Quasiperiodic breathers in systems of weakly coupled pendulums Jong, Hans Hielke de

Transcriptie

1 University of Groningen Quasiperiodic breathers in systems of weakly coupled pendulums Jong, Hans Hielke de IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check the document version below. Document Version Publisher's PDF, also known as Version of record Publication date: 1999 Link to publication in University of Groningen/UMCG research database Citation for published version (APA): Jong, H. H. D. (1999). Quasiperiodic breathers in systems of weakly coupled pendulums: applications of KAM theory to classical and statistical mechanics s.n. Copyright Other than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons). Take-down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): For technical reasons the number of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum. Download date:

2 Samenvatting De motivatie voor het onderzoek van dit proefschrift vindt haar oorsprong in de wisselwerking tussen de twee vakgebieden dynamische systemen en statistische mechanica. Terwijl het eerste vakgebied systemen bestudeert die zich ontwikkelen in de tijd, probeert het tweede het macroscopische gedrag van veel-deeltjessystemen te verklaren vanuit de bewegingsvergelijkingen die de microscopische deeltjes beschrijven. Het zonnestelsel is een veel bestudeerd dynamisch systeem. Het is bovendien een voorbeeld dat zich heel voorspelbaar gedraagt: in Eisinga s planetarium te Franeker (gebouwd tussen 1774 en 1781) draaien de planeten met zeer grote regelmaat rond de zon. De periodieke beweging van de afzonderlijke planeten rond de zon was al anderhalve eeuw voor Eisinga begrepen door Kepler. Later werd de beweging van het twee-lichamen-systeem bestaande uit zon plus planeet door Newton afgeleid uit zijn wet van de zwaartekracht. Het wonderlijke van het hele zonnestelsel, met al zijn planeten en hun interactie, is dat het zich kwalitatief gedraagt als een superpositie van zulke twee-lichamen-systemen. De resulterende beweging wordt vaak multiperiodiek genoemd, naar het optreden van de verschillende periodes van de afzonderlijke planeten. De wisselwerking tussen de planeten onderling is in kwalitatieve zin dus verwaarloosbaar. In feite is dit inzicht ook Eisinga s aanleiding geweest voor de bouw van zijn planetarium: in de eerste maanden van 1774 heerste er onder de bevolking veel angst voor de aanstaande conjunctie van een groot aantal hemellichamen op 8 mei van dat jaar. Eisinga wilde voor zijn tijdgenoten aanschouwelijk maken dat zo n conjunctie een volstrekt onschuldig verschijnsel is. Het lijkt er trouwens op dat ook de aanstaande grote conjunctie van 5 mei 2000 weer voor enige onrust zorgt. De stabiliteit van multiperiodieke bewegingen is in de tweede helft van deze eeuw wiskundig begrepen en verklaard door Kolmogorov, Arnol d en Moser. Deze theorie wordt aangeduid met KAM-theorie. Een centrale rol in KAMtheorie wordt gespeeld door de verdeling van de toestandsruimte in deelverzamelingen waarop de banen van de multiperiodieke evoluties liggen. Deze deelverzamelingen zijn tori, welke kunnen worden opgevat als producten van cirkels, voor elke periodieke component één. De verdeling van de toestandsruimte in tori

3 208 Samenvatting blijkt behoorlijk stabiel te zijn tegen kleine verstoringen, zoals bijvoorbeeld het incorporeren van de wisselwerking tussen de planeten. De zogenaamde quasiperiodieke tori, waarvan de periodes in bepaalde zin sterk verschillend (nietresonant) zijn, vervormen dan alleen een klein beetje. Op voorwaarde dat de verstoring voldoende zwak is, is de maat van de vereniging van verdwijnende tori klein. De verstoorde dynamica is dan met positieve kans nog steeds multiperiodiek en voorspelbaar. De systemen in de statistische mechanica bestaan uit zeer grote aantallen deeltjes. Een glas water, bijvoorbeeld, bevat zo n moleculen. Hierdoor is het ondoenlijk de banen van de afzonderlijke deeltjes te volgen, zoals dat bij het zonnestelsel wél goed mogelijk is. Het lijkt redelijk te veronderstellen dat veel van deze microscopische informatie ook niet nodig is voor het begrijpen van het macroscopische gedrag. In plaats van met de precieze microscopische toestanden van veel-deeltjes-systemen werkt men in de statistische mechanica daarom vaak met waarschijnlijkheidsverdelingen oftewel maten over deze toestanden. Een veelgebruikt voorbeeld van zo n maat is het zogenaamde microcanonieke ensemble. Hierbij is de waarschijnlijkheid gelijkelijk verdeeld over alle toestanden met een bepaalde totale energie. Grote systemen in thermodynamisch evenwicht kunnen met deze maat worden beschreven. Enige onderbouwing van het gebruik van het microcanonieke ensemble wordt gegeven door de zogenaamde ergodenhypothese die haar oorsprong vindt in het werk van Boltzmann. Deze hypothese stelt namelijk ruwweg dat veel-deeltjessystemen met voldoende interactie zich zo chaotisch gedragen, dat ze zich in de loop van de tijd met gelijke waarschijnlijkheid in alle toestanden kunnen bevinden die compatibel zijn met behoud van energie. Maar in hoeverre is de ergodenhypothese gerechtvaardigd? Er zijn maar weinig systemen waarvoor ergodiciteit is bewezen. Hierboven zagen we al een tegenvoorbeeld: een systeem met een positieve maat aan quasiperiodieke tori is niet ergodisch. Als namelijk de begintoestand op zo n torus ligt, zal hij daar altijd blijven en dus niet over het hele energie(hyper)oppervlak verdeeld raken. Tegenwoordig is bekend dat deze situatie behoorlijk algemeen is in de klassieke wrijvingsloze mechanica. Voor bijna alle systemen is er wel een gedeelte in de toestandsruimte waar de dynamica in eerste benadering quasiperiodiek is. KAM-theorie wordt dan gebruikt om te laten zien dat er in die buurt een positieve maat van invariante tori is. Dit zal ook voor de veel-deeltjes-systemen uit de statistische mechanica vaak gelden. Waarom laten grote systemen zich dan toch vaak goed door het microcanonieke ensemble beschrijven? Een oplossing van deze paradox is er in gelegen dat de kracht van KAM-theorie snel afneemt met het aantal deeltjes in een systeem. Dit verklaart ruwweg waarom een zonnestelsel met negen planeten zich vaak wel multiperiodiek gedraagt, maar een thermodynamisch systeem met deeltjes

4 209 niet. KAM-obstakels tegen ergodiciteit worden steeds kleiner bij grotere aantallen deeltjes. Tegenwoordig gebruikt men in de statistische mechanica vaak modellen met een oneindig aantal deeltjes. Hierbij is het uitgangspunt dat grote systemen in evenwicht beschreven worden door de zogenaamde Gibbs-maten op hun toestandsruimte. In deze aanpak kunnen faseovergangen (zoals van water naar ijs bij nul graden Celsius en een druk van één atmosfeer) precies beschreven worden als singulier of discontinu gedrag van dichtheid, druk, etcetera. In dit proefschrift wordt expliciet onderzocht hoe de grootte van de vereniging van KAM-tori zich verhoudt met het aantal deeltjes in het systeem en de mate van interactie. Hoewel de toepasbaarheid van onze resultaten zich daar niet toe beperkt, concentreren we ons op een specifiek systeem bestaande uit een aantal identieke slingers (de deeltjes), gekoppeld door zwakke veren (de interactie). De keuze voor identieke slingers is gebaseerd op het feit dat veel grote systemen uit één en hetzelfde soort deeltjes bestaan. In het onderzoek beperken we ons niet tot de KAM-tori die direct relevant zijn voor de ergodenhypothese, maar kijken we ook naar tori van lagere dimensies. Het bijbehorende soort dynamica noemen we een breather. In het systeem van gekoppelde slingers zal een aantal slingers dan bewegen, terwijl de rest vrijwel stil hangt. De energie is dus in dat kleinere aantal van het totale aantal slingers geconcentreerd. Het blijkt dat de keuze voor identieke slingers een flinke technische hindernis oplevert in de vorm van een sterke resonantie. Resonanties bemoeilijken in het algemeen het toepassen van KAM-theorie. Met gebruik van ideeën uit de zogenaamde ontvouwingstheorie van Arnol d blijkt deze hindernis uiteindelijk niet onoverkomelijk te zijn. Een conclusie is dat de stabiliteit van KAM-tori vooral snel afneemt als functie van het aantal bewegende deeltjes (in plaats van het totale aantal). Ten slotte kijken we nog wat er in de buurt van de lager-dimensionale tori van de breathers gebeurt. De dynamica ondergaat hier kwalitatieve veranderingen (bifurcaties) als bepaalde parameters (zoals bijvoorbeeld de sterkte van de veren) gevarieerd worden. Verdere studie is nodig om een compleet beeld van deze bifurcaties te krijgen en om hun stabiliteit onder verstoringen te onderzoeken. De benodigde wiskunde is sterk in ontwikkeling.

5 210 Samenvatting