TEKENEN IN PERSPECTIEF P.W.H. Lemmens, november 2002, revisie maart 2005

Transcriptie

1 TEKENEN IN PERSPECTIEF P.W.H. Lemmens, november 2002, revisie maart 2005 We stellen ons voor dat we een tekening maken van wat we zien door de ruimte (3- dimensionaal) af te beelden op een plat vlak (het 2-dimensionale tekenscherm) via een centrale projectie. We nemen een centrum van perspectiviteit, meestal één oog dat een vaste positie heeft, en trekken vanuit dat centrum een lijn naar een punt x in de ruimte. Het snijpunt van deze lijn met het tekenscherm is het beeld P (x) van x. Een concrete situatie in R 3 is bijvoorbeeld: Het oog in (0, 0, 0) en het tekenscherm is het vlak (ξ, a, ζ), waarin a een positieve constante is. In deze situatie wordt het punt (ξ, η, ζ) afgebeeld op α (ξ, η, ζ), met α zo dat α η = a, dus α = a/η, zodat P ((ξ, η, ζ)) = (a ξ/η, a, a ζ/η). Hiermee kunnen we door berekening van elk punt (ξ, η, ζ) met η 0 het beeldpunt bepalen. Alleen punten met η = 0 hebben geen beeldpunt. In werkelijkheid kijkt de tekenaar alleen vooruit, dus hij tekent alleen de beelden van punten met η > 0. Bovendien is het schilderij begrensd, maar ook daarmee kan rekening worden gehouden. Op basis van deze beschrijving kunnen we bijvoorbeeld een computerprogramma maken dat ingewikkelde situaties perspectivisch tekent (denk aan een wenteltrap). Een aantal nuttige regels voor perspectivische tekeningen maakt het mogelijk om constructies uit te voeren zonder berekening. Noem E 0 het vlak door het centrum, evenwijdig aan het tekenscherm. - Het beeld van een rechte lijn die niet door het centrum gaat en niet in E 0 ligt, is weer een rechte lijn. - Als een rechte lijn een snijpunt heeft met het tekenscherm, dan gaat het beeld van die lijn door dat snijpunt. - Het beeld van een rechte lijn die door het centrum gaat en niet in E 0 ligt, is één punt. Dit punt is het snijpunt van die lijn met het tekenscherm. - Een rechte lijn die in E 0 ligt, kan niet worden afgebeeld. In het volgende bekijken we, tenzij uitdrukkelijk anders vermeld, alleen lijnen die niet door het centrum gaan en niet in E 0 liggen. - Evenwijdige lijnen die evenwijdig zijn aan het tekenscherm worden afgebeeld op evenwijdige lijnen. 1

2 - Evenwijdige lijnen die niet evenwijdig zijn aan het tekenscherm worden afgebeeld op lijnen die alle door één punt gaan. Dat punt heet het verdwijnpunt van die lijnen. Dit verdwijnpunt is het snijpunt van het tekenscherm en de unieke evenwijdige lijn door het centrum. - Eventuele verdwijnpunten van lijnen in één vlak liggen op één lijn in het tekenscherm. Deze lijn heet de verdwijnlijn of horizon van dat vlak. Het is de snijlijn van het tekenscherm en het unieke evenwijdige vlak door het centrum. - Evenwijdige vlakken, niet evenwijdig aan het tekenscherm, hebben dezelfde horizon. Als voorbeeld zien we in onderstaande schets twee evenwijdige lijnen m 1 en m 2 met beeldlijnen m 1 en m 2 en verdwijnpunt V. De horizon h van het vlak door m 1 en m 2 loopt evenwijdig (op het tekenscherm) aan de lijn door de snijpunten van m 1 en m 2 met het tekenscherm. h m 1 m 2 V m 1 m. 2 We bespreken nu een paar veelgebruikte constructies. Daarbij maken we gebruik van bekende constructies in de Euclidische vlakke meetkunde met snijdende en evenwijdige lijnen. We geven hiervan twee voorbeelden. Stelling 1. Zijn A, B, C punten op een lijn en X, Y, Z punten op een andere evenwijdige lijn, en gaan de lijnen van AX, BY, CZ door één punt S, dan geldt voor de verhouding van de afstanden dat AB : BC = XY : Y Z en AS : BS : CS = XS : Y S : ZS. 2

3 A X B Y S Z C (figuur stelling 1) Stelling 2. Zijn A, B, C, S punten op een lijn en X, Y, Z punten op een andere lijn door S, en zijn de lijnen van AX, BY, CZ evenwijdig, dan geldt voor de verhouding van de afstanden dat AS : BS : CS = XS : Y S : ZS. Ook gelden andere evenredigheden, zoals AB : BC = XY : Y Z. A B C S Z Y X (figuur stelling 2) De tegelvloer of tegelwand. Bij een vloer die betegeld is met parallellogram-vormige, even grote tegels (vaak rechthoeken of vierkanten) zijn de randen van de tegels paarsgewijs evenwijdig, en ook de diagonalen zijn paarsgewijs evenwijdig. Zo hebben we dus vier stelsels van onderling evenwijdige lijnen. Bovendien liggen deze lijnen allemaal in hetzelfde vlak. In het tekenscherm liggen de vier verdwijnpunten dus op de horizon van dat vlak, of de lijnen van een van de stelsels lopen evenwijdig aan die horizon. Aan het beeld van één tegel en de horizon hebben we genoeg om het beeld van de hele tegelvloer te kunnen tekenen. In de volgende constructies zullen we punten en lijnen in het tekenscherm voorzien van een accent. Komen X en X beide voor, dan is X het beeld van X. Het verdelen van een lijnstuk AB in q gelijke delen. Heeft de lijn van AB geen verdwijnpunt, dan is AB evenwijdig aan het tekenscherm, en 3

4 kunnen we ook in het tekenscherm de deelpunten op gelijke afstand nemen. Dit volgt uit stelling 1. Als de lijn van AB verdwijnpunt V heeft, dan moeten we onze toevlucht nemen tot een hulpconstructie. Trek een lijn m door A, en denk dat die het beeld is van een lijn m door A en evenwijdig aan het tekenscherm. Noem A nu A 0. Zet op m vanuit A 0 punten A 1, A 2,..., A q af zo dat elk tweetal opvolgenden dezelfde afstand (in het tekenscherm) heeft. De lijnen m en AB liggen in één vlak, en omdat m geen verdwijnpunt heeft loopt de horizon h van dat vlak in het tekenscherm evenwijdig aan m en gaat door V. Bepaal het snijpunt S van B A q met h en trek de lijnen S A i (i = 1,..., q 1). Hun snijpunten met A B zijn de gewenste deelpunten op A B. In feite tekenen we dus het beeld van een speciale situatie van stelling 2. Er zijn veel manieren om een lijnstuk in gelijke delen te verdelen. Zo kunnen we ook gebruik maken van een betegelde hulpwand. Het bepalen van het midden M van een lijnstuk AB. Dit kan gebeuren op bovenstaande manier, met q = 2, maar er is ook een andere manier om dit te doen. Denk het lijnstuk als een zijde van een parallellogram ABCD dat afgebeeld wordt. Een belangrijke eigenschap van een parallellogram is dat de diagonalen AC en BD elkaar snijden in hun middens S, en dat een lijn door S evenwijdig aan AD het lijnstuk AB in het midden (dus in M) snijdt. Dit is een toepassing van stelling 2. We beschrijven de constructie voor het geval dat de lijn door A en B verdwijnpunt V heeft. Neem een punt W en trek de lijnen W A en W B. Denk dat W het verdwijnpunt van twee evenwijdige lijnen door A en B is. Trek een lijn door V die W A en W B snijdt. Noem die snijpunten respectievelijk D en C. Dan is A B C D het beeld van een parallellogram (waarom?), en het beeld van het snijpunt van de diagonalen is het snijpunt S van A C en B D. De lijn door W en S snijdt A B in het beeld van het midden van AB (in het tekenscherm is dat niet het midden). Valkuilen. Lijnen die evenwijdig worden afgebeeld, hoeven in werkelijkheid niet evenwijdig te zijn. Objecten die in de tekening een samenhangend geheel vormen, hoeven in werkelijkheid niet samenhangend te zijn. 4

5 Literatuur. Martin Kindt, Lessen in Projectieve Meetkunde. Epsilon Uitgaven nr. 26 (1993) Agnes Verweij en Martin Kindt, Perspectiviteit, hoe moet je dat zien? Zebrareeks nr. 2, Epsilon Uitgaven (2001) Jan Vredeman de Vries, Perspective. Dover Publications (1968) 5