Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: integralen en afgeleiden. 16 september dr. Brenda Casteleyn

Transcriptie

1 Voorbriding tolatingsamn arts/tandarts Wiskund: intgraln n afglidn 16 sptmbr 017 dr. Brnda Castlyn Mt dank aan: Athnum van Vurn Ln Goyns (

2 1. Inliding Dit ofningnovrzicht is opgbouwd vanuit d vragn van d vorig amns, grangschikt pr thma. D vragn komn van divrs sits. Vooral d sit van Ln Goyns was handig n ht athnum van Vurn hft n prachtig wbsit mt uitgwrkt antwoordn n tra ofningn.. Ofningn ovr intgraln 1997 juli Vraag 7 Brkn d waard van d volgnd bpaald intgraal: <D> 1997 Juli Vraag 8 Bschouw d volgnd functi: y( ) =..(6. Ln( ) 1) + C Dz functi is ht rsultaat van: <D> 5. d 5. Ln( ) d 7. d ( Ln( ) ) 5 d 1997 Augustus Vraag 4 Erst bwring: = + dr. Brnda Castlyn Pag

3 Twd bwring: als u() bn v() aflidbar functis zijn, dan gldt: = <D> Alln d rst bwring is juist Alln d twd bwring is juist Bid bwringn zijn juist Bid bwringn zijn onjuist 1997 Augustus Vraag 10 D waard van is 000 Juli Vraag 3 D waard van ln 4 ½ ln4 ln 4 <D> ln / is: /3 1/3 1/4 <D> 1/5 001 Augustus Vraag 7 D waard van is: <D> Juli Vraag 9. sin = π π/ π/ <D> π dr. Brnda Castlyn Pag 3

4 007 Augustus Vraag 1 Stl dat d functis F() n G() primitiv functis zijn van d functi f(). Wlk van ondrstaand bwringn is dan juist? <D> D functis F() n G() zijn glijkwardig Er bstaat n rël gtal r zodat F() = rg() D functis F() n G() kunnn hoogstns in n constant vrschilln F() n G() kunnn alln rational functis zijn 007 Augustus Vraag 7 Ggvn is Wlk bwrig is dan juist = ln n cos = sin <D> = ln sin = sin ln = ln + is nit t brknn alln op grond van d ggvns 008 -Augustus Vraag Voor partiël intgrati gldt: f ( ). g '( ) d = g( ). f ( ) g( ). f '( ) d Bpaal d volgnd bpaald intgraal: π 0.(sin( ) + cos( )) d π / -π / π + <D> π Augustus Vraag 7 B bschouwn tw uitdrukkingn: Uitdrukking 1: ln( ) d = ln( ) + + c t dr. Brnda Castlyn Pag 4

5 Uitdrukking : 1 1 Sin ( ) d = + Cos(4 ) + c 8 t Wlk uitdrukkingn zijn wiskundig juist? <D> Uitdrukkingn 1 n zijn juist. Uitdrukkingn 1 n zijn fout. Uitdrukkingn 1 is juist n uitdrukking is vrkrd. Uitdrukkingn 1 is vrkrd n uitdrukking is juist. 01 Juli Vraag 6 vrsi 1 Brkn d volgnd onbpaald intgraal:. 3 d <D> c t c 3. 3 t + c + c t t 010 Juli Vraag 6 vrsi Brkn d volgnd onbpaald intgraal:. 3 d c t + k + k dr. Brnda Castlyn Pag 5

6 <D> k 01 Augustus Vraag 6 Brkn d volgnd onbpaald intgraal: 5 Sin. d <D> 5 Cos + C 5 5 Cos + C Cos + C 5 5 Cos + C 014 Juli Vraag Wrk d volgnd onbpaald intgraal uit: 1 4 I = Ln( ) + d <D> 1 4 I =. Ln( ) C 1 4 I =. Ln( ) + + C I =. Ln( ) + + C I =. Ln( ) C dr. Brnda Castlyn Pag 6

7 014 Augustus Vraag Ggvn zijn tw uitwrkingn van n onbpaald intgraal: I 1 =. cos =. sin + cos + I =. =. + Wlk van dz tw uitwrkingn zijn corrct? I 1 n I zijn corrct I 1 n I zijn vrkrd I 1 is vrkrd n I is corrct <D> I is vrkrd n I 1 is corrct Juli Vraag 1 Ggvn d volgnd glijkhid = 80 Wlk waard hft n in dz vrglijking? ,3 10 <D> Juli Vraag 1 Brkn d volgnd bpaald intgraal: 3/ 3/4 3/8 <D> Augustus Vraag 6 Voor wlk waard van gldt dat / sin cos 3 1 = 1 dr. Brnda Castlyn Pag 7

8 = 6 = 5 = 3 <D> = 015 Augustus Vraag 14 Bpaal n waarvoor = 18 n = 14 n = 10 n = 8 <D> n = Juli gl Vraag Ggvn is d functi f mt als voorschrift f() = Wat is ht voorschrift van d afglid functi f? f () = f () = f () = <D> f () = 016 Juli gl Vraag 3 D afglid van n functi f, gdfinird op ]0, + [ is ggvn door f () = ln. Bovndin is f ( ) =. Dan is f ( ) glijk aan: + <D> Augustus gl Vraag 1 dr. Brnda Castlyn Pag 8

9 Ggvn is d functi f mt voorschrift f() = voorschrift f ) = f () = f () = <D> f () =- 017 Juli gl Vraag 3 Brkn d + d + d. D afglid functi f hft als <D> 7 ln4 9 ln4 14 ln4 16 ln4 017 Augustus gl Vraag 3 D functi f wordt ggvn door ht functivoorschrift f() = A ω. Hirbij zijn A n ω constantn. Er is ggvn dat f(0) n f (0) = 1 Bpaal 4( +1) 4 4 <D> 4( -1) 017 Augustus gl Vraag 13 Brkn d intgraal. <D> ln 1 + ln ln 1 + ln dr. Brnda Castlyn Pag 9

10 3. Oplossingn ofningn 1997 juli Vraag (waarbij y = 1+ n dy = d; nniuw grnzn: voor = 0 y=1 n voor = -1 y =)) (ln() ln(1)) 1 (1-0) = 0 Antwoord B 1997 Juli Vraag y( ) =..(6. Ln( ) 1) + C Ggvn: 36 Gvraagd: van wlk intgrati is dz functi ht rsultaat vanprimitiv trug naar intgraal = aflidn: Y () = [65 (6ln 1) + 6 ] = [365 ln ] = 5 ln Antwoord B 1997 Augustus Vraag 4 Ggvn: Erst bwring: = + Twd bwring: als u() n v() aflidbar functis zijn, dan gldt: = Gvraagd: wlk bwringn juist? D rst bwring is n topassing van d twd bwring. Z zijn allbi juist: dr. Brnda Castlyn Pag 10

11 Antwoord C 1997 Augustus Vraag 10 D waard van is Gbruik substituti: y = ln dan is dy = 1/ d Vrvanging in d intgraal gft: Primitiv: = ln() / Invulling van waardn: = = 0 (want ln 1 = 0) Pas ignschappn log to: log a n = n log a = = Antwoord D 000 Juli Vraag 3 D waard van / is: Gbruik substituti n partiël intgrati: Y =, dus dy = d Vrvanging in intgraal gft: / = = = 0 1 = + = ¼ dr. Brnda Castlyn Pag 11

12 Antwoord C 001 Augustus Vraag 7 D waard van is: (in tllr optlln n trug aftrkkn) = 1 = ln(+1) Ι 0-1 = (-1-ln) (0-ln1) = -1- (ln1 = 0) = -3 Antwoord B 00 Juli Vraag 9 Gbruik partil intgrati:. sin = (-cos ) cos = - cos + sin. sin Waardn invulln: (-πcos π + sin π) ((-0.cos(0) + sin(0)) = -π(-1)+0 =π Antwoord D 007 Augustus Vraag 1 Stl dat d functis F() n G() primitiv functis zijn van d functi f(). Wlk van ondrstaand bwringn is dan juist? D functis F() n G() kunnn hoogstns in n constant vrschilln Antwoord C 007 Augustus Vraag 7 Ggvn is Wlk bwring is dan juist = ln n cos = sin dr. Brnda Castlyn Pag 1

13 = ln sin = sin ln = ln + is nit t brknn alln op grond van d ggvns Gmakklijkst manir is uitkomst van lk oplossing aflidn: Bij A: (ln sin) = = (gbruik: (ln f)' = f'/f ) Bij B: (sin ln ) = cos ln. (ln) = cos Bij C: (ln + ) = A, B n C zijn alldri onjuist Antwoord D. + = + Om d intgraal op t lossn: gbruik = ln + Ct = = = ln + Ct 008 -Augustus Vraag Voor partiël intgrati gldt: f ( ). g '( ) d = g( ). f ( ) g( ). f '( ) d Bpaal d volgnd bpaald intgraal: π 0.(sin( ) + cos( )) d. sin + cos =. sin = cos. cos + sin. sin = -cos. + sin + sin. + cos Waardn invulln: +. cos = (-cosπ.π + sinπ + sin π.π + cosπ)- (-cos(0).0 + sin(0) + sin (0).0 + cos (0)) dr. Brnda Castlyn Pag 13

14 = (-(-1)π π + (-1)) - ( ) = π 1-1 = π - Antwoord D 010 Augustus Vraag 7 B bschouwn tw uitdrukkingn: Uitdrukking 1: Uitdrukking : ln( ) d = ln( ) + + c 1 1 Sin ( ) d = + Cos(4 ) + c 8 t t Wlk uitdrukkingn zijn wiskundig juist? Uitdrukking 1: gbruik partiël intgrati togpast op 1. ln ln = ln = +, dus uitdrukking 1 is fout Uitdrukking : zt ht kwadraat om door gbruik t makn van machtsrductirgl: = D intgraal uit uitdrukking wordt dan = - cos4 = = - cos (mt u = 4 n du = 4d) = - sin + = - sin 4 + Ook uitdrukking is fout Antwoord B 01 Juli Vraag 6 vrsi 1 Brkn d volgnd onbpaald intgraal:. 3 d dr. Brnda Castlyn Pag 14

15 Gbruik substituti: = du = =. = 3 d d = D intgraal wordt dan: = = = Antwoord C 010 Juli Vraag 6 vrsi Brkn d volgnd onbpaald intgraal:. 3 d Gbruik subsituti: = u du = ( =. =. d d = du/. D intgraal wordt dan: =. = = + Ct Antwoord B 01 Augustus Vraag 6 Brkn d volgnd onbpaald intgraal: 5 Sin. d Gbruik substituti: = du = 5/ d, dus: d = /5 du D intgraal wordt dan: sin = cos = cos + Ct Antwoord B dr. Brnda Castlyn Pag 15

16 014 Juli Vraag Gvraagd: brkn = + splits d somi = + Brkn d rst trm van d som dmv partiël intgrati: 1 = ln=.ln() -. =.ln() Brkn d twd trm dmv substituti: ¼ = t, dus dt = d(1/4) = ¼ d n dus is d = 4.dt Vrvang: = 4. = 4. = 4. Dus I =.ln() C Antwoord A 014 Augustus Vraag Ggvn zijn tw uitwrkingn van n onbpaald intgraal: I 1 =. cos =. sin + cos + I =. =. + Wlk van dz tw uitwrkingn zijn corrct? manirn: ofwl intgraal uitwrkn. Ofwl oplossing trug aflidn. I 1 : via intgraal: I 1 =. cos = = sin(). - sin.1. (gbruik partiël intgrati waarbij = u n cos = v ) =. sin + cos + Via afliding:. sin + cos = (sin() + (cos()) = sin() +.cos() sin() =.cos() dr. Brnda Castlyn Pag 16

17 I 1 is juist I via intgraal: I =. = formul voor normaalvrdling, hft gn primitiv functi. Via afliding. =. +.. I is fout Antwoord D = Juli Vraag 1 Ggvn d volgnd glijkhid = 80 Gvraagd: Wlk waard hft n in dz vrglijking? Elk trm in dz som hft dzlfd algmn vorm: nl. gaat na 1 tot n. + 1 waarbij n Brkn d waard van d rst trm mt n = 1: = + C = 8/3-1/3 = 7/3 Vrmits lk trm dzlfd vorm hft is dit ook d uitkomst van lk trm. Ht aantal trmn is glijk aan n want w vrtrkkn van 1 n indign bij n. Wannr w dan dln door 7/3 wtn w n: 10 Antwoord C Juli Vraag 1 Brkn d volgnd bpaald intgraal: / sin cos dr. Brnda Castlyn Pag 17

18 Gbruik substituti: stl sin() = u dan is du = cos (), dus cos () = du D intgraal wordt dan = + = + C Invulln grnzn: / Antwoord C 015 Augustus Vraag 6 - Voor wlk waard van gldt dat + 6. = 1 = - 0 = / = 3/8 3 1 = = = 1 Voor = : (-3-1 3) = = 1 Antwoord D 015 Augustus Vraag 14 Bpaal n waarvoor = 18 Zok d oplossing van d algmn trm n Substituti: -n+ 1 = t d(t) = d(-n+1) = d n = + 1 = = n(1/ 0) = ½ n Dus voor n = 1 gldt: 1 = = ½ - 0 = 1.1/ dr. Brnda Castlyn Pag 18

19 Voor n = gldt: 1 = =.(½ - 0 )=.1/ W krijgn dan voor hl d rks S = ½ + / + 3/ + + (n-1)/ + n/ D vraag is nu voor wlk n dz som glijk wordt aan 18? Zt ½ buitn d haakjs: S = ½ ( (n-1) + n) = 18 of (1++3+ (n-1) + n = 36 Tl op tot j aan 36 komt: = 36 n = 8 Antwoord C 016 Juli Vraag Ggvn is d functi f mt als voorschrift f() = Wat is ht voorschrift van d afglid functi f? (1/f ) = -f /f = =. Antwoord A 016 Juli Vraag 3 =( ) =. = D afglid van n functi f, gdfinird op ]0, + [ is ggvn door f () = ln. Bovndin is f ( ) =. Dan is f ( ) glijk aan: = ln = + f( ) = ln + c =.1 + c = c maar w wtn ook dat f () = dus c = f() = ln + f( ) =.ln + = ln =..ln =. dr. Brnda Castlyn Pag 19

20 Antwoord B 016 Augustus Vraag 1 Ggvn is d functi f mt voorschrift f() = voorschrift A. f ) = B. f () = C. f () = D. f () =- f = (1/sin ) = = = 1/sin Antwoord C 017 Juli gl Vraag 3 Brkn d + 4 d + = = d + d + 8 d = ln + 4ln + 8ln d = (ln ln1) + 4(ln4 ln) + 8(ln8 ln4) = (ln) + 4(ln) = 8(ln) = 14 (ln) = 7. ln = 7 ln = 7 ln4 Antwoord A 017 Augustus gl Vraag 3. D afglid functi f hft als dr. Brnda Castlyn Pag 0

21 D functi f wordt ggvn door ht functivoorschrift f() = A ω. Hirbij zijn A n ω constantn. Er is ggvn dat f(0)= n f (0) = 1 Bpaal vrmits f(0) n f (0) = 1 wtn w dat A = n ω = ½ Immrs: A ω0 = als A = n (A ω0 ) = 1 als (A. ω0.ω) = 1 of A.ω = 1 n vrmits A =, is ω = 1/ A Substituti: stl 1/ = t d(1/) = dt d() = dt/1/ =.dt. = 4 / = 4( 1/ 0 ) = 4-1) Antwoord D 017 Augustus gl Vraag 13 Brkn d intgraal Gbruik partiël intgrati:. =. -. D brkning wordt dan:. = ( ) (ln ½ ln1/ ln1/ ) = -ln1/. (1/) + ½ = ½ (-ln ½ + 1) dr. Brnda Castlyn Pag 1

22 Notr dan ln ½ = ln1 ln = -ln n dat 1 = ln n vrvang = ½ (ln + ln) = ½ (ln ) = ln () 1/ = ln Antwoord C dr. Brnda Castlyn Pag