Basisbegrippen van de eindige elementen methode

Transcriptie

1 Bassbgrppn van d ndg mntn mthod Dmtr Dbruyn Ondrzoksgrop machn- n prototypbouw Hoofdstuk IV wdmnsona probmn mt andr vakspannngsmntn IV.1 Lnar rchthokn IV. Lnar rchthok n natuurk coördnatn IV.3 Isoparamtrsch nar vrhokn IV. Hogr ord vrhokn IV.5 Lnar drhokn mt opprvaktcoördnatn IV.6 Hogr ord soparamtrsch drhokn IV.7 Combnat van vrschnd mnttyps IV.8 Utgwrkt voorbd 1

2 IV.1 Lnar rchthokn Lnar vrhok vs. drhok Lnar drhokn Pro: nvoudg t vrmazn Contra: rk n spannng constant, probmn b utmddn Lnar vrhokn Pro: rk n spannng nt angr constant (war vroop kan dus btr gvogd wordn), ust mntn pr knoop (nvoudgr t ntrprtrn, mndr probmn mt utmddn) Contra: kan nt a structurn vrmazn

3 Intrpoatfuncts y k u = α 1 + α x + α 3 y + α xy v = α 5 + α 6 x + α 7 y + α 8 xy b (, ) x dkt t α 1 α α 3 u x y xy = v 1 α. 1 x y xy α 5 α 6 α 7 α 8 { u } = { χ }. { α } Opossn naar d knopn { a } { C } { } =. α { α } { 1 = C }. { a } Dus: { u } { } { C 1 = χ. }. { a } u = v x1 x x x x { N N N k N } a a. a k a 8x1 of { u } = { N }. { a } x1 x8 8x1 1 mt { N } = N ( x, y). 1 x n N ( x, y ) = y b 3

4 Rkkn { ε } { S } { u } =. ε ε γ x y xy x u =. y v y x α + α. y = α 7 + α 8 x α + α + α x + α y ε x var rt nar n d y rchtng s cons tan t n d x rchtng Spannngn { ε } = { S }. { u } = { S }. { N }. { a } = { B }. { a } 3x1 3x x1 3x x8 8x1 3x8 8x1 { } = { k } mt B B B B B { σ } { D } { ε } =. = hrn s E 1 ν { B } N y 1 x b N x 1 = = y b b N N x 1 y 1 y x b b b 1 ν ε ν 1. ε 1 ν γ x y xy

5 Prncp van vrtu arbd { δ } { } + { δ } { } a. q t u. b. ds S { δ } { } { δ ε } { σ } + u. t. dr = t.. ds R { δ a }. { q } = { δ a }. t. { B }. { D }. { B }. ds. { a } S S t { N }. { b }. ds { N }. { t } dr S { K } = t. { B }. { D }. { B }. ds S { } = { } { } { } { } f t N. b. ds N. t. dr S R R { q } = { K }. { a } + { f } Intrprtat { q } = { K }. { a } + { f } B B { K } = t.. { D}.{ B B B B } ds B k. S k B x1 1x1 x1 {K } bvat kwadratsch functs van x n y K t B =.. D. B. ds S y 1 x 1 x3 3x3 3x { B } b b b = x 1 y 1 b b b { } { } { } { } 5

6 IV. Lnar rchthok n natuurk coördnatn y Intrpoatfuncts b/ y c N m ξ = -1 x c c η / ξ k b η = 1 ξ = 1 η = - 1 x dx dξ = / x m. a. w. ξ = / dy dη = b / ma.. w. 1 ( ξ, η) = ( + ξm. ξ)( + ηm. η) 1 1 mt ξ, η d coordnaat && van ξ n η ( m m) η= y yc b/ x c 6

7 { ε } = { S }. { N }. { a } = { B }. { a } η 1 1 η η + 1 η 1 ξ 1 ξ 1 ξ+ 1 1 ξ B = ξ 1 η 1 ξ 1 1 η ξ + 1 η ξ η 1 { } { K } = E η 1 1 t + ν ξ 1. 1 ν S ds - {K} bvat kwadratsch functs van x n y - mntn van {K} zn anaytsch brknbaar IV.3 Isoparamtrsch nar vrhokn 7

8 ransformat V, v Vk, vk U, u k U k, u k (-1,1) η k (1,1) V, v ξ V, v (-1, -1) (1, -1) U, u y U, u u N m x v u u N N Nk N v = v N N N N u k k v k u v ( ξ, η) = ( + ξ m. ξ) ( + ηm. η) { u } = { N }. { a } Vormfuncts u = N. u + N. u + Nk. uk + N. u v = N. v + N. v + Nk. vk + N. v Vormfuncts ( ξ η) ( ξ η) k ( ξ η) k ( ξ η) ( ξ η) ( ξ η) k ( ξ η) k ( ξ η) x = N,. x + N,. x + N,. x + N,. x y = N,. y + N,. y + N,. y + N,. y Indn ntrpoatfuncts = vormfuncts dan soparamtrsch mntn 8

9 Vrtu arbd van d nwndg spannngn { δε } { σ } t... ds S Rfrrt naar d oorspronkk vorm! { ε } ε = ε γ x y xy = { ε } (, ) u x y x v ( x, y) = y u x y y (, ) v ( x, y) + x Wskundg ntrmzzo as f ( x, y) n x ( ξ, η) y( ξ, η) dan f f f x f y =. +. x y f x f y =. +. x y f x = f x y f f x x. = { J}. y f f y y mt { J} J J = J J

10 Invrs opossn naar f x n f y vrt: f x = f y { J} 1 f ξ. f η = 1 J J 1. dt. J J { J} 1 11 f ξ f η opassng op d rk u x = u dt y { J} u J J ξ.. J 1 J11 u η 1 1 v x = v dt y { J} v J J ξ.. J 1 J11 v η 1 1 { ε } x u =. y v y x 1 = dt { J} ξ η.. { u } ξ η 3x x x1 J J1 J 1 J11 J 1 J11 J J1 1

11 hrn s { u } = { N }. { a } D partë afgdn van N wordn utgrknd: ξ η N N Nk N. N N Nk N ξ η Manu brknbaar N N N k N N N N k N = N N N k N N N N k N Evnzo d mntn van {J}, bv.: ( k. k +. ) x N x N x N x N x J = = 11 = 1 vooropg bsut: ( 1 η). ( 1). x + ( 1 η). x + ( 1+ η) xk + ( 1+ η) ( 1)... x J J 1 1 η { B } = J1 J11.. dt { J} J J J J η 3x8 3x x x8 Lnar! { N } brknbaar 11

12 D strktmatrx vrvormngsnrg door vrtu vrpaatsngn: { δ ε } { } { ε } t.. D.. ds S { δ } { } { } { } { } = t. a. B. D. B. a. ds S vrvormngsnrg = fyssch groothd, m.a.w. ( ) { } ds x, y = dx. dy = dt J. dξ. dη vrtu arbd: { r} = { K }. { a } + { f } { } = { } { } { } { } K t B. D. B. dt J. dξ. dη 1 1 Nt mr anaytsch brknbaar IV. Hogr ord vrhokn 1

13 Agmn Lnar vrhokn Vrvormngn zn bprkt ovrnkomstg nar N Nauwkurgr brknng: knr mntn mr sop mntn = hogr ord N Esn aan hogr ord N compt vtrmn zo hoog mogk ord zo wng mogk onbkndn Symmtr (x n y) 1 ord x y ord 1 x xy y ord x 3 x y xy y 3 ord3 x x 3 y x y xy 3 y ord.... Voorbdn mogk kwadratsch funct n gva van 6 knopn: mogk kwadratsch funct n gva van 8 knopn: mogk kwadratsch funct n gva van 9 knopn: α + α. x + α. y + α. x + α. xy + α y α + α. x + α. y + α. x + α. xy + α y + α x y + α xy α α. x + α. y + α. x + α. xy + α y + α x y + α xy α x y

14 Lagrang fam o k n q p m y (-1,1) p(-1,) (-1,-1) o(,1) η q m(,-1) vormfuncts voor gomtrsch ransformat = ntrpoatfuncts voor vrpaatsngn: ξ k(1,1) n(1,) (1,-1) x bschouw rst d ξ rchtng: ξ coordnaat && 1 1 knoopnummr 1 3 ( ξ) ( ) ( ) = ( ) = 1 1 = 1 zodang dat ( ξ) ( ξ) ξ 1 1 = Voor k knoop 3 ( ξ) = ( 1+ ξ)( 1 ξ) ξ ( 1+ ξ) ( ξ) = ( η) 1 ( 1 η) ( η) = ( 1+ η) ( 1 η) η( 1+ η) ( η) = 3 η = co m b n a t v a n ξ n η rch tn g: Nm = ( ξ). 1( η) N = 1( ξ). 1( η) Nn = 3( ξ). ( η) N = 3( ξ). 1( η) No = Nk = 3( ξ). 3( η) ( ξ). 3( η) Np = 1 N = 1( ξ). 3( η) ( ξ). ( η) Nq = ( ξ). ( η) Bsut: ntrpoatfuncts gmakkk t vndn, ook voor ord 3,,.. 1

15 Srndpty fam η = 1 k o k o η 1+ξ η = 1 ξ η = n p n p ξ 1 ξ+η = 1+ξ+η = ξ = 1 m ξ = 1 m η = 1 N = N = ( 1 ξ) ( 1 η) ( 1+ ξ + η) N m = ( 1+ ξ) ( 1 η) ( 1 ξ + η) N n = ( 1+ ξ) ( 1+ η) ( 1 ξ η) N k = ( 1 ) ( ) ( ) N = ξ 1 + η 1 + ξ η ( 1 ξ ) ( 1 η) 1+ ξ 1 η ( ) ( ) ( 1 ξ ) ( 1 + η) N o = 1 N p = ξ 1 η ( ) ( ) Bangrk opmrkng d ntrpoatfuncts zn bv. kwadratsch n ht assnsts d vrpaatsngn vropn kwadratsch n ht assnsts ξ, η ξ, η d vrpaatsngn vropn kwadratsch n ht x,y assnsts (n gva van soparamtrsch mntn) spannngn n vrvormngn vropn nt prfct nar angshn d wrkk gomtr 15

16 IV.5 Lnar drhokn mt opprvaktcoördnatn Opprvaktcoördnatn k η = ζ = 1 ξ = A A1 A1 A A 3 p (x, y) η = 1 η = A A ζ = ς = A A3 ξ = 1 ξ = constant ξ = Nt nar onafhankk! ntrpoatfuncts N N N k ( ξ, η) ( ξ, η) (, ) = ξ = η ξ η = ς = 1 ξ η 16

17 ransformatformus Agmn vrpaatsngn ( ξ η) ( ξ η) ( ξ η) ( ξ η) ( ξ η) ( ξ η) u = N,. u + N,. u + N,. u v = N,. v + N,. v + N,. v k k k k ransformatformus ( ξ η) ( ξ η) ( ξ η) ( ξ η) ( ξ η) ( ξ η) x = N,. x + N,. x + N,. x y = N,. y + N,. y + N,. y k k k k bsut: dzfd gnschappn as CS mnt n x,y Voorbd y 3 (8; 1) η = p (7, 7; 9, 6) (1; 7) 1 (3; ) ξ = x 17

18 IV.6 Hogr ord soparamtrsch drhokn Kwadratsch drhokn k y n m k ζ=1 m n ξ= η=1 ξ=1/ η=1/ ξ=1 x ζ=1/ ζ= η= u v ( ) ( ) ξ, η = α + α. ξ + α. η + α. ξ + α. ξ. η + α. η ξ, η = α + α. ξ + α. η + α. ξ + α. ξ. η + α. η

19 Intrpoatfuncts N N N k ( ξ 1) ( η 1) ( ς 1) = ξ = η = ς N N N = m n. ξ. η =. ς. η =. ξ. ς u = N. u + N. u + Nk. uk + N. u + Nm. um + Nn. u v = N. v + N. v + Nk. v k + N. v + Nm. v m + Nn. u Vormfuncts = ntrpoatfuncts! x = N. x + N. x + Nk. xk + N. x + Nm. xm + Nn. xn y = N. y + N. y + Nk. yk + N. y + Nm. ym + Nn. y n n n { ε } ε = ε γ x y xy = dt u u x y J J = x y J 1 J11 J J1 v 3x 1 { ε } =. { }.. { } { N }. { a } dt J 1 3 3x x1 1x1 mt nar mt nar functs n ξ n η functs van ξ n η 1 1. J 1 J11. { J} { J} v = { B }. { a } 19

20 Stfhdsmatrx { } = { } { } { } { } K t B. D. B. dt J. dξ. dη 1 1 1x1=1 dubb ntgran (numrk ut t rknn!) Praktsch: utrknn n 3 puntn (Gauss puntn), n. { K }, { K }, { K } m n Zodat: { K } = { K } + { K } + { K } 3 m n Vrdr opossng Vrpaatsngn: { r} = { K}. { a} + { f} Spannngn wordn numrk brknd n d Gauss puntn: { σ } = { D }. { B }. { a } Bsut: spannngn wordn brknd n Gauss puntn, tussnn door ntrpoat of xtrapoat ussn mntn n: utmddn

21 Kwadratsch vs. nar Pro Mndr mntn nodg om d gomtr t bnadrn Varab spannng n rk Contra Rkntd s crca 11 maa angr Grotr bandbrdt van d stfhdsmatrx IV.7 Combnat van vrschnd mnttyps 1

22 Drhokn vs. vrhokn Drhokn Vogn compx gomtr Mndr gvaar op msvormd mntn Voor grg gomtr Vrhokn Haf zov mntn Knoopnummrs vogn ogsch Voor rchthokg gomtr Lnar vs. kwadratsch Lnar Envoudg thor Idaa as spannng wng varrt Kwadratsch Mndr mntn = ovrzchtk Voor nt-constant spannng Erst mt nar mntn vrmazn, dan zfd vrmazng mt kwadratsch

23 Mngn van mnttyps God Fout nar nar nar parabosch nar Fout Ovrgangsmntn

24 IV.8 Utgwrkt voorbd Vrmazng mt grov kwadratsch drhokn

25 Vroop van σ x angshn CC Vroop van σ y angshn CC 5

26 Vroop van τ xy angshn CC Vroop van σ x angshn BB 6

27 Vroop van σ y angshn BB Vroop van τ xy angshn BB 7

28 Vrmazng mt fn kwadratsch drhokn Vroop van σ x angshn CC 8

29 Vroop van σ y angshn CC Vroop van τ xy angshn CC 9

30 Vrmazng mt fn kwadratsch vrhokn Vroop van σ x angshn CC 3

31 Vroop van σ y angshn CC Vroop van τ xy angshn CC 31

32 Zr fn vrmazng mt kwadratsch drhokn Dta van d vrmazng 3

33 Vroop van σ x angshn CC Vroop van σ y angshn CC 33

34 Vroop van τ xy angshn CC 3