Het 3n + 1-vermoeden. Benne de Weger. Het 3n + 1-proces

Transcriptie

1 Het 3n + -vermoeden Benne de Weger b.m.m.d.weger@tue.nl co-auteurs: John Simons, Thijs Laarhoven 3TU-studiedag, 9 juni 203 June 9, 203 Where innovation starts Het 3n + -proces /35 Neem een natuurlijk getal. Is het even, dan deel je het door 2. Is het oneven, dan vermenigvuldig je het met 3 en tel je er bij op. Met de uitkomst doe je hetzelfde, net zo lang tot je het zat bent (ik ben het al zat) 2... (al gezien) (al gezien) (al gezien) (al gezien) (al gezien) (al gezien)......

2 De 3n + -functie 2/35 Na een oneven getal komt altijd een even getal en dus altijd een deel-door-2-stap. Die twee stappen zien we voortaan als één stap. De 3n + -functie T : N N is gedefinieerd door { n/2 als n even is, T(n) = (3n + )/2 als n oneven is. Het 3n + -proces is nu iteratie van T: n T(n) T(T(n)) T(T(T(n)))... T(... T(n)...)... Dat kunnen we handiger noteren: n T(n) T 2 (n) T 3 (n)... T k (n)... Voorbeeld: Het 3n + -vermoeden 3/35 Het 3n + -vermoeden is nu: Met ieder positief geheel getal n als startwaarde komt het 3n + -proces op den duur uit bij, en eindigt dus in de cykel Wat formeler: Voor iedere n N is er een k N zodat T k (n) =. Deze cykel 2 noemen we de triviale cykel.

3 Definities 4/35 Voor n N noemen we de rij ( n, T(n), T 2 (n),... ) de baan van n. Als voor zekere k, n N geldt dat T k (n) = n dan noemen we ( n, T(n), T 2 (n), T k (n) ) een cykel. Voorbeeld: de triviale cykel noteren we dus als (, 2) (of (2, )). Als een baan een cykel bevat (en daar dus in eindigt), dan noemen we de baan convergent. Een niet-convergente baan heet divergent. Een divergente baan is onbegrensd. Banen kunnen lang divergent lijken: maar toch convergent blijken. Geschiedenis 5/35 Lothar Collatz heeft het (naar eigen zeggen) rond 930 bedacht. In 950 praatte hij er met veschillende mensen over op het ICM in Cambridge (Mass.) en raakte het bekend. In de jaren 60 verschijnen de eerste artikelen over varianten van het probleem (o.a. een variant beschreven door Raymond Queneau gerelateerd aan rijmschema s in 2e-eeuwse poezie). In 97 verschijnt het echte 3n + -probleem voor het eerst in druk. Martin Gardner schrijft erover in 972, en dan wordt het beroemd. Het staat nu ook bekend als o.a. het Syracuse-probleem, het probleem van Hasse, van Kakutani, van Coxeter, van Ulam, hagelsteen-getallen, enzovoorts. Jaren 60: 8 artikelen, jaren 70: 34 artikelen, jaren 80: 52 artikelen, jaren 90: 03 artikelen, jaren 00: 34 artikelen.

4 Literatuur 6/35 Jeffrey C. Lagarias (ed.): The Ultimate Challenge: The 3x + Problem, Am. Math. Soc., 200 dit boek is een bundeling van de belangrijkste artikelen Jeffrey C. Lagarias, The 3x + problem and its generalizations, Am. Math. Monthly 92 [985], 3 23 gedetailleerde geschiedenis tot 985 Jeffrey C. Lagarias, The 3x + problem: an annotated bibliography ( ), arxiv.org. korte samenvattingen van alle verschenen artikelen voor 2000 Jeffrey C. Lagarias, The 3x + problem: an annotated bibliography II ( ), arxiv.org. korte samenvattingen van alle verschenen artikelen in Waarom zou het 3n + -vermoeden waar zijn? 7/35 Argumenten: Experimenteel Probabilistisch Logisch / Complexiteitstheoretisch Diophantisch Dynamische systemen / ergodisch (zeg ik niets over) Herformuleringen: Grafen Modulaire en De Bruijn-grafen Oneindige matrices Eigenruimtes Functionaalvergelijkingen

5 De 3n + -graaf 8/ [] [4] [] [7] 54 [] [2] [3] [2] [] [] [] [] [2] 75 [44] [7] (6) [5] [] Verwante problemen: 3n 9/35 De 3n -functie: T 3, (n) = { n/2 als n even is, (3n )/2 als n oneven is (3) Equivalent met 3n + op de negatieve getallen: T( n) = T 3, (n) Er zijn (vermoedelijk) 3 cykels, en (vermoedelijk) geen divergente banen (6) (3) 77 (3) (8) (3) (4) (5) Deze graaf is niet samenhangend, er zijn tenminste 3 componenten

6 Verwante problemen: 5n + 0/35 De 5n + -functie: T 5, (n) = { n/2 als n even is, (5n + )/2 als n oneven is (3) 57 (7) Er zijn (vermoedelijk) 3 cykels, en (vermoedelijk) oneindig veel divergente banen (5) (3) (5) (4) Verwante problemen: 3n + 3 /35 De 3n + 3-functie: T 3,3 (n) = { n/2 als n even is, (3n + 3)/2 als n oneven is (8) (5) (0) (3) (3) De deelgraaf van alle drievouden is isomorf met de 3n + -graaf (56) (4) (5)

7 Verwante problemen: rationale 3n + 2/35-4/3-3/9-2/3-5/3-7/9-0/9-0/3-0/ /3 /9 8 7/ / /3-5/9 -/9 2/3-4 -9/27-8 (even noemer is niet interessant: de teller is dan altijd oneven en dan is iteratie flauw) Dit is in feite de 3n + q-graaf voor alle oneven q tegelijk Iedere a met oneven b heeft nu twee b voorgangers: 2a 2a b en b 3b Vermoedelijk zijn er geen divergente banen Er zijn oneindig veel convergente banen, en die zijn goed te beschrijven -/27-2/9 /9 4/3 Alle cykels in de rationale 3n + -graaf 3/35 Iedere convergente baan eindigt in een cykel, en iedere cykel heeft een even-oneven - structuur: lengte : 2 mogelijkheden: e, o lengte 2: mogelijkheid: eo lengte 3: 2 mogelijkheden: eeo, eoo lengte 4: 3 mogelijkheden: eeeo, eeoo, eooo lengte 5: 6 mog.: eeeeo, eeeoo, eeoeo, eeooo, eoeoo, eoooo enzovoorts, de zogeheten Lyndon-woorden. Bij ieder Lyndon-woord is voor de cykel een vergelijking op te stellen die maar één oplossing heeft: bv. bij eoo hoort x e 2 x o 3 4 x x + 5 = x dus x = 0, dit 4 geeft de bekende cykel Uit een gegeven cykel is de hele component achterwaarts te berekenen: op iedere node een complete binaire boom. Heel veel structuur! o

8 Verwante problemen: De inverse 3n + -functie (3n)/2 als n even is, U(n) = (3n + )/4 als n (mod 4), (3n )/4 als n (mod 4) Is eigenlijk ouder dan de 3n + -functie T zelf (aldus Collatz) en is niet echt de inverse van T. Deze functie is een permutatie op N. John Conway noemt het de amusicale permutatie. In de graaf heeft ieder getal dus precies één voorganger. Cykels hebben geen inkomende zijtakken. Bekende cykels: (0), (), (2, 3), (4, 6, 9, 7, 5), (44, 66, 99, 74,, 83, 62, 93, 70, 05, 79, 59). Divergente componenten hebben ook geen zijtakken. Een vermoedelijk divergent geval: (..., 3, 0, 5,, 8, 2, 8, 27, 20,...). Vermoedelijk zijn er geen andere cykels. Vermoedelijk zijn er oneindig veel divergente componenten. 4/35 Experimenteel 5/35 Tomás Oliveira da Silva: Het 3n + -vermoeden is waar voor alle n < Dit is een indrukwekkende prestatie! Bruut rekenwerk, met een beetje boerenslimheid: je kunt stoppen met de baan van n als-ie onder de n is uitgekomen veel congruentieklassen modulo machten van 2 hoef je niet te doen, bv. T 7 (28m + 5) = 8m + 0 < 28m + 5 Toch is hiermee slechts 0% van het totale zoekgebied afgezocht... Veel experimentele gegevens gevonden door Eric Roosendaal, zie

9 Probabilistisch 6/35 De T -functie geeft bij random even/oneven verdeelde invoer n ook random even/oneven verdeelde uitvoer T (n). Dan is T (n) 32 n met kans /2, en T (n) = 2 n met kans /2, dus k k T (n) 2 3 n. Merk op dat Na k 6.95 log n stappen verwacht je bij te zijn. Dit blijkt experimenteel heel aardig te kloppen. Argument werkt net zo goed voor 3n + q voor willekeurige q Diepergaande stochastische modellen voorspellen dingen als: I I extreem hoge banen bereiken hoogste punt n 2+o() na log n stappen, dan nog 3.9 log n stappen om bij te komen extreem lange banen zullen niet langer worden dan 4.7 log n. Dit soort modellen is allemaal experimenteel bevestigd. Experiment voor 3n + 7/

10 Experiment voor 5n + 8/35 Argument werkt ook voor 5n + : factor is nu dus nu is divergentie zeer waarschijnlijk , Experiment voor de amusicale permutatie 9/35 Voor de amusicale permutatie is de factor 2.06 voorwaarts, en achterwaarts, dus nu is divergentie zowel voorwaarts als 3 achterwaarts zeer waarschijnlijk. 3 4

11 Logisch en Complexiteitstheoretisch 20/35 Conway: er is een generalisatie van de 3n + -functie deswelks iteratie een universele computer (Turingmachine) simuleert. Voor deze functie is het beslisprobleem "bereikt een baan een willekeurige macht van 2" computationeel onbeslisbaar. In zijn artikel In unsettleable arithmetical problems (Am. Math. Monthly 20 [maart 203], 92 98) zegt John Conway: It is likely that some simple Collatzian problems (possibly even the 3n + problem itself) will remain forever unsettleable. Maar laat dit u de moed niet ontnemen... Diophantisch 2/35 Een m-cykel is een cykel voor de 3n + -functie met m maxima en m minima. De triviale cykel is een -cykel. N.B.: m is niet de lengte van de cykel. Ray Steiner bewees in 977 dat de triviale cykel de enige -cykel is. Het argument is grofweg dit: Als je vanuit n eerst k stappen omhoog gaat en dan l stappen omlaag, dan is n = a2 k met a oneven, en T k+l (n) = a3k, en T k+l (n) = n 2 l geeft dan a(2 k+l 3 k ) = 2 l, en dus is k+l een extreem goede k rationale benadering van log 3 log 2 : (k + l) log 2 k log 3 < 2 (k ). Transcendentietheorie (Alan Baker (966), Georges Rhin (987)) geeft een expliciete ondergrens (k + l) log 2 k log 3 > k 3.3. Dus is er een expliciete bovengrens k < 00 (in Steiner s tijd: k < ).

12 Diophantisch (vervolg) (k + l) log 2 k log 3 < 2 (k ) is goed genoeg om zeker te weten dat k+l een convergent van de kettingbreuk van log 3 is, en die zijn tot 0200 k log 2 (of veel verder) makkelijk te berekenen. De kettingbreuk is log 3 log 2 = [,,, 2, 2, 3,, 5,...] = en de convergenten zijn de afgekapte kettingbreuk. Zij zijn precies de beste benaderingen: een beste benadering is een benadering zodat iedere breuk die dichter bij log 3 ligt een grotere teller en noemer heeft. log 2 De eerste paar zijn, 2, 3 2, 8 5, 9 2, 65 4, 84 53, /35 Diophantisch (vervolg) 23/35 Algemener: voor m maxima in een cykel noemen we K het aantal stappen omhoog en L het aantal stappen omlaag. Richard Crandall (978) bewees (elementair): als p n q n van de kettingbreuk van log 3 log 2 (met n 4), dan is K > min{q n, de n-e convergent is 2x min q n +q n + }. Uit Oliveira da Silva s x min > volgt dan meteen: Een eventuele niet-triviale cykel heeft lengte K + L > John Simons (Groningen) bewees in 2004 met soortgelijke argumenten als Steiner dat er geen 2-cykels bestaan. Simons & dw bewezen daarop in , gebaseerd op de ondergrens van Oliveira da Silva: Er bestaan geen niet-triviale m-cykels met m 75.

13 Grafen 24/35 Het 3n + -vermoeden is equivalent met: De 3n + -graaf is zwak samenhangend. Dit is een herformulering die natuurlijk niet zo veel zegt. Modulaire en De Bruijn-grafen 25/35 De modulaire graaf met modulus m bevat alle mogelijke pijlen van n (mod m) naar T(n) (mod m). Dit soort grafen blijkt weinig structuur te hebben, behalve als m = 2 k. Dan zijn het De Bruijn-grafen, die ontstaan uit de shiftafbeelding a a 2 a n a 2 a n, met {0, }. (Laarhoven-dW 203)

14 Conjugatie 26/35 Voor iedere pn + q-functie is de modulaire graaf met modulus 2 k dezelfde k-e orde De Bruijn-graaf. Alleen is de labeling van de punten in de graaf telkens anders (deze labeling is de conjugatie-afbeelding k ). k : n a a 2 a k met a de pariteit van n, a 2 de pariteit van T(n),..., a k de pariteit van T k (n). De graaf hangt dus niet van p, q af, de conjugatie-afbeelding die de modulaire pn + q-graaf afbeeldt op de De Bruijn-graaf, hangt sterk van p, q af. De oneindige De Bruijn-graaf 27/35 Voor k krijg je de oneindige De Bruijn-graaf B(Z 2 ), gebaseerd op de shiftafbeelding op oneindige rijtjes: a a 2 a 2. Deze graaf heeft alle mogelijke cykels (uit Lyndon-woorden) opgetuigd met binaire bomen, en overaftelbaar veel componenten zonder cykel, elk een naar twee kanten oneindige volledige binaire boom. Een monsterachtig ding, maar met heel veel structuur. Hierin verstopt zitten alle interessante pn + q-grafen.

15 Oneindige matrices 28/35 Bij een graaf hoort een vierkante verbindingsmatrix A = (a i,j ) met a i,j = als er een pijl van i naar j loopt, en anders a i,j = 0. Het spectrum van zo n matrix zegt iets over de graaf. De 3n + -graaf is oneindig, er hoort dus een oneindige matrix A = (a i,j ) bij met a n,t(n) = voor alle n N, en anders a i,j = 0. Deze graaf ziet er heel gestructureerd uit: A =... : : Machten van matrices 29/35 De k-e macht van A beschrijft paden van lengte k. Als we k laten groeien lijkt A k op den duur alleen in de eerste twee kolommen iets over te houden: A 2k =, A 2k+ = Het 3n + -vermoeden is equivalent met de bewering dat voor k de matrices A 2k en A 2k+ convergeren naar resp. (a 0, a, 0, 0,...) en (a, a 0, 0, 0,...), waarbij a 0 + a = (,,...).

16 Eigenruimtes 30/35 Merk nu op dat Aa 0 = a en Aa = a 0, dus a 0 + a is een eigenvector bij de eigenwaarde, en a 0 a is een eigenvector bij de eigenwaarde. Bij een cykel van lengte k hoort een k-tal eigenvectoren, bij de k-e eenheidswortels als eigenwaarden. Bij iedere cykel hoort precies één -dimensionale eigenruimte bij de eigenwaarde. Ook bij een divergente component hoort zo n -dimensionale eigenruimte. De vector met tjes op de plekken van de component is voortbrengende eigenvector. (Engl, 982) De dimensie van de eigenruimte bij de eigenwaarde is gelijk aan het aantal samenhangscomponenten in de graaf. Het 3n + -vermoeden is dus equivalent met de bewering dat de eigenruimte bij de eigenwaarde van de matrix A ééndimensionaal is. Het complete spectrum van A en A is inmiddels in kaart gebracht (Laarhoven & dw, artikel in voorbereiding). Functionaalvergelijkingen 3/35 Berg en Meinardus (994) gaan nog een andere interessante kant op. We bekijken de machtreeks f(z) = n=0 e nz n, waarbij we voorschrijven dat e n = e T(n) voor alle n. Wat zou dit betekenen voor f? We definieren f k (z) = n=0 e 3n+k z 3n+k voor k = 0,, 2, dus f = f 0 + f + f 2. Laat ω = e 2πi/3. Nu hebben we f 0 (ωz) = f 0 (z), f (ωz) = ωf (z), en f 2 (ωz) = ωf 2 (z). Hieruit volgt met enig rekenwerk dat f 2 (z) = (f(z) + ωf(ωz) + ωf(ωz)). 3 Nu volgt: f(z) = n=0 e 2nz 2n + n=0 e 2n+z 2n+ = n=0 e T(2n)z 2n + n=0 e T(2n+)z 2n+ = n=0 e nz 2n + n=0 e 3n+2z 2n+ = f(z 2 ) + z /3 f 2 (z 2/3 ). f voldoet dus aan de functionaalvergelijking 3z ( f(z 3 ) f(z 6 ) ) = f(z 2 ) + ωf(ωz 2 ) + ωf(ωz 2 )

17 Functionaalvergelijkingen (vervolg) 32/35 3z ( f(z 3 ) f(z 6 ) ) = f(z 2 ) + ωf(ωz 2 ) + ωf(ωz 2 ) Deze functionaalvergelijking is lineair. Twee oplossingen zijn f(z) = en f(z) = z z = z + z2 + z Ook hier geldt weer dat er een directe relatie is met samenhangscomponenten in de 3n + -graaf. Het 3n + -vermoeden is equivalent met de bewering dat deze functionaalvergelijking een tweedimensionale oplossingsruimte in machtreeksen heeft. Functionaalvergelijkingen (vervolg) 33/35 Als we e n = e T(n) nemen dan vinden we de functionaalvergelijking 3z ( f(z 3 ) f(z 6 ) ) = f(z 2 ) + ωf(ωz 2 ) + ωf(ωz 2 ) met als oplossing f(z) = z z 2 z 3 + z 4 + z 5 + z 6 z 7..., waar de ± geeft aan of je met de 3n + -functie in een even of een oneven aantal stappen bij uitkomt. Het zou interessant zijn voor deze functie een gesloten uitdrukking te vinden

18 De amusicale functionaalvergelijking 34/35 Doen we hetzelfde voor Conway s amusicale permutatie, dan krijgen we 2z ( 2f(z 4 ) f(z 6 ) f( z 6 ) ) = = (z 2 + ) ( f(z 3 ) f( z 3 ) ) i(z 2 ) ( f(iz 3 ) f( iz 3 ) ) De vijf cykel-componenten in de graaf zijn nu echt losse componenten, dat betekent dat deze vergelijking polynomiale oplossingen heeft: f(z) =, f(z) = z, f(z) = z 2 + z 3, f(z) = z 4 + z 5 + z 6 + z 7 + z 9 en f(z) = z 44 +z 59 +z 62 +z 66 +z 70 +z 74 +z 79 +z 83 +z 93 +z 99 +z 05 +z. Het vermoeden is dat er niet meer onafhankelijke polynomiale oplossingen zijn. Wel zijn er (vermoedelijk oneindig veel onafhankelijke) machtreeks-oplossingen, zoals f(z) = z 8 + z 0 + z + z 2 + z 3 + z 5 + z 7 + z 8 + z /35 Vragen? Of is het tijd om uit te gaan hangen...