De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreidere antwoorden Hoofdstuk 5 Exponentiële functies

Transcriptie

1 D Wagnings Mthod 5&6 VWO wiskund B Uitgbridr antwoordn Hoofdstuk 5 Eponntiël functis Paragraaf Eponntiël functis a. J mag wl van n artikl van 00 uro uitgaan. Bij d n krijg j: Bij d andr: Bid zijn godkopr gwordn Mt 0% vrhogn is vrmnigvuldign mt,; mt 0% vrlagn is vrmnigvuldign mt 0,9. Bid vrmnigvuldign mt 0,9,0,99, d prijs is dus mt % vrlaagd bij bidn. b. Evn duur 7 a. 7 p+ 7 p 7 p 4 p b ,5 40, B B H 0 4H B H a. 0,8 -,5 0,8 (0,5) 0, 5 0, 5 0, 5 b. 5 / (), 0 () a. 4% pr halfjaar is voordligr: ht twd halfjaar ontvang j ook nog d rnt ovr d rnt van ht rst halfjaar. Of: 4% pr halfjaar is pr jaar vrmnigvuldign mt,04 >, ,0 60,5 c., d., 7. K(t)000, t f. Groifactor pr jaar is,,, dus % a. 75% van 75% is 0,75 75%56,5% b. y00 0,75 c. 00 0, d.,; 0,75 4 a. Als r 0% vrdwijnt, blijft r 80% ovr, dus 0,8. b. S(t)5 0,8 t c. 5 / 0,8 95, d. 5 0,8 t t,6 (J kunt n tabl makn of d opmrking op blz 8 gbruikn.) 5 a. N(t)000 8 t c t 0 8 t 8 log 0 5 5,57 d. Er blijft 0%/ ovr. D koloni mot 0 kr zo groot wordn. 8 t 0 t 8 log 0,07 6 a. Afnmn mt 8,%vrmnigvuldign mt 0,080,97. En 0,97 8 0, ,5. b. 86 dagn, 0,97 8 0,97 8 0,5 0,5 c. J(t)00 0,97 t d. 0,97 t log 0,0 0,0 t 5,48 dagn log 0,97 0 a. Aan d bovnkant van links naar rchts:,, 4,. D horizontal lijn hoort bij g. Als ht grondtal klinr is dan, krijg j n dalnd functi, andrs n stijgnd. Ho vrdr ht grondtal van afligt, ho stilr d grafik loopt. b. Links van (0,) ligt d grafik van y() bovn d grafik van y n rchts van (0,) rondr. Links van (0,) ligt d grafik van y(b) ondr d grafik van y() n rchts van (0,) rbovn. a. (0,), want g 0 voor lk gtal g>0. b. Dan is g>. Dan is 0<g<. Ht gval g; dan is d functi constant. c. Hl licht dalnd; bijna horizontaal. Hl licht stijgnd; bijna horizontaal. Stijgnd, stijgnd, dalnd, dalnd a. D grafik van y is symmtrisch in d y-as n hft n top. D grafik van y is stijgnd n hft n asymptoot. b c. Ja, 00 is vl grotr dan 0. 4 a.,5,78,56,,0 b. D rlativ tonams van zijn constant. D rlativ tonams van wordn stds klinr n nadrn. 5 a. omhoog vrschuivn, spigln in d -as n dan wr omhoog vrschuivn. b. N; ja. c. y; y. d. Brik f: y>; brik g: y<. Uitgbridr antwoordn D Wagnings Mthod wiskund b 5&6 vwo Hoofdstuk 5

2 . f()4 ( ) g() - 6 a. a(t) t b. b()a(), b(7)a(5), b(t)a(t ) d. naar rchts. c(t)a(t+), naar links f. t+ t t 4 g. Vrticaal mt factor 4 (tn opzicht van d - as). h. d(4)a(6), d(5)a(7), d(t)a(t) i. Horizontaal vrmnigvuldign mt factor B (tn opzicht van d y-as). j. ; d(t)( ) t k. t ( ) t ( ) t ( ) t, mt rgl III, I n V. 7 a. (,0), y( ) b. (,), y( ) + 8 b. Horizontal vrschuiving naar rchts. c. Vrtical vrmnigvuldiging mt factor 7 (tn opzicht van d -as). Uit rgl (of II): 7 9 a. Gspigld tn opzicht van d y-as. b. Rgl VI c. 5 ; -5 0 a. Valln samn. b. : ; Rgl II. c. Vrticaal vrmnigvuldign mt factor (tn opzicht van d -as). Horizontaal vrschuivn naar rchts. d. Dan 64, dus 6 a. D grafik van y8 vind j door d grafik van y mt factor t vrmnigvuldign t.o.v. d y- as. 8 ( ) ; Rgl III b. B, zi 9c a. f()+( - ) ; f(5)+( -5 ) 6. b. f()+( - ) als 0. c. Ht rchtr dl van d grafik vind j door ht linkr dl t spigln in d y-as. Paragraaf Ht gtal a. Bijvoorbld: d functi f is stijgnd, dus is f ()>0 voor all. Maar d formul gft ngativ waardn als <0. b. D grafik is stijgnd, loopt naar links to stds vlakkr naar d -as n naar rchts stds stilr, zo stil als j maar wilt, dus all positiv waardn n gn andr. a+ a. voor all a a a+ 0, 0 0, 0 b. voor all a a b. D grafik van Y /Y lijkt n horizontal lijn t zijn. 5 a. Door horizontal vrmnigvuldiging mt factor tn opzicht van d y-as. D grafik van y 4 is in ht punt (0,) dus kr zo stil als d grafik van y. b. c 4 c 6 c 8 c, c c, c c, zi d vorig opgav, want 8, n 7 c c + -c (kttingrgl) c (idm) + c (productrgl) nb: c y 8 a. voor klin waardn van ; kis 0,00. b. g 0,00 0,00 g 0,00,00 g,00 000, c. g, , a.,5,5 kr zo groot b.,5 4,44 kr zo groot c., 0,59 kr zo groot d.,0 00,70 kr zo groot., of algmn (+ n ) n. 0 D grafikn van Y n Y ndriv(y,x,x) valln samn. y y - y y, dus y y y y + y y - 5 y, dus y b. Ht zit r naar uit dat z lkaar rakn in ht punt mt rst coördinaat. Als, dan zijn d y-waardn glijk: n zijn d y -waardn glijk, namlijk allbi. Uitgbridr antwoordn D Wagnings Mthod wiskund b 5&6 vwo Hoofdstuk 5

3 4 richtingscoëfficiënt PR PQ RQ RQ 5 y + (productrgl) y + (productrgl) + u u, dus y u (+ ) + u u, dus y u - + RQ 6 a d D -0,t+0 0 b. -0, ; op t0 gft dit -0, dt c. Aan ht mintkn: als t grotr wordt, wordt -0,t+0 klinr, dus wordt dan ook D klinr. d. D0 7 a. f() is maimaal, namlijk als 0; f() nadrt tot 0 als hl groot wordt. Dus nmt f() all positiv waardn aan di zijn. b. f'()- f"()- +-- (-+4 ), dus f"() of -. Buigpuntn: (, ) n (-, ). Paragraaf D natuurlijk logaritm a. p>0 n q kan all waardn aannmn. b. 0 log, dus - - a. Door spigling in d lijn y. b. >0 ; y kan lk gtal zijn log 7,5 7,5,9 uur. log 4 a. Door omhoog t schuivn. Rgl I: log 4 log 4+ log + log. b. Door vrticaal mt t vrmnigvuldign (tn opzicht van d -as). Rgl III: log log. c. Door t spigln in d -as. Rgl II: log log log - log. d. Door vrticaal t vrmnigvuldign mt factor (tn opzicht van d -as). Rgl IV: 4 log log log. log 4 5 a. Di is /0,69,45. (Als j n lijn mt richtingscoëfficiënt a 0 in d lijn y spiglt, dan krijg j n lijn mt richtingscoëfficiënt a.) b. In (4,) is d hlling ongvr 0,6. c. In (,-) is d hlling ongvr,86. 6 a. Afnmnd stijging. b. y is positif n dalnd. 7 b. D positiv gtalln; all gtalln a. Ht nig vrschil is dat grondtal is vrvangn door grondtal. b. 4,605...; klopt. 0 b. y is ht omgkrd van ; y. a. ln b. (omgkrd van a) a. b. c. a. d y dy d u u d u du b. d d u d d d d u d u c. d d 4 a. ln'(), d richtingscoëfficiënt. Vrglijking y +b. D lijn gaat door (,), dus b0. Vrglijking is dus y. b. Richtingscoëfficiënt4, dus n vrglijking is: y4+b. D lijn gaat door (5, ln5), dus b -+ln5, n vrglijking is: y4 +ln5 5 y (somrgl) y - y (vlvoudrgl) y 6 y (want lnln+ln, somrgl) y (kttingrgl) + u lnu, dus y lnu u ln, dus y u Uitgbridr antwoordn D Wagnings Mthod wiskund b 5&6 vwo Hoofdstuk 5

4 7 y + (somrgl n vlvoudrgl) ln y + (quotiëntrgl) y ln + ln+(productrgl) y ln + ln+ (productrgl) 8 a. L0, 4,ln80a 0,0a. Als a tonmt, nmn 4,ln80a n 0,0a bid to n nmt L dus af. b. L86,5 4,ln00v + 0,6v. -4, 4, L +0,60 als v 6,875. Mt d v 0, 6 grafik blijkt dat L dan indrdaad minimaal is. -4, -4, c. L a+0,6 +0,6 hangt nit af av v van a. D waard van v waarvoor L 0 (n L minimaal is) hangt dus ook nit af van a. ln 9 a. f'() 0 d top is (, ) - ( ln ) b. f"() 4 f"()0 - ( ln ) 0 - ( ln)0 ln,ht buigpunt is (, ). Paragraaf 4 Bij andr grondtalln a. 8 b. Horizontal vrmnigvuldiging mt factor (tn opzicht van d y-as). log log a. b. Horizontal vrmnigvuldiging mt factor (tn opzicht van d y-as). log ln ln a. ( ) b. Horizontal vrmnigvuldiging mt factor (tn opzicht van d y-as). lng lng 4 a. ( ) g b. Horizontal vrmnigvuldiging mt factor (tn opzicht van d y-as). 5 a. 504 b. 05-0,4h 80-0,4hln80 ln05 dus h 9, km ln lng c. -0,4h log -0,4 h h ( ) h 0,4 log -0,0 L05-0,0 h log -0,4 0, 06, dus d. L05 0-0,06 h, ( 0 0 ). Ht gtal dat r mot komn staan nomn w g. Dan g g log -0,4 g, dus g log- 0, dus, 4 g -0,4 0,87, dus L05 0,87 h 6 a. u ln ( ln ) y d y du d y b. ln u ln d d du c. c 0, a. ln0 0, 0 b. ln ( ) -( ) c. ln 8 a. (ln) (ln) 4ln 4 ln6 b. ln 9 a. 4 log log log log log4 b. 8 log log c. log- log 0 a. Vrtical vrmnigvuldiging mt factor (tn opzicht van d -as). b. Vrtical vrmnigvuldiging mt achtrnvolgns d factorn, -, - n - (tn opzicht van d -as). a. ln log ln a. b. Vrtical vrmnigvuldiging mt factor opzicht van d -as). ln b. c. ln0 0,4 ln - ln 4 a. 50 7, ln790,96 km 960 mtr. b. 50 7, ln9500,6 km 65 mtr. c. 50 7, ln900,0 km 00 mtr. d.7,lnl7, h50 4,99 logl log L log 7, log ln (tn logl, dus Uitgbridr antwoordn D Wagnings Mthod wiskund b 5&6 vwo Hoofdstuk 5 4

5 . 7, 6,58, dus h50 6,58 logl log 7, f. g 7,, dus g /7,,5, dus g log h50,5 logl g. h50 7, lnl lnl6,94 0,4h L 6,94 0,4h 6,94 0,4h 0-0,4h ; klopt rdlijk. 5 +u loguy, dan y' ln, dus u y' ln + y' want log() log+ log ln u loguy, dan + y' ln + -(+ ) ( ) ln + - (+ ) (+ ) ln - ln - + y', want log log log ln0 +. Paragraaf 5 Gmngd opgavn dy dy. Als, dan. Als a>, d lna d lna ligt P ondr d -as. D richtingscoëfficiënt van d OP raaklijn is dan. Dus. Dus a. ln a Als a<, ligt P bovn d -as. D richtingscoëfficiënt van d raaklijn is dan -. Dan -. Dus lna a -. gl IV. b. p p (p+) p+ p(p+) p4p+8 p-b. a. g() f(), dus horizontal vrmnigvuldiging mt factor (tn opzicht van d y-as). h() f(), dus horizontal vrmnigvuldiging mt factor (tn opzicht van d y-as). b. A D C B Uit a volgt ACAB n ADAB. ADB n CD. a. f'() + ln (+ln ); f'()0 +ln log mt r- ln c. P(p, p ); f'(p)ln p. Omdat d raaklijn f p door d oorsprong gaat, gldt ln p p ln p p log. p ln ( ) p 4 a. f()0 ln(ln )0 of, dus (,0) n (,0) ln ln b. f'() ; f'()0 ; top: (,-). 4 ln c. f''() ; f''()0 ln, dus buigpunt: (,0). f'( ), dus buigraaklijn: y +b; (,0) ligt op d lijn b- buigraaklijn: y. d. f() (ln) ln 0 (ln )(ln+)0 of. 5 A() is d afstand in ht kwadraat van punt (,f()) tot O. A() + 4. A() minimaal A'()0 6 0 of 7. 0 voldot nit, dus ± ln 8. 0 ( 8 )0 6 a. + ln + ++ln 7 ln8 b. f()0 ++ln ++ln +ln. c. f'() + ; f'()0 + + ; f() -. d. f''()4 + ; f''()0 + +ln + +ln+ ln. 7 a. Voor <0 gldt g()ln(-); g'()- - g'(-)- vrglijking raaklijn: y-. b. P(p,0). f(p)0 ln(p+4)0 p+4 p-. f'() f'(-), raaklijn hft + vrglijking y+b n raaklijn gaat door (-,0), dus vrglijking is y +. c. P Q R Nm aan: R(r,g(r)), danq(-r,g(-r)) n P(-r,f(-r)). Er gldt f(-r)g(r), dus ln(-6r+4)lnr, dus Uitgbridr antwoordn D Wagnings Mthod wiskund b 5&6 vwo Hoofdstuk 5 5

6 -6r+4r r 7 4 ag(r)ln a. f'() ; f'()0 n 0. f(). D trm waard is. b. f''() + + ; f''()0 4. Buigpunt: (4,4 ln4) ; f'(4), dus vrglijking buigraaklijn: y+ ln4. 9 a. f'()- - OQ ; f'(0)-, dus ; vrdr OQ, OP dusop; opp. OPQ. b. y A Q C P B, 4 voor all >0 4 5,,, 5 6 ln ln, ln , 00 ln, log Stl A(a,f(a))m, dan f(a), dus a-. B(b,f(b)); a-, dus b; g(), dus p, dus p. 0 a. Ht gmiddld van f() n g() is, dus f()+g(), dus g() f() (ln). b. Snijpunt links van d lijn: B(b,f(b)); dan f(a)f(b) (lna) (lnb) lnb-lna ln a, dus b a. c. a a 4K a 4Ka 0 (a 5)(a+4)0, dus a5 (want a ligt rchts van ). Rkntchnik y log + log, dus y n z vrschilln n constant. Dat y z volgt uit d rgl: loga logblog b a. y (log) log+log, dus y n z vrschilln n constant., Uitgbridr antwoordn D Wagnings Mthod wiskund b 5&6 vwo Hoofdstuk 5 6