Resonantie en fractale meetkunde
|
|
- Cornelia van den Broek
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Resonantie p.1/27 Resonantie en fractale meetkunde Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen
2 Resonantie p.2/27 Overzicht i. resonantie ii. twee oscillatoren: torus en cirkeldynamica iii. aangedreven oscillatoren, voorbeelden: - Hopf-Neĭmark-Sacker bifurcatie - parametrische resonantie - Hopf-zadelknoop bifurcatie voor afbeeldingen
3 Resonantie p.3/27 Wat is resonantie? resonantie: interactie van oscillerende subsystemen, waarbij rationale verhouding van frequenties en daarmee compatibele beweging voorbeelden: 1 : 1 resonantie: Huygens klokken, Maan en Aarde, Charon en Pluto 1 : 2 resonantie: Botafumeiro (Santiago de Compostela) 2 : 3 resonantie: Zon en Mercurius
4 Christiaan Huygens ( ) Christiaan Huygens en titelpagina Horologium Oscillatorium 1673 cycloïden en synchronisatie Resonantie p.4/27
5 Resonantie p.5/27 Huygens klokken synchroon Chr. Huygens, Œuvres Complètes de Christiaan Huygens, publiées par la Société Hollandaise des Sciences 16, Martinus Nijhoff, The Hague 1929, Vol. 5, ; Vol. 17,
6 Getijden-resonantie Maan door Aarde gevangen in 1 : 1 resonantie Pluto en Charon hebben elkaar gevangen : ook uiteindelijk lot Aarde-Maan systeem... Mercurius door Zon gevangen in 3 : 2 resonantie A. Correia and J. Laskar, Mercury s capture into the 3/2 spin-orbit resonance as a result of its chaotic dynamics, Nature 429 (24) Resonantie p.6/27
7 Resonantie p.7/27 Botafumeiro Santiago de Compostela wierookvat via katrol in 1:2 resonantie gebracht: de slingertijd is tweemaal de periode van aandrijving
8 Resonantie p.8/27 Mathematisch programma modelleren in termen van dynamische systemen die van parameters afhangen emergentie van verschillende soorten dynamica: periodiek, quasi-periodiek en chaotisch bifurcaties (fase-overgangen) hiertussen toepassingen van klimaatmodellen tot (biologische) cel-systemen
9 Resonantie p.9/27 Torus- en cirkeldynamica eenvoudigste model: torus-dynamica P(ϕ) ϕ Poincaré-afbeelding: ϕ ϕ + 2πα + εf(ϕ) dynamica op de cirkel (door iteratie) resonant periodiek
10 Resonantie p.1/27 Voorbeeld: Arnol d familie ϕ ϕ + 2πα + ε sinϕ ε /2-4/9-3/7-2/5-3/8-1/3-2/7-1/4-2/9-1/5-1/6-1/7-1/8 α 1/8 1/7 1/6 1/5 2/9 1/4 2/7 1/3 3/8 2/5 3/7 4/9 1/2 resonantietongen in het (α,ε)-vlak catalogus van de cirkel- en torusdynamica
11 Resonantie p.11/27 Toelichting torusdynamica binnen tongen: periodiciteit resonantie phase-locking synchronisatie binnen hoofdtong : 1:1 resonantie entrainment buiten tongen: quasi-periodiciteit elke baan ligt dicht in torus / cirkel H.W. Broer and F. Takens, Dynamical Systems and Chaos, Epsilon-Uitgaven 64, 29; revised edition Appl. Math. Sc., Springer-Verlag, 21 (to appear) H.W. Broer, K. Efstathiou and E. Subramanian, Robustness of unstable attractors in arbitrarily sized pulse-coupled systems with delay, Nonlinearity 21(1) (28), 13-49
12 Resonantie p.12/27 Duivelstrap α rotatiegetal gemiddelde rotatie als functie van α, continu, niet-dalend en constant op plateaux voor rationale waarden van resonantie rationaal H.W. Broer, C. Simó and J.C. Tatjer, Towards global models near homoclinic tangencies of dissipative diffeomorphisms, Nonlinearity 11 (1998),
13 Resonantie p.13/27 Meetkunde in parameterruimte niet-resonantie fractale meetkunde Cantor verzameling, topologisch klein (nergens dicht) positieve Lebesgue maat fractale verzameling met Droste effect beweging quasi-periodiek met irrationaal rotatiegetal; sterk irrationaal differentieerbare conjugatie met starre rotatie V.I. Arnol d, Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag 1983 J. Oxtoby, Measure and Category, Springer-Verlag 1971
14 Resonantie p.14/27 Conclusie Huygens klokken torus / cirkel model zwak gekoppelde oscillatoren als voorheen vrijwel identieke oscillatoren modulo 1 parameters (α,ε) in hoofdtong M. Bennett, M.F. Schatz, H. Rockwood and K. Wiesenfeld, Huygens s clocks, Proc. R. Soc. Lond. A 458 (22),
15 Resonantie p.15/27 Hopf-Neĭmark-Sacker I algemener: afbeelding f : R 2 R 2 dekpunt f() = eigenwaarden afgeleide e 2π(α±iβ) met α en β p/q bijvoorbeeld: f is Poincaré-afbeelding van aangedreven oscillator ẍ + ax + cẋ = εq(x,ẋ,t) met q(x,ẋ,t + 2π) q(x,ẋ,t) locaal: meetkunde met universele singulariteiten (zadelknoop / vouw en andere bifurcaties) globaal: quasi-periodiciteit en fractale meetkunde
16 Resonantie p.16/27 Hopf-Neĭmark-Sacker II β α niet-gedegenereerd geval q 5 F. Takens, Forced oscillations and bifurcations. In: Applications of Global Analysis I, Comm. of the Math. Inst. Rijksuniversiteit Utrecht (1974). In: H.W. Broer, B. Krauskopf and G. Vegter (eds.), Global Analysis of Dynamical Systems, IoP Publishing (21), 1-62
17 Resonantie p.17/27 Hopf-Neĭmark-Sacker III mild-gedegenereerd geval q 7
18 Resonantie p.18/27 Conclusies Arnol d tongen universeel: vouw, cusp, zwaluwstaart en Whitney paraplu H.W. Broer, M. Golubitsky and G. Vegter, The geometry of resonance tongues: A Singularity Theory approach, Nonlinearity 16 (23), H.W. Broer, S.J. Holtman and G. Vegter, Recognition of the bifurcation type of resonance in mildly degenerate Hopf-Neĭmark-Sacker families, Nonlinearity 21 (28), H.W. Broer, S.J. Holtman, G. Vegter and R. Vitolo, Geometry and dynamics of mildly degenerate Hopf-Neĭmarck-Sacker families near resonance, Nonlinearity 22 (29), H.W. Broer, S.J. Holtman and G. Vegter, Recognition of resonance type in periodically forced oscillators. Physica-D (21) (to appear)
19 Parametrische resonantie aangedreven oscillator ẍ + (a + εq(t)) sin x = (schommel) met q(t + 2π) q(t) bijvoorbeeld: q(t) = cost q(t) = cost cos(2t) q(t) = signum (cos t) stabiliteitsverlies in discrete tongen vanuit (a,ε) = ( 1 4 k2, ), k =, 1, 2,... subharmonische bifurcaties H.W. Broer and G. Vegter, Bifurcational aspects of parametric resonance, Dynamics Reported, New Series 1 (1992), 1-51 Resonantie p.19/27
20 Resonantie tongen schommel H.W. Broer and M. Levi, Geometrical aspects of stability theory for Hill s equations, Archive Rat. Mech. An. 131 (1995), H.W. Broer and C. Simó, Resonance tongues in Hill s equations: a geometric approach, Journal of Differential Equations 166 (2), Resonantie p.2/27
21 Botafumeiro revisited Poincaré afbeelding schommel in 1 : 2 resonantie periode verdubbeling quasi-periodiciteit chaos... Resonantie p.21/27
22 Resonantie p.22/27 Van gaps tot tongen universele meetkunde van gaps tot tongen met ε extra parameter collapse theorie van de gaps quasi-periodiek analogon q(t) = Q(ω 1 t,ω 2 t,...,ω n t) met Q : T n R : per tong meetkunde als voorheen globaal fractale meetkunde en Droste effect bijvoorbeeld: n = 2 met ω 1 = 1 en ω 2 = 1 2 ( 5 1) rotatiegetal als voorheen H.W. Broer, H. Hanßmann, Á. Jorba, J. Villanueva and F.O.O. Wagener, Normal-internal resonances in quasi-periodically forces oscillators: a conservative approach. Nonlinearity 16 (23),
23 Resonantie p.23/27 Duivelstrap revisited rotatiegetal als functie van a tongen gaps spectrum Schrödinger operator Cantor-spectrum en duivelstrappen... J. Moser and J. Pöschel, An extension of a result by Dinaburg and Sinai on quasi-periodic potentials, Comment. Math. Helvetici 59 (1984), H.W. Broer, J. Puig and C. Simó, Resonance tongues and instability pockets in the quasi-periodic Hill-Schrödinger equation, Commun. Math. Phys. 241 (23),
24 Resonantie p.24/27 Hopf-zadelknoop I afbeelding f : R 3 R 3, dekpunt f() = eigenwaarden afgeleide 1 en e 2π(α±iβ) met α en β p/q wiskunde experimenteler geïnspireerd door klimaatmodellen... H.W. Broer, C. Simó and R. Vitolo, Bifurcations and strange attractors in the Lorenz-84 climate model with seasonal forcing, Nonlinearity 15(4) (22), A.E. Sterk, R. Vitolo, H.W. Broer, C. Simó and H.A. Dijkstra, New nonlinear mechanisms of midlatitude atmospheric low-frequency variability. Physica D: Nonlinear Phenomena 239 (21), H.W. Broer, H.A. Dijkstra, C. Simó, A.E. Sterk and R. Vitolo, The dynamics of a low-order model for the Atlantic Multidecadal Oscillation, DCDS-B (21) (to appear)
25 Hopf-zadelknoop II box H.1 d O.4.6 I.8 d H H.W. Broer, C. Simó and R. Vitolo, The Hopf-Saddle-Node bifurcation for fixed points of 3D-diffeomorphisms, analysis of a resonance bubble, Physica D 237 (28), H.W. Broer, C. Simó and R. Vitolo, The Hopf-Saddle-Node bifurcation for fixed points of 3D-diffeomorphisms, the Arnol d resonance web, Bull. Belgian Math. Soc. Simon Stevin 15 Resonantie p.25/27 (28),
26 Hopf-zadelknoop III 1 n=.46 C C1 1 y -1 z x x n=.4555 D D1 1 y -1 z x x bijbehorende dynamica: quasi-periodiciteit en chaos... Resonantie p.26/27
27 Conclusies coëxistentie periodiciteit (waaronder resonantie), quasi-periodiciteit en chaos in product toestands- en parameter-ruimte bifurcaties (fase-overgangen): singulariteiten niet-resonanties: Kolmogorov-Arnol d-moser theorie fractale meetkunde en Droste effect modelleren op grotere schaal D. Ruelle and F. Takens, On the nature of turbulence, Comm. Math. Phys. 2 (1971), ; 23 (1971), H.W. Broer, KAM theory: the legacy of Kolmogorov s 1954 paper, Bull. AMS (New Series) 41(4) (24), H.W. Broer, B. Hasselblatt and F. Takens (eds.): Handbook of Dynamical Systems, Volume 3 North-Holland, 21 (to appear) Resonantie p.27/27
Niet-lineaire bewegingen in de natuur
Niet-lineaire bewegingen in de natuur Henk Broer 1 Inleiding Zoals Heracleitos reeds zei beweegt alles. Te denken valt hierbij aan mechanische bewegingen, zoals veren, slingers, tollen en hemellichamen,
Nadere informatieDeterminisme, chaos en toeval
H&B p.1/23 Determinisme, chaos en toeval Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen H&B p.2/23 Synopsis i. Stabiliteit van het zonnestelsel ii. Chaos
Nadere informatieDimensie en Dispersie het meten van chaos
Chaos p.1 Dimensie en Dispersie het meten van chaos Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Chaos p.2 Dynamische fractals Mandelbrot-verzameling Hénon-achtige attractor
Nadere informatief : z z 2 + c. x n = 1 2 z n dan krijgen we z n+1 = z 2 n + a 2 a2 4 De parameter c correspondeert dus met a middels c = a 2 a2 4
Juliaverzamelingen en de Mandelbrotverzameling In de eerste twee colleges hebben we gezien hoe het itereren van een eenvoudige afbeelding tot ingewikkelde verschijnselen leidt. Nu gaan we dit soort afbeeldingen
Nadere informatieDeterminisme, Chaos en Toeval
Determinisme, Chaos en Toeval Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Chaos p.1 Helden - Newton en Laplace - Leibniz en Voltaire - Poincaré en Kolmogorov - Lorenz
Nadere informatieKepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel
Kepler III p.1 Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica
Nadere informatieDeterminisme, Chaos en Toeval
Chaos p.1 Determinisme, Chaos en Toeval Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Chaos p.2 Helden - Newton en Laplace - Leibniz en Voltaire - Poincaré en Kolmogorov
Nadere informatieKepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel
Kepler III p.1 Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica
Nadere informatieSamenvatting. k 1 I = c i N i = c N, (1)
Samenvatting Dit proefschrift gaat over soorten waarvan de individuen zich slechts eenmaal in hun leven voortplanten en daarna sterven. Voorbeelden van zulke soorten zijn éénjarige en tweejarige planten,
Nadere informatieDynamica van de logistische afbeelding. chaos 08-09
Dynamica van de logistische afbeelding. chaos 08-09 Daniël Wedema January 12, 2009 1 inleiding In 1976 publiceerde May een artikel waarin hij liet zien dat hele simpele nietlineaire dynamische systemen
Nadere informatieBottema opende Whitney s paraplu
1 250 NAW 5/10 nr. 4 december 2009 Bottema opende Whitney s paraplu Ferdinand Verhulst, Oleg Kirillov Ferdinand Verhulst Mathematisch Instituut Universiteit van Utrecht Postbus 80010 3508 TA Utrecht F.Verhulst@uu.nl
Nadere informatieBottema opende Whitney s paraplu
Bottema opende Whitney s paraplu August 26, 2009 Ferdinand Verhulst 1 en Oleg N. Kirillov 2 1 Inleiding en achtergrond Als er geen wrijving was, zou het perpetuum mobile bestaan. De mathematische slinger,
Nadere informatieHuygens en de brachistochroon van Bernoulli
H&B p.1/27 Huygens en de brachistochroon van Bernoulli Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen H&B p.2/27 Summary i. Christiaan Huygens isochrone
Nadere informatieMeetkundige revolutie(s)
Mbrot p.1 Meetkundige revolutie(s) Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Mbrot p.2 Benoît B. Mandelbrot Benoît B. Mandelbrot (1924-2010) The Fractal
Nadere informatieUniversity of Groningen. Dynamics of the Lorenz-96 model van Kekem, Dirk Leendert
University of Groningen Dynamics of the Lorenz-96 model van Kekem, Dirk Leendert IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please
Nadere informatieThesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche)
Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen
Nadere informatieWISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 5 - Scalaire recursies (deel 2)
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 5 - Scalaire recursies (deel 2) Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities recursies, DVs, numerieke methoden Oplossingen
Nadere informatieWISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities
Nadere informatieKepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel
Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Summary i. Stability of solar system ii. Chaos versus
Nadere informatieBernd Krauskopf Chaos en licht NAW 5/4 nr. 3 september 2003 209
Bernd Krauskopf Chaos en licht NAW 5/4 nr. 3 september 2003 209 Bernd Krauskopf Faculteit der Exacte Wetenschappen, Vrije Universiteit De Boelelaan 1081, 1081 HV Amsterdam Department of Engineering Mathematics
Nadere informatieModellen en Simulatie Populatiegroei
Utrecht, 26 april 213 Modellen en Simulatie Populatiegroei Program Populatie groei van één soort, recursies Evenwichtspunten Periodieke banen Bifurcatie Chaos Catastrofe Gerard Sleijpen Department of Mathematics
Nadere informatieIn Memoriam Floris Takens
In Memoriam Floris Takens Henk Broer Els, Leida, Vincent andere familieleden, vrienden, collega s bekenden! 1 De wetenschapper In 1972 werd Floris Takens, op 31 jarige leeftijd, hoogleraar aan het Mathematisch
Nadere informatieThesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche)
Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen
Nadere informatieWISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 4 - Scalaire recursies
WISB34 Modellen & Simulatie Lecture 4 - Scalaire recursies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities recursies, DVs, numerieke methoden Oplossingen DVs
Nadere informatieModellen en Simulatie Recursies
Utrecht, 3 mei 3 Modellen en Simulatie Recursies Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Gerard Sleijpen
Nadere informatieHenri Poincaré, ongeduldig genie
Henri Poincaré, ongeduldig genie Ferdinand Verhulst Mathematisch Instituut Universiteit van Utrecht NWD 2013 1 Levensloop Henri Poincaré Geboren in 1854, Nancy (Lotharingen). Schooljaren 1860-1873. École
Nadere informatieNDNS + vrije Universiteit
vrije Universiteit Wetenschappelijk verslag 2005 NWO-cluster Nonlinear Dynamics of Natural Systems (NDNS+) 1 Lekensamenvatting De dynamica van mechanische systemen als het zonnestelsel is sinds 17de eeuw
Nadere informatieAlles beweegt, maar waarheen
Alles beweegt, maar waarheen afscheidsrede gewoon hoogleraar, 20 november 2015 Henk W. Broer Vermöge der Musik genießen sich die Leidenschaften selbst Jenseits van Gut und Böse, Friedrich Nietszche 1886
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieQuasiperiodic breathers in systems of weakly coupled pendulums Jong, Hans Hielke de
University of Groningen Quasiperiodic breathers in systems of weakly coupled pendulums Jong, Hans Hielke de IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish
Nadere informatieComputergebruik en demathematisering
1 Henk Broer Computergebruik en demathematisering NAW 5/8 nr. 3 september 2007 201 Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Postbus 800 9700 AV Groningen broer@math.rug.nl
Nadere informatieBifurcations of indifference points in discrete time optimal control problems Mohammadian Moghayer, S.
UvA-DARE (Digital Academic Repository) Bifurcations of indifference points in discrete time optimal control problems Mohammadian Moghayer, S. Link to publication Citation for published version (APA): Moghayer,
Nadere informatieWat kan er (niet) zonder ε-δ?
Oneindig klein. Wat kan er (niet) zonder ε-δ? Michel Roelens University Colleges Leuven Limburg Maria-Boodschaplyceum Brussel Hilde Eggermont Sint-Pieterscollege Leuven Redactie Uitwiskeling Afgeleide
Nadere informatieEsther Lee-Varisco Matt Zhang
Esther Lee-Varisco Matt Zhang Want to build a wine cellar Surface temperature varies daily, seasonally, and geologically Need reasonable depth to build the cellar for lessened temperature variations Building
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatieAlles beweegt, maar. Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen
28 NAW 5/7 nr. 2 juni 26 Alles beweegt, maar waarheen? Henk Broer Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen h.w.broer@rug.nl Afscheidsrede Alles beweegt,
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling
Nadere informatieMeetkunde en Fysica. Henk Broer. Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen. Meetkunde en Fysica p.1/22
Meetkunde en Fysica Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Meetkunde en Fysica p.1/22 Overzicht Meetkundige aspecten van natuurkunde: - Newton en schalingswetten
Nadere informatieHuygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW)
Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW) Citation: J.J. Duistermaat & A. Doelman & J. Grasman & A. van Harten, Levensbericht W. Eckhaus, in: Levensberichten en herdenkingen,
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatieCitation for published version (APA): Sarma Chandramouli, V. V. M. (2008). Renormalization and non-rigidity s.n.
University of Groningen Renormalization and non-rigidity Sarma Chandramouli, Vasu Venkata Mohana IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatieNederlandstalige Samenvatting
Nederlandstalige Samenvatting Systemen van onderling gekoppelde oscillatoren zijn alomtegenwoordig in de natuur. Voorbeelden hiervan omvatten congregaties van flikkerende vuurvliegjes en het synchrone
Nadere informatieHoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Bij het vak Lineaire Algebra hebben we reeds kennis gemaakt met stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen We hebben
Nadere informatieQuantum Chemie II 2e/3e jaar
Quantum Chemie II e/3e jaar Universiteit Utrecht Faculteit Bèta Wetenschappen Departement Scheikunde Vakgroep Theoretische Chemie 008 Het college Quantumchemie wordt met wisselende omvang en naam, al sinds
Nadere informatieTentamen Quantum Mechanica 2
Tentamen Quantum Mechanica 9 juni 5 Het tentamen bestaat uit 4 opgaven, waarmee in totaal 9 punten zijn te verdienen. Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam, voorletters en studentnummer.. (a) (5 punten)
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieLineaire dv van orde 2 met constante coefficienten
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a
Nadere informatieAlgebraïsche meetkunde. Jaap Top
Algebraïsche meetkunde Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 21 maart 2014 (DESDA symposium, Nijmegen) 1 Een definitie (wikipedia): 2 Vandaag drie voorbeelden van toepassingen. 3 Voorbeeld 1: (meetkunde
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieDeze samenvatting is gebaseerd op het artikel Modelleren in Discrete Ruimtes, dat in april 2008 verschenen is in het Eureka! Magazine.
Samenvatting Deze samenvatting is gebaseerd op het artikel Modelleren in Discrete Ruimtes, dat in april 2008 verschenen is in het Eureka! Magazine. Handelaren op de beurs kijken vast niet raar op van de
Nadere informatieComplex houdt dan weer in dat we op het complexe vlak werken, met complexe getallen.
The Fractal Project Inleiding: De opzet van dit project is het onderzoeken van de eigenschappen van de mandelbrot-fractal, meer bepaald de eigenschappen van de bollen die aan de buitenkant ervan zitten.
Nadere informatieIndicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieModellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen. Modellen en Simulatie. sleij101/ Program.
Utrecht, 29 mei 2013 Utrecht, 29 mei 2013 Modellen en Simulatie Modellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Gerard
Nadere informatieQuantum theorie voor Wiskundigen. Velden en Wegen in de Wiskunde
Quantum theorie voor Wiskundigen door Peter Bongaarts (Rotterdam) bij het afscheidssymposium Velden en Wegen in de Wiskunde voor Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam,
Nadere informatieModellen en Simulatie Recursies
Utrecht, 13 mei 2013 Modellen en Simulatie Recursies Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ N n : aantal individuen eind tijdvak n. Aanname [Malthus, 1798]:
Nadere informatieJohann Bernoulli in Groningen
Johann Bernoulli in Groningen stichting weer- en sterrenkunde eemsmond 1 oktober 2014 Henk Broer Bernoulli Instituut voor Wiskunde, Informatica en Kunstmatige Intelligentie Rijksuniversiteit Groningen
Nadere informatieCollege 2: Chaos. Wat we vandaag gaan doen:
College 2: Chaos Wat we vandaag gaan doen: 1) Wat is chaos niet: de enkele slinger 2) Een stapje verder: de dubbele slinger 3) Chaos in een wiskundig model: de logistische afbeelding 4) Chaos precies gemaakt:
Nadere informatieLineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006
Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis
Nadere informatieProf.dr. A. Achterberg, IMAPP
Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP www.astro.ru.nl/~achterb/ Populaire ideeën: - Scalair quantumveld met de juiste eigenschappen; (zoiets als Higgs Veld) - Willekeurig scalair quantum veld direct na de Oerknal
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatieFloris Takens. 12 november 1940 20 juni 2010
Floris Takens 12 november 1940 20 juni 2010 136 levensberichten en herdenkingen 2011 Levensbericht door H.W. Broer Floris Takens, lid van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW) sinds
Nadere informatieOefeningen Wiskundige Analyse I
Oneigenlijke integralen Oefeningen Wiskundige Analyse I. Voor welke waarden van de reële parameters α en β is de oneigenlijke integraal x α ( + x β ) dx convergent? divergent? 2. Voor welke waarden van
Nadere informatieActief gedeelte - Maken van oefeningen
Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2
Nadere informatieSPELEN MET KROMMEN JAN AARTS
SPELEN MET KROMMEN JAN AARTS 1. Inleiding Een bezoekje aan de website www.mathcurve.com/courbes2d laat zien dat er gigantisch veel informatie over krommen beschikbaar is. In een rondleiding hoop ik u de
Nadere informatieInnovative Time Integration of wave equations. Stefan Vandewalle Koen Van Den Abeele. May Higher order time integration.
Innovative Time Integration 2012 May 2012 Promotors: Herbert De Gersem Stefan Vandewalle Koen Van Den Abeele 1 / 21 Content 1 2 3 4 5 6 2 / 21 Acoustic (scalar) System of first order equations { κṗ = v
Nadere informatieTentamen. Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April Tijd/tijdsduur: 3 uur
Tentamen Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April 2014 Tijd/tijdsduur: 3 uur Docent(en) en/of tweede lezer: Dr. F.C. Grozema Prof. dr. L.D.A. Siebbeles Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven:
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieChaos, weer en klimaat
Chaos, weer en klimaat Alef Sterk University of Exeter a.e.sterk@exeter.ac.uk Nationale Wiskunde Dagen 3 & 4 februari 2012 Eerste weersvoorspelling op 1 augustus 1861 Robert FitzRoy (1805 1865) Inhoud
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieChaos, voorspelbaarheid, en bemonstering
Chaos, voorspelbaarheid, en bemonstering Jason Frank Centrum Wiskunde & Informatica e-mail: jason@cwi.nl In dit college behandelen we lange-tijd simulaties van chaotische dynamische systemen, met als doel
Nadere informatieBijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieOneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff
Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
Nadere informatiePROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism
KINEMATICA EN DYNAMICA VAN MECHANISMEN PROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism Lien De Dijn en Celine Carbonez 3 e bachelor in de Ingenieurswetenschappen: Werktuigkunde-Elektrotechniek Prof. Dr.
Nadere informatieTENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (3D020)
TENTAMEN ELEKTROMAGNETIME (3D020) 21 juni 1999, 14.00 17.00 uur UITWERKING 1 Op de geleider bevindt zich een totale lading. De lengte van de geleider (een halve cirkel) is gelijk aan πr. y d ϕ R P x Voor
Nadere informatieChristiaan Huygens Verdiepingssymposium
Christiaan Huygens Verdiepingssymposium Systeemtheorie: een vakgebied vol dynamiek en interactie! onderdeel van de leerstoel Optimalisatie en Systeemtheorie Jacob van der Woude 21 maart 2011 1 Delft University
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatieHet vermoeden van Poincaré
Het vermoeden van Poincaré Joseph Steenbrink IMAPP, Radboud University Nijmegen 6 februari 2010 Outline 1 Poincaré 2 Het vermoeden 3 Topologie versus meetkunde Henri Poincaré Nancy 1854 - Parijs 1912 Achtergrond
Nadere informatieMath D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #1 Uitwerking.
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen #1 Uitwerking Vraagstuk 1 Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z) x î + y ĵ z ˆk en
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 23 23 oktober 2014 1 Programma Vanmiddag Trillingen (8.7) 2 Herhaling 2 e orde homogene lineaire differentiaal vergelijking De algemene oplossing voor ay + by + cy = 0 wordt
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Nadere informatieGeometric approximation of curves and singularities of secant maps Ghosh, Sunayana
University of Groningen Geometric approximation of curves and singularities of secant maps Ghosh, Sunayana IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish
Nadere informatie7. Hamiltoniaanse systemen
7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieMeerkeuze antwoorden. Naam:... Collegekaart-nummer:...
Tentamen IAS, deeltentamen 1 van 2. Datum: 20-05-2016, tijd 11.00-13.00 uur. Zaal: Educ-β 1 Naam:.......................................................................... Collegekaart-nummer:.....................
Nadere informatiex(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )
97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke
Nadere informatieD. M. van Diemen. Homotopie en Hopf. Bachelorscriptie, 7 juni Scriptiebegeleider: dr. B. de Smit. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
D. M. van Diemen Homotopie en Hopf Bachelorscriptie, 7 juni 2010 Scriptiebegeleider: dr. B. de Smit Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Homotopie 4 2.1 Hogere homotopiegroepen..............................
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (15126) op dinsdag 4 januari 211, 8.45 11.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatiemaplev 2010/9/8 17:01 page 349 #351
maplev 00/9/8 7:0 page 49 5 Module Stabiliteit van evenwichten Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Zie ook Stabiliteit van evenwichten van gewone differentiaalvergelijkingen. Gewone differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw
Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde Synthetische Meetkunde Vectoren Gonio Analyse Algebra Symmetrie Complexe Getallen
Nadere informatieWPO Differentiaalmeetkunde I
1 Vrije Universiteit Brussel Academiejaar 006-007 Prof. Dr. R. Kieboom Dr. G. Sonck WPO Differentiaalmeetkunde I Krommen in R n 1. Neem R met een orthonormale basis en a R + 0. Voor elk punt p o, gelegen
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatieZeno-gedrag in de mechanica
1 58 NAW 5/12 nr. 1 maart 2011 Zeno-gedrag in de mechanica Remco I. Leine Remco I. Leine Institut für mechanische Systeme Departement Maschinenbau und Verfahrenstechnik ETH Zürich 8092 Zürich, Zwitserland
Nadere informatieOrigami Meetkunde. Peter Lombaers en Jan-Willem Tel 26 mei 2011
Origami Meetkunde Peter Lombaers en Jan-Willem Tel 26 mei 2011 Samenvatting In dit dictaat beschouwen we een manier om hoeken en afstanden te construeren: origami. We vergelijken het met het construeren
Nadere informatieBuiging van een belaste balk
Buiging van een belaste balk (Modelbouw III) G. van Delft Studienummer: 0480 E-mail: gerardvandelft@email.com Tel.: 06-49608704 4 juli 005 Doorbuigen van een balk Wanneer een men een balk op het uiteinde
Nadere informatie