Met de medewerking van

Transcriptie

1 Wiskundige aanpak van vage informatie Met de medewerking van Nota s Prof. Dr. Mike Nachtegael Universiteit Gent Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Krijgslaan 281 S Gent Lesgevers Jeroen Janssen, Mike Nachtegael, Steven Schockaert, Philip Van Oosten, Patricia Victor

2 Wiskundige aanpak van vage informatie

3 Inhoudsopgave 1 Omgaan met precieze en imprecieze informatie 2 2 Vaagverzamelingen als model voor imprecieze informatie Definitie en voorbeelden Bewerkingen met vaagverzamelingen Werken met lidmaatschapsfuncties Enkeletypischelidmaatschapsfuncties Linguïstische wijzigers: van iets naar zeer iets of min of meer iets Scherpe relaties en redeneren met precieze informatie Inleiding Basisbegrippen m.b.t. scherpe relaties Scherpe ALS-DAN regels en de modus ponens Vaagrelaties en redeneren met imprecieze informatie Inleiding Basisbegrippen m.b.t. vaagrelaties Vage ALS-DAN regels en de modus ponens

4 1 Omgaan met precieze en imprecieze informatie Zowel in de wiskunde als in het dagelijkse leven worden we vaak geconfronteerd met zogenaamde evaluatieproblemen: uitgaande van een gegeven verzameling X (het universum) van objecten x en een gegeven eigenschap P, dient te worden nagegaan welke van deze objecten aan de eigenschap P voldoen. We spreken van een evaluatieprobleem in X onder een eigenschap P. Voorbeeld: van een gegeven klasse van rationale functies kunnen we nagaan welke van deze functies gedefinieerd zijn over heel R. In dit voorbeeld wordt het universum X dus gegeven door een klasse van rationale functies, en kan de eigenschap P omschreven worden als is overal gedefinieerd (of gelijkwaardig heeft een noemer zonder reële nulpunten ). We spreken hier van een goed gesteld evaluatieprobleem. Voor elk object x uit X is het immers uit te maken of het voldoet of niet voldoet aan de eigenschap P. Men zegt ook nog dat P een scherpe of klassiek voorstelbare eigenschap is, of nog dat het een precieze eigenschap is. Opdracht 1 Geef zelf nog enkele voorbeelden van goed gestelde evaluatieproblemen. Verduidelijk telkens het universum X en de eigenschap P. In het dagelijkse leven worden we echter heel vaak met imprecieze informatie geconfronteerd. Dit gebeurt wanneer we te maken hebben met een eigenschap P waarvan het niet mogelijk is om voor elk object x uit een universum uit te maken of het al dan niet voldoet aan P. We spreken in dat geval van een slecht gesteld evaluatieprobleem en een niet-klassieke of imprecieze eigenschap P. Voorbeeld: van de klasse der positieve reële getallen willen we nagaan welke van deze getallen groot zijn. In dit voorbeeld wordt het universum X dus gegeven door de verzameling der positieve reële getallen, en kan de eigenschap P omschreven worden als is groot. Slecht gestelde evaluatieproblemen kunnen snel tot paradoxen leiden. Zo kan men van een hoop van 1000 stenen zeggen dat hij groot is. Als men een steen wegneemt blijft het een grote hoop. Als men nog een steen wegneemt blijft het nog steeds een grote hoop. Algemeen zouden we dus kunnen stellen dat als een hoop van n stenen groot is, een hoop van n 1 stenen ook groot moet zijn. Als men deze redenering verder zet komt men tot de conclusie dat een hoop van 1 steen ook een grote hoop is (dit is een voorbeeld van de Sorites-paradox). Opdracht 2 Geef zelf nog enkele voorbeelden van slecht gestelde evaluatieproblemen. Verduidelijk telkens het universum X en de eigenschap P. De klassieke wiskunde stelt ons enkel in staat een voorstelling te geven van de oplossing van goed gestelde evaluatieproblemen. Gegeven een klassiek voorstelbare eigenschap P wordt 2

5 de oplossing van het evaluatieprobleem in X onder P gegeven door de deelverzameling O P van X : O P = {x x X en x voldoet aan P }. Deze oplossing kan op gelijkwaardige manier worden voorgesteld m.b.v. de karakteristieke afbeelding f OP van de oplossingenverzameling O P. De karakteristieke afbeelding beeldt elk element uit de oplossingenverzameling O P af op 1; elk ander element wordt afgebeeld op 0: f OP : X {0, 1} x 1, als x O P x 0, als x O P Voor een object x in X noemt men f OP (x) de lidmaatschapsgraad van x in O P,ofnogde graad waarin x aan P voldoet. Voor de oplossingenverzameling van klassiek voorstelbare eigenschappen zijn dus maar twee mogelijkheden: de lidmaatschapsgraad van een object x is 1 (x voldoet volledig aan eigenschap P )of0(x voldoet niet aan eigenschap P ). Opdracht 3 Beschouw het universum X = N en de scherpe eigenschap P is groter dan of gelijk aan 6. Geef de oplossingenverzameling O P. Welke karakteristieke afbeelding correspondeert hiermee? Stel de karakteristieke afbeelding grafisch voor. De oplossing van een goed gesteld evaluatieprobleem wordt dus voorgesteld door een klassieke verzameling, of gelijkwaardig door de daarmee geassocieerde karakteristieke afbeelding. Goed gestelde evaluatieproblemen zijn bijgevolg nauw verbonden met de klassieke verzamelingenleer (en dus ook met de klassieke binaire logica). Dit model heeft zijn waarde bewezen in tal van toepassingen. Maar wat nu met slecht gestelde evaluatieproblemen? De tot voor enkele decennia geleden gevolgde weg bestaat erin niet-scherpe eigenschappen scherp te maken. Zo zou men de eigenschap is een groot natuurlijk getal kunnen scherp maken door te stellen is niet kleiner dan Het hoeft niet gezegd dat deze werkwijze om van slecht gestelde problemen goed gestelde problemen te maken nogal kunstmatig en arbitrair is (waarom kiezen we als grens?), omdat aan de betekenis van de eigenschap wordt geraakt. Vele van de eigenschappen die mensen hanteren zijn intrinsiek vaag of imprecies van betekenis. Bij het op die manier vastleggen van een scherpe grens tussen al dan niet voldoen gaat informatie verloren. Het model dat door de klassieke wiskunde wordt geleverd is dus ontoereikend. Opdracht 4 Herneem de slecht gestelde evaluatieproblemen uit Opdracht 2. Maak van deze problemen goed gestelde evaluatieproblemen. In 1968 werd een andere oplossing voorgesteld door Gentilhomme. Met de (niet-scherpe) eigenschap P wordt een drieledige in plaats van tweeledige opsplitsing van X geassocieerd: het gebied van minimale extensie of het zekere gebied Z P (dat bestaat uit de objecten x uit X die perfect voldoen aan de eigenschap P ), het gebied van maximale extensie E P (zodat het gebied X\E P bestaat uit de objecten x uit X die perfect niet voldoen aan de 3

6 eigenschap P ; men noemt dat ook het uitgesloten gebied), en het waziggebied E P \ Z P waarvan de elementen tussen perfect voldoen en perfect niet voldoen aan P inzitten. De oplossing van het evaluatieprobleem in X onder de eigenschap P wordt voorgesteld door een wazigverzameling W P bepaald door met Z P E P. W P =(Z P,E P ), Opdracht 5 Kan deoplossing van goed gestelde evaluatieproblemenlemen ook voorgesteld worden dooror wazigverzamelingen van Genthilhomme? Opdracht 6 Herneem de niet-scherpe eigenschap is een groot positief reëel getal. Maak gebruik van de wazigverzamelingen van Gentilhomme om een oplossing van dit probleem voor te stellen. Opdracht 7 Stel X = R en P de eigenschap is een reëel getal dicht bij 10. Stel de oplossing van dit evaluatieprobleem voor door een wazigverzameling van Gentilhomme. Hoewel de poging van Gentilhomme om imprecieze informatie te modelleren verdienstelijk was maakt bovenstaande opdracht duidelijk dat wazigverzamelingen en scherpe verzamelingen eenzelfde tekortkoming hebben, namelijk dat er nog steeds kunstmatige keuzes gemaakt moeten worden voor de grensgevallen. In 1965 werd nog een andere oplossing voorgesteld door Lotfi Zadeh, welke zich situeert tussen de twee reeds besproken benaderingen: noch welbepaalde grensgevallen (geen neutrale zone) zoals in het geval van wazigverzamelingen, noch een precies vastgelegde grens zoals in het geval van scherpe verzamelingen, maar wel een graduele overgang van niet naar wel voldoen aan een eigenschap. Het begrip vaagverzameling deed zijn intrede, en zou uitgroeien tot een deeltak van de moderne wiskunde, met jaarlijks duizenden nieuwe publicaties en tal van nieuwe praktische toepassingen. 4

7 2 Vaagverzamelingen als model voor imprecieze informatie 2.1 Definitie en voorbeelden Beschouw opnieuw het evaluatieprobleem in een universum X onder een (scherpe of nietscherpe) eigenschap P. Deoplossing vanditevaluatieprobleem wordtvoorgesteld dooreen vaagverzameling A P in X, d.w.z. een X [0, 1] afbeelding met de volgende interpretatie: voor alle x in X stelt A P (x) de graad voor waarin x aan de eigenschap P voldoet. Men noemt A P (x) de lidmaatschapsgraad van x in de vaagverzameling A P : A P (x) = 0 betekent dat x perfect niet voldoet aan P, A P (x) = 1 betekent dat x perfect wel voldoet aan P, en tussen deze twee uitersten bevindt zich een zone met een graduele overgang van niet voldoen naar wel voldoen, gekenmerkt door een toenemende lidmaatschapsgraad. De X [0, 1] afbeelding wordt ook de karakteristieke afbeelding of lidmaatschapsfunctie van de vaagverzamelingagverzameling A P genoemd. Merk op dat wedus gemakshalve zowel voor een vaagverzameling als haar lidmaatschapsfunctie dezelfde notatie gebruiken (en bijvoorbeeld niet A voor de vaagverzameling en f A voor de lidmaatschapsfunctie). Opdracht 8 Herneem het evaluatieprobleem uit Opdracht 7: X = R en P is de eigenschap is een reëel getal dicht bij 10. Stel de oplossing van dit evaluatieprobleem voor door een vaagverzameling A P, anders gezegd: construeer een vaagverzameling van alle reële getallen die dicht bij 10 gelegen zijn. Opdracht 9 Herneem het evaluatieprobleem uit Opdracht 6: X = R + =[0, + [ en P is de eigenschap is een groot getal. Stel de oplossing van dit evaluatieprobleem voor door een vaagverzameling A P, anders gezegd: construeer een vaagverzameling van alle grote positieve reële getallen. Opdracht 10 Herneem de slecht gestelde evaluatieproblemen die je hebt bedacht voor Opdracht 2. Construeer vaagverzamelingen om de oplossingen van deze evaluatieproblemen voor te stellen. Men zou kunnen argumenteren dat ook vaagverzamelingen te kampen hebben met het probleem van de arbitraire keuze. Immers: welke grens kies je om lidmaatschapsgraad 0 of lidmaatschapsgraad 1 toe te kennen? Dat is een logische en terechte opmerking, maar wat vooral van belang is is de ordening die het toekennen van de lidmaatschapsgraden teweegbrengt in het beschouwde universum: hoe dichter A P (x) bij 1, hoe beter x voldoet aan de eigenschap P. Belangrijke tekortkomingen van scherpe verzamelingen of wazigverzamelingen worden met het model van vaagverzamelingen vermeden, en daardoor geven ze intuïtief een meer aanvaardbare voorstelling van de realiteit. Lidmaatschapfuncties zijn zowel afhankelijk van het beschouwde universum of de context, als van de gebruiker. Zo zal de vaagverzameling van koude temperaturen er anders uitzien voor een inwoner van Egypte als voor een inwoner van Siberië, en zal de vaagverzameling van grote afstanden verschillend zijn naargelang we bijvoorbeeld afstanden tussen planeten of afstanden voor wandelingen bekijken. 5

8 2.2 Bewerkingen met vaagverzamelingen De grote kracht van vaagverzamelingen is niet alleen dat ze ons in staat stellen om imprecieze informatie wiskundig te modelleren, ze laat ons ook toe om met die imprecieze informatie te redeneren en er nieuwe (imprecieze) informatie uit af te leiden. We komen op dat laatste verderop in deze cursus nog terug. Eerst is het echter noodzakelijk om enkele basisbegrippen uit de klassieke verzamelingenleer uit te breiden naar vaagverzamelingen. Hieronder herhalen we de definitie van unie voor klassieke verzamelingen, en geven we meteen aan hoe de uitbreiding naar vaagverzamelingen gerealiseerd kan worden. x A B x A of x B A(x) =1ofB(x) =1 max(a(x),b(x)) = 1. Er geldt dus dat (A B)(x) = 1 als en slechts als max(a(x),b(x)) = 1, dus dat (A B)(x) =max(a(x),b(x)). Het begrip unie kan dus uitgebreid worden naar vaagverzamelingen met behulp van de maximum-operator. Concreet: stel A en B vaagverzamelingen in X, dan definiëren we de unie A B als: A B : X [0, 1] x max(a(x),b(x)), voor alle x X. Opdracht 11 Beschouw de vaagverzamelingen A en B in R +, met volgende lidmaatschapsfuncties: A(x) = x { 1 en B(x) = x als x 5 5 x +1 1 als x>5 voor x R +. Bepaal de unie A B, en stel je resultaat grafisch voor. Opdracht 12 Volg dezelfde werkwijze als voor de unie om nu ook de doorsnede van vaagverzamelingen te definiëren. Bereken vervolgens de doorsnede van de vaagverzamelingen uit Opdracht 11, en stel je resultaat grafisch voor. Opdracht 13 Volg dezelfde werkwijze als voor de unie en doorsnede om nu ook het complement van een vaagverzameling te definiëren. Bereken vervolgens het complement van de vaagverzamelingen uit Opdracht 11, en stel je resultaat grafisch voor. Naast unie, doorsnede en complement is ook het begrip deelverzameling zeer belangrijk. Opdracht 14 In de klassieke verzamelingenleer geldt dat: A B A B = B. Breid deze definitie uit voor vaagverzamelingen A en B. 6

9 Nu de basisbegrippen ook voor vaagverzamelingen gedefinieerd zijn kan men op onderzoek gaan naar tal van eigenschappen. Bijzonder interessant is de zoektocht naar die eigenschappen van klassieke verzamelingen die ook geldig zijn voor vaagverzamelingen. Een volledig overzicht geven zou ons veel te ver leiden, maar bij wijze van voorbeeld laten we enkele eigenschappen de revue passeren in de volgende opdracht. Opdracht 15 Ga na of de volgende eigenschappen geldig zijn voor vaagverzamelingen A en B in een universum X : Involutiviteit van de complementering: co(coa) =A. Wetten van de Morgan: co(a B) =coa cob en co(a B) =coa cob. Absorptiewetten: A (A B) =A en A (A B) =A. Wet van het uitgesloten derde: A coa = X. Wet van de contradictie: A coa =. Bovenstaande is slechts het topje van de immense ijsberg die we de vaagverzamelingenleer noemen. Zo hebben we gewillig aanvaard dat unie en doorsnede van vaagverzamelingen gemodelleerd kon worden door respectievelijk het maximum en het minimum. Echter, dat is slechts één mogelijkheid om de klassieke definities uit te breiden. Opdracht 16 Ga na dat voor klassieke verzamelingen A en B volgende eigenschappen gelden: en dat ook: (A B)(x) = A(x)+B(x) A(x) B(x), (A B)(x) = A(x) B(x), (A B)(x) = min(1,a(x)+b(x)), (A B)(x) = max(0,a(x)+b(x) 1). Beide groepjes van eigenschappen geven aanleiding tot telkens een andere uitbreiding van de klassieke verzamelingenleer naar vaagverzamelingenleer. De studie van de verschillende modellen in de vaagverzamelingenleer is bijzonder boeiend, en is ook zeer belangrijk voor praktische toepassingen. Zo zal men afhankelijk van de toepassing vaak een voorkeur hebben voor het ene of het andere model. Het maken van zo n keuze is niet altijd makkelijk, zeker als je weet dat er oneindig veel modellen zijn... Opdracht 17 De doorsnede van twee vaagverzamelingen werd hoger al op drie verschillende manieren gemodelleerd. De drie bewerkingen die hierbij aan bod kwamen zijn eigenlijk voorbeelden van zogenaamde triangulaire normen (kortweg t-normen). Een triangulaire norm is een afbeelding T van [0, 1] [0, 1] (het eenheidsvierkant) naar [0, 1] (het eenheidsinterval) die voldoet aan de volgende eigenschappen: 7

10 randvoorwaarde: T (a, 1) = a voor alle a [0, 1] stijgend zijn: als a 1 a 2 dan is T (a 1,b) T(a 2,b) (voor een vaste b [0, 1]) en als b 1 b 2 dan is T (a, b 1 ) T(a, b 2 ) (voor een vaste a [0, 1]) commutativiteit: T (a, b) =T (b, a) associativiteit: T (T (a, b),c)=t (a, T (b, c)). Ga na dat een t-norm steeds voldoet aan T (0, 0) = T (1, 0) = T (0, 1) = 0 en T (1, 1) = 1 (hier is een mooi verband met de binaire logica). Ga na dat de volgende drie operatoren t-normen zijn: T 1 (a, b) = min(a, b), T 2 (a, b) = a b, T 3 (a, b) = max(0,a+ b 1). Een interessant weetje is dat het minimum eigenlijk de grootst mogelijke t-norm is die je kan bedenken. Kan je dit ook wiskundig aantonen? Er is ook een kleinste t-norm. Kan je die bepalen? Eenzelfde veralgemening is mogelijk voor het modelleren van de unie van twee vaagverzamelingen. Men spreekt in dat geval van triangulaire conormen (kortweg t-conormen), en men kan aantonen dat het maximum de kleinste mogelijke t-conorm is. 8