitgestoten proton vervat zit in de Diracspinoren u en ū en alle overige informatie over de nucleaire toestanden in Ŵ µν. Tussenvoegen van de projector op positieve energie Kp+Mp 2M p A.39) en de spinprojectie-operator +γ 5 S p 2 leidt tot de volgende uitdrukking ) ) ] [ W µν Kp + M p + γ5 S p = T r Ŵ µν Q) 2M p 2 fi, 2.52) zodat de nucleaire tensor W µν inderdaad ten hoogste lineair is in S p. De algemene vorm van de nucleaire tensor voor e, e p) reacties moet geconstrueerd worden met behulp van de beschikbare onafhankelijke variabelen, namelijk de viervectoren q, K p, K A en S p. Om problemen te vermijden die zouden kunnen optreden wanneer de spin van het ejectiel en de drie impuls-viervectoren niet lineair onafhankelijk zijn, kan men andere vectoren definiëren uit dit stel van viervectoren. Dit kan door gebruik te maken van de antisymmetrische Levi-Civita tensor en drie van de bovenstaande viervectoren, bijvoorbeeld ξ µ ɛ µναβ q ν K pα K Aβ. 2.53) Op dezelfde manier kunnen nog drie andere vectoren geconstrueerd worden. De onafhankelijke Lorentzscalairen die opgebouwd zijn uit deze viervectoren, kunnen ingedeeld worden volgens hun pariteitseigenschappen. De echte scalairen zijn Q 2, q K p, q K A, K p K A en ξ S p merk op dat Kp 2 = Mp 2, KA 2 = M A 2 en S2 p = ), terwijl de pseudoscalairen gegeven worden door q S p en K A S p K p S p = 0). Scalairen bekomen door contractie van twee vectoren van het type

25 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek ) zijn niet onafhankelijk van de vermelde scalairen, contractie van tensoren van hogere orde geconstrueerd uit de beschikbare viervectoren) levert evenmin nieuwe onafhankelijke scalairen. Vooraleer de nucleaire tensor te construeren, is het nuttig om een set van orthogonale viervectoren te bepalen, die de vierdimensionale ruimte opspannen. De voorwaarde van stroombehoud vereist dat de nucleaire tensor W µν in een subruimte orthogonaal op q ligt. Het is daarom voor de hand liggend om q als een van de basisvectoren te kiezen en om K A en K p te vervangen door de vectoren V en V 2 gedefinieerd in 2.42). Een vierde onafhankelijke vector is noodzakelijk om de ruimte helemaal op te spannen. Het blijkt wenselijk te zijn om deze overblijvende vector onafhankelijk van S p te kiezen. Bijgevolg wordt ξ µ gekozen om het compleet stel van lineair onafhankelijke vectoren te vervolledigen. De nucleaire tensor kan nu ontwikkeld worden in termen van deze viervectoren {q µ, V µ, V µ 2, ξµ } als W µν = i,j W ij Z µ i Zν j, 2.54) waar Z i, i =,..., 4, staat voor het stel q, V, V 2, ξ en waar de coëfficiëntfuncties W ij Lorentzscalaire functies zijn van de onafhankelijke scalairen die eerder vermeld werden. Toepassen van de vereiste van stroombehoud op 2.54) leidt tot Z = q) q µ W µν = Q 2 j W j Z ν j = ) en W µν q ν = Q 2 i W i Z µ i = 0, 2.56) vermits q V = q V 2 = q ξ = 0. Wegens de lineaire onafhankelijkheid van de Z i volgt hieruit dat W j = W j = 0 voor alle j en vergelijking 2.54) wordt W µν = W ij Z µ i Zν j. 2.57) i,j De ontwikkeling van de nucleaire tensor in de vorm gegeven door vergelijking 2.57) is gebaseerd op de onderstelling van stroombehoud in afwezigheid van stroombehoud, zoals bijvoorbeeld in de zwakke reactie ν, ν X), keert men simpelweg terug tot vergelijking 2.54)) en heeft dan ook een algemenere geldigheid dan enkel voor e, e p) reacties. De negen onafhankelijke tensoren in 2.57) zijn eveneens bruikbaar voor de ongepolariseerde e, e p) reactie en voor de algemene e, e X) reactie. Dit is een voordelig gevolg van het feit dat de nucleaire tensor van rang 2 opgebouwd werd uitgaande van een stel van spin-onafhankelijke viervectoren.

26 2. A e, e p) formalisme: reactie-observabelen en kinematiek 20 De nucleaire tensor van vergelijking 2.57) kan ontbonden worden in zijn symmetrisch en antisymmetrisch deel zie 2.4)) en men vindt [A µ B ν ] S,A A µ B ν ± A ν B µ ) en Hierbij is W µν S = W g µν + W 2 V µ V ν + W 3 V µ 2 V ν 2 + W 4 [V µ V ν 2 ] S + W 5 [V µ ξν ] S + W 6 [V µ 2 ξν ] S 2.58) W µν A = W 7 [V µ V ν 2 ] A + W 8 [V µ ξν ] A + W 9 [V µ 2 ξν ] A. 2.59) g µν = g µν + qµ q ν Q ) en werd gebruikgemaakt van de eigenschappen van de Levi-Civita tensor om ξ µ ξ ν te vervangen door g µν. In vergelijkingen 2.58) en 2.59) zijn de coëfficiëntfuncties W i, i =,..., 9, functies van de beschikbare scalairen vermeld na 2.53) W i = W i Q 2, q K p, q K A, K p K A, ξ S p, q S p, K A S p ). 2.6) Vermits W µν ten hoogste lineair is in S p en aangezien deze spin-afhankelijkheid beperkt is tot de coëfficiëntfuncties door de expansie van vergelijkingen 2.54) en 2.57) in spin-onafhankelijke viervectoren, is het aangewezen om elke afhankelijkheid van de coëfficiëntfuncties W i van de spin-afhankelijke scalairen expliciet te maken en als dusdanig coëfficiëntfuncties W i en W i te isoleren die enkel afhangen van de impulsruimte-scalairen Q 2, q K p, q K A en K p K A. In afwezigheid van een verdere beperking leidt dit tot 36 onafhankelijke responsfuncties, namelijk vier termen voor elk van de negen tensoren uit 2.58) en 2.59): een spin-onafhankelijke term en termen lineair in q S p, K A S p en ξ S p. Onder pariteitstransformaties gedragen de spinonafhankelijke en ξ S p termen zich echter als echte scalairen, terwijl de q S p en K A S p termen pseudoscalairen zijn. Vermits ξ als enige van de basisvectoren een pseudovector is, moeten door de vereiste van pariteitsbehoud termen uit 2.58) en 2.59) die lineair zijn in ξ ν, gecombineerd worden met pseudoscalaire coëfficiëntfuncties W i en dienen de coëfficiëntfuncties horend bij de overige termen scalair te zijn. Bijgevolg blijven er slechts 8 onafhankelijke termen over indien pariteitsbehoud geldt. De uitdrukking voor de nucleaire tensor 2.58) en 2.59) consistent met pariteitsbehoud is dan en W µν S = W + W ) ξ S p g µν + W 2 + W ) 2 ξ S p V µ V ν + W 3 + W ) 3 ξ S p V µ 2 V 2 ν + W 4 + W 4 ξ S p ) [V µ V ν 2 ] S + W 5 q S p + W 5 K A S p ) [V µ ξν ] S + W 6 q S p + W 6 K A S p ) [V µ 2 ξν ] S 2.62) W µν A = W 7 + W 7 ξ S p ) [V µ V ν 2 ] A + W 8 q S p + W 8 K A S p ) [V µ ξν ] A + W 9 q S p + W 9 K A S p ) [V µ 2 ξν ] A 2.63)