Het 3n + 1 vermoeden. Thijs Laarhoven

Transcriptie

1 Het 3n + 1 vermoeden Thijs Laarhoven tmmlaarhoven@studenttuenl 9 juli 2009

2 Inhoud 2/42 Inleiding en terminologie

3 Inhoud 2/42 Inleiding en terminologie 1 De Collatz-graaf en zijn spectrum

4 Inhoud 2/42 Inleiding en terminologie 1 De Collatz-graaf en zijn spectrum 2 Modulaire grafen en De Bruijn grafen

5 Inhoud 2/42 Inleiding en terminologie 1 De Collatz-graaf en zijn spectrum 2 Modulaire grafen en De Bruijn grafen Conclusie

6 Inleiding 3/42 T(n) = { n/2 als n even (3n + 1)/2 als n oneven (1937, Collatz) "Is er voor alle n 1 een k 0 met T k (n) = 1?" Voorbeelden van minimale k met T k (n) = 1: T 5 (3) = 1 T 4 (5) = 1 T 11 (7) = 1 T 13 (9) = 1 T 10 (11) = 1 Maar ook: T 70 (27) = 1 (1985, Erdös) "De wiskunde is nog niet klaar voor zulke problemen"

7 Varianten pn + q problemen: Generaliseer 3, 1 naar p, q { n/2 als n even T p,q (n) = (pn + q)/2 als n oneven 4/42 Collatz-achtige problemen: Generaliseer 2 naar m gevallen (a 0 n + b 0 )/m n 0 mod m (a 1 n + b 1 )/m n 1 mod m C m (n) = (a m 1 n + b m 1 )/m n m 1 mod m Voorbeeld: 3 gevallen n/3 n 0 mod 3 C 3 (n) = (2n + 1)/3 n 1 mod 3 (4n + 1)/3 n 2 mod 3

8 Terminologie Collatz-graaf: G = (V, E) met: V = N+ E = {(n, T(n)) n N+ } Pad: Reeks {c0, T(c 0 ), T 2 (c 0 ), } = {c 0, c 1, c 2, } 5/42 Cykel: Pad C = {c0, c 1,, c k 1 } met T(c k 1 ) = c 0 Convergent pad: Reeks IC = {, c 1, c 0, c 1,, c k 1 } Divergent pad: Reeks IP = {, c 1, c 0, c 1, } met c i Component: Maximaal verbonden verzameling oneindige paden Elk component bevat óf divergente paden, óf één cykel Level l(n): Afstand tussen n en vast punt n0 in een component Als n 0 = 1 dan geldt volgens het pad (3, 5, 8, 4, 2, 1) dat l(3) = 5 l(t(n)) = l(n) 1 als n niet in een cykel zit l(t(n)) l(n) 1 (mod k) als n in een cykel zit van lengte k 3n + 1 vermoeden: Enige component is N+ met cykel (1, 2)

9 Terminologie 6/42 Voorbeeld: 3n + 1 probleem, restrictie tot {1, 2,, 5000} Cykels: {(1, 2)}

10 Terminologie 7/42 Voorbeeld: 5n + 1 probleem, restrictie tot {1, 2,, 5000} Cykels: {(1, 3, 8, 4, 2), (13, 33,, 52, 26), (17, 43,, 68, 34)}

11 Terminologie Voorbeeld: C3 (n) probleem, restrictie tot {1, 2,, 5000} Cykels: {(1), (5, 7)} 8/42

12 1 De Collatz graaf en zijn spectrum Eigenwaarden en -vectoren van de Collatz-graaf 9 juli 2009

13 De Collatz-graaf 10/42 Bekijk de verbindingsmatrix A van de Collatz-graaf G A = A vooruit in de graaf Aei = e T(i) Eigenwaarden? Eigenvectoren?

14 Matrix A: Eigenwaarden bij cykels Voorbeeld: 3n + 1 probleem Component GC met cykel C = (1, 2) 11/

15 Matrix A: Eigenwaarden bij cykels 12/42 Kies ω C, λ C, en I C G C Kies v = λω l(n) e n + ω l(n) e n n I C,n C n C Λ Ω 7 Λ Ω 6 Λ Ω 5 Λ Ω 4 Λ Ω 3 Λ Ω 2 Ω 1

16 Matrix A: Eigenwaarden bij cykels Toepassen A: Alles schuift naar rechts op, behalve rand cykel λω = ω 2 dus Av = ωv als λ = 1 ω 2 13/42 Λ Ω 8 Λ Ω 7 Λ Ω 6 Λ Ω 5 Λ Ω 4 Λ Ω 3 Ω 2 Ω

17 Matrix A: Eigenwaarden bij cykels Speciaal geval: λ = 1 ω 2 = 0, dus ω µ 2 = { ω ω 2 = 1 } Dan v = ω l(n) e n en Av = ωv n C 14/42 Ω 1

18 Matrix A: Eigenwaarden bij divergente paden Voorbeeld: 5n + 1 probleem Component GP met pad door 7 waarschijnlijk divergent 15/

19 Matrix A: Eigenwaarden bij divergente paden 16/42 Kies ω C en kies een divergent pad I P G P Kies v = ω l(n) e n n I P 1 Ω 1 Ω 2 1 Ω 3 1 Ω 4 Ω 1 Ω 3 Ω 2

20 Matrix A: Eigenwaarden bij divergente paden Toepassen A: Alles schuift één level naar rechts op Dus Av = ωv 17/ Ω 1 Ω 2 1 Ω 3 Ω 2 Ω Ω 4 Ω 3

21 Matrix A: Eigenwaarde 0 Voorbeeld: 3n + 1 probleem Kies ω C en n N + oneven Voorbeeld: n = /42 Kies v = en e 3n+1 Dan Av = et(n) e T(3n+1) = 0 40 Ω A 0 Ω

22 Spectrum van A Algemeen: Cykel C van lengte k Eigenwaarden bij cykels met λ = 0: Eigenwaarden: ω C met ω µ k Eigenvectoren: n I C,n C λω l(n) e n + n C ω l(n) e n Dimensie: 1 per convergent pad IC G C, per component G C Eigenwaarden bij cykels met λ = 0: Eigenwaarden: ω C met ω µ k 19/42 Eigenvectoren: n C ω l(n) e n Dimensie: 1 per component G C Eigenwaarden bij divergente paden: Eigenwaarden: ω C Eigenvectoren: n IP ω l(n) e n Dimensie: 1 per divergent pad IP G P, per component G P Overig: Eigenwaarde 0 met eigenvectoren e2n+1 e 6n+4 Dit zijn ze allemaal!

23 Spectrum van A 3n + 1 vermoeden: Alleen de cykel (1, 2) en geen divergente paden Eigenwaarden bij cykels met λ = 0: Voorbeeld: Pad (, 24, 12, 6, 3, 5, 8, 4, 2, 1) Eigenwaarde ω C, ω = ±1 met eigenvector (1, ω, ω 5 ω 3, ω 2 1, ω 4 ω 2, ω 6 ω 4, 0, ω 3 ω, 0, 0, ) Eigenwaarden bij cykels met λ = 0: Eigenwaarde 1 met eigenvector (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ) Eigenwaarde 1 met eigenvector (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ) 3n + 1 vermoeden: Eigenruimte bij eigenwaarde 1 is 1-dimensionaal 20/42

24 Matrix A T Bekijk de getransponeerde matrix A T A T = /42 A T achteruit in de graaf A T e i = j T 1 (i) e j Eigenwaarden? Eigenvectoren?

25 Spectrum van A T Algemeen: Cykel C van lengte k Eigenwaarden bij cykels: Eigenwaarden: ω C met ω µ k Eigenvectoren: ω l(n) e n n G C Dimensie: 1 per component GC Eigenwaarden bij divergente paden: Eigenwaarden: ω C Eigenvectoren: ω l(n) e n n G P Dimensie: 1 per component GP Merk op: Eigenvectoren horen hier bij componenten ipv paden Dit zijn ze allemaal! 22/42

26 Spectrum van A T 3n + 1 vermoeden: Alleen de cykel (1, 2) en geen divergente paden Eigenwaarde bij cykels: Eigenwaarde 1 met eigenvector (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ) Eigenwaarde 1 met eigenvector (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ) 3n + 1 vermoeden: Eigenruimte bij eigenwaarde 1 is 1-dimensionaal 23/42

27 Andere problemen Ook toepasbaar voor pn + q problemen, Collatz-achtige functies Toepasbaar voor elke surjectieve functie f : N+ N + Voor f(n) = 2n zijn er geen eigenwaarden bij G P = {1, 2, 4, 8, } Alle gevallen: Dit zijn ze allemaal! Algemene herformuleringen voor een surjectieve functie f Er zijn geen cykels Er zijn geen eigenvectoren bij ew ω = 0 bij A met eindige support Er zijn geen divergente paden Alle eigenwaarden van A T zijn eenheidswortels Er zijn k componenten De eigenruimte van A T is k-dimensionaal De functie f is injectief Er zijn geen eigenvectoren met eigenwaarde 0 bij A De eigenruimten van A en A T hebben dezelfde dimensie 24/42

28 2 Modulaire grafen en De Bruijn grafen De Collatz-graaf op congruentieklassen 9 juli 2009

29 Binaire Collatz modulaire grafen Idee: Reduceer oneindig aantal vertices naar eindig aantal vertices Vervang getallen door congruentieklassen modulo m = 2 k Definitie: Mk = (V k, E k ) Vk = {0, 1,, 2 k 1} Ek = {(a, b) er zijn a 1 [a] 2 k, b 1 [b] 2 k met T(a 1 ) = b 1 } Voorbeeld: k = 2 δ + (0) = δ + (1) = {0, 2} δ + (2) = δ + (3) = {1, 3} 26/42 0 3

30 Binaire De Bruijn grafen (1946, De Bruijn) Artikel "A combinatorial problem" Overlappingen van rijen bits van lengte k Definitie: Bk = (V k, E k ) Vk = {0, 1} k Ek = {(a, b) a i+1 = b i voor alle i = 1, 2,, k 1} Voorbeeld: k = 2 δ + (00) = δ + (10) = {00, 01} δ + (01) = δ + (11) = {10, 11} 27/

31 Vergelijking 28/42 Binaire Collatz modulaire graaf: M Binaire De Bruijn graaf: B

32 Vergelijking 29/42 Binaire Collatz modulaire graaf: M Binaire De Bruijn graaf: B

33 Centrale Stelling 30/42 Mk = Bk Mk = M T k (de modulaire graaf van T 1 ) L(Mk ) = M k+1 Mk is een Euler- en Hamiltongraaf (M k k ) ij = 1 (precies 1 pad van i naar j van lengte k in M k )

34 Centrale Stelling 31/42 Mk = Bk Mk = M T k (de modulaire graaf van T 1 ) L(Mk ) = M k+1 + M k is een Euler- en Hamiltongraaf (M k k ) ij = 1 (precies 1 pad van i naar j van lengte k in M k ) Voorbeeld: M 4, Hamiltonpad

35 Centrale Stelling 32/42 Mk = Bk Mk = M T k (de modulaire graaf van T 1 ) L(Mk ) = M k+1 Mk is een Euler- en Hamiltongraaf + (Mk k ) ij = 1 (precies 1 pad van i naar j van lengte k in M k ) Voorbeeld: M 4, (M4 4) 0,2 = (M4 4) 10,3 = (M4 4) 11,7 =

36 Gevolgen 33/42 G2 k = D k B k Helaas: Dk ongestructureerd en chaotisch G = D B Aantal cykels in B Aantal cykels in G Maximaal aantal cykels van lengte k is U k = 1 k µ(d)2 k/d = # binaire Lyndon woorden van lengte k d k (M k k ) ij = 1 dus (M k+l k ) ij = 2 l voor alle 0 i, j < 2 k Als n i mod 2 k dan P(T k (n) j mod 2 l ) = 2 l voor alle j, l Als je alleen de laatste k bits van n weet, dan kan T k (n) alles zijn

37 Analogie met pn + q problemen 34/42 T p,q (n) = { n/2 als n even (pn + q)/2 als n oneven Voorbeeld: 5n + 1 probleem; zelfde eigenschappen Bovengrens op aantal cykels van lengte k voor pn + q problemen U k = 1 µ(d)2 k/d k d k Maar ook: Er zijn pn + q problemen met Uk cykels van lengte k

38 Analogie met Collatz-achtige problemen 35/42 (a 0 n + b 0 )/m n 0 mod m (a 1 n + b 1 )/m n 1 mod m C m (n) = (a m 1 n + b m 1 )/m n m 1 mod m Generaliseer binaire Collatz modulaire grafen naar m-aire Collatz modulaire grafen

39 m-aire Collatz modulaire grafen Definitie: Mm,k = (V m,k, E m,k ) Vm,k = {0, 1,, m k 1} E m,k = {(a, b) er zijn a 1 [a], b 1 [b] met C m (a 1 ) = b 1 } Voorbeeld: C3 (n), k = 1 δ + (0) = δ + (1) = δ + (2) = {0, 1, 2} 36/

40 m-aire De Bruijn grafen Definitie: Bm,k = (V m,k, E m,k ) Vm,k = {0, 1, 2,, m 1} k E m,k = {(a, b) a i+1 = b i voor alle i = 1, 2,, k 1} Voorbeeld: m = 3, k = 1 δ + (0) = δ + (1) = δ + (2) = {0, 1, 2} 37/

41 m-aire Collatz modulaire grafen 38/42 Ternaire Collatz modulaire graaf C3,2 en De Bruijn graaf B 3,

42 m-aire Collatz modulaire grafen 39/42 Ternaire Collatz modulaire graaf C3,3 en De Bruijn graaf B 3,

43 m-aire Collatz modulaire grafen 40/42 Algemeen: m-aire Collatz modulaire grafen isomorf met m-aire De Bruijn grafen Cm,k = Bm,k Cm,k = (Cm,k ) T L(Cm,k ) = C m,k+1 Cm,k is een Euler- en Hamiltongraaf (C k m,k ) ij = 1

44 Conclusie 41/42 1 De Collatz-graaf en zijn spectrum Compleet overzicht van eigenwaarden/-vectoren van A en A T 3n + 1 vermoeden kunnen herformuleren in termen van dit spectrum Ook toepasbaar op algemene surjectieve afbeeldingen f : N+ N + 2 Modulaire grafen en De Bruijn grafen Isomorfie tussen binaire modulaire Collatz-grafen en De Bruijn-grafen Aantal interessante consequenties van de Centrale Stelling Ook isomorfie voor pn + q problemen Isomorfie tussen Collatz-achtige problemen en n-aire De Bruijn-grafen

45 9 juli 2009 Vragen?