Citation for published version (APA): Basrak, B. (2000). The sample autocorrelation function of non-linear time series. s.n.

Transcriptie

1 University of Groningen The sample autocorrelation function of non-linear time series Basrak, Bojan IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check the document version below. Document Version Publisher's PDF, also known as Version of record Publication date: 2000 Link to publication in University of Groningen/UMCG research database Citation for published version (APA): Basrak, B. (2000). The sample autocorrelation function of non-linear time series. s.n. Copyright Other than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons). Take-down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): For technical reasons the number of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum. Download date:

2 Samenvatting Bij het bestuderen van waarnemingen van een tijdreeks is het vaak redelijk om aan te nemen dat de data, al of niet getransformeerd, afkomstig zijn van een stationaire tijdreeks (X t ). De stationariteit betekent dat de eindig-dimensionale verdelingen van de reeks invariant zijn onder verschuivingen in de tijd. In de literatuur zijn verscheidene modellen van stationaire tijdreeksen tot in detail bestudeerd. Een standaard aanname hierbij is dat de tijdreeks normaal verdeeld is of, meer algemeen, dat de marginale verdeling op een vast tijdstip t een lichte staart heeft. Dit laatste wil zeggen dat P (jx t j >x) tenminste exponentieel naar nul daalt. Er zijn empirische (statistische) aanwijzingen dat vele geobserveerde tijdreeksen uit het verzekeringswezen, de financiële sector en de telecommunicatie, geen realisaties zijn van stationaire tijdreeksen met lichte staarten. Deze data kunnen echter goed worden gemodelleerd met behulp van een model waarbij P (jx t j >x) naar nul daalt als een machtsfunctie. De vraag hoe zwaar de staarten zijn is bij toepassingen van aanzienlijk belang. In de financiële of actuariële context, bijvoorbeeld, bepaalt de zwaarte van de staarten hoeveel risico men loopt, d.w.z. hoe groot het verlies is dat kan optreden. In de telecommunicatie is de zwaarte van de staarten van de verdeling van de AAN- of UIT-perioden van computers of van die van de lengte van files die tussen computers verstuurd worden, een bepalende factor voor de efficiëntie van grote stochastische netwerken, zoals het Internet. Een hanteerbare beschrijving van de zwaarte van de staarten wordt gegeven door reguliere variatie. Dit betekent ruwweg dat de staart P (jx t j >x) zich als een machtsfunctie x ff gedraagt voor grote waarden van x, voor zekere ff > 0. Hoe kleiner ff hoe zwaarder de staart; als ff<hdan bestaat het moment EjX t j h niet meer. Het begrip reguliere variatie verwijst naar de staart van de verdeling van X t ; het doet geen uitspraken over het modelleren van de verdeling als geheel. De tijdreeksanalyse draait vaak om het modelleren van afhankelijkheden in stationaire reeksen. In bijna alle data is afhankelijkheid zichtbaar, bijvoorbeeld in een reeks financiële data waarin heel grote en heel kleine waarden de neiging hebben om in clusters op te treden in de tijd. De standaard methoden van de klassieke tijdreeksanalyse zijn, voor een groot gedeelte, toegespitst op tweede orde eigenschappen, en zijn gebaseerd op correlaties, covarianties, enz. Wanneer, zoals 129

3 130 Samenvatting in het geval van de financiële data, zware staarten optreden, dan zijn die standaard methoden veel minder bruikbaar. Daarom zijn er andere methoden nodig om "afhankelijkheid in de staarten" te beschrijven. Met dit als doel hebben we het begrip multivariate reguliere variatie gekozen als een geschikt concept. Het is een uitbreiding van het gedrag van de staart als machtsfunctie naar het multivariate geval. Wanneer X een d-dimensionale toevallige vector is, betekent het dat de kans P (jxj >x;x=jxj 2B) voor grote waarden van x benaderd wordt door x ff P ( 2 B), waarbij B een deelverzameling is van het oppervlak van de eenheidsbol in R d en j j staat voor de Euclidische norm. De afhankelijkheid tussen heel grote waarden van de componenten van X wordt dan volledig beschreven door de verdeling van de toevallige vector, de zogenaamde spectraalmaat. In dit proefschrift bestuderen we verscheidene modellen van niet-lineaire tijdreeksen met zware staarten. Ondermeer komen bilineaire processen en leden van de ARCH-familie aan bod (autoregressieve conditioneel heteroscedatische processen). De laatsten werden ge ntroduceerd door Engle (1982) en Bollerslev (1986) om de specifieke vorm van afhankelijkheid en grillig gedrag te modelleren die typerend is voor reeksen van financiële data. We laten zien dat deze standaard modellen zijn bevat in de klasse van nietlineaire modellen die wordt voortgebracht door stochastische recurrentievergelijkingen van de vorm X t = A t X t 1 + B t, waarbij de (A t ;B t ) een reeks vormen van onafhankelijke gelijkverdeelde paren met A t een toevallige matrix en B t een toevallige vector. Het gaat hier dus om autoregressieve processen met toevallige coëfficiënten. In klassieke studies kunnen voldoende voorwaarden worden gevonden voor het bestaan van stationaire oplossingen (X t ), terwijl de uitstekende werken van Kesten (1973) en Goldie (1991) opleveren dat de eindig-dimensionale verdelingen van (X t )multivariaat regulier variërend zijn, onder heel algemene voorwaarden op (A t ;B t ). Hierop voortbordurend leiden wevoorwaarden af voor de stationariteit van bilineaire en ARCH processen en tonen we aandathun eindig-dimensionale verdelingen regulier variërend zijn. Dit laatste resultaat verklaart, tot op zekere hoogte, het optreden van clusters van overschrijdingen in financiële data en het ongewoon grillige beloop van zulke reeksen. Dit proefschrift gaat vooral over het asymptotische gedrag van de geschatte autocorrelaties en autocovarianties van de bestudeerde niet-lineaire tijdreeksen. In de klassieke tijdreeksanalyse is de geschatte autocorrelatiefunctie een van de meest gebruikte instrumenten om tweede orde afhankelijkheden in de reeks te beschrijven; deze methode is de basis voor het fitten van modellen en het doen van voorspellingen. In tegenstelling tot lineaire tijdreeksmodellen (zoals de standaard ARMA modellen), kunnen de geschatte autocorrelaties van oplossingen van stochastische recurrentievergelijkingen zich heel eigenaardig gedragen. Bijvoorbeeld, als de index van reguliere variatie ff van de reeks erg klein is, dan kunnen de schatters van de

4 131 autocorrelatie een toevallige limiet hebben. Voor middelgrote waarden van ff convergeren de geschatte autocorrelaties naar de werkelijke autocorrelaties, hoewel dit erg langzaam gaat. Alleen als ff voldoende groot is, kunnen we standaard asymptotiek gebruiken. In dit geval convergeert de schatter van de autocorrelatie naar de werkelijke waarde met snelheid p n en is de fout asymptotisch normaal verdeeld. In alle andere gevallen treden ongewoon brede betrouwbaarheidsbanden op, gebaseerd op stabiele verdelingen. Een conclusie die we mogen trekken uit de theorie is dat de geschatte autocorrelaties van niet-lineaire tijdreeksen, met name bilineaire, ARCH en verwante processen, niet echt betrouwbare statistische instrumenten vormen om afhankelijkheden te meten wanneer de onderliggende reeks erg zware staarten heeft. Voor reeksen met zware staarten is de spectraalmaat van multivariate reguliere variatie een alternatief instrument om afhankelijkheid in de staarten te beschrijven. In dit proefschrift propageren we multivariate reguliere variatie als een probabilistisch concept om zware staarten en afhankelijkheid gezamenlijk te beschrijven. Tenslotte geven we, onder bepaalde voorwaarden, aan hoe men de staart parameter ff en de spectraalmaat P ( 2 )kan schatten. We tonen de consistentie van deze schatters aan en passen ze toe op gesimuleerde en geobserveerde tijdreeksen.

5 132 Samenvatting