Geometric approximation of curves and singularities of secant maps Ghosh, Sunayana

Transcriptie

1 University of Groningen Geometric approximation of curves and singularities of secant maps Ghosh, Sunayana IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check the document version below. Document Version Publisher's PDF, also known as Version of record Publication date: 2010 Link to publication in University of Groningen/UMCG research database Citation for published version (APA): Ghosh, S. (2010). Geometric approximation of curves and singularities of secant maps: a differential geometric approach Groningen: s.n. Copyright Other than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons). Take-down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): For technical reasons the number of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum. Download date:

2 Samenvatting In dit proefschrift bestuderen we: (i) de meetkundige benadering van krommen in het vlak en de ruimte en (ii) singulariteiten van secant-afbeeldingen van ingedompelde oppervlakken vanuit een meetkundig oogpunt. Meetkundige Benadering van Krommen Meetkundig modelleren is een vakgebied binnen de toegepaste wiskunde en computationele meetkunde waarin methoden en algoritmes worden bestudeerd voor de wiskundige beschrijving van vormen. De bestudeerde vormen zijn meestal twee- of drie-dimensionaal, maar veel van de concepten en technieken kunnen worden toegepast op verzamelingen met een willekeurige, maar eindige, dimensie. Tegenwoordig wordt meetkundig modelleren gedaan met behulp van computers en voor computertoepassingen. Een specifiek onderwerp binnen meetkundig modelleren is het benaderen van een gegeven kromme. In dit proefschrift bestuderen we problemen gerelateerd aan het benaderen van geparametriseerde krommen. In het vlak benaderen we krommen met twee-bogen en kegelbogen; in de ruimte benaderen we krommen met bihelische bogen. Twee-bogen worden gevormd door het verbinden van twee cirkelbogen zodanig dat de raaklijnen in het verbindingspunt samenvallen (geometrische continuïteit). Bihelische bogen worden gevormd door het verbinden van twee cirkelvormige helices met geometrische continuïteit. Een spline is een kromme die wordt gevormd door de aaneenschakeling van krommen uit een speciale klasse. In dit proefschrift beschouwen we geometrisch-continue splines. Een conische spline wordt bijvoorbeeld gevormd door een aaneenschakeling van bogen van kegelsneden (ellipsen, parabolen of hyperbolen) waarbij twee opeenvolgende stukken geometrisch-continu zijn verbonden. Met behulp van een metriek meten we hoe goed een spline een gegeven

3 182 Samenvatting geparametriseerde kromme benadert. In dit proefschrift beschouwen we voornamelijk de Hausdorff-afstand, maar in het geval van paraboolbogen en meer algemene bogen van kegelsneden bekijken we ook de afstand gedefiniëerd door het symmetrische verschil. De Hausdorff-afstand tussen twee krommen in het vlak is gedefiniëerd als het maximum van de afstand tussen de twee krommen: voor ieder punt op een gegeven geparametriseerde kromme beschouwen we het Frenet-Serret-driebeen en berekenen we de afstand tussen het gegeven punt en het snijpunt van de normaallijn met de benaderende kromme. De afstand gedefiniëerd door het symmetrische verschil van twee krommen met samenvallende eindpunten is gedefiniëerd als de oppervlakte ingesloten door de twee krommen. Voorbeeld van een twee-boog Eén-parameter familie van tweebogen Figure 6.3: Voorbeeld van een twee-boog gevormd door twee cirkelbogen en een één-parameter familie van bitangentiële twee-bogen. Complexiteit. We benaderen een voldoende gladde kromme in het vlak, waarvan de kromming nergens nul is, met behulp van twee-bogen, paraboolen kegelsplines. Voor ruimtelijke krommen gebruiken we bihelische splines. In beide gevallen is het doel om de complexiteit van de benadering, dat wil zeggen het minimale aantal elementen, te berekenen. Cirkels zijn de enige vlakke krommen met een constante kromming ongelijk

4 Samenvatting 183 aan nul; bogen van kegelsneden zijn de enige vlakke krommen met een constante affiene kromming. (Affiene kromming is het analogon van kromming in de affiene differentiaalmeetkunde.) Bovendien zijn cirkelvormige helices ruimtelijke krommen met een constante kromming en torsie. Deze eigenschappen worden gebruikt bij het berekenen van de Hausdorff-afstand tussen twee krommen. We tonen aan dat de benaderingsfout verbetert met één orde van grootte bij de overstap van twee-boog splines (derde orde) naar paraboolsplines (vierde orde) en naar kegelsplines (vijfde orde). We berekenen de leidende term van de benaderingsfout en daarmee ook van de complexiteit van de benaderende spline. Hiermee kan de complexiteit worden uitgedrukt in termen van (affiene) kromming. De complexiteit hangt af van: de afgeleide van de kromming in het geval van twee-boog splines en bihelische splines; de affiene kromming en de afgeleide daarvan in het geval van respectievelijk paraboolsplines en kegelsplines. Eén-parameter familie van kegelbogen Familie van verplaatsingsfuncties Figure 6.4: Eén-parameter familie van bitangentiële kegelbogen en hun bijbehorende verplaatsingsfuncties.

5 184 Samenvatting Meetkunde van benaderingen. We beschouwen de benadering van spiraalbogen met bitangentiële twee-bogen. Spiralen zijn vlakke krommen met een monotoon dalende of stijgende kromming. Een twee-boog benadering van een spiraalboog heet bitangentiëel als de twee-boog de spiraalboog in de twee eindpunten raakt. We bewijzen dat er een één-parameter familie van tweebogen bestaat waarvan elke twee-boog bitangentiëel is aan de spiraalboog. Verder bewijzen we dat binnen deze familie er een unieke twee-boog is die de Hausdorff-afstand tot de gegeven spiraalboog minimaliseert. Analoog aan spiralen zijn affiene spiralen vlakke krommen met een monotoon dalende of stijgende affiene kromming. We bewijzen het bestaan van een één-parameter familie van kegelbogen waarvan elke kegelboog bitangentiëel is aan de gegeven affiene spiraalboog. Bovendien is de afstandsfunctie van deze familie bimodaal zoals weergegeven in Figuur 6.4. We bewijzen dat er een eenduidige bitangentiële kegelspline bestaat die de Hausdorff-afstand tot de gegeven affiene spiraalboog minimaliseert. In dit geval heeft de bimodale verplaatsingsfunctie een equioscillatie-eigenschap zoals weergegeven door de rode kromme in Figuur 6.4. In het geval van zowel twee-bogen als kegelsplines bewijzen we ook dat de offestfunctie, en dus de Hausdorff-afstandsfunctie, monotoon is: als de lengte van de gegeven spiraalboog (affiene spiraalboog) afneemt, dan neemt de Hausdorff-afstand tot de best benaderende twee-boog (kegelspline) af. Deze bijzondere eigenschappen stellen ons in staat om een algoritme te ontwerpen voor het berekenen van de beste benadering van een gegeven (affiene) spiraalboog. In Hoofdstuk 4 bewijzen we een algemeen resultaat voor de Hausdorffafstand tussen een ruimtelijke kromme en een benaderende G 1 -spline. De G 1 -spline bestaat uit twee gladde bogen die elkaar raken in het verbindingspunt, en is bitangentiëel aan de gegeven kromme. Onder de voorwaarde dat de afgeleide van de kromming van de G 1 -spline in de eindpunten gelijk is aan nul, krijgen we een ondergrens voor de Hausdorff-afstand tussen de gegeven kromme en de benaderende spline. Voor een bihelische spline waarvoor de ondergrens van de Hausdorff-afstand wordt bereikt, verkrijgen we een asymptotische karakterisering van het verbindingspunt en de raaklijn in het verbindingspunt. We presenteren een algoritme dat gebruik maakt van deze

6 Samenvatting 185 karakteriseringen en concluderen dat de experimenteel gemeten complexiteit van de bihelische spline en de theoretische complexiteit bijna overeenstemmen. Het vinden van de beste benadering van een gegeven kromme met een bitangentiële bihelische spline is echter nog een open probleem. Singulariteiten van Secant-afbeeldingen Singulariteitentheorie is een een verregaande generalisatie van de studie van functies in hun kritieke punten. Deze theorie geeft bruikbare technieken voor het bestuderen van de lokale meetkunde van krommen en oppervlakken, dat wil zeggen: de eigenschappen in een omgeving van een punt op de kromme of het oppervlak. Een punt x 0 heet een kritiek punt van een functie f : I R als f (x 0 ) = 0; een kritiek punt heet ontaard als ook f (x 0 ) = 0. Een kritiek punt geeft belangrijke informatie over de vorm van de grafiek van de functie f. In de theorie van Whitney worden functies vervangen door afbeeldingen, dat wil zeggen collecties van functies van meerdere variabelen. In het algemeen zijn kritieke punten niet-ontaard, maar ontaarde kritieke punten kunnen wel in generieke families van functies voorkomen. Het probleem dat we bestuderen in dit proefschrift is een uitbreiding van het werk van Bruce waarin hij de singulariteiten van secant-afbeeldingen van ruimtelijke krommen bestudeert. Bij een ruimtelijke kromme γ, welke een reguliere, gladde inbedding van R naar R 3 geeft, beeldt de geprojectiviseerde secant-afbeelding Ŝ : R R P2 een paar punten t 1 t 2 in R af op een niet-georiënteerde lijn in het projectieve vlak P 2. Twee samenvallende punten worden afgebeeld op de niet-georiënteerde raaklijn. Het doel is het bestuderen van het lokale gedrag van de secant-afbeelding voor punten op de diagonaal = {(t, t) t R}. We bestuderen (geprojectiviseerde) secant-afbeeldingen van een oppervlak dat geïmmerseerd is in R n voor n 3. Een secant-afbeelding beeldt twee punten p en q op een oppervlak af op de lijn p q. Van dergelijke afbeeldingen en hun geprojectiviseerde tegenhangers bespreken we in detail de singulariteiten op de diagonaal.